基本不等式专题训练试卷-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 精选近两年各地备考试题，聚焦基本不等式在代数、几何、三角等多领域应用，通过“一正二定三相等”解题步骤与代换、配凑等方法，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数定点、三角形中线、双曲线、正方体表面最值|结合几何解释（如定和求积线段中点模型），空间问题平面化（如翻折法求最小值）| |填空题|8/40|正实数条件下的代数式最值（含1代换、分步配凑）|注重等价代换（如换元法转化变量关系），拆项配凑强化运算能力| |解答题|6/70|多元变量最值、不等式证明（含强基与数竞题）|分层设计，从基础配凑（如x+y=1条件下最值）到创新应用（如天津数竞不等式证明），培养逻辑推理与创新意识|

基本不等式专题训练试卷 湖北武汉江湖美 解题须知 1n个正数的算术平均不小于其几何平均. 用代数式表示： +4,++a≥aa,…a, n 当且仅当4=4，…=时取等。 特别当n=2时，有： +b之√ab当且仅当a=b时取等. 2.定和求积与定积求和.（以2元形式为例，余类推）： 咖采为0为夹雅么0三2生-行 () 4·这叫定和求积 这个结论的几何解释：如图.一条线段AB=n.动点P分AB为ab两段， 当且仅当点P位于AB中点时，(1)中等式成立. 6 ②如果ab=m为定值，那么a+b≥2Vm. 当且仅当a=b时，(a+b)m=2Vm这叫定积求和， 这个结论的几何解释：如图，平面上有A,B,P三，点，其中AB=m, PA=2PB=b,则必有a+b≥m (2) 当且仅 当点P在线段 AB上时， (②)中等式成立. b B 3解题三步骤： (1)审查题目所给的变量是否为正数； (2)考察题设中的条件是否为定和或定积； (③)解题完毕还需考察是否存在“取等”的条件. 以上3点，归纳为一句话是：一正二定三相等 4常用解题方法代换法；配凑法；转移法，换元法，构造法等 (试卷解答中均有详述) 专题训练试卷（共22题，全卷150分） (说明，本卷主要从近两年各地备考试卷中精选，含基本不等式在代数，几 何，三角与向量，解析几何以及空间几何等各方面的应用) .单选题(5’×8=40’) 1.(山西临汾一中2026-2027高三上周测(1)6题) 孟教y=a-2(a>0,a≠1的国象恒过定点A若点A的坐标满 x+y=-1, 足方程mn 且m,n>0,则2m+n的最小值为( A.4+V2 B.6 C.3+2V2 D.8 2.(2026.河南高三一联7题) 1 ×、2 若x>y>1x+y=4,则 x-y y-1 的最小值是( ) A.3 B.8 c D.9 2 a2.b2 3.实数a,b满足a>0,b>0,a+b=4,则a+1b+1的最小值是 () 8 A.4 B.6 D. 4.(陕西渭南韩城2026-2027.8月考.7题) 已知正实数xy满足2*·2”=22.则3x+y的最小值是( A.6 B.8 C.12 D.16 5.(山西大同2026高一下期中.7题) △ABC中，BM=2MCN为AM上一点，若AM=BA+BC则u的最 大值为( B 4⑤ 1 2 4 6.在面积为S的锐角三角形ABC中， M 内角A,B,C所对边分别为a,b,C. s=1c2 若 2则tan Atan B的最小值为( ) 9 A. 2 B.4 C.23 D.2 7.湖北省2026届高三上期末模拟.6题 已知双曲线万=1(a>0,b>0) 的左，右焦点分别为F,F2过F2且垂 直于x轴的直线与该双曲线右支交于A,B两点，直线AF,B1分别交y轴 于MN两点.若△MN的周长为24，则a+b的最大值为( A.12 B.16 C.62 D.6V2+6 8.(2026.北京开学学情自测.9题) D 正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2.棱AB A 的中点为E,BC1上动点F则EF+FC的最小 值为( A.22 B3+2 C.V5+2W2 D.W10 二.填空题(5’×8=40’). 1.(2026.高三北京秋季开学考.13题) 4y+1 设正实数x+y=1,则尤少的最小值为 2.2026,湖北黄冈九月调考)已知x,y为正实数，且x+少=1·则 x+9v xy 的最小值为 3.(2025.清华附中自招题)已知x,少，0均为正实数，则 y+25x+a2-2a+4 x 3x+y 的最小值为 x>0,y<0,x-1=2y-2+8, 2 4.(2026.河北衡水初调.14题)已 X 则x一2y的最小值为 5.安微淮南准北2025高三一诊. 若a,b>0且ab=2a+b-16则ab的最小值为 6.2025.江苏南通9月调考，10题 实教y满足-+4-2则4+2的最小值为 x2+y2+1+1=27 x,y>0.且满足 七y4 7.(2026.浙江考题)已知 153 则x4y的最小值为 8.重庆2027巴蜀各校高三月考.13题 3a,2 已知正实数a,b满足3a+2b=3,则ba的最小值为 三解答题(6题共70分) 1.(10')尼知正实教4，b满足V1+a.V1+b2+ab=2, 求a+b的最小值 2.(10’')已知xy为正实数，且满足约束条件x+y=1, x+2y+1 求表达式炒的最小值 +2+16+1-45x21 3.(10')正实数xy满足2 x2y4求24y的最小值. 4(12’)(浙江地区强基考题)若实教xy满足x+8少+6y-1=0.求 Xy的最大值. 5.(13’)淅江高一培优题 3a2+b,3b2+a 求已知4，b>0,a+b=2求1+bT1+a的最小值 6.(15’)天津数竞 a+++1,c+8别 已知a,b,C>0.求证： 参考解答 一.选择题. 1.答D.(构造解题条件) 易知定点A的坐标为(1,2)，代入条件式得： -1+2-1→1+2=1. m n m n m n 二8 于是 n 4m 当且仅当mn即n=2m,也就是m=2,n=4时取等.故选D. 2.答：C.(构造合适的代数式) x+y=4→[(x-y)+20-1月=1 由条件x>y>1故x-y>0,y-1>0. 月名e0明 +40- 20y-）_2(x-》→x-y=y-1→x=2y-1 x-y y-1 由 x+y=4 3 x=2y-1 7 y= 1+2 当 x-y y-1 时， 的最小值是9/2.故选C. 3答D.(换元) 令a+1=m,b+1=n,则m>1,n>1, 且a=m-1>0,b=n-1>0，m+n=6,所以 。+-m-少+a-=m+n+1+1-4=2+6≥2+ 6 8 a+1 b+1 m n mn m+n 23 2 当且仅当m=n=3,即a=b=2时取等.故选D. 4答B(配凑) 22=2w→x+3y=2y3+1=2. -(6x+)是5+0 于是 任+06-0=8 3x 3y 当且仅当yx即x=y=2时，3x+y的最小值是8. 5.答D.(配凑定和)由 BM=2MC=2BC→BC=3BM. AM=ABA+。HBC. 代入条件式： 2+-u=1. 由AN,M共线知： 2 故 3 2 九+ 211 346 31 当且仅当=242即22“-3时，的最大值为1/6故选D =u= 6.答B.(数形结合，构造合适的图形) 如解图，作CH⊥AB于H.设BH=x则 AH=c-x令CH=h.由条件： s=1c2= =5ch,∴.c=h. h2 tan Atan B=. x(c-x)x(c-x) () 于是 c2 c-34代入0m彻空4 当且仅当x=C-x,即H为AB中，点时 tan Atan B 的最小值为4.故选B 32 7.答A双曲线两焦，点依次为 C, E(-c,0),F(c,0)在双曲线 x2 y2 =1 a令中x=c,得 故知 MN为△MEB的中位线， 由双曲线的定义： AF-AF2 =2a,..MF-MO=a NE|=M=a+2a故△M,N的周长为 b2 于 2b2 a+5562a+=24→ha02a) a 于是 当且仅当a=12-a,即a=6,时(a+b)mx=12.故选A 注：此时亦有b=6,故相应的双曲线为等轴双曲线。 8.答.C(翻折图形/空间问题平面化) 如解图1.将等腰三角形 BCCC1沿BC翻折，使与正方 体对角面ABCD1位于同一 E 平面如解图2.设E为BC1上 解图1 解图2 任意一，点.连C交BC1于G,显然有：E+FC≥EC. 但在△EBC中，BE=1,BC=2,∠EBC=135°.由余弦定理： EC2=12+22-212c0s135°=5+2√2. 故EC=V5+2V2.故选C 二填空题， 1.答：5（直接代入） 4y+14y++y=4y++1 .'xty=1,x yx y x y ≥2 4y.x+1=2×2+1=5 x y 当且仅当 x= x+y=1 2-3 Ay_x x=2y J= 4y,1 xy即 3 时七y的最小值为5. 2.答16.（直接1代换） 原x+x*-10+) 210*22=16 知xy>0.当且仅当 {化iA6 3.答：10（分步）显然-2a+4=(a-1)+3≥3. 当且仅当 a=1时a2-2a+4的最小值为3.故 卫+，25x+42-2a+4≥上+25x+3 x 3x+y x 3x+y =3x+y+25x≥2， 3x+y 25x=10. x 3x+y 3x+y 当且仅当3x+y=5x即y=2x时取等.故当y=2x,a=1时所求 最小值为10. x-1=2y-2+8→x-2y=12+8 4.答.8.（等价代换 x x y a(x-2f=30x-2+8x-2叫 →-2-8-20-=5-(5】 >02294 已知 min 从而(x-2y)°-8(x-2y)-9≥0 →[(x-2y)-8][(x-2y)+1]≥0. :x-2y+1>0,故必x-2y≥8. 于光当3r=8 8 3时，所求七一2y的最小值为8 5答：32.（配方） 由条件：ab≥2V2Vab-16→(Nad-V2)≥18. →ah-V2≥32∴Vab≥4v2或√ab≤-2√2（舍去） 2a=b.a=4 可知：b≥32.当且收当1ab=32b=8时取等。 65将条件式两边同来以人1+得 F4-2F1+小周1-=F+0 令小-F0〔f2*-0 故4+2"=22*+21≥2W2+=2V2=V2 7.答：6.（拆项配凑） 令动色 代入孝件来：但行小浮 故(++动) ≥364+364 22-12+32=6 4 44 x2=8 x=2 y2= 1 当且仅当 ( 8y v=2 6 8.答.6.b a b a ba 90-40→3a=2b=3, 3 a=-,b= 3a,2 当且仅当ba b=2'即20 4时，所求ba的最小 值为6. 三解答题. 1.【解折】V1+a2.V1+b2+ab=2 +a)++b) +ab≥2 2 →(a2+b2+2)+2ab≥4→(a+b)2≥2→a+b≥V2 a=b=v2 当且仅当 2时取等，即a+b的最小值为√2. 2.【解析】 =5+2+3y≥5+2 2x.3y=5+26. y x x+y=1 x=3-V6 2x3y→ y=6-2 x+2y+1 =5+2V6. 当且仅当 (y x 时 、xy min 3.【解析】（直接代入） 后任号++ .11 151 ≥3×4+3×二= .x21、5145_3 44 24y-442 当且仅当 现 8y即 4.【解析】 x+8y+6wy-1=0→(x+2y-1(x2-2y+4y2+x+2y+1)=0. +2y=1今y=20-小 这有两种情况：（①） -r0小08-品 3 Y=_ 品 (1) 8 当且仅当x=3-3x,即 时， ②令x-2y+4y2+x+2y+1=0 即-(2y-1)x+4y2+2y+1=0 (2) △=(2y-1)-4(4y2+2y+1)=-3(2y+12≤0 关于x的方程（②中 x2+2x+1=0→x=-1 只能2y+1=0,即 从而 =( (2) 此时 比较(1)，2).所求 3+8y3+6xy-1, 评注：本题的难，点在因式分解对于 首先是和立方公式变形： x3+8y3+6xy-1=0→(x+2y)3-6xy(x+2y)+6y-1=0 其次是分组分解： (x+2y-10[(+2y+x+2y+1]-6y(x+2y-1)=0 最后，提取公因式即得：(x+2y-l)(x2-2y+4y2+x+2y+1)=0. 5.浙江高一培优题 5【解析】a+b=2→(a+l)+(6+)=4原式= 小- o明： =80a-+26-1+(-+36-刂小-2 ≥43a-+23a-3-1)+(362-+2 =43a-1+v3-可+2 5电8t6小-w-) →(a+1(3a2-1)=(6+1(362-1) 布8-6=引助所家聚小尚列24 6.【证明】 b2 a+127, b -a-+ () 6+ 27 (2) 同理：c 6+ ee- a+1b+,c+≥81 3式相加： a=b=c= 当且仅当 2时等式成立.故原不等式成立 1 a=b=c= 评注：若不能直接看出取等条件 2则需要解三次方程： (a+1)°_27 →4a3+12a2-15a+4=0 当a=b时(1：a4 8a2+24a2-30a+8=0令2a=m,有m2+6.m2-15m+8=0 1 1 a= b=c=- 显然m=1适合，即 ”2’同理 1 a=b=c= 当且仅当 2时等式成立，故原不等式成立.