考点培优练02 累加、累乘、构造、递推法求数列通项公式7大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦数列通项公式求解，系统整合7大核心方法，构建从基础递推到复杂变换的逻辑体系，通过典例与跟踪训练强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01-07|每考点1典例+多题训练|累加法、累乘法、同除法、取倒数法、构造法、隔项数列、对数变换法|从直接递推到通过代数变换（除、倒数、对数）转化为等差/等比数列，形成“观察递推形式→选择转化方法→构造新数列→求解通项”的完整推理链条|

考点培优练02 累加、累乘、构造、递推法求数列通项公式7大考点 考点预览 目录 考点01 累加法、累乘法 1 考点02 同除法及取倒数法 10 考点03 已知或题型 16 考点04 加减常数构造或加减构造 25 考点05 隔项等差（比）数列 37 考点06 递推公式或题型 45 考点07 对数变换法：形如型的递推式 51 考点通关 考点01 累加法、累乘法 ①累加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 ②累乘法：适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 【典例1】（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累乘法求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由，可得， 当时，， 又因为，即对也成立，所以. （2）①， ②， ，得 ， 所以. 【跟踪训练】1．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【分析】借助累加法及等差数列求和公式可求出数列的通项公式，即可得. 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 2．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】由题设，则， 令，得，则， ， 显然也满足上式， ，则，显然个位数字为2. 3．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）设数列的前项和为，，且，则的最小值为（   ） A． B．14 C．9 D．8 【答案】D 【分析】由题意可得，利用累乘法求得，进而，则.设，利用导数研究函数的性质即可求解. 【详解】由，得， 则， 各式相乘得， 得，又，所以，则为等差数列， 得. 所以， 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以当或时，取到最小值8. 故选：D 4．（2025高二·全国·专题练习）(多选)记数列的前n项和为，且满足，．则（    ） A． B．是递增数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】先赋值求出，再利用累乘法求出数列的通项公式，即可判断A选项；通过的正负性判断B选项；举反例判断C选项；设，根据求出，或令，，先求出，再根据累加法求出，最后通过作差法判断D选项. 【详解】令，则由可得，则， 又，则， 因，则， 则当时， ， 上式对成立，所以，， 则，故A正确； 又，即，故B正确； 当时，不等式左边，而不等式右边， 因不成立，可知不恒成立，故C错误； 对于D，解法一：设，则 所以时，， 所以， 代入，得， 故， 解法二：令，， 则 ， 所以，，，则， 则当时， ， 当时，符合上式，故，， 则， 当时，， 因时，，，所以， 故恒成立，故D正确． 故选：ABD． 5．（2025·山西临汾·二模）(多选)已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．是单调递增数列 C．若为数列的前项和，则 D．若对任意，都有，则 【答案】ABC 【分析】根据累乘法可得，即可判断A,根据即可求解B，根据裂项相消法即可求解C，根据单调性，对分奇偶即可求解D. 【详解】由，可得， 故, 也符合， 故，，A正确， 由于，故，因此是单调递增数列，B正确， ， 故，C正确， 由可定， 当为偶数时，则恒成立，由于单调递增，故， 当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故， 故对任意，都有，则，故D错误， 故选：ABC 6．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的前项的和为________. 【答案】 【分析】先由通过累加法求通项得，再通过裂项相消求和可得. 【详解】由题意可知，满足，， 当时，， ，以上各式累加得， ， 当时，，也满足上式，，则. ∴数列的前项和为， . 7．（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，得到的表达式，即可求解. 【详解】由数列满足，即， 可得， 各式相加，可得， 因为，所以，即， 所以，可得. 8．（2026·吉林长春·一模）已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为2，且，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】先根据等差数列的通项公式求数列的通项公式，进而得到，再利用求数列的通项公式. （2）利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消求和法求. 【详解】（1）由题意：，， 又数列为等差数列，设数列的公差为， 由. 所以. 所以. 当时，， 当时，. 时，上式也成立. 所以. （2）因为， 所以，，，…，. 以上各式相乘，可得当时，， 又，所以，， 所以. 9．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件列出，使用累乘法即可求数列的通项公式； （2）使用错位相减计算数列的前项和. 【详解】（1）当时，， 又因为，即对也成立，所以． （2）①， ②， ①-②得： ， 所以． 10．（25-26高三上·河北承德·期中）已知数列 的前n项和为 ，且满足 . (1)求数列 的通项公式； (2)已知函数 ，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入等式得到，然后利用累乘法求出，进而得到数列的通项公式. （2）先求出的表达式，然后求导，利用裂项相消法求出结果即可. 【详解】（1）因为，， 所以当时，，化简得， 所以，利用累乘法，， 将代入得. 所以当时，. 当时，符合上式，所以数列的通项公式为. （2）因为，求导得 . 所以 考点02 同除法及取倒数法 ①形如整式，两边同时除以 ②形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） ③形如,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 【典例2】（25-26高三上·江西景德镇·期末）设是数列的前项和，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，根据等差数列通项公式可得，由与的关系计算可得. 【详解】， ，即，而 是以2为首项，公差为2的等差数列， ，则， . 故选：C 【跟踪训练】1．（25-26高三上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题中所给的递推关系，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求得其通项公式，代入，解方程即可. 【详解】由题意知，，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 2．已知数列满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选.易知，将 两边同时取倒数，得，即，又，故数列 是首项为2，公差为1的等差数列，则，，故. 3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知式化简得出，即可根据构造法求出数列通项，再代入数值求解即可. 【详解】， ， 即， 两边同时除以得：， 即， 令，则， 则是首项为，公差为的等差数列， 则，即， 则，则. 故选：D 4．（2022·河南许昌·二模）设数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，分别求出，，的值即可. 【详解】∵，, ∴，解得， ∴，解得， ∴，解得， 故选：. 5．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，根据等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列为首项，公差为3的等差数列， 所以，所以. 故选：D 6．（2026高三·全国·专题练习）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，构造等比数列求出的通项公式，再分、、三种情况讨论数列，结合给出判断. 【详解】因为，，所以， 设，则，所以 若，则，则，与矛盾，所以， 故， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故， 若，则， 则数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故，所以数列为递减数列， 解不等式，得，可得， 因为，所以当，且时，， 当，且时，，与条件矛盾， 且若时有无意义， 所以的取值范围是， 故选：A. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，设的前n项和为，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】变形给定等式，利用构造法及等比数列通项公式求得，然后利用等比数列求和公式求得，进而求解即可. 【详解】由，得，即， 因此， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，所以的前n项和为， 所以. 故选：C 8．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式，利用构造法求出通项公式，再由递增数列建立不等式求出范围. 【详解】由数列为递增数列，，得，由， 得，即，因此， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 整理得，而， 则，整理得， 因此，解得，所以的取值范围是. 故选：C 9．数列满足，，则数列的前2020项的和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 ，两边取倒数得，从而由累加法可得，然后由裂项相消法可得答案. 【详解】根据题意，对两边取倒数得： ，则 ， 又,则 ， 当时也适合， 即， 则， 所以. 故选：D． 考点03 已知或题型 ①用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. ②若等式中为与或与，则替换题目中的 【典例3】（2026·广西·模拟预测）（多选）记为正项数列的前n项和，且，则（   ） A． B．是等差数列 C．是递增数列 D．是递增数列 【答案】ACD 【分析】根据与的递推公式进行化简，对各个选项逐一检验即可求解. 【详解】对于A, 注意到, , , , 由得, 故A正确; 对于B, 实际上, , , , 显然, 故B错误; 对于C, 由,与两式相减得， 即, 因为为正项数列，所以且, 可得, 即, 故C正确, 对于D, 注意到, 可得是递增数列, 故D正确. 故选：ACD. 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）已知各项均不为零的数列，其前项和是，若，则（   ） A．不可能是等差数列 B．可能是等比数列 C．不可能是递减数列 D．可能是周期数列 【答案】C 【分析】利用题目条件推出数列前项和与通项的关系，结合选项逐一判断. 【详解】已知，时，两式作差得：， 因，两边除以得：，且时，，得， 同时可知：奇数项是公差为的递增数列，偶数项也是公差为的递增数列， 选项A：若是等差数列，由得，结合得， 即，验证得，满足条件，因此可以是等差数列，A错误； 选项B：若是等比数列，公比为，则要求对所有恒成立， 左边随变化，不可能恒等于常数，矛盾，不存在这样的等比数列，B错误； 选项C：递减数列要求对任意，，由前面推导： 若，则，即，不满足递减； 若，直接得，不满足递减；且奇数项、偶数项本身都是递增的， 因此不可能是递减数列，C正确， 选项D：数列的奇数项和偶数项都是单调递增数列，故数列不是周期数列，D错误. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）设数列的前项和为，若对于任意的正整数，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据与的关系，求得，，再根据等比数列的定义及通项公式即可分别判断各个选项． 【详解】对于A，由，则当时，，故A正确； 对于B，，则， 两式相减有：， 即，故B正确； 对于C，由递推关系可得， ，故C错误； 对于D，， 且， 所以数列是以6为首项，以2为公比的等比数列， 则，故D正确． 3．（25-26高三下·河北唐山·阶段检测）（多选）已知是数列的前项和，，则（    ） A． B．当时， C．当时，为等差数列 D．当数列单调递增时，的取值范围是 【答案】BD 【分析】对于A，由，多写一项，两式相减得到，注意检验时是否成立即可； 对于B，先根据题意求得，从而得到奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列得前项和公式即可求解； 对于C，结合B选项求得，，得到数列为，进而判断即可； 对于D，先结合选项C求得，，再根据数列单调递增，则必有，且，求解即可得出的取值范围． 【详解】对于A，因为，当，， 两式相减得， 但当时，，即，得，不符合，故A错误； 对于B，结合A选项有，所以， 两式相减得， 又， 令，则，，得，又，所以， 令，则，，得，所以， 则，所以， 所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列， 则 ，所以B正确； 对于C，结合B选项有，，， 又， 则， ， 即数列的偶数项和奇数项都是等差数列，但数列为， 所以数列不是等差数列，故C错误； 对于D，结合选项C有，， 又数列单调递增，则必有，且， 所以，且，解得， 所以的取值范围是，所以D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：数列单调性问题或不等式问题，要充分挖掘题干条件，通常由递推公式求通项公式，或研究出数列的性质，结合等差数列或等比数列的性质进行求解． 4．（25-26高二下·广东佛山·期末）（多选）记数列的前n项和，已知（且），则（   ） A． B．是等比数列 C．是递增数列 D．若，则 【答案】BC 【分析】AB选项，根据与的关系式得到的通项公式，并得到A错误，B正确；C选项，分和两种情况，作商得到C正确；D选项，解不等式可得 【详解】A选项，，， 故，A错误； B选项，且，当时，， 当时，， 显然时，满足，综上，时，， ，为公比为的等比数列，B正确； C选项，由B知，， 若，则，由，故，是递增数列； 若，则，由，故，是递增数列； 综上，是递增数列，C正确； D选项，若，则，即，， 且，解得，D错误. 5．（25-26高二下·浙江杭州·期末）（多选）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A令可得；B利用化简得出数列是等差数列；C利用等差数列求出，再结合函数的单调性判断；D举反例. 【详解】令，则，得（舍负），故A正确； 因为，所以，得， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，故，故B正确； 易得，则，则， 因为符合上式，故， 因为在上单调递减， 所以，故C正确； 因为，所以，故D错误. 6．（2026·云南·模拟预测）（多选）已知数列的前项和，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】由，可判定A正确；根据与的关系式，求得，结合等差数列的定义，可判定B正确；由得到，当时，，求得的最小值为，可判定C错误；由选项C的分析，结合等差数列的求和公式，可判定D正确. 【详解】对于A，因为数列的前项和， 当时，可得，所以A正确； 对于B，当时，， 其中，适合上式，所以数列的通项公式为， 又因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以B正确； 对于C，由，令，即，解得， 所以数列满足：，，当且时，， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，由选项C的分析知：，，当且时，， 可得，所以D正确. 7．（2026·山东青岛·一模）（多选）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由和的关系求出数列为等比数列，所以选项A错误，选项B正确；利用，求出，故选项C错误，由，应用等差数列求和公式计算选项D正确. 【详解】由题意，当时，，解得. 当时，， 所以，即， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，，故选项A错误，选项B正确； 所以，故选项C错误； ， 故选项D正确. 8．（25-26高三上·广东汕尾·阶段检测）（多选）数列满足，则下列结论中正确的有（   ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，令即可求得；B、C选项，根据即可求得；D选项，先求出时的通项公式，再代入已知条件即可验证. 【详解】由，当时，，解得，故A正确； 当时，可得，所以， 所以，即，而， 故C正确，B不正确； 因为且，所以对有， 代入得，故D正确． 故选：ACD. 9．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知数列的前项和为，且，， (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为①，所以，解得， 对任意的，②， 得，即， 则,即，因为， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）利用与的关系推得数列递推式，即可证明是等比数列； （2）先利用对数运算求出，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）分析可得，即． 因为， 所以． 考点04 加减常数构造或加减构造 ①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 【典例4】（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则__________. 【答案】 【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列的通项公式. 【详解】由，得. 由，得，则， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 故答案为：. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 2．（25-26高三上·湖北十堰·期末）数列中，，，前项和为，则下面正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D． 【答案】C 【分析】利用递推公式求出的值，可判断A选项；分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，可判断C选项；利用数列的单调性可判断B选项；利用分组求和法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可得，解得，A错； 对于C选项，由可得，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以，C对； 对于B选项，对任意的，，所以数列单调递增，故无最大值，B错； 对于D选项， ，D错. 故选：C. 3．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先判断出是等比数列，然后可求的通项公式. 【详解】因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 故选：D. 4．（2026·广东汕头·三模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数列递推公式推出数列是等差数列，求出数列的通项，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以， 所以． 5．（2024·河南·模拟预测）已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B 6．（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件推得数列是首项为，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式可得，再由数列的单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【详解】因为， 所以， 由于，即， 可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则，因为数列是递增数列，可得， 即对任意的正整数都成立． 当为偶数时，恒成立，由于数列单调递减， 可得，则； 当为奇数时，恒成立，由于数列单调递增， 可得，则； 综上可得的取值范围是． 故选：B ． 7．（专项练—数列2）已知递增数列的首项，其前项和为，且满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，，由与关系可得，据此可得，然后由可得答案. 【详解】由已知，，得， 当时，有. 两式相减可得：，即， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 即，因为， 所以 . 当为奇数时，可得； 当为偶数时，可得； 综上可得. 故选：C． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，且，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【详解】由，两边同除以，可得，即， 因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 即数列的通项公式为． 9．（2025高三·全国·专题练习）（1）设数列满足，且，则数列的通项公式为______． （2）已知数列的前项和为，且，则______． 【答案】 【分析】（1）利用构造法求出数列通项； （2）由变形给定等式，再利用构造法求出数列通项. 【详解】（1）由，得，而，则， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，， 所以. （2）数列中，，当时，，解得. 当时，，两式相减得，即， 整理得，则数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，所以． 故答案为： ； 10．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题干构造出是以为首项，为公比的等比数列，进而求出数列{}的通项公式； （2）由（1）可知数列{}的通项公式为等差乘等比，利用错位相减求出前n项和即可. 【详解】（1）由于，则， 化简得， 又，则是以为首项，为公比的等比数列， 得，所以． （2）由(1)得，，则，则 ，① ，② ①②，得 化简后得 ． 11．在下列条件下，求数列的通项公式： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求； (4)若，，求； (5)若，，求； (6)若，，求； (7)若，，求； (8)若，，求； (9)若，，求； (10)若，，求； (11)若，，求； (12)若，，求； (13)若，，求； (14)若，，求； (15)若，，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) 【分析】根据已知条件应用累加法计算或构造等差数列或构造等比数列求解通项公式. 【详解】（1）型． 递推累加，等差数列求和： ； ； ； ． 上述个式子累加得，即． （2）型． 递推累加，等比数列求和： ； ； ； ． 上述个式子累加得，即． （3）型． 同除转化为等差数列：，令，则，转化为等差数列． 本小题中，同除转化为等差数列， 由得， 令，则，， 得，即，． （4）型． 直接待定系数：． 本小题中，， 令， 则，， 得，即，即． （5）型． 直接待定系数：， 其中，． 本小题中，由，得， 令，则，， 得，即， 故． 直接待定系数时必须是完整的关于的一次函数． （6）型． 直接待定系数：， 其中，，． 本小题中，由， 得， 同（5）方法可得． （7）型． 先待定系数配制掉多项式部分，再同除转化为等差数列． ， ，令，则，转化为等差数列． 本小题中，由， 得， 同除得， 同（3）方法可得， 故． （8）型． 先同除转化为等差数列，再待定系数转化为等比数列． ， 令，则， ， 再令，则．以下步骤略． 本小题中，由得， ， 可得， 故． 变式： ． 本小题中，， ， 故． （9）先同除转化为（1）类求解． 由得， 再令，得．最终得． （10）型． 先待定系数转化为（8）类求解： ， ， 令，则， ． 或直接待定系数转化为等比数列： ． 本小题中，直接待定系数得， 得， 故． （11）先待定系数转化为（9）类求解． 由题意得， 令，则．最终得． （12）型． 直接待定系数求解： ． 本小题中，， 最终得． （13）， ， 最终得． （14）由得， ， 最终得． （15）由得， ， 最终得． 考点05 隔项等差（比）数列 ①形如可推出，即奇数项构成以为首项的等差数列，公差为；偶数项构成以为首项的等差数列，公差为； ②形如，，可推出，即奇数项构成以为首项的等比数列，公比为；偶数项构成以为首项的等比数列，公比为 【典例5】（25-26高三上·河北石家庄·期末）已知数列的前n项和为，，且则（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【答案】B 【分析】利用等比数列的定义可推得数列的奇数项与偶数项分别构成等比数列，再利用分组求和法求得，代入所求式计算得解. 【详解】对于令，有，则. 因，则数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列， 故， 可得. 故选：B. 【跟踪训练】1．（25-26高三上·西藏日喀则·期末）已知数列，若，，则（    ） A．2020 B．2018 C．2019 D．2021 【答案】B 【分析】根据数列的递推公式可得数列是以2为首项，以-1为公比的等比数列，即可求解． 【详解】由，可得， 因为， 所以数列是以2为首项，以-1为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， 故选：B． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，且对任意，都有，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】应用已知结合赋值法计算求解. 【详解】由题意，. 令，得， 所以， 即. 令，得， 所以. 令，得， 所以. 令，得. 所以. 令，得. 所以. 令，得， 所以. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】应用递推公式逐个计算求解. 【详解】由， 依次计算： 令得，即； 令得，即； 令得，即； 令得，即； 令得，所以． 4．（24-25高三上·广东·期末）首项为1的数列满足，则（   ） A．2 B．5 C．21 D．26 【答案】D 【分析】利用递推关系式逐个求解可得答案. 【详解】由题意可得，，， 故选：D. 5．（25-26高三下·河南·期中）在数列中，，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【详解】法一：由，得.由，得.由，得. 依此类推，. 法二：当时，，又，得. 当时，由， 得，所以， 当时，有， 所以是以为首项，2为公差的等差数列，， 所以. 6．（25-26高三上·江苏盐城·期末）已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（   ） A．63 B．127 C．255 D．256 【答案】C 【分析】由题意可得数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由得， 又，易得， 两边同时取以为底的对数得， 即， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. 故选：C. 7．（2025·全国·模拟预测）在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件先分析出为周期数列，然后根据周期性以及对数运算性质求解出待求式子的值. 【详解】因为，所以，所以，所以是周期为的周期数列， 所以， 又因为，所以， 所以原式， 故选：B. 8．（2026·安徽六安·模拟预测）(多选)已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分析数列中项的规律：奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，通过等差、等比数列的通项公式及分组求和法、等差等比公式求和法可逐一判断. 【详解】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，，所以是数列的第3项，是数列的第3项， 所以，，所以，故A正确. 对于C，当，时，，，所以； 当，时，，，所以； 综上，，故C正确. 对于B， ，故B错误. 对于D， ，，故D正确. 9．（专题09数列（下）-综合应用（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）若数列满足：，且，则的末两位数字是_____． 【答案】65 【分析】利用已知等式得出．然后归纳出对任意正整数，从而结合已知求出后可得结论. 【详解】因为， 所以． 因此， ， ………… 一般地，对任意正整数． 所以 所以的末两位数字是65． 故答案为：65. 10．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1） 将已知等式化为相邻项差的关系，两边除以乘积得到倒数差为常数，从而求出通项； （2）将通项代入后再裂项相消求和，之后放缩即得不等式. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以，由题意知，所以， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，故， 即，又因为时，，满足该式，所以. （2）因为， 所以 ， 因为，所以，所以 考点06 递推公式或题型 1.要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． 2.当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为累加法，求出之后得． 【典例6】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，若数列满足，则数列是（    ） A．单调递增数列 B．单调递减数列 C．常数列 D．等比数列 【答案】A 【分析】利用项与和的关系求解.分别按照和讨论求解，当时，解得，两边同除以，得到，从而得到是等差数列，利用等差数列的通项公式得到，由求出，借助一次函数和对数函数的图形得到数列的单调性. 【详解】，当时，；当时， 两式相减得 两边同除以：，所以数列是首项为，公差为的等差数列 所以 所以是单调递增数列； 故选:A. 【跟踪训练】1．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【详解】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 2．（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件推得数列是首项为，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式可得，再由数列的单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【详解】因为， 所以， 由于，即， 可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则，因为数列是递增数列，可得， 即对任意的正整数都成立． 当为偶数时，恒成立，由于数列单调递减， 可得，则； 当为奇数时，恒成立，由于数列单调递增， 可得，则； 综上可得的取值范围是． 故选：B ． 3．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知单调递增数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得到、，讨论、时判断数列性质，即可得. 【详解】由于，即，整理得， 当时，单调递增，符合； 当时，则是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 当时，则，，不符， 当时，则，不符， 当时，则，，不符， 故选：A. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的首项，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理构造等比数列，得到的通项公式，然后利用递增性，得到关于的不等式，通过讨论奇偶求出最值，限定的范围. 【详解】因为，整理得， 由于，可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则. 因为数列是递增数列，所以， 即对任意的正整数都成立. 当为偶数时，恒成立，所以， 由单调递减，可得，则； 当为奇数时，恒成立，所以， 由单调递增，可得， 则，则的取值范围是. 5．（25-26高三下·江西萍乡·期末）已知正项数列中，，则数列的通项（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：给已知等式两边同除以，令则可得，从而得数列是等比数列，求出，进而可求出；解法二：设，化简后与已知等式比较可得，从而可得数列是首项为，公比为2的等比数列，进而可求出. 【详解】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①， 令，则①式变为，即， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为， 所以，即， 所以， 所以， 解法二：设，则， 与比较可得， 所以， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故选：D 6．（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 【答案】A 【分析】结合题意得到数列的通项公式，最后求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，得． 7．（25-26高三下·河南南阳·阶段检测）设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后还原得到原数列通项． 【详解】因为，两边同时除以，得． 令，则，两边同时加上，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 8．（25-26高三下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 考点07 对数变换法：形如型的递推式 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 【典例7】（25-26高三上·江苏淮安·期中）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（ 　　） A．24 B．27 C．36 D．40 【答案】B 【分析】依题意得，得，再由对数运算性质求解即可. 【详解】数列是正项等比数列，， 由，得，得， . 故选：B. 【跟踪训练】1．（25-26高三上·浙江湖州·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A．1002 B．1023 C．1024 D．1005 【答案】B 【分析】根据规律得到，，，，，由等比数列求和公式和对数运算法则计算出答案. 【详解】因为，，故，， 依次可得，，，，，， 故 故选：B 2．（2025·河南·一模）数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用等差、等比数列的通项公式及已知列方程求基本量，进而得到，，再由题设条件得求参数，即可得. 【详解】由题意得，解得，， 所以，， 由，即对任意的正整数n都成立， 所以，解得，，所以. 故选：C 3．（24-25高三下·云南昆明·阶段检测）已知数列的通项公式为，则使的前项和成立的的（    ）（参考数据：） A．最小值为7 B．最大值为7 C．最小值为8 D．最大值为8 【答案】C 【分析】根据数列的通项公式求出其前项和的表达式，再根据这个条件解不等式，从而确定的取值范围，进而得出的最小值. 【详解】， 故， 令，解得，， 解得，的最小值为8. 故选：C 4．（安徽省马鞍山市2025届高三第二次教学质量监测数学试题）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由递推公式逐个求得，再由对数运算即可求解. 【详解】，由， 可得：， ， ， 所以， 故选：C 5．（2024·北京顺义·二模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（    ） A．511 B．61 C．41 D．9 【答案】B 【分析】利用对数运算法则可求得，即可知数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由分组求和可得结果. 【详解】由可得， 即，所以，两式相除可得； 即， 由可得，因此数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列， 偶数项是以为首项，公比为2的等比数列， 所以 . 故选：B 6．（25-26高三上·重庆·阶段检测）在数列中，，，，则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】由题意可以求出数列的周期为6，所以原式可化为，分别求出与，代入即可. 【详解】因为，，所以，所以， 所以是周期为6的周期数列， 因为， 所以， 又因为，所以，， 所以. 故选：B 7．（2025·广东·模拟预测）设数列满足，若，则数列的前8项和为（   ） A．255 B．256 C．511 D．510 【答案】A 【分析】整理可得，分析可知数列是以为首项，2为公比的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】因为，则，可得， 等号两边取对数可得， 故数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以的前8项和为． 故选：A． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练02 累加、累乘、构造、递推法求数列通项公式7大考点 考点预览 目录 考点01 累加法、累乘法 1 考点02 同除法及取倒数法 4 考点03 已知或题型 5 考点04 加减常数构造或加减构造 7 考点05 隔项等差（比）数列 10 考点06 递推公式或题型 11 考点07 对数变换法：形如型的递推式 13 考点通关 考点01 累加法、累乘法 ①累加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 ②累乘法：适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 【典例1】（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【跟踪训练】1．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 2．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）设数列的前项和为，，且，则的最小值为（   ） A． B．14 C．9 D．8 4．（2025高二·全国·专题练习）(多选)记数列的前n项和为，且满足，．则（    ） A． B．是递增数列 C． D． 5．（2025·山西临汾·二模）(多选)已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．是单调递增数列 C．若为数列的前项和，则 D．若对任意，都有，则 6．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的前项的和为________. 7．（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 8．（2026·吉林长春·一模）已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为2，且，求数列的前项和. 9．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 10．（25-26高三上·河北承德·期中）已知数列 的前n项和为 ，且满足 . (1)求数列 的通项公式； (2)已知函数 ，求. 考点02 同除法及取倒数法 ①形如整式，两边同时除以 ②形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） ③形如,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 【典例2】（25-26高三上·江西景德镇·期末）设是数列的前项和，且，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，则（  ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·河南许昌·二模）设数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，设的前n项和为，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 8．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．数列满足，，则数列的前2020项的和等于（    ） A． B． C． D． 考点03 已知或题型 ①用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. ②若等式中为与或与，则替换题目中的 【典例3】（2026·广西·模拟预测）（多选）记为正项数列的前n项和，且，则（   ） A． B．是等差数列 C．是递增数列 D．是递增数列 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）已知各项均不为零的数列，其前项和是，若，则（   ） A．不可能是等差数列 B．可能是等比数列 C．不可能是递减数列 D．可能是周期数列 2．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）设数列的前项和为，若对于任意的正整数，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·河北唐山·阶段检测）（多选）已知是数列的前项和，，则（    ） A． B．当时， C．当时，为等差数列 D．当数列单调递增时，的取值范围是 4．（25-26高二下·广东佛山·期末）（多选）记数列的前n项和，已知（且），则（   ） A． B．是等比数列 C．是递增数列 D．若，则 5．（25-26高二下·浙江杭州·期末）（多选）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·云南·模拟预测）（多选）已知数列的前项和，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．的最小值为 D． 7．（2026·山东青岛·一模）（多选）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·广东汕尾·阶段检测）（多选）数列满足，则下列结论中正确的有（   ） A． B．是等比数列 C． D． 9．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知数列的前项和为，且，， (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 考点04 加减常数构造或加减构造 ①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 【典例4】（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则__________. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖北十堰·期末）数列中，，，前项和为，则下面正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D． 3．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东汕头·三模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河南·模拟预测）已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（专项练—数列2）已知递增数列的首项，其前项和为，且满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，且，则数列的通项公式为__________． 9．（2025高三·全国·专题练习）（1）设数列满足，且，则数列的通项公式为______． （2）已知数列的前项和为，且，则______． 10．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 11．在下列条件下，求数列的通项公式： (1)若，，求；(2)若，，求； (3)若，，求；(4)若，，求； (5)若，，求；(6)若，，求； (7)若，，求；(8)若，，求； (9)若，，求；(10)若，，求； (11)若，，求；(12)若，，求； (13)若，，求；(14)若，，求； (15)若，，求． 考点05 隔项等差（比）数列 ①形如可推出，即奇数项构成以为首项的等差数列，公差为；偶数项构成以为首项的等差数列，公差为； ②形如，，可推出，即奇数项构成以为首项的等比数列，公比为；偶数项构成以为首项的等比数列，公比为 【典例5】（25-26高三上·河北石家庄·期末）已知数列的前n项和为，，且则（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【跟踪训练】1．（25-26高三上·西藏日喀则·期末）已知数列，若，，则（    ） A．2020 B．2018 C．2019 D．2021 2．（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，且对任意，都有，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 4．（24-25高三上·广东·期末）首项为1的数列满足，则（   ） A．2 B．5 C．21 D．26 5．（25-26高三下·河南·期中）在数列中，，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．（25-26高三上·江苏盐城·期末）已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（   ） A．63 B．127 C．255 D．256 7．（2025·全国·模拟预测）在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽六安·模拟预测）(多选)已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（专题09数列（下）-综合应用（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）若数列满足：，且，则的末两位数字是_____． 10．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 考点06 递推公式或题型 1.要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． 2.当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为累加法，求出之后得． 【典例6】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，若数列满足，则数列是（    ） A．单调递增数列 B．单调递减数列 C．常数列 D．等比数列 【跟踪训练】1．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知单调递增数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的首项，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·江西萍乡·期末）已知正项数列中，，则数列的通项（　　） A． B． C． D． 6．（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 7．（25-26高三下·河南南阳·阶段检测）设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 考点07 对数变换法：形如型的递推式 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 【典例7】（25-26高三上·江苏淮安·期中）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（ 　　） A．24 B．27 C．36 D．40 【跟踪训练】1．（25-26高三上·浙江湖州·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A．1002 B．1023 C．1024 D．1005 2．（2025·河南·一模）数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·云南昆明·阶段检测）已知数列的通项公式为，则使的前项和成立的的（    ）（参考数据：） A．最小值为7 B．最大值为7 C．最小值为8 D．最大值为8 4．（安徽省马鞍山市2025届高三第二次教学质量监测数学试题）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京顺义·二模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（    ） A．511 B．61 C．41 D．9 6．（25-26高三上·重庆·阶段检测）在数列中，，，，则（    ） A． B．1 C． D．4 7．（2025·广东·模拟预测）设数列满足，若，则数列的前8项和为（   ） A．255 B．256 C．511 D．510 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $