第13章勾股定理单元质量检测卷2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

第13章勾股定理单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图，在△ABC中，∠A为直角，以AC为边向外作面积为100的正方形，以BC为边向外作面积为125 的正方形，则AB2=() 125 100 B A.5 B.10 C.15 D.25 2.如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作AB⊥OA且AB=1,以O为圆心，OB的长为半径 画弧，交数轴的正半轴于点C,则点C对应的实数为() B 0 2C3 A2.1 B V5 c2.5 D.V分 3.如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到 地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米.随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端 C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为()米 图1 图2 A.3 B.4 C.5 D.6 4.勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝.下面四幅图中 不能证明勾股定理的是() 试卷第1页（共3页） 6 b a b 5.如图，某社区要在三角形健身区AB边上安装一个饮水点卫，经测量AC=8米，BC=6米，AB=I0米， 则饮水点P到三角形顶点C的最小距离为() B A.6米 B.4.8米 C.4米 D.9.6米 6.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=0,AD=4,CD=2,则四边形ABCD的面积 是() D A.9 B.13 C.14 D.18 7.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O,那么下列结论正确的是() D 试卷第2页（共3页） A.OA2+0C2=0B2+0D2 B.AD2+CD2=AB2+BC2 C.AD2+BC2=AB2+CD2 D.AB2+OC2=CD2+042 8.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正 方形1BCD 的边长为34，DH=3,连接4G,则4G的长度为() A.V34 B.6 c.5 D.V29 9.如图，一圆柱体的底面周长为10cm,高AB为12cm,BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表 面爬行到点C的最短路程为() A.17cm B.13cm C.12cm D.2V6cm 10.如图，一个枝长为6©m的正方休盒了上，一只蚂蚁在DG的中点“处，它到品的中点V的最短路 6 cm BB 线是() B D M C 4.2f0 B.3V10 C.6 D.6V2 二、填空题 试卷第3页（共3页） 11.如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是 (用字母表示) b 12.有两棵树，一棵高6米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树 顶，至少需要飞米 亞 131.如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，己知位于中间的正方形的面积为1，两边的正方形面积 分别是， S2 14.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南 偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，则乙船 沿南偏东 度方向航行. 北 M 60o →东 B P 15.如图，已知△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E, 连接BD,则BD的长为 试卷第4页（共3页） D B 16.如图，等腰直角△AOB,等腰直角△COD,∠AOB=∠COD=90,A0=3,C0=4,连接AD,BC相交 于点M,则AC2+BD2= B M D 三、解答题 17. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴 在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上.初始时，AC⊥BC,AC=80cm,BC=60cm.绳子始 终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计 绳子 绳子 B B 图1 图2 (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高70©m,求此时滑块B向左滑动的距离。 18.国产人形机器人己从机械执行迈向了具备感知、决策能力的智能新时代.如图是一块四边形ABCD 的空地，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量.通过测量得知，这块空 地的∠B=90°，AB=120m,BC=90m,CD=80m,AD=170m,求这块空地的面积. 试卷第5页（共3页） B D 19,如图，在四边形4BCD中，B=8C=3,cD=5,4D=7,且∠B=90 D B (I)求∠BAD的度数： (2)求四边形ABCD的面积. 20.阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称 之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载. S S S2 S2 D S 6 S3 S3 S3 S3 图① 图② 图③ 图④ (1)如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图 S,+S2=S3 形中面积关系满足 的有个 (2)如图④所示，分别以直角三角形的三边a,b,c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部 分》的面积分别为，8直角三角形的面积为8，诗判断8，，8 的关系，并说明理由. 21.如图，AC⊥BC,AD⊥AE,若AB=ED,BC=AD. 试卷第6页（共3页） F D (I)求证：AB⊥ED; (2)若BC=a,AC=b,AB=C,连接BD,BE,利用不同方法计算四边形ACBE的面积，从而证明勾股 定理 22.对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC, BD交于点O D B (1)若AO=2,B0=3,CO=4,D0=5,请求出AB2,BC2,CD2,D的值： (2)若AB=6,CD=10,求BC2+AD2的值. 23.如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的高. 横梁 图1 图2 图3 (1)若CD=2,AD=4,BD=8,求证：AB⊥AC; (2)根据(1)中的结论，小明发现：当满足AD2=BDCD时，△ABC一定为直角三角形.小明的判断正 确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形， 试卷第7页（共3页） 已知斜梁BD⊥AC于点D.经测量，斜梁AC=5m,BD=2.4m,横梁BC=4m.若横梁BC与竖梁AB 垂直则为安全房梁.请判断该房梁是否安全，并说明理由. 24.在△ABC中，D是AB上的动点，点E在△ABC的三边上移动. B C D D 图1 图2 图3 ()如图1，当D是AB的中点，点E在AC上，DE⊥AC时.若AC=BC=10,AB=16,求DE的长. (2)如图2，当点E在BC上，将△ACE沿AE折叠，点C恰好落在边AB上的点D处时.若 ∠ACB=90°，AC=6,BC=8,求BE的长， ③)如图3，当点E在4B上，DCE=45”时，若∠4CB=90°，4C=BC,求证： BD2+AE2=DE2 试卷第8页（共3页） 第13章勾股定理单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 2．如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由点的坐标得出的长，再利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得出，最后由实数与数轴上点的对应关系求解即可． 【详解】解：点所对应的实数是2， ， ， ， 在 中，，， 由勾股定理可得， 以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点， 点对应的实数为． 3．如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米．随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为（    ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，，米， 由勾股定理得：， 即， 解得， 旗杆的高度为4米． 4．勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面积法分别对四幅图列出面积等式并化简，验证是否能推导出，以此判断各图能否证明勾股定理，最终选出符合要求的选项． 【详解】A、梯形的面积为， 三个直角三角形的面积之和为， 令二者相等，两边乘化简得， 即，故A选项可以证明勾股定理． B、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为 令二者相等，展开化简得， 即，故选项B可以证明勾股定理． C、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为， 令二者相等，得，故选项C可以证明勾股定理． D、大正方形的面积为， 其余各部分面积之和为， 令二者相等，得，故选项D不能证明勾股定理． 5．如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理的逆定理证明，当时，的值最小，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∵点P在上， ∴当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴饮水点到三角形顶点C的最小距离为4.8米． 6．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A．9 B．13 C．14 D．18 【答案】A 【分析】连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理证明是直角三角形，，然后根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积 ． 7．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 8．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 9．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 10．如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情形展开，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：①如图所示，将面，面展开在同一平面内， 在中，，，， ∴． ②如图所示：将面，面展开在同一平面内， 在中，，，， ∴． ③如图所示：将面，面展开在同一平面内， 在中，，，， ∴． ∵， ∴最短路线长是． 二、填空题 11．如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的验证，核心思路是通过计算图形的总面积，两种不同的计算方法建立等式从而推导出勾股定理． 【详解】解：拼接后的图形是一个直角梯形，上底为，下底为，高为， 根据梯形面积公式：， 拼接后的图形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成： 则两个直角三角形的面积为， 等腰直角三角形(斜边为)的面积为， ∴， 即， 验证的定理是勾股定理． 故答案为：． 12．有两棵树，一棵高6米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 设大树高为，小树高为，过C点作于E，则是长方形，连接，则，，，在中，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作于E，则是长方形，连接， ∴，，， 在中，， ∴小鸟至少飞行． 故答案为：． 131．如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 【答案】1 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】解：如图，    ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 14．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 【答案】30 【分析】首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可解答． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， 海里， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东， 即乙船沿南偏东30度方向航行． 15．如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：， ， 由勾股定理逆定理得是直角三角形，， 设，由垂直平分线的性质知， ， 在直角三角形中， 由勾股定理得，即， 解得，即． 16．如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 三、解答题 17．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 18．国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的智能新时代．如图是一块四边形的空地，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，这块空地的，求这块空地的面积． 【答案】这块空地的面积为 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得出，最后根据直角三角形的面积公式分别求出和的面积，即可求出这块空地的面积． 【详解】解：在中，， ∴， ； 在中，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； ∴， 答：这块空地的面积为． 19． 如图，在四边形中，，，，且． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可知，根据勾股定理的逆定理可证，再根据角之间的关系求出的度数； （2）根据即可求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， ，， ， 在中，， 在中， ，   ， ， ；     （2）解： ． 20．阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． (1)如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个． (2)如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为，请判断，，的关系，并说明理由． 【答案】(1)3 (2) 解：，理由如下： 如图④，    ， ． ∵由勾股定理得， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）如图①，，可得；如图②，，故得．如图③，如图，对于等边，若边长为a，过点H作，垂足为I，可求得，．同理，，．可证得 ； （2）如图④，，可证得． 【详解】（1）解：如图①，， ∵由勾股定理得， ∴． 如图②，， ∵由勾股定理得， ∴． 如图③，对于等边，若边长为a，过点H作，垂足为I， 中，，， ∴． ∴． 同理有：，． ∵由勾股定理得， ∴；   故图①②③中面积关系满足的有3个． （2）略 21．如图，，，若，． (1)求证：； (2)若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，从而证明勾股定理． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴，，． ∵四边形为直角梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）先根据“”证明，得到，根据，得到，从而，即可得证结论； （2）根据得到，，．由四边形为直角梯形，得到，又，即可得出，化简得． 【详解】（1）略 （2）略 22．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 23． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 24．在中，是上的动点，点在的三边上移动． (1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长． (2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长． (3)如图3，当点在上，时，若，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，运用勾股定理得，再结合等面积法列式计算，即可作答． （2）先根据勾股定理得，又因为将沿折叠，点恰好落在边上的点处，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）先过点作，且，根据，，证明，整理得，再运用证明，得出，在中，运用勾股定理列式分析，即可作答． 【详解】（1）解：如图1，连接． 是的中点， ． 由勾股定理，得， ， ． （2）解： 由题意，知 ， ． 设，则． 在中，， ， 解得， ． （3）证明：如图2，过点作，且， 连接，． ，， ． 又 ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ． 在中，， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $