专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题10 数列求和（插入新数列混合求和） (典型题型归类训练) 目录 一、典型题型 1 题型一：插入新数列构成等差 1 题型二：插入新数列构成等比 7 题型三：插入新数混合 12 二、数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 20 一、典型题型 题型一：插入新数列构成等差 【典例1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知在数列和中，，且对任意，点和点均在直线上． (1)证明：数列是等比数列，并求出； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为． ①求； ②记，则在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）构成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)略 (2) ① ②略 【分析】（1）利用“点在直线上”建立等量关系，联立关系式，得到递推式，即可证明是等比数列，进而利用等比数列的通项公式即可得出的通项公式； （2）①结合（1）及等差数列的定义，求得公差的表达式，即得的通项公式，进而利用错位相减法求和可得答案； ②结合①得，利用反证法，结合等差数列，等比数列的性质得到矛盾，进而即可判断． 【详解】（1）因为点和在直线上， 所以，，即， 因为，所以，即， 又，且，即，解得， 由，得， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以． （2）①在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则， 结合（1）有，则，解得，则， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 则①－②得 ， 又， 则，则， 所以数列前项的和为． ②不存在，证明如下： 结合①得， 假设存在不同的项，，（其中，，成等差数列）构成等比数列， 由，，成等差数列，即，且，，互不相同， 又，，构成等比数列，则， 即， 即， 则， 设，，，则， 又，，互不相同，则，，也互不相同， 又，则，即， 联立，整理得，解得，即，矛盾， 所以不存在不同的项，，构成等比数列． 【典例2】（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）在等比数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为（）的等差数列，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)或． (2)略 【分析】（1）根据题意，求出公比和首项，代入等比数列通项公式即可. （2）根据题意，求出，再根据错位相减的方法求出，进而证明. 【详解】（1）设的公比为，由，得，因为，所以， 因为，所以或， 故或． （2）证明：因为，所以，所以， 由题意得，则， ，① ，② 得， 得． 因为，所以． 【变式1】（25-26高二下·广东江门·阶段检测）设数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式． (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）利用及与的递推关系，正确得出； （2）由插入个数后形成等差数列，正确求出公差，假设存在满足条件的三项，结合成等差数列（公差非零）及等比条件，推导得到即，与公差不为零矛盾. 【详解】（1）已知，当时，，解得； 当时，， 两式相减得：，整理得， 因此是首项为、公比为的等比数列，通项公式为：. （2）不存在，理由如下： 由题意可知，和插入个数后，共个数成等差数列，是第1项，是第项， 因此，代入，得，故， 假设存在三项满足条件：成公差不为的等差数列，且成等比数列， 则， 将代入等比条件：， 约去，由得，因此， 整理得：, 将代入上式得：， 即，与公差不为零矛盾，故不存在这样的三项. 【变式2】（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系写出，再两式作差即可求得答案； （2）根据等差数列的通项公式得公差，再结合错位相减法求解的前项和即可. 【详解】（1）解：因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． （2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② ①－②得：， 所以． 【变式3】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）在递增数列中，，． (1)证明：是等差数列． (2)若，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，，（其中，）成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)略 (2) (3)存在，或11 【分析】（1）将原等式进行展开化简，得到是首项为4，公差为1的等差数列． （2）先求出的通项公式，然后代入中进行化简，最后累加求和即可. （3）先求出的通项公式，然后根据等比数列的性质进行验证即可. 【详解】（1）证明：由， 得，得或． 因为是递增数列，所以． 故是首项为4，公差为1的等差数列． （2）由（1）可得． ， 所以． （3）． 假设存在不同的三项，，成等比数列，则，得， 得．因为，所以． 易得m，p是方程的两个不等实根，由，得． 因为m，p，k均为正整数，且，所以是完全平方数，且为不小于9的正奇数． 当，即时，，，不符合题意． 当，即时，，，符合题意． 当，即时，，，符合题意． 当，即时，，不符合题意． 故或11． 题型二：插入新数列构成等比 【典例1】（25-26高二上·湖北·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前项和. (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)略 【分析】（1）根据的关系即可作差求解， （2）根据错位相减法，结合等比数列的求和即可得解， （3）根据等差数列的性质可得，即可根据等差中项以及等比中项的性质得矛盾求解. 【详解】（1）由，得， 两式相减，得. 数列是等比数列， 又时，代入可得， ， （2）因为， 所以，①， 则②， ①-②得 ， 因此， （3）不存在，理由如下： 由题意得，即，故， 假设在数列中存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则， 即， ① 、、成等差数列，，则①式可化为，故. 这与题设矛盾，在数列中不存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列 【典例2】（25-26高三下·广东广州·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由，得，两式推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，假设存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，可得出，整理得出，联立可得出结论. 【详解】（1）当时，由①，得②. 由①②得，，即. 当时，，解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以. （2）不存在，理由为： 依题意得，即，解得. 假设存在项、、成等比数列（其中），则， 即，整理得. 联立，解得，这与已知条件矛盾. 所以不存项、、（其中、、成等差数列）成等比数列. 【变式1】（2026吉林通化·模拟预测）为数列的前项和，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用项与和的关系即可求解； （2）先确定数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，再利用分组求和的方法即可求解. 【详解】（1）当时，，解得（舍去）， 由得时，， 两式相减得， 因为，所以， 所以是等差数列，首项为4，公差为3， 所以； （2）由于， 因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项， 所求和为. 【变式2】在①，②，，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答. 问题：已知数列的前项和为，且满足___________. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】(1) (2)不存在，理由略. 【分析】（1）利用与的关系即可得出中后一项与前一项的关系； （2）假设存在，得出、、的关系，即可判断是否符合题意. 【详解】（1）解：如选①： 由于，当时，有， 两式作差得， 即，即， 又时，有，所以，所以， 所以，即数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 如选②： 由于，当时，有， 两式作差得， 又时，有且，所以，有， 所以，且， 所以，即数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 如选③： 由于，当时，有， 两式作差得，即， 又时，有且，所以，有， 所以，且， 所以，即数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. （2）不存在，理由如下： 由（1）可知，.因为， 所以. 假设在数列中存在三项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列， 则，即， 化简得（*）， 因为m，k，p成等差数列，所以， 从而（*）可以化简为. 联立可得，这与题设矛盾. 所以在数列中不存在三项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 【变式3】在数1和100之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1），.（2） 【分析】（1）设,,…,构成递增的等比数列,其中,,由等比数列的性质可得,则,进而求解即可； （2）由（1）, 利用错位相减法求解即可 【详解】（1）设,,…,构成递增的等比数列,其中,, , 又, 得,则, 所以, （2）由（1）,, 故, , 上述两式相减,得 , 整理得 【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力 题型三：插入新数混合 【典例1】已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 【答案】(1)，. (2) (3)21216 【分析】（1）根据题意结合等差数列和等比数列的通项公式可求出和的通项公式； （2）由（1）得，分别利用错位相减法和裂项求和计算； （3）根据题意求得的前211项中有中的前203项和中的前8项，再分别求和. 【详解】（1）由得公差， 又因为， 得， 化简得，解得， 所以. 由，，成等差数列，得 由是等比数列，设代入， 得，消去， 得，化简并解得， . （2）由（1）得， ， 第一部分为， 令， ， 两式相减： ， ， ， 第二部分利用裂项求和： ， 合并：； （3）由题可知新数列中，前有项， 令，得前有项， 令，得前有项， 恰好位于与之间，所以前项中包含的前八项， 剩下的全是中的项，，即的前项， . 【典例2】已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1) 由，则，又， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， (2) (3) 【分析】（1）应用等差数列定义证明，再应用等差数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法计算求解； （3）应用等差数列计算求和再应用分组求和计算求解. 【详解】（1）则， 所以． （2）由， 则， 所以， 所以． （3）数列中在之前共有项，所以， 当时，，当时，，所以 ． 【变式1】已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设公差和公比，根据条件列出方程组求解，再根据等差、等比数列的通项公式求出； （2）求出，再利用错位相减求出奇数项的和，利用裂项相消求出偶数项的和； （3）依据规律找出的项数和的个数即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，则，故， 所以， 则，由，则， 又由是与的等差中项，所以，则，即， 解得或（舍去）， 故； （2）由（1）可得，， ， 令， ， 两式相减得，， ， 则， 因， 则 则； （3）根据题意可得，， 之前共有个， 与之间共有个， 所以共有7项，共有个2， 则. 【变式2】已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 【答案】(1) (2) (3)12182 【分析】（1）构造数列为等比数列，通过等比数列通项公式即可求的通项公式； （2）易知是常数列，即可求的通项公式； （3）根据新数列的形成规则，判断其前100项中数列，分别有多少项，再分组求和可求. 【详解】（1）由可得，又， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. （2）方法一：由已知得，所以， 所以，又， 等式两边同时相乘，可得， 得，该式对也成立. 故. 方法二：由可知是常数列， 所以， 即. （3）设在的前100项中，来自的有项. 若第100项来自，则应有， 整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自，则应有，整理可得. 易知在时单调递增， 当时，，不满足题意，当时，，满足题意， 故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自， 所以. 【变式3】已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，从以下三个条件中任选一个作答， ①；②；③；已知______，求； (3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)数列和的通项公式分别为， (2)选①，；选②，；选③ (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再借助等差数列前项和公式求出公比，进而求出通项公式. （2）选①利用错位相减法可求；选②，利用裂项相消法可求；选③，利用分组求和法可求； （3）根据给定条件，求出数列的前2025项中数列的项及1的个数，再分组求和即可. 【详解】（1）在等差数列中，，又，解得， 公差，则； 设等比数列的公比为，，由，得， 即，解得，所以， 所以数列和的通项公式分别为，. （2）选①，由（1）可得， 所以， 所以 所以， 两式相减得 所以； 选②， 则， 所以 所以； 选③， 则， . （3）依题意，数列：， 项为前的总项数为， 数列是递增的，当时，， 当时，， 因此数列的前项中，有数列的前项，有个， 所以. 二、数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 1．设数列是公差不为零的等差数列，满足，；数列的前n项和为，且满足． (1)求数列、的通项公式； (2)求值； (3)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；……；在和之间插入n个数，使，成等差数列． （ⅰ）求； （ⅱ）写出所有使成立的正整数对． 【答案】(1)，， (2) (3)（ⅰ）；（ⅱ）及 【分析】（1）由数列为等差数列，将条件等式中所有项用表示，解方程组即可求出，从而写出通项公式；对于数列，由已知等式，得，两式相减即可得到，从而得为公比为的等比数列，求出首项即可写出通项公式； （2）将变形为，通过裂项相消法求和即可； （3）（ⅰ）由题意先写出等差数列的通项公式，进而求出，再用错位相减法求出的值； （ⅱ）由得，由时，，不是整数，故只需取代入一一计算即可． 【详解】（1）设数列的公差为， 则由，得， ，， 将代入上式，得，， ． 由，① 故当时，，② ①-②，得， ， 又， 是首项为，公比为的等比数列， . （2）， ； （3）（ⅰ） 在和之间插入个数， 因为成等差数列，设公差为， ， 则， ， ，① 则，② ①-②，得， . （ⅱ）由题，， 当时，， 当时，， 当时，， 下证：当时，有，即证， 设，则， 在上单调递增， 故时，， ， 时，不是整数， 所有的正整数对为及. 【点睛】关键点点睛：第（3）问关键是求出通项求和，对于二元不定方程整数解问题通过分离参数，比较分子分母的大小关系来判断． 2．已知数列的前项和为满足，且，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件结合等差数列通项公式求数列的通项公式，再由与关系求，由取求，当时，用替换，两式相除可得结论； （2）由（1）可得，等式两边同乘，两式相减可得，再利用错位相减法求结论； （3）由（1）结合等差数列等比数列求和公式求，再求，结合等差数列求和公式化简不等式求结论. 【详解】（1）因为，所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 当时， 又满足关系， 故. 数列，当时，， 当时，. 所以，； （2）由题可知 ① ② ①-②得. ③ ④ ③-④得 ； （3）依题意，数列中之前的所有项中包括项中的项， 设其和为，则 数列中之前的所有项中包括项中的项，设其和为，则 于是 所以， 当时， 当时，因为， 所以 ， 于是，，因此， 所以，， 所以，又， 所以，，， 得成立的最大整数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于利用错位相减法先求出，然后再次利用错位相减法求结论. 3．已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由已知可得，然后求数列的通项公式即可； （2）由题意可得项数，然后结合等比数列的求和公式代入计算，即可求解． 【详解】（1）由，得， 两式相减得， 即，， 得等比数列的公比， 又当时，，所以，所以 （2）数列为：3，，，1，1，，，，， 以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数， 当时共有项数， 当时共有项数， 所以 . 4．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推式，写出前项和项的和，进而作差求通项公式即可； （2）根据等差数列性质求得，再应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和. 【详解】（1）因为①， 当时，②， ①②，得． 所以，当时，，满足上式， 所以的通项公式为． （2）由（1）知，得， 则③， ④， ③④得 ， 所以． 5．已知是公比大于0的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若，在与之间插入个，得到一个新数列. 是否存在正整数，使得数列的前项之和? 若存在，求出的值; 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设等比数列的公比为，则，根据题意可得出关于的方程，解出的值，即可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项相消法可求得； （3）对在新数列中的位置分析，求得在新数列中为第项，然后对分组求和，得, 赋值即可求得的值. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 整理可得，因为，解得，故. （2）因为， 所以， . （3）由题意可知，设在数列中的项为， 则由题意可知，， 所以当时，， 当时，，， 当时，，， 因为且， 所以当时，. 6．已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解； （2）根据条件及（1）中结果，得到，再利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）①， 当时，②， 由①②，得，即， 又当时，，满足，所以. （2）由（1）知，所以，则， 所以③， ④， 由③④得： ， 所以. 7．已知等比数列的公比，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和列方程求解即可； （2）求出和，结合等差数列的通项公式，即可求出. 【详解】（1）由 因为，解得或（舍去）， 所以，所以数列的通项公式为； （2）因为，，由题意得：， 即，所以． 8．已知是不相等的正数，在之间分别插入个正数和正数，使是等差数列，是等比数列． (1)若求的值； (2)若，如果存在使得，求的最小值及此时的值． 【答案】(1) (2)的最小值为4，此时为29 【分析】（1）根据等差数列的性质及等比数列的性质表示出，利用条件解方程即可得结果； （2）根据等差数列通项公式及等比数列通项公式分别求出，结合条件分情况讨论得出结果. 【详解】（1）， 又， 解得 （2）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，从而得． 因为，从而得， 因为，， 因为， 为有理数．要使（*）成立，则必须为有理数， ．若，则为无理数，不满足条件，同理，不满足条件． 当时，．要使为有理数，则必须为整数． 又所以仅有满足条件．所以， 从而得． 综上，的最小值为4，此时为29． 【点睛】结论点睛：等差数列常用结论：①等差数列通项公式；②若，则，③数列成等差数列. 9．已知数列为等差数列，，且数列是公比为2的等比数列，. (1)求，的通项公式； (2)若数列满足，将中的项按原有顺序依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件先求解出的公差，则的通项公式可求；将的通项公式求出，则的通项公式可知； （2）先分析前项的组成情况，然后采用分组求和求得结果. 【详解】（1）设的公差为，所以， 所以，所以， 又因为，所以. （2）将及其后中的两项看成一组，故需要组再加上第组的前两项， 所以 . 10．记数列的前项和为，已知，是公差为1的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设为数列落在区间，内的项数，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和的关系，相减法即可求得数列的通项公式； （2）由得，进而得到，则，再应用错位相减法即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以①，当时，②. 由①-②整理得. 当时，满足上式，所以数列的通项公式为. （2）由题意知，所以， 所以，故. 由题可知，得， 则③， ④， ③-④得， 所以. 11．为数列的前n项和，已知． (1)证明：； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入数列的前k项，使它们和原数列的项构成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前50项和． 【答案】(1)证明： 由得． 由，可知． 相减得，所以． 又，故，因此． (2)7429 【分析】（1）根据数列的前n项和进行求解即可； （2）根据题意，利用等比数列的前n项和公式和错位相减法解求解. 【详解】（1）略． （2）设数列的前项和为，则． 两边同乘以2得 ． 以上两式相减得 ． 设是新数列的第N项，则 ． 当时，，当时，． 故这个新数列的前50项中包含的前9项，以及列的前k（k＝1，2，3，…，8）项和前5项， 由（1）知，所以这个新数列的前50项和为 ． 12．已知数列满足，记，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列，若数列中的第项是数列中的第项. (1)求数列及的通项公式. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义即可得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式； （2）由（1）中的结论表示出，再结合错位相减法计算即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，因为， 所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以.所以.由题意知.所以，即， 又，则. 所以.又，则，则. （2） ，① ，② ①-②得， . 所以. 13．已知正项等差数列满足，且，，成等比数列． (1)求的通项公式及前项和； (2)保持中各项的先后顺序不变，在与之间插入个构成新数列，求数列的前24项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，则由已知可得且，解方程可求出，从而可求出通项公式及前项和， （2）假设第24项在与之间，则由可求出，从而可求出 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， ，且，，成等比数列， ∴且， 解得或（舍），，且． （2）由题意可知，新数列为，，，，，，，，，，…按照此规律， 假设第24项在与之间， 则，解得当时， 数列的前24项和 14．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)当或时，有最大值. 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解即可； （2）求出数列的前n项的乘积为，利用二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）由已知得，数列的首项， ， 设数列的公比为，即 ∴ 即， （2） ， 即当或5时，有最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 数列求和（插入新数列混合求和） (典型题型归类训练) 目录 一、典型题型 1 题型一：插入新数列构成等差 1 题型二：插入新数列构成等比 4 题型三：插入新数混合 6 二、数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 9 一、典型题型 题型一：插入新数列构成等差 【典例1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知在数列和中，，且对任意，点和点均在直线上． (1)证明：数列是等比数列，并求出； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为． ①求； ②记，则在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）构成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【典例2】（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）在等比数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为（）的等差数列，数列的前项和为，证明：． 【变式1】（25-26高二下·广东江门·阶段检测）设数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式． (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 【变式3】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）在递增数列中，，． (1)证明：是等差数列． (2)若，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，，（其中，）成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 题型二：插入新数列构成等比 【典例1】（25-26高二上·湖北·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前项和. (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【典例2】（25-26高三下·广东广州·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【变式1】（2026吉林通化·模拟预测）为数列的前项和，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和. 【变式2】在①，②，，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答. 问题：已知数列的前项和为，且满足___________. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【变式3】在数1和100之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 题型三：插入新数混合 【典例1】已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 【典例2】已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 【变式1】已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 【变式2】已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 【变式3】已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，从以下三个条件中任选一个作答， ①；②；③；已知______，求； (3) 若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求. 二、数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 1．设数列是公差不为零的等差数列，满足，；数列的前n项和为，且满足． (1)求数列、的通项公式； (2)求值； (3)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；……；在和之间插入n个数，使，成等差数列． （ⅰ）求； （ⅱ）写出所有使成立的正整数对． 2．已知数列的前项和为满足，且，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数） 3．已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 4．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 5．已知是公比大于0的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若，在与之间插入个，得到一个新数列. 是否存在正整数，使得数列的前项之和? 若存在，求出的值; 若不存在，说明理由. 6．已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和. 7．已知等比数列的公比，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值． 8．已知是不相等的正数，在之间分别插入个正数和正数，使是等差数列，是等比数列． (1)若求的值； (2)若，如果存在使得，求的最小值及此时的值． 9．已知数列为等差数列，，且数列是公比为2的等比数列，. (1)求，的通项公式； (2)若数列满足，将中的项按原有顺序依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和. 10．记数列的前项和为，已知，是公差为1的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设为数列落在区间，内的项数，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 11．为数列的前n项和，已知． (1)证明：； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入数列的前k项，使它们和原数列的项构成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前50项和． 12．已知数列满足，记，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列，若数列中的第项是数列中的第项. (1)求数列及的通项公式. (2)求数列的前项和. 13．已知正项等差数列满足，且，，成等比数列． (1)求的通项公式及前项和； (2)保持中各项的先后顺序不变，在与之间插入个构成新数列，求数列的前24项和． 14．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $