专题05 相交线与平行线压轴题（专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

专题05 相交线与平行线压轴题 常考题型·精准突破 题型1 定值问题 题型2 “拐点”相关探究数量关系 题型3 三角板相关问题 题型4 旋转相关问题 题型5 存在性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1定值问题 1．已知，点、在直线上，点、在直线上，直线与直线交于点． (1)如图1，求证； (2)如图2，已知，平分交于点，平分交于点，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； (3)如图3，已知，的平分线交直线于点，点在线段上（点不与点、重合），点在直线上（点不与点重合）．若，且，则________． 2．如图，，是两个镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有，光线是由镜面反射得到． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，当入射光线与经两次反射后的光线平行时，两个平面镜的夹角是否为定值？若是定值，请求出该夹角的度数；若不是定值，请说明理由； (3)在（2）的条件下，设（），增添一个平面镜，放在恰当位置，使光线的反射光线平行于镜面，试求镜面与镜面的夹角（夹角为锐角），并说明理由． 3．如图，在线段的延长线上，，，，交于，为线段上一点． (1)求证：平分； (2)若的余角比大，求的度数； (3)射线平分，在（2）的条件下，试判断的度数是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 4．数学学习需动手实践和深入思考．在数学实践课上，乐乐利用一副三角尺的叠放和旋转，探究解决了以下问题． (1)【操作思考】如图1，乐乐将这副三角尺叠放在一起时发现：__________；（请填写“>”“=”或“<”） (2)【深入探究】如图1，乐乐猜想与的和为定值．试说明理由； (3)【拓展探究】如图2，乐乐将这副三角尺的直角顶点重合，并将三角尺的边与边重合作为起始位置．固定，将绕点逆时针旋转．当边与边重合时停止旋转，在旋转过程中，这副三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出度数；若不存在，请说明理由． 5．如图，直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且． (1)求证：； (2)点是线段上的一点，若，，则 ； (3)点是线段上的一点，，在射线上取一点，连接，直线交直线于点，，则的值是否为定值？请说明理由． ◆题型2“拐点”相关探究数量关系 6．【模型引入】图1是平行线几何中经典猪蹄模型，依托平行线性质，过拐点作辅助平行线是破解此类角度计算的通用方法．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)【特例探究】 在图1中，若，，则的度数为_____； (2)【总结归纳】 探究图1中，与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 已知，点，分别在直线，上，点，均在直线的右侧，连接，，，，且平分． ①如图2，若点，均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 7．如图，，射线交于点F．点G在折线上运动（不与D，F重合），点H在直线上运动（不与点F重合）． (1)如图1，当点G在上，点H在点F右侧时，连接交于M，与的角平分线交于点P．求证：． (2)当点G在射线上运动时，连接，与的角平分线所在直线交于点P，画出所有符合题意的图形，并用等式表示和的数量关系（直接写出结论）．注：本小题的每一种情况均需单独画图表示，如将多种情况画在一个图里，将不能得分． 8．已知直线，直线交于点，交于点． (1)如图，若平分，平分，连接，当时，求； (2)如图，若，，．当时，用含的式子表示的度数； (3)若，平分，，请在备用图中画出示意图形，并直接写出，之间的关系：________． 9．综合与实践 如图，，点为平面内任意一点，连接，，某数学兴趣小组对，，之间的数量关系进行了探究学习． 【探究一】当点在如图所示位置时，通过测量，得到猜想结果：； 证明：过点作， ， ∵，， ， ， ， ． (1)【探究二】当点在如图所示位置时，猜想，，之间的数量关系，并给出证明； (2)【探究三】当点在如图所示位置时，请直接写出，，之间的数量关系，不要求给出证明； (3)【探究四】若，请在图中找到一个符合条件的点，并补全图形，不要求给出证明； (4)【思维拓展】当点，在如图所示位置时，请写出，，，之间的数量关系，并给出证明． 10．某学习小组总结归纳了一种方法：对于平行线中的拐点问题，可以通过过拐点作平行线，再运用平行线的性质来解决问题，请你利用这个方法解决以下问题： 已知直线，点、分别在直线、上，连接、．      (1)如图，点在、之间，若，，则________；请归纳总结、和之间的数量关系，并加以证明； 【学以致用】 (2)如图，点、在、之间，平分，平分，若，求的度数； 【深入探究】 (3)如图，点、在下方，平分，平分，若，求的度数． ◆题型3三角板相关问题 11．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线，，，． (1)若，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现，请你进行证明； (3)缜密小组将图形变化为如图3所示的形式，请你写出和的数量关系并说明理由． 12．将一副三角板和进行摆放，其中，，，． (1)如图1，点B在边上，转动三角板，当时，与的位置关系是____； (2)如图2，点A，D均在线段上，与交于点G，猜想的度数，并说明理由； (3)如图3，点C在上，点E在上，过点A作，求的度数． 13．【问题情境】 一副三角尺，，，，．将它们按照如图1所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数．嘉淇的解法如下． 解：过点作． ，（依据1）． ，（依据2）． 又，（依据3）， ， ． (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”和“依据3”分别是指： 依据1：____________________________________________________________； 依据2：____________________________________________________________； 依据3：____________________________________________________________； 【问题迁移】 (2)将两个三角尺按如图2所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，点在上，与相交于点，求的度数； 【问题深化】 (3)如图3，若三角尺不动，将两个三角尺的顶点与重合，把三角尺绕点转动（点在直线上方，且），使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出的度数． 14．如图，直线，三角形的顶点在直线上，顶点和顶点在两条平行线之间，其中，．的平分线交直线于点，设的度数为． (1)如图，若，求的值． (2)过点的直线分别交，于点，（点不与点重合）． ①如图，若，请判断与的位置关系，并说明理由． ②若的角平分线交直线于点，求的度数（用含的代数式表示）． 15．两张直角三角形纸片按如图1方式摆放，已知，，，，点D恰好落在的延长线上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点P在上，连接，，作的平分线交于点H， ①若，求出的度数． ②记，．当与四边形的一条边平行时，求与的关系． ◆题型4旋转相关问题 16．如图1，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点，，的角平分线交于点，为线段上一动点（不与，重合），连接交于点． (1)当时，求． (2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系． (3)在（1）的条件下，将三角形绕着点以每秒的速度逆时针旋转（其它点不动），旋转时间为，则在旋转过程中，当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，直接写出此时的值． 17．已知，，点，分别在，上，点在两直线之间，连接，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的角平分线交于点，点是延长线上一点，连接，若，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，连接，，平分，，，线段绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒，当射线与或平行时，直接写出的值． 18．已知，如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（）秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 19．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． (1)【操作发现】：如图（1），当三角尺的顶点在直线上时，若，则_____°； (2)【探索证明】：如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】：如图（3），把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线所夹锐角的度数． 20．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒，在旋转过程中，若边，求的值； ◆题型5存在性问题 21．如图已知，有一块三角板，其中，，现将该三角板如图所示放置，使顶点始终落在上，过点作交于点． (1)如图1，若，则___________； (2)若的平分线交于点； ①如图2，是否存在，使得与同时成立，若存在请求出，若不成立，请说明理由． ②如图3，将三角板沿直线从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持不变，请探究与之间的数量关系． 22．已知两直线，且 ，直角三角尺中，，． (1)【操作发现】如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，则 °； (2)【探索证明】如图2，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点，点始终在直线为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线所夹锐角的度数； (3)【拓展应用】如图3，改变三角尺的位置，将直角三角尺的一边放在直线上（点在直线上），另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角尺绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（为常数），求的值． 23．已知：，、是上的点，、是上的点，满足． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 1．综合与实践 问题情境：在项目化学习活动中，七年级某班以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景，开展“提出问题—解决问题”的学习活动，请你参与活动，解决以下问题． 已知在直角三角尺ABC中，． 初步探究： (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点与三角尺的直角顶点重合，，则 度； (2)如图2，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，若，求的度数． 深入探究： (3)如图3，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 2．综合实践 【实践操作】在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． 【操作发现】 (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，则___________； 【实践应用】 (2)如图2，过点作，若平分，平分，求的度数； 【拓展延伸】 (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系．（分别从点在直线上方和下方讨论） 3．如图，直线，点分别是直线上一点，点是直线之间一点，且点在直线的左侧，连接，，平分，． (1)若，则的度数为___________； (2)求证：； (3)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 4．如图1，直线，直线与直线分别交于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)点是射线上一个动点（点不与点重合），的平分线交直线于点，过点作交直线于点， ①当点在线段上时，如图2，用等式表示和之间的数量关系，并证明； ②当点在线段的延长线上时，直接写出用等式表示的和之间的数量关系． 5．年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节 目中的机器人名为，  将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更 体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】图是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面保持水平，此时， ，则的度数是多少？ 【思考过程】依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 请完成下面推理过程． (1)解：如图，过点作，过点作，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴（          ）， ∴， ∵， ∴ （         ）， ∴ ． 【迁移应用】 如图，在一款手推车的平面示意图中． (2)若，，则 ； (3)写出之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 (4)如图，，直线交于点，交 于点，点是线段上的 一 点，，平分，平分，则 ． 6．某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：； 请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵， ∴（____________）， ∵， ∴（____________）， ∴______， ∵， ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______； (3)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 7．综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 (1)如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则____________． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． (2)“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． (3)“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板DEF不动，三角板ABC绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 8．已知点均为定点，直线，，点为射线上一个动点（点不与点重合），连接， (1)如图1，当点在线段上时，若，则的度数为_____； (2)如图2，当点在线段上时，的角平分线和的角平分线交于点． ①补全图形； ②用等式表达与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，射线平分，点在直线的下方，且满足射线，请直接写出的度数． 9．如图，直线与线段，直线交于点、，，点为直线上一点（不与点重合），连接，过点作射线，交于点（点在点之间）． (1)若点在线段上． ①如图1，若为钝角，，求的度数； ②如图2，若为锐角，判断与的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 10．综合与实践： (1)如图1，，E为图形内一点，连接得到，求、、之间的关系，并说明理由． 探究应用：可以利用（1）中结论解决下面问题： (2)如图2，，直线分别交于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5相交线与平行线压轴题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1定值问题 题型2“拐点”相关探究数量关系 题型3三角板相关问题 题型4旋转相关问题 题型5存在性问题 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1定值问题 1.(1)证明：如图，过点O作OM‖a, A B/ D八 ∴.∠BA0=∠1， .'allb, ..OM Ib, ∴.∠DC0=∠2， :∠1+∠θC, ∴.∠BAO+∠DCO=∠AOC (2)∠AE0+∠CF0是定值，为135°， (3)155°或55° 2.(1)110° (2)是定值为90°，理由如下： 由题意，EFGH,∠1=∠2，∠3 1/19 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EFG+∠FGH=180°， 则∠ 1+∠ 2+∠ 即2∠ 2, ∠ 2+, ∴.∠MNQ=180°-90°=90°： H (6号或90°-g 3.(1).∠EAD=∠D∠ B=∠D, ∴.∠EAD=∠B, .AD BC, .∴.∠AGK=∠CKG. .∠CKG=∠CGK, ∴.∠AGK=∠CGK, ∴.GK平分∠AGC. (2)37° (3)是定值，18.5° 4.(1)尸 (2)解：∠ECB与∠ACD的和为定值，理由如下： .∠ECB=90°+∠DCB,∠ACD=90°-∠DCB, .∠ECB+∠ACD=90°+∠DCB+90°-∠DCB=180°： (3)∠ACD度数为45°或60°或105°或135°或150°. 5.(1)证明：，EG平分∠FEC, .∠FEG=∠CEG, ,∠EGF=∠GEF, .∠EGF=∠CEG, ..AB CD: (2)70； 2/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：是定值，理由如下： 设∠QFG=c,则：∠QFE=5∠QFG=5o,∠QFM=3∠QFG=3a, 当点M在线段EG上时，如图： G B :.∠GFN=∠QFG+∠QFM=4o,∠GFE=∠QFG+∠QFE=6o, AB‖CD, ∴.∠FNE=∠GFN=4a,∠CEF=180°-∠GFE=180°-6a,∠AGE=180°-∠CEG, EG平分∠FEC, ∠FGE=∠CEG3∠CEF=90P-3a, ∴.∠AGE=180°-∠CEG=90°+3a, 同(2)法可知：∠GMN=∠FGE+∠GFN=90°-3a+4a=90°+a, ∠AGE-∠GMN_90°+3a-90°-a_ .ㄥFNE 4a 2,是定值： 当点M在线段EG的延长线上时，作MK‖AB,如图，则MK‖AB‖CD M ----K A- C N D ∴.∠FNE=∠AFM=∠QFM-∠QFG=2a,∠KMN=∠N=2o,∠EMK=∠CEG, 同上可得：∠AGE=90°+3a,∠CEG=90°-3， ∴.∠EMK=∠CEG=90°-3a, ∴.∠GMN=∠EMK-∠NMK=90°-3a-2a=90°-5a, ∠AGE-∠GMN-90°+3a=90+5a=4为定值： ∠FNE 2a ∠AGE-∠GMN=1 综上：当点M在线段EG上时，∠FNE :当点M在线段EG的延长线上时， 3/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AGE-∠GMN ∠FNE ◆题型2“拐点”相关探究数量关系 6.(1)25 (2)解：∠APC=∠A+∠C,理由如下： 过点P作PE‖AB,如图1所示， A B E .AB CD D 图1 .AB PE CD, ∴.∠APE=∠A,∠CPE=∠C, ∴.∠APE+∠CPE=∠A+∠C,即∠APC=∠A+∠C: (3)①50°；②∠MP1N+∠MPN=3a 7.(I)如图，过点P作PN‖CD,则∠DGP=∠GPN, .CD AB .PN‖AB,∠D=∠DFH,∠DGH=∠GHF, ∴.∠FPN=∠PFH, ,∠DGH与∠DFH的角平分线分别是GP与FP, .DGP--DGH-T-GHF.PPH-DFH-D, ,∠GPF=∠FPN+∠GPN=∠PFH+∠DGP, ∴∠GPF=3eD+3GH=eD+∠GHL 即∠P=∠D+∠GH: CG D H B 图1 4/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②咖图2，t时2FPpH+∠DGH=90e: ,∠GHB+∠GHF=180°，GHF4∠DFH+∠FGH=180°， ∴.∠GHB=∠DFH+∠FGH, ∴.∠FGH=∠GHB-∠DFH, HP,FP分别是∠GHB,∠DFH的角平分线， :∠PHB=号∠GHB,∠PFH=号∠DFH, 同理得∠PHB=∠FPH+∠PFH, .∠FPH=∠PHB-∠PFH 号2GHB-分<DEH =∠GHB-∠DFH 2 FCH =1180°-∠DGH -90-克<DGH, 即∠FPH+号∠DGH=90, D B E 图2 如图3，此时∠FPH+号∠DGH=180: ,HP,FP分别是∠GHB,∠DFH的角平分线， PHB=吃GHB,∠PH=DH, .∠FPH=180°-∠PHB+∠PFH =180-2GHB+2DH 5/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 气180°-7180-∠FGΠ =I80-3<DGH, :∠FPH+片∠DGH=180: D G B A H E 图3 如图4，此时∠PPH+号∠DGH=90: C A 图4 作∠HFG,∠FHG的平分线，两平分线交于点P, :∠PFH=号∠HFG,∠PHF=号∠GHP, 2 2 ∠EpH=180-2<rG+2G=180-3180-2DGH=90+7<DGH, ,HP,FP分别是∠GHB,∠DFH的角平分线， ∠PHB-=3<GH,∠PFH=2DFH, ∠PFP=∠PFH+∠PpH∠DFH+∠HG-g0, 同理∠PHP=90°， ∴.∠FPH+∠FPH=360°-∠P℉P-∠PHP=180°， :.∠FPH=180°-∠FPH=180°- 90+3<DGH=90-3DGH 2 6119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即∠p阳+号 ∠DGH=90°： 如图5，此时2FPH号<DGH :∠BFG+∠GFH=180°，GFH4∠GHF+∠DGH=180°， .∠BFG=∠GHF+∠DGH, .∠DGH=∠BFG-∠GHF=∠DFH-∠GHF, 同理∠HFN=∠FPH+∠FHP ∴.∠FPH=∠HFN-∠FHP, HP,FN分别是∠GHB,∠DFH的角平分线， ∴∠PHB=3∠GH,∠HN=∠DFH, :∠FPH=∠HFN-∠FHP-∠DFH-∠GHF=号∠DGH, C D H F G 图5 8.(1)35 (2)∠Q=60°-x°： (3) M A -B C D3∠P+2∠Q=180° 9.(1)探究二：∠APC=∠A+∠C,证明如下： 如图，过点P作PEAB, 7119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠APE=∠A PE‖AB,AB‖CD, .PE‖CD .∠CPE=∠C .∠APC=∠APE+∠CPE=∠A+∠C (2)探究三：∠APC=∠C-∠A, 如图，过点P作PE‖AB, D ∴.∠APE=∠A. .PE‖AB,ABCD, .PE CD. .∠CPE=∠C ∴.∠APC=∠CPE-∠APE=∠C-∠A (3)探究四：若∠AP℃=∠A-∠C,如图点P符合条件， B 过点P作PEAB, ,∠APE=∠A PE‖AB,AB‖CD, ..PE CD, .∠CPE=∠C ∴.∠APC=∠APE-∠CPE=∠A-∠C. (4思维拓展：∠ 1-∠ 2+∠，证明如下： 如图，过点M作ME‖AB,点N作NF‖CD, 8/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E.N ∴.∠1=AME.∠FNC+∠4=180， .AB CD ∴ME‖NF‖AB‖CD, ∴.∠EMN=∠MNF .∠2=AME+∠NME=∠ 1MNF, .∠MNF=∠2， ,∠3-CNF+∠MNF .∠CNF=∠ 3MNF=∠3-∠2z13-∠， ,∠FNC+∠4=180. 3- 2+∠. 10.(I)90°，∠EPF=∠AEP+∠CFP,证明如下： 过点P作PG‖AB,如图所示： A E一B --G C -D F .AB‖CD, PG‖AB‖CD ∴.∠AEP=∠EPG,∠CFP=∠FPG, ∴.∠EPF=∠EPG+∠FPG=∠AEP+∠CFP, ,∠AEP=30°，∠CFP=60°， .∠EPF=90°： (2)∠EQF=55° (3)∠EP℉=70° ◆题型3三角板相关问题 11.(1)∠2=449 (2)证明：如图，过点B作BD‖a,则∠4+ABD=180°， 9/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B .ab b b‖BD, ∴.∠1=DBC, ∴.∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1， ∠ 4+, ∠ 4-. (3)解：∠ 5+. 理由：过点C作CP‖a,如图所示： 6 -.P M -b A 设∠CAM=X,则∠BAM=∠CAM+∠BAC=30°+X, 又.ab, .CP|b,∠6BAM=30°+x, .∠PCA=∠CAM=X, .∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-X, .Cp‖a, ∴.∠5=BEP=90°-X, 5+xz6B0908=120°」 12.(1)BC‖EF (2)∠CGF=75°， 理由是：过点G作GM‖BC, 10/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.∠DEF=∠ABC=90° G B E D ∴.∠DEF+∠ABC=180° .EF‖BC ∴.EF‖MG‖BC, ∴.∠MGF=∠EFD=30°，∠MGC=∠ACB=45°， ∴.∠CGF=∠MGF+∠MGC=∠EFD+∠ACB=30°+45°=75° (3)135° 13.(1)两直线平行，内错角相等：同旁内角互补，两直线平行：平行于同一直线的两条直线相互平行 (2)15° (3)∠ABE的度数为15°或45°或60°. 14.(1)76: (2)①EF‖AB,理由如下： .MN‖PQ, ∴.∠NEF+∠EFD=180°， .∠EFD=180°-2x, .∠NEF=180°-(180°-2x), .∠NEF=2x, .∠NAB=2x, ∴.∠NEF=∠NAB .EF‖AB,②76-x°或x+14° 15.(1)解：AD‖BE,理由如下： :∠ABC=45°，∠DBE=30°，∠CBD=15°， ∴.∠ABE=∠ABC+∠CBD+∠DBE=90°， ∴.∠ABE+∠A=180°， ..AD BE: (2)①135°；②当PH‖AB时，c=B;当PH‖DE时，a-B=30° ◆题型4旋转相关问题 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(1)∠AKF=75° (2)∠AKF=∠HAK+∠DFH (3)t的值为3s,6s,10.5s,12s或15s 17.(1)80° (2)解：∠ACB=180°-2∠ADB, 理由如下： 设∠EAM=O,∠DBM=B, .:AM平分∠EAC,∠CBH=2∠DBM ∴.∠EAC=2∠EAM=2a,∠CBH=2∠DBM=2B, 分别过点C,D作CP‖EF,DQ‖EF, 如图所示： E --〉C M .EF‖GH G D ∴.CP‖DQEF‖GH, .∴∠ADQ=∠EAM=C,∠BDQ=∠DBM=B, ∴.∠ADB=∠ADQ-∠BDQ=a-B, 根据解析(1)可知：∠ACB=∠CAF+∠CBH=180°-2a+2β， .∴.2ADB+∠ACB=180°， 即∠ACB=180°-2∠ADB: (3)t=30或t=66 18.(1)135° (2)解：2∠PFQ-∠PEQ=180°， 理由如下：如图，延长PE交CD于G,设PE,FQ交于点H, M P一B F H D 12/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设∠APE=2a,则∠FP阳H-号∠APE=R .AB CD, .∠PGQ=∠APE=2C, .'∠GEQ=180°-∠PEQ, .∠EQG=180°-2a-180°+∠PEQ=∠PEQ-2a, ∴.∠EQD=180°-∠PEQ+2a, 2H0E=32EQD=90+a ∠PEQ, 2 在△EQH和△PFH中， .'∠PEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ, .∴∠PEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH, 即：∠PEQ+90+a-号∠PEQ=a+∠PFQ, ∴.2PFQ-∠PEQ=180°： (3)t=3或6或12或15 19.(1)34 (2)∠ 2-，理由见解析 (3)84°或20 20.(1)∠DEQ=60° (2)t的值为5s或35s ◆题型5存在性问题 21.(1)40° a060:@150°7或时a+30°或60或120+片0 22.(1)30 (2)84° (3)19 23.(1)见详解 (2)45° s8-号 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 1.(1)30° (2)25° (3)∠BCG-∠CAM=90° 2.(1)110° (2)45° (3)当点F在直线CD上方时，∠AGF-∠CEF=90°；当点F在直线AB下方时，∠CEF-∠AGF=90° 3.(1)130° (2) 证明：如图，延长EG交CD于点K, G 0 CK F D .AB‖CD, .∠AEG=∠EKF, .FH‖GE, .∠EKF=∠DFH, .∠AEG=∠DFH. EG平分∠AE0, ∴.∠AEG=∠OEG, .∠OEG=∠DFH: (3) 解：∠OFH=∠AEG+60°，理由如下： 如图，过点O作ONGE, A H D .FH‖GE,ON‖GE, 14/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..ON FH, ON‖EG, .∠EON=∠OEG, ∴.∠AEG=∠EON, .∠E0F=120°， ∴.∠NOF=120°-∠EON=120°-∠AEG, .ON FH, ∴.∠NOF+∠OFH=180°， .∠OFH=180°-∠NOF=180°-120°-∠AEG=∠AEG+60°， 即∠OFH=∠AEG+60°. 4.(1) 证明；：AB‖CD, .∠AEP=∠FPE, ,∠AEF的平分线交CD于点P, .∠AEP=∠FEP, ∴.∠FEP=∠FPE； (2)①∠EGF=2∠EHN 证明：当点G在线段P℉上时，如图所示： A E 了PGHF .EH平分∠FEG, .∠HEF=∠HEG, .HN‖EP .∠EHN=∠HEP, ∠FEP=∠FPE. ∴.∠EGF=180°-∠EGP =180°-180°-∠FPE-∠GEP =∠FEP+∠GEP =∠GEP+2∠HEG+∠GEP, 15/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2∠GEP+∠HEG =2∠HEP, .∠EGF=2∠EHN: ②∠EGF=180°-2∠EHN 5.(1)平行于同一条直线的两条直线平行：∠NCD;两直线平行，内错角相等：105° (2)130 (3) 解：∠E+∠EGC-∠C=180°，理由如下： 如图，过点G作GL‖CD: E 一万 A —B ----L ∴.∠CGL=∠C, .CD‖EF,GL‖CD EF‖GL, ∴.∠EGL=180°-∠E, 又，∠EGL+∠CGL=∠EGC, .180°-∠E+∠C=∠EGC, .∠E+∠EGC-∠C=180°： (4)135° 6.(I)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；∠DPM;∠D (2)82 (3) ∠PFC-∠PEA=∠EPF,理由如下： 过点P作PH‖AB(点H在点P的右侧)， ------H B D .∠HPE∠PEA, .AB‖CD, 16/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..PH CD .∠HPF∠ PFC, ∴.∠EPF=∠HPF-∠HPE=∠PFC-∠PEA 7.(1)135° (2)BC平分∠ABF,理由： ,AC‖DF,∠C=45°， .∴.∠CBF=∠C=45°， .'∠ABC=45°， ∴.∠ABC=∠CBF, .BC平分∠ABF: (3)30°或60°或120°或150° 8.(1)30° (2)①如图所示： D M ②解：∠APC=2∠AMC,理由如下， .AM是∠BAE的平分线， ∴.∠BAM=∠EAM=21°， .'AM是∠DCP的平分线， .∴.设∠DCM=∠PCM=0, ∴.∠DCP=2o, 如图，过点P作PF‖AB,过点M作MG|AB,则AB‖PF I MG I CD, ∴.∠DCP=∠CPF=2a∠BAE=∠APF=42°∠DCM=∠CMG=o G E ∠BAM=∠AMG=21°， 17/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠APC=∠CPF-∠APF=2a-42°，∠AMC=∠CMG-∠AMG=a-21°， 故∠APC=2∠AMC: (3)21°或69° 9.(1)①110°： ②∠FGC=90°+∠A,理由如下： 如图，作FK‖AB, -.FK‖AB D 图2 ∴.∠AFK=∠A, FG⊥AF ∴.∠AFG=90°， ∴.∠KFG=90°-∠AFK=90°-∠A, ,·FK‖AB,AB‖CD, .FK CD, ∴.∠KFG+∠FGC=180°， ∴.∠FGC=180°-∠KFG=180°-90°-∠A=90°+∠A: (2)∠FGC=90°-∠A 10.(1) ∠A+∠C=∠AEC, 如图所示，过点E作EFAB, EF AB .∠A=∠1， .EFAB,AB CD, ∴.EF‖CD, .∴.∠C=∠2， ∴.∠A+∠C=∠ 1, ∴.∠A+∠C=∠AEC: 18/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B FE (2) 证明：利用(1)中结论可得∠FG1E=∠BEG1+∠G2FD,∠G2=∠162ED, ∴.∠FG1E+∠G2=∠BEG1+∠G2FD+∠1G2ED=∠BEG1+∠1G2D, ,'AB‖CD,FG2平分∠EFD, ∴.∠AEF=∠EFD=2∠G2FD, 又∠1=， ∴.∠FG1E+∠G2=∠BEG1+∠2AEF=180°， 即∠FG1E+∠G,=180°， 19/19 专题05 相交线与平行线压轴题 常考题型·精准突破 题型1 定值问题 题型2 “拐点”相关探究数量关系 题型3 三角板相关问题 题型4 旋转相关问题 题型5 存在性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1定值问题 1．已知，点、在直线上，点、在直线上，直线与直线交于点． (1)如图1，求证； (2)如图2，已知，平分交于点，平分交于点，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； (3)如图3，已知，的平分线交直线于点，点在线段上（点不与点、重合），点在直线上（点不与点重合）．若，且，则________． 【答案】(1)证明：如图，过点作， ， ， ， ， ， ； (2)是定值，为， (3)或 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，结合角的和差关系进行求解即可； （2）过点、分别作，，根据角平分线的定义和平行线的性质，进行求解即可； （3）过点作，分点在点左侧和点在点右侧两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：是定值，为， ， ， 平分，平分， ，， ， 由（1）知：， ， 过点、分别作，， ，，， ， 又， ，，， 由（1）知：， ， 又，， ； （3）解：过点作，则，， ， ， ， ， 为的平分线， ， 即， ，， ，， ； ①如图，当点在点左侧时， 过点作， ， ， ，， ， ； ②如图，当点在点右侧时， 过点作， ， ， ，， . 2．如图，，是两个镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有，光线是由镜面反射得到． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，当入射光线与经两次反射后的光线平行时，两个平面镜的夹角是否为定值？若是定值，请求出该夹角的度数；若不是定值，请说明理由； (3)在（2）的条件下，设（），增添一个平面镜，放在恰当位置，使光线的反射光线平行于镜面，试求镜面与镜面的夹角（夹角为锐角），并说明理由． 【答案】(1) (2)是定值为，理由如下： 由题意， ∴， 则， 即， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用光线反射和平行线的性质求解即可； （2）利用光线反射和平行线的性质求解即可； （3）分两种情况进行讨论，根据光线反射知，结合平行线的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由题意， ∴； （2）解：略； （3）解：如图，过点作， 反射光线， ∴， ∴，，， 由题意，且由（2）得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ； 如图，过点作， 反射光线， ∴， ∴，，， 由题意且由（2）得， 可知，，， ∵， ∴， ∴， ； 综上可知，镜面与镜面的夹角（夹角为锐角）为或． 3．如图，在线段的延长线上，，，，交于，为线段上一点． (1)求证：平分； (2)若的余角比大，求的度数； (3)射线平分，在（2）的条件下，试判断的度数是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， ， ， ． ， ， 平分． (2) (3)是定值， 【分析】（1）根据角之间的关系证明，即可证明结论成立； （2）根据的余角比大且，列方程并解方程即可求出的度数； （3）根据角平分线的定义和各角之间的关系得到，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：的余角比大， ． ， ， ． （3）是定值， 平分 ， ． 平分， ， 即， ， ， ， ． 4．数学学习需动手实践和深入思考．在数学实践课上，乐乐利用一副三角尺的叠放和旋转，探究解决了以下问题． (1)【操作思考】如图1，乐乐将这副三角尺叠放在一起时发现：__________；（请填写“>”“=”或“<”） (2)【深入探究】如图1，乐乐猜想与的和为定值．试说明理由； (3)【拓展探究】如图2，乐乐将这副三角尺的直角顶点重合，并将三角尺的边与边重合作为起始位置．固定，将绕点逆时针旋转．当边与边重合时停止旋转，在旋转过程中，这副三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)= (2)解：与的和为定值，理由如下： ∵，， ∴； (3)度数为或或或或． 【分析】（1）利用同角的余角相等证明即可； （2）求得，，两式相加即可求解； （3）分五种情况讨论，画出图形即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：略 （3）解：当与平行时，， ∴； 当与平行时，， ∴； 当与平行时， 作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当与平行时，； 当与平行时，； 综上，度数为或或或或． 5．如图，直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且． (1)求证：； (2)点是线段上的一点，若，，则 ； (3)点是线段上的一点，，在射线上取一点，连接，直线交直线于点，，则的值是否为定值？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)； (3)解：是定值，理由如下： 设，则：，， 当点在线段上时，如图： ∴，， ∵， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， 同（2）法可知：， ∴，是定值； 当点在线段的延长线上时，作，如图，则， ∴，，， 同上可得：，， ∴， ∴， ∴为定值； 综上：当点在线段上时，；当点在线段的延长线上时，. 【分析】（1）根据角平分线的定义，结合已知条件，得到，即可得证； （2）作，根据平行线的性质，结合角的和差关系进行求解即可； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：作， 由（1）知：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）略 ◆题型2“拐点”相关探究数量关系 6．【模型引入】图1是平行线几何中经典猪蹄模型，依托平行线性质，过拐点作辅助平行线是破解此类角度计算的通用方法．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)【特例探究】 在图1中，若，，则的度数为_____； (2)【总结归纳】 探究图1中，与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 已知，点，分别在直线，上，点，均在直线的右侧，连接，，，，且平分． ①如图2，若点，均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 过点作，如图1所示， ， ， ，， ，即； (3)①；② 【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质得到，，据此求出的度数即可得到答案； （2）过点作，则，根据平行线的性质得到，，则可证明； （3）①由（2）的结论得，．则由角平分线的定义可推出，据此可得，则．②过点作，由角平分线的定义得到．设．证明，得到，，则，由（2）的结论得，据此可得结论． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示． ， ， ，， ∵， ． （2）略 （3）解：①由（2）的结论得，． 平分，平分， ，， ． ， ， ． ②过点作，如图2所示． 平分，， ． 平分， 设． ，， ， ，， ， 由（2）的结论得， ． 7．如图，，射线交于点F．点G在折线上运动（不与D，F重合），点H在直线上运动（不与点F重合）． (1)如图1，当点G在上，点H在点F右侧时，连接交于M，与的角平分线交于点P．求证：． (2)当点G在射线上运动时，连接，与的角平分线所在直线交于点P，画出所有符合题意的图形，并用等式表示和的数量关系（直接写出结论）．注：本小题的每一种情况均需单独画图表示，如将多种情况画在一个图里，将不能得分． 【答案】(1)如图，过点P作，则， ∵， ∴，， ∴， ∵与的角平分线分别是与， ∴，， ∵， ∴, 即； (2)如图2，此时； ∵， ∴， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， 同理得， ∴ ， 即； 如图3，此时； ∵分别是的角平分线， ∴， ∴ ， ∴； 如图4，此时； 作的平分线，两平分线交于点， ∴， ， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， 即； 如图5，此时． ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴． 【分析】（1）过点P作，利用平行线的性质及角平分线平分角的性质，结合角的和差运算即可证明； （2）分四种情况画出图形，结合图形，利用平行线的性质、角平分线的性质即可得到和的数量关系． 【详解】（1）证明：略； （2）解：略． 8．已知直线，直线交于点，交于点． (1)如图，若平分，平分，连接，当时，求； (2)如图，若，，．当时，用含的式子表示的度数； (3)若，平分，，请在备用图中画出示意图形，并直接写出，之间的关系：________． 【答案】(1) (2)； (3) . 【分析】（1）由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，根据等量代换可得，得到，然后根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质，推出，，，由平角的定义得到，进而得到，再根据角的数量关系即可得出结果； （3）同（2）法即可得出结论. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵，， ∴， ∴，，， ∵，平分，， ∴，， ∴. 9．综合与实践 如图，，点为平面内任意一点，连接，，某数学兴趣小组对，，之间的数量关系进行了探究学习． 【探究一】当点在如图所示位置时，通过测量，得到猜想结果：； 证明：过点作， ， ∵，， ， ， ， ． (1)【探究二】当点在如图所示位置时，猜想，，之间的数量关系，并给出证明； (2)【探究三】当点在如图所示位置时，请直接写出，，之间的数量关系，不要求给出证明； (3)【探究四】若，请在图中找到一个符合条件的点，并补全图形，不要求给出证明； (4)【思维拓展】当点，在如图所示位置时，请写出，，，之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)探究二：，证明如下： 如图，过点P作， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． (2)探究三：， 如图，过点P作， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． (3)探究四：若，如图点P符合条件， 过点P作， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． (4)思维拓展：，证明如下： 如图，过点M作，点N作， ∴．， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）两直线平行，内错角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，内错角相等； （4）两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略； （4）略． 10．某学习小组总结归纳了一种方法：对于平行线中的拐点问题，可以通过过拐点作平行线，再运用平行线的性质来解决问题，请你利用这个方法解决以下问题： 已知直线，点、分别在直线、上，连接、．      (1)如图，点在、之间，若，，则________；请归纳总结、和之间的数量关系，并加以证明； 【学以致用】 (2)如图，点、在、之间，平分，平分，若，求的度数； 【深入探究】 (3)如图，点、在下方，平分，平分，若，求的度数． 【答案】(1)，，证明如下： 过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； (2) (3) 【分析】（1）过点作，则有，然后可得，进而问题可求解． （2）分别过点作，同理（1）可知：，然后可得，进而问题可求解； （3）分别过点作，由题意易得，，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：分别过点作，如图所示： ∴， 同理（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：分别过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型3三角板相关问题 11．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线，，，． (1)若，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现，请你进行证明； (3)缜密小组将图形变化为如图3所示的形式，请你写出和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ． (3)解：． 理由：过点作，如图所示： 设，则， 又， ，， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先求得，再利用平行线的性质，即可求解； （2）过点作，可得，即可证明结论； （3）过点作，设，则，，可得，，即可得结论． 【详解】（1）解：，， ， ， ． （2）略 （3）略 12．将一副三角板和进行摆放，其中，，，． (1)如图1，点B在边上，转动三角板，当时，与的位置关系是____； (2)如图2，点A，D均在线段上，与交于点G，猜想的度数，并说明理由； (3)如图3，点C在上，点E在上，过点A作，求的度数． 【答案】(1) (2)， 理由是：过点G作， ， ， ，， ． (3) 【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可得出． （2）过点G作，先得出，然后由平行线的性质得出，，然后根据角的和差关系即可得出． （3）延长交于点N，过点C作，由题意得出点B，E，C，D四点在同一条直线上，先得出，由平行线的性质得出，，由角的和差关系得出，再得出，由平行线的性质得出，，最后由角的和差关系即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：略 （3）解：延长交于点N，过点C作， ∵点C在上，点E在上， ∴点B，E，C，D四点在同一条直线上， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ，， ． 13．【问题情境】 一副三角尺，，，，．将它们按照如图1所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数．嘉淇的解法如下． 解：过点作． ，（依据1）． ，（依据2）． 又，（依据3）， ， ． (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”和“依据3”分别是指： 依据1：____________________________________________________________； 依据2：____________________________________________________________； 依据3：____________________________________________________________； 【问题迁移】 (2)将两个三角尺按如图2所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，点在上，与相交于点，求的度数； 【问题深化】 (3)如图3，若三角尺不动，将两个三角尺的顶点与重合，把三角尺绕点转动（点在直线上方，且），使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两条直线相互平行 (2) (3)的度数为或或． 【分析】（1）根据平行线的性质解答即可； （2）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求解； （3）分四种情况讨论，结合平行线的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作， ，， ； （3）解：当时，如图， ∴，， ∴； 当时，如图， ∴， 此时点在上， ∴； 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，的度数为或或． 14．如图，直线，三角形的顶点在直线上，顶点和顶点在两条平行线之间，其中，．的平分线交直线于点，设的度数为． (1)如图，若，求的值． (2)过点的直线分别交，于点，（点不与点重合）． ①如图，若，请判断与的位置关系，并说明理由． ②若的角平分线交直线于点，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；②或 【分析】（1）先由角平分线的定义得，再根据平行线的性质即可求解； （2）①由得，结合已知推出，又，同位角相等判定． ②分在左侧、在右侧两种情况讨论；先表示，由角平分线得，结合，利用两直线平行内错角相等求． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①略； ②情况1：点在点左侧时，如图， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴； 情况：点在点右侧时，如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 综上，或． 15．两张直角三角形纸片按如图1方式摆放，已知，，，，点D恰好落在的延长线上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点P在上，连接，，作的平分线交于点H， ①若，求出的度数． ②记，．当与四边形的一条边平行时，求与的关系． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴； (2)①；②当时，；当时， 【分析】（1）可证明，则可证明，据此可证明； （2）①延长交于点T，过点T作，则可求出，进而得到，再由平行线的性质可得答案；②分两种情况：和，根据平行线的性质和角平分线的定义讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①如图2所示，延长交于点T，过点T作， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴； ②当时，则， ∵平分， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即； 综上所述，当时，；当时，． ◆题型4旋转相关问题 16．如图1，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点，，的角平分线交于点，为线段上一动点（不与，重合），连接交于点． (1)当时，求． (2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系． (3)在（1）的条件下，将三角形绕着点以每秒的速度逆时针旋转（其它点不动），旋转时间为，则在旋转过程中，当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为，，，或 【分析】（1）利用三角形三个角的和为，可得，利用角平分线的定义，可求，再根据平行线的性质和角之间的关系，可求，，，最后根据三角形三个角的和为和邻补角的定义，可得，即可求解； （2）根据平行线的性质，可得，再根据三角形三个角的和为和邻补角的定义，可得，最后等量代换即可求解； （3）分五种情况讨论，根据平行的性质分别求出旋转的角度，再计算即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， 是的角平分线， ， ， ，， ，， ，即， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解：当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，的值为，，，或； 由（1）可知，，，， ， ，， ①如图1，当时，与相交于点， ， ， ， ， ； ②如图2，当时， ， ， ； ③如图3，当时， ， ， ， ； ④如图4，当时， ， ， ， ； ⑤如图5，当时， ， ， ， ； 综上所述：当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，的值为，，，或． 17．已知，，点，分别在，上，点在两直线之间，连接，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的角平分线交于点，点是延长线上一点，连接，若，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，连接，，平分，，，线段绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒，当射线与或平行时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)解：， 理由如下： 设，， 平分，， ，， 分别过点，作，， 如图所示： ， ， ，， ， 根据解析（1）可知：， ， 即； (3)或 【分析】（1）过点作，根据两直线平行，内错角相等，可得； （2）分别过点，作，，根据平行线的性质可知，，根据角之间的关系可得，由即可求出和的数量关系； （3）分和两种情况求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ； （2）略 （3）解：平分， ， 由（1）可知：， 当时，过点作，如图所示： 则， ，， ， ， ， ； 当时，如图所示： ，， ， ， ； 综上所述，或． 18．已知，如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（）秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)解：， 理由如下：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ∵， ， ， ∴， ， ， 在 和 中， ，，， ， 即：， ； (3)或6或12或15 【分析】（1）延长交于，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）参考（1）的解答，根据角平分线性质、平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先计算出的取值范围，再分情况讨论：当时，记的交点为，可得，可得，当在上方时，此时，证明，可得：，当时，如图，可得，求解，当时，如图，记的交点为，过作，证明，可得：． 【详解】（1）解：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ∵， ， ， ， ∴， ， 在和中， ，，， ， 即：， ； （2）略 （3）解：， ∴最长运动时间为：， ， ，是的平分线， ， ∴， 由（1）知，， ， ， ，， ， ， 当时，记的交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 如图：当在上方时， 此时， 如下图： ∵，， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图， 同理可得：，， ∴， 解得：， 当时，如图，记的交点为，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，或6或12或15． 19．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． (1)【操作发现】：如图（1），当三角尺的顶点在直线上时，若，则_____°； (2)【探索证明】：如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】：如图（3），把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1)34 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】(1) 过点作，利用平行线的传递性得到，根据内错角相等得到，，再由列等式求解． (2) 过点作，根据两直线平行同旁内角互补得，根据两直线平行内错角相等得，再结合建立等式求解． (3) 分两种情况讨论：当点在直线上方时，，则；当点在直线下方时，，则，由此解答即可． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， ， ， ， ． （2），理由如下： 解：过点作， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）依题意有以下两种情况： ①当点在直线的上方时，如图（3）①所示： 三角尺的顶点放在直线上且保持不动， ， ，， ， ， ， 直线， ， 即射线与直线所夹锐角的度数为； ②当点在直线的下方时，如图（3）②所示： 三角尺的顶点放在直线上且保持不动， ， ，， ， ， ， 直线， ， 即射线与直线所夹锐角的度数为， 综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或． 20．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒，在旋转过程中，若边，求的值； 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（1）根据平角的定义，求出，由角平分线求出，平行求出，再利用角的和差关系即可得解； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图①中， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）如图2中，Ⅰ，当时，， ， ， ， ， ； Ⅱ如图3，当时，延长至点，则， ， ， ， ， 综上所述，在旋转过程中，若，的值为或． ◆题型5存在性问题 21．如图已知，有一块三角板，其中，，现将该三角板如图所示放置，使顶点始终落在上，过点作交于点． (1)如图1，若，则___________； (2)若的平分线交于点； ①如图2，是否存在，使得与同时成立，若存在请求出，若不成立，请说明理由． ②如图3，将三角板沿直线从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持不变，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】（1）根据平行线的性质解答即可； （2）①根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可求解；②分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①存在，使得与同时成立； ∵，， ∴，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； ②如图3， 当点A在点E左侧时，若点P在点O左侧， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 如图， 当点A在点E左侧时，若点P在点O右侧， ∵是的平分线， ∴， ∴； 如图4所示，当点A在点E右侧时，点P在点O的左侧， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 如图当点A在点E右侧时，点P在点O的右侧， 同理， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 22．已知两直线，且 ，直角三角尺中，，． (1)【操作发现】如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，则 °； (2)【探索证明】如图2，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点，点始终在直线为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线所夹锐角的度数； (3)【拓展应用】如图3，改变三角尺的位置，将直角三角尺的一边放在直线上（点在直线上），另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角尺绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（为常数），求的值． 【答案】(1)30 (2) (3)19 【分析】（1）过点作直线直线，根据平行线的性质和判定解答即可； （2）设，则，则，求出，则，根据，求出，即可解答； （3）根据题意可得当时，在之间，在之间，此时，，则，代入得，整理得：，结合，求出，，即可解答； 【详解】（1）解：如图，过点作直线直线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵点在直线上， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则， ∵， ∴， 即射线与直线所夹锐角的度数为； （3）解：∵三角尺绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，， ∴当时，， ∵， ∴在之间，在下方， 如图， 故旋转秒后，三角尺逆时针旋转了， 此时，， 则，代入得， 整理得：， ∵， ∴，， ∴． 23．已知：，、是上的点，、是上的点，满足． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，结合等量代换进行证明即可； （2）过点N作，设进而得到，结合垂线的性质得到，进而得到，从而问题可求解； （3）由结合（2）中的结论，得、，进而得到及，由角平分线的性质及平行线的性质得到，进而得到，从而计算的值． 【详解】（1）证明：∵； ∴． ∵； ∴． ∴； （2）解：由题意，过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 综合攻坚·知能拔高 1．综合与实践 问题情境：在项目化学习活动中，七年级某班以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景，开展“提出问题—解决问题”的学习活动，请你参与活动，解决以下问题． 已知在直角三角尺ABC中，． 初步探究： (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点与三角尺的直角顶点重合，，则 度； (2)如图2，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，若，求的度数． 深入探究： (3)如图3，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案； （2）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得，结合，，即可获得答案； （3）延长到点，根据“两直线平行，同位角相等”可得，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，延长到点， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．综合实践 【实践操作】在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． 【操作发现】 (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，则___________； 【实践应用】 (2)如图2，过点作，若平分，平分，求的度数； 【拓展延伸】 (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系．（分别从点在直线上方和下方讨论） 【答案】(1) (2) (3)当点F在直线上方时，；当点F在直线下方时， 【分析】（1）根据平行线的性质求出的度数，再由平角的定义可得答案； （2）过点F作，则，由平行线的性质和角的和差关系可证明，由角平分线的定义可得，同理可得，据此可得答案； （3）分两种情况：点F在直线上方，点F在直线下方，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图所示，过点F作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵平分，平分， ∴， 同理可得； （3）解：如图所示，当点F在直线上方时， 过点F作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当点F在直线下方时， 过点F作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当点F在直线上方时，；当点F在直线下方时，． 3．如图，直线，点分别是直线上一点，点是直线之间一点，且点在直线的左侧，连接，，平分，． (1)若，则的度数为___________； (2)求证：； (3)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：如图，延长交于点， ∵，   ∴， ∵，    ∴，    ∴， ∵平分，   ∴， ∴； (3) 解：，理由如下： 如图，过点作， ∵，    ∴， ∵，    ∴，    ∴， ∵，    ∴， ∵，    ∴， ∴， 即． 【分析】（）利用角平分线的定义和邻补角的性质即可求解； （）延长交于点，利用平行线的性质和角平分线的定义即可求证； （）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； 本题考查了角平分线的定义，邻补角的性质，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 4．如图1，直线，直线与直线分别交于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)点是射线上一个动点（点不与点重合），的平分线交直线于点，过点作交直线于点， ①当点在线段上时，如图2，用等式表示和之间的数量关系，并证明； ②当点在线段的延长线上时，直接写出用等式表示的和之间的数量关系． 【答案】(1) 证明；∵， ∴， ∵的平分线交于点P， ∴， ∴； (2)① 证明：当点G在线段上时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴； ② 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果； （2）根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义，三角形的内角和为180度，以及角的和差关系可得到结果； 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②当点G在线段的延长线上时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节 目中的机器人名为，  将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更 体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】图是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面保持水平，此时， ，则的度数是多少？ 【思考过程】依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 请完成下面推理过程． (1)解：如图，过点作，过点作，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴（          ）， ∴， ∵， ∴ （         ）， ∴ ． 【迁移应用】 如图，在一款手推车的平面示意图中． (2)若，，则 ； (3)写出之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 (4)如图，，直线交于点，交 于点，点是线段上的 一 点，，平分，平分，则 ． 【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等； (2) (3) 解：，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (4) 【分析】（）过点作，过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （）过点作，过点作，可得，再利用平行线的性质和角平分线的定义解答即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）略 （4）解：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 6．某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：； 请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵， ∴（____________）， ∵， ∴（____________）， ∴______， ∵， ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______； (3)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；； (2)82 (3) ，理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【分析】本题考查了平行线的性质与“猪蹄模型”的应用，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质推导角之间的数量关系． （1）通过作平行线，利用平行线的性质填写推理依据，推导角的和差关系； （2）过点作平行线，结合平行线的同旁内角互补求角的度数； （3）过点作平行线，利用平行线的内错角相等推导角的差的关系． 【详解】（1）略 （2）解：过点作（点在点的右侧），如图 ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）略 7．综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 (1)如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则____________． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． (2)“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． (3)“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板DEF不动，三角板ABC绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由： ，， ， ， ， 平分； (3)或或或 【分析】（1）根据平行的性质得到，即可得到答案； （2）根据平行的性质得到，证明，即可得到平分； （3）分当，且点C在的右侧时，当，且点C在的上方时，当，且点C在的左侧时，当，且点C在的下方时四种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）略 （3）解：或或或． 详解如下：依题意有以下四中情况： ①当，且点C在的右侧时，如图①所示： ， ； ②当，且点C在的上方时，如图②所示： ； ③当，且点C在的左侧时，如图③所示： ， ④当，且点C在的下方时，如图④所示： ， ， 综上所述：的度数是或或或． 8．已知点均为定点，直线，，点为射线上一个动点（点不与点重合），连接， (1)如图1，当点在线段上时，若，则的度数为_____； (2)如图2，当点在线段上时，的角平分线和的角平分线交于点． ①补全图形； ②用等式表达与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，射线平分，点在直线的下方，且满足射线，请直接写出的度数． 【答案】(1)30° (2)①如图所示： ②解：，理由如下， 是的平分线， ， 是的平分线， 设， ， 如图，过点作，过点作，则， ，，，， ，， 故； (3)或 【分析】本题考查平行的性质，角平分线的定义，能够利用平行的性质作合适的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用两直线平行，同旁内角互补即可求解； （2）根据题意作图即可，过点作，过点作，利用两直线平行，内错角相等即可求解； （3）根据题意，可以分为在右侧和在左侧两种情况，然后按照（2）中的方法求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ； ， ，， ，， ，， ； （2）①略 ②略 （3）解：当在右侧时，如图，过点作， 射线平分，射线平分， 设，， ∴，， ， ，， ， 即， ， ， ； 当在左侧时，如图，过点作， 射线平分，射线平分， 设，， ， ，， ， 即， ， ， ； 综上，为或． 9．如图，直线与线段，直线交于点、，，点为直线上一点（不与点重合），连接，过点作射线，交于点（点在点之间）． (1)若点在线段上． ①如图1，若为钝角，，求的度数； ②如图2，若为锐角，判断与的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①； ②，理由如下： 如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； (2) 【分析】（1）①作，由平行线的性质得，由垂直的定义得，进而求出，再证，根据平行线的性质可得答案；②作，同①可得； （2）作，同（1）利用平行线的判定和性质求解． 【详解】（1）解：①如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②略 （2）解：． 证明：如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 10．综合与实践： (1)如图1，，E为图形内一点，连接得到，求、、之间的关系，并说明理由． 探究应用：可以利用（1）中结论解决下面问题： (2)如图2，，直线分别交于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． 【答案】(1) ， 如图所示，过点E作， ， ， ，， ， ， ， ；     (2) 证明：利用（1）中结论可得 ， ， ， ，平分， ， 又 ， ， 即． 【分析】（1）过点E作，则，由平行线的性质得，，可得； （2）利用（1）中结论可得 ， ，由，平分，可得 ，结合，可证． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $