专题03 勾股定理的应用（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

专题03 勾股定理的应用 常考题型·精准突破 题型1 梯子滑落高度问题（高频） 题型2 旗杆高度问题（高频） 题型3 大树折断前高度问题（重） 题型4 解决水杯中筷子问题（高频） 题型5 解决航海问题（重） 题型6 求台阶上地毯长度（高频） 题型7 台风影响问题（重） 题型8 选址距离问题（重） 题型9 最短路径问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1梯子滑落高度问题 1．一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，底端离墙．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动多少米？ 【答案】云梯的底端在水平方向滑动了 【分析】利用勾股定理求出，的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∵云梯的顶端A下滑了4m至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴， 答：云梯的底端在水平方向滑动了． 2．如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【详解】（1）解：在中， 米，米，米， （米）， （米）， 答：处与地面的距离是米； （2）解：由题意得米， 米，（米）， （米）， （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 3．【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．如图，已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高（即），救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离多少米才能完成处救援任务？ 【答案】消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能完成处救援任务． 【分析】由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意，，， ， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ． 答：消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能完成处救援任务． 4．小明家买了一台的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有长和宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 【答案】 不同意小明的想法，售货员没有搞错. ∵ 电视机的尺寸指屏幕对角线的长度，单位为英寸，且. ∴55英寸对应的对角线长度为（）. 设该电视屏幕实际对角线长为， 由勾股定理得 （）。 ∵屏幕长宽的测量存在合理误差，实际对角线长度与55英寸对应的标准长度基本一致. ∴ 售货员没有搞错. 答：不同意小明的想法，售货员没有搞错，该电视机屏幕对角线长度约为55英寸，与标注尺寸相符. 【分析】先将标注的55英寸换算为对角线的厘米长度，再利用勾股定理计算屏幕实际对角线长度，对比两者即可判断． 【详解】略． 5．如图，一座城墙高，墙外有一条护城河，在护城河外距离城墙根处架一架长为的云梯，该云梯能否抵达城墙的顶端？为什么？ 【答案】该云梯能抵达城墙的顶端 【分析】已知一条直角边为9，一条斜边为15，利用勾股定理可求得另一条直角边为12，，所以该云梯能抵达城墙的顶端． 【详解】解：， 答：该云梯能抵达城墙的顶端． ◆题型2旗杆高度问题 6．如图，枣庄环城绿道是市民休闲健身的好去处，为方便大家夜间出行，在绿道旁加装了照明灯．某兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，借助一根长的竹竿来进行测量，已知：灯板垂直地面于点O，线段，表示同一根竹竿．设计方案如下： ①将竹竿的一个端点与点M重合，另一个端点落在地面的点A处，测得； ②再将竹竿的一个端点与点N重合，另一个端点落在地面的点B处，测得． 根据上面测量的数据，回答下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理即可求得的长度； （2）先利用勾股定理求得的长度，再用（1）的结论即可得到的长度． 【详解】（1）解：由题意可知， 在中，，， ∴． （2）解：在中，，， ∴， ∴． 7．如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距时，发现绳子下端刚好接触地面．求旗杆的高度． 【答案】 【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 根据勾股定理可得：， 解得． 答：旗杆的高度为米． 8．今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》） 题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图）．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．这根绳索有多长？ 将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长a，弦长与股长的差为d，求弦长c． (1)试用a，d表示c； (2)查阅资料，了解《九章算术》解决这类问题的思路与方法． 【答案】(1) (2)《九章算术》解决这类问题的思路与方法： 《九章算术》采用算术方法，通过勾股定理推导出公式：． 具体步骤为：设绳索长为x尺，则木杆高为（）尺，根据勾股定理得 解得尺 此方法体现了古代数学家将几何问题代数化、公式化的智慧． 【分析】（1）已知勾长a和弦股之差d，需将股长用c和d表示，代入勾股定理公式中，通过代数变形消去b，从而解出c． （2）探究《九章算术》的解题思想，其核心是将几何问题转化为代数问题（方程思想）．解题时需设未知数（绳索长），根据“绳索长－拖地长=木杆高”表示出股长，再结合勾长，利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：设直角三角形的勾长为a，弦长为c，股长为b． 已知弦与股的差为d，即，所以， 根据勾股定理： （2）略 9．借助勾股定理，请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度． 【答案】 【答案】 方案如下： （1）操作步骤： ① 将升旗绳自然下垂，使上端位于旗杆顶端，下端垂至地面，用卷尺量出绳子超出旗杆底部的长度，记为（米）， ② 将绳子下端沿地面拉至某点，使绳子完全绷紧，用卷尺量出该点到旗杆底部的水平距离，记为（米）， （2）计算方法： 设旗杆高度为米，由勾股定理得，解得，将，的测量值代入即可得到旗杆高度， 【分析】利用旗杆与地面垂直的性质，构造以旗杆、水平距离为直角边，拉直的绳子为斜边的直角三角形，通过测量两个可直接获取的长度，结合勾股定理列方程求解旗杆高度． 【详解】解：设旗杆的高度为米， 绳子自然下垂时超出旗杆底部的长度为米， 拉直后的绳子总长度为米， 旗杆垂直于地面， 旗杆、地面水平距离、拉直的绳子构成直角三角形，其中旗杆与水平距离为直角边，绳子为斜边， 由勾股定理得：， ， ， ， 将测量得到的，代入上式，即可求出旗杆的高度， 答：按上述方案操作，代入测量值即可计算出旗杆高度． 10．某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量数据如下表（不完整）： 项目主题 测量旗杆的高度 测量步骤 如图，线段表示学校旗杆． 步骤一：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺测量多出的这段绳子的长度； 步骤二：用手握住绳梢在地面移动，并逐步远离旗杆底部，直到绳子拉直到不能再移动时为止，用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离（的长度）； 步骤三：用皮尺测量点C与旗杆之间的距离（的长度） 测量数据 绳子垂到地面，比旗杆多出一段的长度 ，的长度 的长度 2 1 9 … … 请你帮助该小组根据表中的测量数据，求出学校旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理测旗杆高，熟练掌握勾股定理，测量方法步骤，增大测量结果的精确度是解题的关键． 【详解】解：设，则． 在中，， 由勾股定理，得， 所以，解得． 故学校旗杆高度为． ◆题型3大树折断前高度问题 11．如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前高为（     ） A．12米 B．16米 C．18米 D．20米 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出折断部分的长度，即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得折断部分的长度为米， ∴树折断之前高为米． 12．“折竹抵地”问题源自《九章算术》：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子原高1丈（1丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地、抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度是尺，则可以列方程为_____． 【答案】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺． 根据勾股定理，得． 13．如图，山坡上的一棵树甲被大风从点处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙的根部处，其中米，甲树的根部到坡底的距离米，甲、乙两棵树之间的水平距离米，已知，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的高度（即）． 【答案】树原来的高度19米． 【分析】利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 14．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（     ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】A 【分析】已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子的长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 15．折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 【答案】4.55尺 【分析】设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：1丈=10尺 设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴． 答：折断后竹子离地面的高度为4.55尺． ◆题型4解决水杯中筷子问题 16．如图，将一根竹筷贴近圆柱形竹筒内壁竖直放置，筷子露出，再将竹筷上端倾斜到对面内壁恰好完全放置在竹筒内（如图），已知竹筒底面圆的半径为（壁厚不计），则竹筒的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设竹筒的高为，根据图表示出竹筷的长度，再根据图利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设竹筒的高为，则竹筷的长为． 由图可知，竹筷、竹筒的高与底面直径构成直角三角形， 底面直径为． 根据勾股定理得：， 解得． 竹筒的高为． 17．王爷爷家有一片露天鱼池，为避免太阳直射，王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网．如图，鱼池的截面形如长方形，点B与点C之间的距离．池子正中央的支撑杆垂直于鱼池底部且比高出（即于点O，于点E，），为同样大小的遮阳网，，一根与同规格长度的支撑杆斜放在池内，点D、B、O在同一条直线上，且，图中所有点均在同一平面内．求支撑杆的长． 【答案】 【分析】求出，，设，得到，，，在中，，据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：∵，于点E， ∴， 设，则， ∵一根与同规格长度的支撑杆斜放在池内，点D、B、O在同一条直线上，且， ∴， 在中，， 即， 解得 即支撑杆的长为． 18．装修工人携带了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知电梯的长、宽、高分别是1.5m，1.5m，2.2m，那么一根3.1m长的木条能否放入电梯内？ 【答案】不能 【分析】如详解图，把电梯看作长方体，利用勾股定理求出其最长对角线的长，与木条的长进行比较即可求得结果． 【详解】 解：由题意得：是电梯里最长的对角线， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 木条长的平方， 木条长的平方 ， 木条长大于， 答：木条不能放入电梯内． 19．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问：水深、葭长各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图）．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 【答案】这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺 【分析】设尺，则尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设尺，则：尺， ∵水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，1丈尺， ∴尺， 在中，， ∴， 解得， ∴尺，尺， 即这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺． 20．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）至少是（        ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况即可：直吸管下端恰好位于罐底的圆周上；直吸管下端恰好位于罐底的中心；分别计算出直吸管插在罐内部分长度，即可求得直吸管露在罐外部分a的长度范围． 【详解】解：当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示， 则，，由勾股定理得：， ∴； 当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4，则； 综上，直吸管露在罐外部分a的长度范围为， 只有选项C中的5在范围内，故选项C符合题意． ◆题型5解决航海问题 21．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 【答案】此时灯塔与客轮的距离为 【分析】先求出，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意得：，，， 在中，由勾股定理得：． 答：此时灯塔与客轮的距离为． 22．已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以的速度向东航行，船B以的速度向北航行．它们离开港口后，两船相距________． 【答案】 【分析】根据题意，两船航行方向垂直，先求出2小时后两船距离港口O的路程，再用勾股定理计算两船相距的距离． 【详解】解：如图，设船A所在的点为A，船B所在的点为B， ∵船A向东航行，船B向北航行， ∴， ∵两船航行时间为， ∴，， 根据勾股定理可得：， 即两船相距． 23．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海，4个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．10海里 B．12海里 C．16海里 D．20海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海， ∴， 小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 24．如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 25．小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【答案】海里 【分析】由方向角的定义说明是直角三角形，在直角三角形中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，（海里），（海里）， ， 是直角三角形， 由勾股定理得（海里）． 答：岛与岛之间的距离为海里． ◆题型6求台阶上地毯长度 26．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为80元，则购买地毯需花费________元． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， 购买地毯需花费（元）． 27．翠园东晓中学旧改工程顺利完成．举行竣工典礼时，在高，长的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图所示，则地毯的长度至少需要________m． 【答案】 【分析】将台阶的竖直部分平移至左侧，水平部分平移至下方，可知地毯的总长度等于直角三角形两直角边之和；已知斜边和一条直角边，利用勾股定理求出另一条直角边即可求解； 【详解】解：设台阶水平方向的总长度为， 由图可知，台阶剖面构成一个直角三角形，其中斜边长为，一条直角边（高度）长为， 根据勾股定理得：， 台阶水平方向的总长度为， 地毯铺在台阶面上，其长度等于所有台阶竖直高度之和与水平宽度之和， 地毯的长度至少为． 28．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 29．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 30．如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 【答案】5 【分析】根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是，再利用勾股定理求解即可； 【详解】解：如图所示，地毯的总长度为， 根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是， 故， 故， 根据勾股定理，得； ◆题型7台风影响问题 31．如图，有一台工程洒水车沿公路由点向点行驶，已知点为一处村庄，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，洒水车周围以内为受水雾影响区域． (1)村庄会受水雾影响吗？为什么？ (2)若洒水车的行驶速度为每分钟40米，洒水车水雾影响该村庄持续的时间有多少分钟？ 【答案】(1)会受影响，理由如下： 过点作于点， 根据题意可知，，， ，， ， ， ， ， ， 村庄会受水雾影响． (2)分钟． 【分析】（1）过点作于点，先利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形面积的两种求法求出，作比较即可解答； （2）设洒水车到达点时，村庄开始受水雾影响，到达点之后不受影响，先利用勾股定理求出，再根据等腰三角形三线合一求出，即可求出受影响的时间． 【详解】（1）略； （2）解：设洒水车到达点时，村庄开始受水雾影响，到达点之后不受影响， 则， 在中，由勾股定理可得， ， ， （分钟） 答：洒水车水雾影响该村庄持续的时间有分钟． 32．如图，两条公路、交于点O，在公路旁有一学校A，与O点的距离为，点A（学校）到公路的距离为，一大货车从O点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响?为什么? (2)若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟? 【答案】(1)货车开过学校受噪音影响，理由如下： ∵， ∴货车开过学校受噪音影响； (2)学校受噪音影响时间是6秒 【分析】（1）根据垂线段最短即可求解； （2）设，则路段是学校受噪音影响的路段，对运用勾股定理求解，即可求解，即可求解受影响的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设，则路段是学校受噪音影响的路段， ∵， ∴， 又，， ∴， 同理由勾股定理可得，， ∴， ∴影响时间（秒）． 答：学校受噪音影响时间是6秒． 33．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风移动的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； (2)台风影响该海港持续的时间有小时 【分析】（1）过点作于点，先证明是直角三角形，利用等面积法求出，即可得出结果； （2）当时，海港正好受台风影响，由等腰三角形的性质并结合勾股定理求出，从而即可得出结果． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； （2）解：如图，当时，海港正好受台风影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵台风移动的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有小时． 34．拖拉机在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一辆拖拉机沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A、B的距离分别为和，，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受拖拉机的噪声影响吗？为什么？ (3)若拖拉机的行驶速度为每分钟，则拖拉机的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 【答案】(1) (2)会受噪声影响， 理由如下： 如图，过点作于点． ， ． 拖拉机周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； (3)分钟 【分析】（1）依据勾股定理判定是直角三角形，然后得到度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间． 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）略 （3）解：如图，在上取一点，使，连接， ， 当拖拉机在线段上时产生的噪声会影响学校． ， ， 在Rt中，， （分钟）． 答：拖拉机产生的噪声影响该学校持续的时间为分钟． 35．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型8选址距离问题 36．如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 【答案】 该医院离A地的距离 【分析】作的垂直平分线与交于点，交于点，则点即为所作；连接，设，用勾股定理表示出，利用列出方程求值即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，交于点，则点E就是医院的建造位置，图略，连接，设，则． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得， 答：该医院离A地的距离． 37．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 【答案】E应建在距A处 【分析】设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵于A，于B， ∴，， ∵C、D两村到E站的距离相等，即， ∴， ∴， 解得， ∴E应建在距A处． 38．如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 39．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 【答案】(1)小区A到快递投放点C的距离为 (2)快递投放点B，D之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵小区A在点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 40．如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处 【分析】设，可将和的长表示出来，然后根据勾股定理可得，即可列出方程进行求解． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． ◆题型9最短路径问题 41．如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米，为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在，处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走______米，踏之何忍”． 【答案】4/四 【分析】先根据勾股定理求得的长，再利用即可求解． 【详解】解：由题意得，米，米， 在中，（米）， （米）． 42．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为3，，分别是两底面圆的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是______． 【答案】 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解． 【详解】解：将圆柱沿母线展开，则C点落在点的位置（如图），则小虫爬行的最短距离为的长， 在中，，， ， 所以小虫爬行的最短路线的长度是． 43．如图，在村与村之间有一座大山，原来从村到村，需沿道路→→ 绕过村庄间的大山；打通村与村间的隧道后，可直接从村到达村．已知，，则打通隧道后从村到村比原来减少的路程是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理算出距离，再与原路线相比即可求解． 【详解】解：在中，根据勾股定理得， ∴， 又∵ ∴打通隧道后从村到村比原来减少的路程：． 44．如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与边平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是______米． 【答案】 【分析】将草坪表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将草坪展开，即为所求， 则（米），米， ∴（米）． 45．如图，长方体的底面长和宽都是，高为．若一只蚂蚁从顶点P开始经过4个侧面爬行一圈到达顶点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为_______． 【答案】 【分析】将长方体侧面展开，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径为线段，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：根据题意把长方体沿其侧面展开 由题意得，，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知水厂A和工厂B、C恰好构成一个等边三角形，现要在A、B、C间铺设水管，由水厂A向工厂B、C供水，下列四种设计方案（实线为水管）中铺设路径最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算四个选项的铺设路径的长度，再比较即可． 【详解】解：C、如图，设等边三角形的边长为a， ∵，为等边三角形， ∴，，， A、铺设路线的长为． ∵， ∴C中铺设路线长度比A中铺设路线长度短； B、如图所示， ∵，与不重合， ∴， ∴铺设路线的长度大于； D、如图，把绕顺时针旋转得，连接，记的交点为， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， 同理：为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四点共线， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 结合C选项可得：， ∴． ∵， ∴D选项铺设路线的长度最短． 2．如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，C为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点C的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长． 【详解】解：根据题意如图， ∵正方体棱长为， ，． 在中， ． 从顶点A爬行到点C的最短路程是． 3．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 铅笔在笔筒外面的长度=铅笔长度铅笔在笔筒内的长度；铅笔在笔筒外面的长度最小时，在笔筒内的长度最长，即斜放在圆柱形笔筒内的时候，用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示：铅笔斜放在圆柱形笔筒内的时候，铅笔在笔筒外面的长度最小， ，，， 由勾股定理得：， （负值已舍去）， ， 答：铅笔在笔筒外面部分长度的最小值是． 4．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺， 由勾股定理得，即． 5．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 6．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 7．某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【答案】D 【分析】由题意可得米，米，米，则米，设绳子的长度为米，则米，米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 二、填空题 8．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（丈=尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】 本题考查了列方程解决实际问题，此处可将问题抽象成直角三角形，折断后的竹子和抵地处离竹子底部的距离为直角边，折断的另一部分竹子为斜边，设折断后的竹子高度为尺，则斜边为尺，根据题意由勾股定理列方程即可． 【详解】略 9．如图，某工地内矗立着一座塔吊，为固定塔吊，施工人员从塔吊离水平地面15米处向地面拉了一根长17米的钢索，钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为______米． 【答案】8 【分析】根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图， 在中，，米，米， 则米， 即钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为米． 10．《九章算术》有一道古题：今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？ 题目大意：如图，有一棵树（将树看作一个圆柱）高2丈，底面周长是3尺，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平．这条藤的长度是______________________尺．（1丈尺） 【答案】 29 【分析】首先将圆柱体侧面展开其侧面图为长方形，再根据已知条件求出矩形的长和宽，再利用勾股定理即可求出这条藤的长度． 【详解】解：如图，将树看作一个圆柱并进行展开，其侧面展开图为长方形， ∵树高2丈， ∴尺， ∵树的底面周长是3尺，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈， ∴尺， ∴尺， 故这条藤的长度是29尺. 11．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题，其示意图如图所示：小溪的宽度时尺（时尺是古代的长度单位），两棵棕榈树、恰好隔岸相望．棕榈树高时尺，棕榈树高时尺，其中，，两棵棕榈树的树顶、处各停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上处游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标（假设两只鸟的飞行路线为直线）．则这条鱼出现的地方离棕榈树的距离为______________时尺． 【答案】 【分析】设，则，由速度时间相同得，利用勾股定理列方程，化简求解得到． 【详解】解：设时尺， 小溪的宽度时尺， 时尺， 棕榈树高时尺，棕榈树高时尺， 在中，， 在中，， 两只鸟以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标， ， ， 化简得， 解得， 时尺． 三、解答题 12．大庆市一处施工现场，一架长 的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙脚 ，梯子顶端离地面的高度为 ． (1)用含 a、b 的式子表示 h； (2)当 ， 时，求 h 的值； (3)在（2）的条件下，梯子顶端沿墙下滑 ，梯子底端将向外移动多少米？ 【答案】(1) (2) (3)梯子底端将向外移动 【分析】（1）根据勾股定理列代数式； （2）将，代入（1）所求代数式即可 ； （3）顶端下滑 后，梯子顶端离地，用勾股定理求出此时梯子底端离墙脚的距离，减去原来底端离墙脚的距离即可． 【详解】（1）解：梯子、墙和地面构成直角三角形，梯长 是斜边，墙高 是直角边， 由勾股定理得， ； （2）当 ，时， ； （3）顶端下滑 后，梯子顶端离地， 此时梯子底端离墙脚 ， 原来底端离墙脚， 底端向外移动 ． 13．如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里/时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若在两艘轮船沿航线汇合途中，其中一艘轮船突发机械故障，无法继续航行．港口指挥中心接到求救信号后，立刻派出一艘救援快艇从港口出发，全速前往航线进行紧急接应．为了以最快时间到达，求救援快艇行驶的最短距离． 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】（1）将现实生活问题转化为数学问题，利用勾股定理求出线段的长即可； （2）过点作交于点，利用等面积法求出即可； 【详解】（1）解：依题意海里，海里，， ∴（海里）； （2）解：过点作交于点， ∵， ∴（海里）， 即救援快艇行驶的最短距离为海里． 14．如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是多少？（取3） 【答案】 【分析】利用圆柱的侧面展开图，勾股定理，解答即可． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 15．在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶．他用红外测距仪测得汽车与他相距；过了，测得汽车与他相距．你能帮王叔叔计算蓝方汽车这的平均速度吗？（分析：你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？） 【答案】 蓝方汽车这的平均速度为 【分析】过王叔叔的位置作公路的垂线段，结合两次测量的距离构造直角三角形，利用勾股定理求出汽车行驶的路程，进而计算平均速度． 【详解】解：设王叔叔的位置为点，东西向公路为直线， 过点作，垂足为点，设后汽车的位置为点，点，均在直线上， 由题意得，， ∵， ∴为直角三角形，， 在中，，， ∴（） ∴汽车内行驶的路程， ∴平均速度为（）， 答：蓝方汽车这的平均速度为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03 勾股定理的应用 内容概览 目常考题型精准突破 题型1梯子滑落高度问题（高频） 题型2旗杆高度问题（高频） 题型3大树折断前高度问题（重） 题型4解决水杯中筷子问题（高频） 题型5解决航海问题（重） 题型6求台阶上地毯长度（高频） 题型7台风影响问题（重） 题型8选址距离问题（重） 题型9最短路径问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1梯子滑落高度问题 1.一架云梯长25m,如图那样斜靠在一面墙上.当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底 端离墙7m.当这架云梯的顶端从A处下滑4m到达A处时，它的底端从B处滑动到B处，云梯底端在水平 方向滑动多少米？ A A 77777777777777777777777 B B' 2.如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老 人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为20米， 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 楼 A消防车 E 地面 (1)求B处与地面的距离： (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小 孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 3.【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援 时间.如图，已知云梯最多只能伸长到25m,即AA=BB=25m,消防车高4m(即DM=4m),救人 时云梯伸长至最长， 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成A处、B处两个求救点的救援。 【前期工作】勘察A处与B处离地面M的高度分别为AM=19m,BM=28m. 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成A处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离AB多少 米才能完成B处救援任务？ B A 房D B M 消防车 地面 4.小明家买了一台55in的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有121.5cm长和68.5cm宽， 他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 5.如图，一座城墙高11.7m,墙外有一条护城河，在护城河外距离城墙根9m处架一架长为15m的云梯 该云梯能否抵达城墙的顶端？为什么？ 15 ◆题型2旗杆高度问题 2/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.如图，枣庄环城绿道是市民休闲健身的好去处，为方便大家夜间出行，在绿道旁加装了照明灯.某兴 趣小组利用课余时间测量照明灯灯板MN的长，因不方便直接测量，借助一根10m长的竹竿来进行测量， 已知：灯板MN垂直地面AB于点O,线段AM,BN表示同一根竹竿.设计方案如下： A B ①将竹竿的一个端点与点M重合，另一个端点落在地面的点A处，测得OA=6m: ②再将竹竿的一个端点与点N重合，另一个端点落在地面的点B处，测得BO=8m. 根据上面测量的数据，回答下列问题： (1)求OM的长： (2)求MN的长. 7.如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1m,当他把绳子的下端拉开与 旗杆底部相距7时，发现绳子下端刚好接触地面.求旗杆的高度. 7分77 8.今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问：索长几何？（选自《九章算 术》) 题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图）， 在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直.这根绳索有多长？ 将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长α，弦长与股长的差为d,求弦长c, (1)试用a,d表示c: (2)查阅资料，了解《九章算术》解决这类问题的思路与方法. 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.借助勾股定理，请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度 10.某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动，他们制定了测量方案，并利用课 余时间完成了实地测量.测量数据如下表（不完整）： 项目主题 测量旗杆的高度 如图，线段AB表示学校旗杆. D步骤一：系在旗 杆项端的绳子垂到了地面，并多 出了一段，用皮尺测量多出的这 测量步骤 段绳子的长度： 步骤二：用手握住绳梢在地面移 动，并逐步远离旗杆底部，直到 绳子拉直到不能再移动时为止， 用皮尺测量此时拉绳子的手到地 面的距离(CD的长度)； 步骤三：用皮尺测量点C与旗杆 之间的距离(CE的长度) 绳子垂到地面，比旗杆多出一段 CD,BE的长度 CE的长度 测量数据 的长度 2m 1m 9m … 请你帮助该小组根据表中的测量数据，求出学校旗杆AB的高度， ◆题型3大树折断前高度间题 11.如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前高为() 4/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.12米 B.16米 C.18米 D.20米 12.“折竹抵地”问题源自《九章算术》：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是 一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地、抵地处离竹子底部4尺远，则折 断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度是x尺，则可以列方程为· 13.如图，山坡上的一棵树甲被大风从点A处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙 的根部C处，其中AB=4米，甲树的根部B到坡底的距离BC=13米，甲、乙两棵树之间的水平距离 CD=I2米，己知AD⊥CD,点A、B、D在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的 高度（即AC+AB) 乙树 甲树A 山坡 D 14.“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地， 去本三尺.问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵 地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)如图，折断后的两段竹子与地面形 成一直角三角形ABC,∠C=90°，其中一直角边BC长3尺，其余两边长度之和为10尺.则折断后的竹 子高度AC为() A.4.55尺 B.5.45尺 C.4.2尺 D.5.8尺 15.折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远.求折 断后竹子离地面的高度 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4解决水杯中筷子问题 16.如图1，将一根竹筷贴近圆柱形竹筒内壁竖直放置，筷子露出2c,再将竹筷上端倾斜到对面内壁恰 好完全放置在竹筒内（如图2），已知竹筒底面圆的半径为5cm(壁厚不计)，则竹筒的高为() 2cm -5em、 --5em. 图1 图2 A.12cm B.20cm C.24cm D.26cm 17.王爷爷家有一片露天鱼池，为避免太阳直射，王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网.如图，鱼池的截面形 如长方形BCNM,点B与点C之间的距离BC=3m.池子正中央的支撑杆OA垂直于鱼池底部且比BC高 出1m(即AO⊥MN于点O,AO⊥BC于点E,AE=1m),AB、AC为同样大小的遮阳网， AB=AC,一根与OA同规格长度的支撑杆OD斜放在池内，点D、B、O在同一条直线上，且BD=2m, 图中所有点均在同一平面内.求支撑杆OA的长. D E M O 18.装修工人携带了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装，如图，已知电梯的长、宽、高分别是 1.5m,1.5m,2.2m,那么一根3.1m长的木条能否放入电梯内？ 6/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.2 1.5 1.5 19.今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何？（选自《九 章算术》) 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1尺（如图），如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这 根芦苇的长度各是多少？ 20.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3cm,高是4cm,上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm 的直吸管露在罐外部分α的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）至少是()cm. 4 A.3 B.4 C.5 D.6 ◆题型5解决航海问题 21.如图，货轮M在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏西30°方向，且与货轮M相距6 nmile..同时，在 它的南偏东60°方向又发现客轮B,且与货轮M相距8 nmile,求此时灯塔A与客轮B的距离.(nmile:海 里) 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 东 22.已知A,B两艘船同时从港口O出发，船A以20km/h的速度向东航行，船B以15km/h的速度向北 航行.它们离开港口2h后，两船相距 km 23.如图，点0是一港口，渔船A从O出发沿北偏东53°方向以4海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发 沿南偏东37°方向以3海里/时的速度出海，4个小时后，两艘渔船的距离为(). 北 西 东 南 A.10海里 B.12海里 C.16海里 D.20海里 24.如图，在海平面上，O为灯塔，A、B为两个港口.其中港口A在灯塔0的北偏西25°方向上，距离灯 塔60海里.港口B在灯塔O的北偏东65°方向上，距离灯塔80海里.一艘轮船从港口A沿直线向港口B运输 货物，航行的平均速度为每小时20海里， E O (①)求港口A到港口B的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔O将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为50海里，在轮船从港口A向 港口B航行的过程中，接收安全信号的时长不低于1小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标 准？请说明理由， 25.小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题.在B港有两艘货轮甲船和乙 船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东30°的方向以每小时15海里的速 度前进.两船同时出发，两小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，试求M岛与P岛之间的距离 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 609 东 ◆题型6求台阶上地毯长度 26.某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m,高5m的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为 4m,地毯的价格为80元/m2,则购买地毯需花费 元 5m 13m 27.翠园东晓中学旧改工程顺利完成.举行竣工典礼时，在高5m,长13m的一段台阶面上铺上地毯，台 阶的剖面如图所示，则地毯的长度至少需要m. 13m 5m 28.某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m,高5m的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶 的宽为4m 13m (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120元/m2,则购买地毯需花费多少元？ 29.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶上 两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短 路程是() 20 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.20 B.24 C.25 D.35 30.如图，在一个高为3m的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为7m,则楼梯斜面AB的长为 nt. ?m 3m ◆题型7台风影响问题 31.如图，有一台工程洒水车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一处村庄，且点C与直线AB上两 点A,B的距离分别为120m和160m,又AB=200m,洒水车周围100m以内为受水雾影响区域. B (1)村庄C会受水雾影响吗？为什么？ (2)若洒水车的行驶速度为每分钟40米，洒水车水雾影响该村庄持续的时间有多少分钟？ 32.如图，两条公路l1、12交于点O,在公路12旁有一学校A,与0点的距离为170m,点A(学校)到公 路l1的距离AM为80m,一大货车从O点出发，行驶在公路l1上，货车周围100m范围内有噪音影响. M -12 (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (②)若货车速度为20m/s,则学校受噪音影响多少秒钟？ 33.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力. 如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A,B 的距离分别为300km和400km,AB=500km,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域. 10/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (②)若台风移动的速度为20kmh,台风影响该海港持续的时间有多长？ 34.拖拉机在行驶过程中会产生较大的噪声.如图，有一辆拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点 C处为一所学校，点C与直线AB上两点A、B的距离分别为120m和160m,AB=200m,拖拉机周围 120m以内为受噪声影响区域. (1)求∠ACB的度数， (2)学校C会受拖拉机的噪声影响吗？为什么？ (3)若拖拉机的行驶速度为每分钟30m,则拖拉机的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 35.我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形 成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B,已知点C为一海港， 且点C与直线AB上A,B两点的距离分别为600km和800km,且AB=1000km,以台风中心为圆心周围 500km以内为受影响区域. (1)求证：∠ACB=90°： (2)海港C受台风影响吗？为什么？ ◆题型8选址距离问题 36.如图，某地一条公路旁有两个居民点C、D,它们各自到公路的垂直距离CA、DB分别为 10km、15km,公路上的A、B两地相距25km.现准备在公路上修建一所医院E,因两地居民需求基 本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等.试在图上确定医院E的建造位置，并求 出该医院离A地的距离 11/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C B 37.如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄，DA=10km,CB=15km, DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,现要在AB上建一个中转站E,使得C、D两村到E站的距离相等，求E 应建在距A多远处？ 10 15 38.如图，在东西走向的和平街上有两个相距12km的快递投放点B、C,快递投放点C的正北方向有一小 区A,小区A到快递投放点B的距离为l3km D 和平街 B (I)求小区A到快递投放点C的距离 (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点D,新的投放点D到小区A与快递投放点B的 距离相等，求快递投放点B、D之间的距离， 39.如图，在一条东西走向的街道1上有两个快递投放点B,C.BC=12km,快递投放点C的正北方向有 一小区A,小区A到快递投放点B的距离为13km. D (1)求小区A到快递投放点C的距离. (2)在街道1上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B,D之间的距 离. 40.如图，铁路上A,B两站（视为直线上两点）相距27km,C,D为两村庄（视为两个点）， DA⊥AB于A,CB⊥AB于B.已知DA=24km,CB=15km,现要在铁路AB上建设一个特产收购站 E,使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 12/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ◆题型9最短路径问题 41.如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC=8米，CD=6米，为了避免行人 穿过草地（走虚线BD),践踏绿草，管理部门分别在B,D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走 米，踏之何忍”. C DE 42.如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为3，AB,CD分别是两底面圆的直径。若一只小虫从A点 出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 D A --B 43.如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B∠C=90°饶过村庄 间的大山；打通A村与B村间的隧道后，可直接从A村到达B村.已知AC=5km,BC=12km,则打通隧 道后从A村到B村比原来减少的路程是 km. B 44.如图，在一个长方形草坪ABCD上，嵌入一根长方体的木条，已知AB=6米，AD=4米，该木条的较 长的棱长与边AD平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点 C处需要走的最短路程是米. 13/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 1米列 1米 B 45.如图，长方体的底面长和宽都是3cm,高为5cm.若一只蚂蚁从顶点P开始经过4个侧面爬行一圈到 达顶点Q,则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm. cm 3cm P 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.已知水厂A和工厂B、C恰好构成一个等边三角形，现要在A、B、C间铺设水管，由水厂A向工厂B、 C供水，下列四种设计方案（实线为水管）中铺设路径最短的是() A B A B. 20120c D B 2.如图，在桌面上放置一个棱长为3Cm的正方体，C为一条棱上的点，且BC=2cm,蚂蚁在正方体表面 爬行，从顶点A爬行到点C的最短路程是() A.210cm B.37cm C.7cm D.V10cm 14/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm.若这支铅笔长为 20cm,则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为()· A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 4.《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几 何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈(1丈=10尺)，在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点 B离竹子底端点C距离为3尺（即BC=3尺），问折断处离地面高AC为多少尺？”.设折断处离地面高 AC为x尺，可列方程为() 2-----0C A.32+x2=10+x2 B.32+10+x2=x2 c.32+10-x2=x2 D.32+x2=10-x2 5.如图，点O是一港口，渔船A从O出发沿北偏东53°方向以6海里时的速度出海，渔船B同时从O出发 沿南偏东37°方向以5海里时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为(). 北 西 一东 南 B A.2V11海里 B.V61海里 C.3V11海里 D.2V61海里 6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m,梯子 顶端到地面的距离AC为2.4m,若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距 离AD为1.5m,则小巷的宽为() 15/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.4m 1.5m 0.7m A.2m B.2.4m C.2.7m D.2.8m 7.某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆AB的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米(CF=3.5米)的E点处，此时手 上的绳子还剩0.5米： ②甲同学继续往后退1.5米(FH=1.5米)到达G点，此时手上的绳子刚好用完： ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米： 则旗杆AB的高度为() B A.12米 B.12.6米 C.13米 D.13.6米 二、填空题 8.《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高 几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远 (如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题 意，可列方程为 9.如图，某工地内矗立着一座塔吊，为固定塔吊，施工人员从塔吊离水平地面15米处向地面拉了一根长 17米的钢索，钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为米， 16/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 塔吊 钢索 7 地面 10.《九章算术》有一道古题：今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？ 题目大意：如图，有一棵树（将树看作一个圆柱）高2丈，底面周长是3尺，一条生长在树底下的藤从树 底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平.这条藤的长度是 尺.(1丈 =10尺) 11.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题，其示意图如图所示：小溪的宽度 BE=50时尺（时尺是古代的长度单位），两棵棕榈树BC、DE恰好隔岸相望.棕榈树BC高30时尺，棕榈 树DE高20时尺，其中BC⊥BE,DE⊥BE,两棵棕榈树的树顶C、D处各停着一只鸟.忽然，两只鸟同 时看见棕榈树间的水面上A处游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标（假设两 只鸟的飞行路线为直线)，则这条鱼出现的地方离棕榈树DE的距离AE为 时尺 y B 三、解答题 l2.大庆市一处施工现场，一架长ama>b>0的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙脚bm,梯子 项端离地面的高度为hm, 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b B (1)用含a、b的式子表示h: (2)当a=5,b=3时，求h的值； (3)在(2)的条件下，梯子顶端沿墙下滑1m,梯子底端将向外移动多少米？ 13.如图，两艘轮船同时从港口0出发，一艘轮船以20海里时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以15 海里时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点A,B,此时两轮船沿AB航线汇合。 北 个东 B A (1)求A,B两点之间的距离： (2)若在两艘轮船沿AB航线汇合途中，其中一艘轮船突发机械故障，无法继续航行.港口指挥中心接到求 救信号后，立刻派出一艘救援快艇从港口O出发，全速前往AB航线进行紧急接应.为了以最快时间到达， 求救援快艇行驶的最短距离， 14.如图，己知圆柱的底面圆的直径AB为4cm,圆柱的高为10cm,在圆柱表面的高BC上有一点D,且 CD=2Cm.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是多少？（π取3） B 15.在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这 条公路上疾驶.他用红外测距仪测得汽车与他相距400m;过了10s,测得汽车与他相距500m.你能帮王 叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？（分析：你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎 样的三角形？) 18/18 专题03 勾股定理的应用 常考题型·精准突破 题型1 梯子滑落高度问题（高频） 题型2 旗杆高度问题（高频） 题型3 大树折断前高度问题（重） 题型4 解决水杯中筷子问题（高频） 题型5 解决航海问题（重） 题型6 求台阶上地毯长度（高频） 题型7 台风影响问题（重） 题型8 选址距离问题（重） 题型9 最短路径问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1梯子滑落高度问题 1．云梯的底端在水平方向滑动了 2．(1)米 (2)米 3．消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能完成处救援任务． 4． 不同意小明的想法，售货员没有搞错. ∵ 电视机的尺寸指屏幕对角线的长度，单位为英寸，且. ∴55英寸对应的对角线长度为（）. 设该电视屏幕实际对角线长为， 由勾股定理得 （）。 ∵屏幕长宽的测量存在合理误差，实际对角线长度与55英寸对应的标准长度基本一致. ∴ 售货员没有搞错. 答：不同意小明的想法，售货员没有搞错，该电视机屏幕对角线长度约为55英寸，与标注尺寸相符. 5．该云梯能抵达城墙的顶端 ◆题型2旗杆高度问题 6．(1) (2) 7． 8．(1) (2)《九章算术》解决这类问题的思路与方法： 《九章算术》采用算术方法，通过勾股定理推导出公式：． 具体步骤为：设绳索长为x尺，则木杆高为（）尺，根据勾股定理得 解得尺 此方法体现了古代数学家将几何问题代数化、公式化的智慧． 9． 9． 方案如下： （1）操作步骤： ① 将升旗绳自然下垂，使上端位于旗杆顶端，下端垂至地面，用卷尺量出绳子超出旗杆底部的长度，记为（米）， ② 将绳子下端沿地面拉至某点，使绳子完全绷紧，用卷尺量出该点到旗杆底部的水平距离，记为（米）， （2）计算方法： 设旗杆高度为米，由勾股定理得，解得，将，的测量值代入即可得到旗杆高度， 10． ◆题型3大树折断前高度问题 11．B 12． 13．树原来的高度19米． 14．A 15．4.55尺 ◆题型4解决水杯中筷子问题 16．C 17． 18．不能 19．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺 20．C ◆题型5解决航海问题 21．此时灯塔与客轮的距离为 22． 23．D 24．(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 25．海里 ◆题型6求台阶上地毯长度 26． 27． 28．(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 29．C 30．5 ◆题型7台风影响问题 31．(1)会受影响，理由如下： 过点作于点， 根据题意可知，，， ，， ， ， ， ， ， 村庄会受水雾影响． (2)分钟． 32．(1)货车开过学校受噪音影响，理由如下： ∵， ∴货车开过学校受噪音影响； (2)学校受噪音影响时间是6秒 33．(1)海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； (2)台风影响该海港持续的时间有小时 34．(1) (2)会受噪声影响， 理由如下： 如图，过点作于点． ， ． 拖拉机周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； (3)分钟 35．(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． ◆题型8选址距离问题 36． 该医院离A地的距离 37．E应建在距A处 38．(1) (2) 39．(1)小区A到快递投放点C的距离为 (2)快递投放点B，D之间的距离为 40．E站应建在离A站处 ◆题型9最短路径问题 41．4/四 42． 43． 44． 45． 综合攻坚·知能拔高 1．D 2．A 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8． 9．8 10． 29 11． 12．(1) (2) (3)梯子底端将向外移动 13．(1)海里 (2)海里 14． 15． 蓝方汽车这的平均速度为 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $