专题05 有理数的种规律探究问题（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 以“从特殊到一般”为核心通法，系统梳理有理数8类规律探究问题，构建“题型特征-解题方法-易错提醒”三维训练体系，培养抽象、推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心思路|从特殊到一般，验证规律|统领8类题型的通用解题框架| |数字类|1典例+4变式|等差/等比数列公式，符号控制|从具体数列到n项表达式的抽象| |四则运算|1典例+4变式|等式左右与n的关系分析|运算规律的归纳与验证| |乘方/数轴/周期/表格/末尾数字/新定义|每类型1典例+3-5变式|乘方周期、数轴位移、周期余数定位等|各类情境中规律的识别与迁移|

专题05 有理数的8种规律探究问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、数字类规律探究 1 类型二、四则运算中的规律探究 2 类型三、乘方中的规律探究 7 类型四、数轴中的规律探索 11 类型五、周期中的规律探索 15 类型六、表格中的规律探索 17 类型七、末尾数字规律探索 23 类型八、新定义有关的规律探索 25 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 规律探究题是有理数章节的热门题型，常以选择填空压轴或解答题形式出现，考查观察、归纳、猜想和验证能力。本专题归纳 8 类常见规律探究问题，核心解题思路是 "从特殊到一般"：先计算前几项的结果，观察数字或图形的变化特征，寻找不变量和循环周期，再归纳出通用规律，最后代入验证。解题时要注意：①数字规律要看差、比、符号的变化；②周期规律要先求周期再用余数定位；③所有猜想的规律必须用前几项验证，确保正确。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、数字类规律探究 典例精讲1（24-25七年级上·北京顺义·期末）观察一组数：3，，12，，48，，…，根据你观察到的规律，第8个数是______；第2025个数是______． 题型归纳 1.特征：给出一列数（或一组数），要求找出第 n 项的表达式，或求某一项的值。常见形式有等差数列、等比数列、正负交替数列、平方数列等 2.方法：先观察相邻两项的差或比值是否固定；等差数列第 n 项等于首项加 (n 减 1) 乘公差；等比数列第 n 项等于首项乘公比的 (n 减 1) 次方；正负交替用负 1 的 n 次方或 (n 减 1) 次方控制符号；平方数列看项数的平方关系 3.易错提醒：项数 n 从 1 开始，不要从 0 开始；正负交替时符号与 n 的对应关系容易搞反；只看前两项就下结论，未用第三项验证 变式训练1（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： （1）在A处的数是______．（填“正数”或“负数”） （2）在A，B，C，D四个位置，______所在位置的数是负数． （3）第2024个数是______（填“正数”或“负数”），位于A，B，C，D中的______处． 变式训练2（23-24七年级上·广东梅州·期中）观察下列等式：，，，，……这些等式反映出自然数间的某种规律，设表示自然数，试用关于的等式表示出你所发现的规律：_________． 变式训练3（25-26七年级上·山东日照·期中）观察下面两行数，并按规律填空： ①，，，，，，······ ②，，，，，，······ 请你取每行数的第个数，计算这两个数的和是______． 变式训练4（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）观察下面有规律排列的三行数： ① ② ③ 分别取第①②③行中的第10个数，依次记为，则的值为___________． 类型二、四则运算中的规律探究 典例精讲2（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 题型归纳 1.特征：给出一组等式，等式中包含加、减、乘、除运算，要求找出运算规律，写出第 n 个等式或利用规律计算 2.方法：分别观察等式左边各数与项数 n 的关系、右边结果与 n 的关系；将每个等式的序号标在下方，对比各位置数字随 n 的变化；归纳出通用等式后，代入前几项验证 3.易错提醒：等式中多个数字各自与 n 的关系不同，需逐个分析不要混淆；规律归纳后未代入验证；计算第 n 项时项数与已知项对应错误 变式训练1（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道：，…，那么______． 利用上面的规律计算：_______． 变式训练2（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列等式：，，，…… （1）根据上面的规律，若，则______，______； （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为______． 变式训练3（25-26七年级上·广西梧州·期中）根据图中数的规律，的值是______． 变式训练4（24-25七年级上·山东聊城·期中）观察图形  ，  ，  ，找规律，根据规律，  ______． 类型三、乘方中的规律探究 典例精讲3（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是______．（保留幂的形式） 题型归纳 1.特征：题目涉及 2 的 n 次方、3 的 n 次方等乘方运算，或乘方与四则运算结合，要求找出结果的规律或求和 2.方法：先计算前几项的乘方结果，观察数字变化；乘方结果往往增长很快，注意与项数的对应关系；涉及乘方求和时，可用错位相减法：设原式为 S，乘公比后两式相减消去中间项 3.易错提醒：乘方运算中底数和指数搞反；错位相减时首项和末项容易漏；项数计算错误 变式训练1（26-27七年级上·全国·课后作业）用计算器探索规律：请先用计算器计算，，，，由此猜想 __________ 变式训练2（24-25七年级上·全国·期中）观察下列式子：根据其中的规律，第8个式子是_____． 变式训练3（24-25七年级上·四川巴中·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个．根据此规律，一个细胞经过6次分裂后可分裂成________个细胞． 变式训练4（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为（   ） A．271 B．143 C．141 D．75 类型四、数轴中的规律探索 典例精讲4（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图所示，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：点在数轴上按固定规律运动（左右交替、往返、跳动等），或图形在数轴上滚动，求第 n 次后点的位置或对应的数 2.方法：先计算前几次运动后点的位置，观察变化规律；若有循环，求出周期，用 n 除以周期看余数定位；点的位移用正负表示，向右为正、向左为负；总位移是各次位移的代数和 3.易错提醒：运动方向与正负对应错误；周期判断错误；分组计算时剩余次数处理不当；最终位置与总路程混淆 变式训练1（25-26七年级上·北京西城·期中）如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 变式训练2（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 变式训练3（25-26七年级上·湖南长沙·期中）数轴上点A对应的数为1，另有一动点P从点A出发，按如下规律运动： 1秒后运动到点，点在数轴上对应的数为p， 2秒后运动到点，点在数轴上对应的数为2p， 3秒后运动到点，点在数轴上对应的数为3p， 依照此规律，t秒后运动到点，点在数轴上对应的数为． (1)若，求点，，分别到点A的距离之和； (2)若，求点，，分别到点A的距离之和； (3)设动点P运动20秒后，将，，…，到点A的距离之和记为S，当p在某一个范围内变化时，S始终为定值，请求出这个p的范围及S的定值． 类型五、周期中的规律探索 典例精讲5（25-26七年级上·湖南湘西·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点和点对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点对应的数是1；翻转2次后，点对应的数是3……按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是______． 题型归纳 1.特征：数列或图形按固定周期循环出现，如每 3 项一循环、每 4 项一循环，要求求第 n 项的值或前 n 项的和 2.方法：先找出循环周期 T（即多少项后重复）；用 n 除以 T，看余数：余数为 0 对应周期中最后一项，余数为 r 对应第 r 项；求前 n 项和时，先算一个周期的和，乘完整周期数，再加剩余项的和 3.易错提醒：周期找错（需至少观察两个完整循环才能确定）；余数为 0 时误认为对应第 0 项；求和时剩余项的项数数错；周期起点判断错误 变式训练1（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是______． 变式训练2（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 变式训练3（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 类型六、表格中的规律探索 典例精讲6（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 题型归纳 1.特征：数字按行、列排列在表格中（或数阵、三角形数阵），要求找出某行某列的数，或第 n 行第 m 个数的表达式 2.方法：分别观察每行的数字个数、首项、末项与行号的关系；观察每列的规律；杨辉三角类看每个数等于上方两数之和；将行号、列号与数值建立对应关系，必要时用等差数列求和计算每行首项 3.易错提醒：行号与该行数字个数的关系搞错；计算第 n 行首项时求和公式用错；表格中斜向规律未观察到；只看行不看列导致规律片面 变式训练1（25-26七年级上·山东临沂·期中）观察下列表格中的数字排列规律，第⑧个表中，的值为______． 变式训练2（24-25七年级上·福建厦门·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则_______，_______． 变式训练3（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（　　） A．139 B．209 C．109 D．259 变式训练4（25-26七年级上·四川泸州·期中）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律n的值为（   ） A． B． C． D． 变式训练5（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（    ） A． B． C．254 D．256 类型七、末尾数字规律探索 典例精讲7（25-26七年级上·江苏泰州·期末）观察下列计算结果：通过分析计算结果中个位数字的变化规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．5 C．9 D．2 题型归纳 1.特征：求一个数的高次幂的个位数字（末尾数字），如 2 的 2026 次方的个位数字是多少，或多个乘方乘积的末尾数字 2.方法：先计算底数的前几次幂的个位数字，找出循环周期；用指数除以周期，根据余数确定个位数字；常见周期：2 的幂个位周期为 4（2，4，8，6），3 的幂周期为 4（3，9，7，1），4 的幂周期为 2（4，6），5、6 的幂个位不变 3.易错提醒：周期找错或周期长度记错；余数为 0 时对应周期最后一项，容易搞混；乘积的末尾数字需分别看每个因数的末尾再相乘取个位；底数为负数时先定符号再看个位 变式训练1（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 变式训练2（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是______． 变式训练3（25-26六年级上·上海虹口·期中）观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 类型八、新定义有关的规律探索 例精讲8（25-26七年级上·福建漳州·期末）若规定的个位数字，例如，所以，，所以，那么计算_____． 题型归纳 1.特征：题目定义一种新运算或新概念（如用特殊符号表示的运算、"关联数"" 友好数 " 等），要求按定义计算前几项，找出规律并解决问题 2.方法：仔细阅读定义，明确新运算的规则；先按定义计算前几项的结果，观察变化规律；将新定义转化为常规四则运算或乘方，再归纳规律；复杂时可多算几项确保规律稳定 3.易错提醒：未读懂定义就开始计算，导致前几项全错；新运算不一定满足交换律和结合律，不能随意套用；规律归纳后未用定义验证；多步递推时中间某一步算错影响后续所有项 变式训练1（25-26七年级上·四川达州·期末）定义一种新运算“”：表示在运算作用下的结果． 若表示在运算作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，…… 根据以上定义完成以下问题： 的值为______． 变式训练2（24-25七年级上·江苏·期末）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （），，，，； （），，，，． 利用以上规律计算：______． 变式训练3（23-24七年级上·安徽池州·期中）规定“g”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…… （2），，，，…… 利用以上规律计算：①______； ②根据（1）的规律求______（n为正整数）． 变式训练4（25-26七年级上·辽宁阜新·阶段检测）把有理数t代入算式中得，称为第一次运算；再将作为t的值代入算式得到，称为第二次运算；……，依此规律，当，且经过第十次运算后得到的结果是______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为（   ） A．15 B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ） A．2419 B．2400 C．2601 D．2501 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）观察下列算式：，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是（ ） A．3 B．9 C．7 D．1 5．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一只蜗牛从数轴的原点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（   ） A． B．50 C． D．51 6．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算结果是（    ）． A． B．0 C．1 D． 7．（2025·湖北武汉·三模）已知，，，……，已知按一定规律排列的一组数：101、103、105、……、9997、9999．若，用含a的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，根据前面各式的规律，可得：的值的个位数字是____________． 9．（25-26七年级上·安徽·期中）下列三行数按一定的规律排列，请你仔细观察并完成探究． 第一行：1，，4，，16，，… ； 第二行：，4，，16，，64，… ； 第三行：3，，9，，33，，… ； （1）第一行第10个数为______； （2）每一行第9和第10个数的总和是____ 10．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…，，… （2），，，，…，，… 利用以上规律计算：__________． 11．（23-24七年级上·北京大兴·期末）某学校把密码按照如下规律设置，根据提供的信息可以推断该校的密码是_____________． 账号： 密码 12．（23-24七年级上·福建漳州·单元测试）观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按以上规律请计算：的值是________________． 13．（25-26七年级上·福建厦门·期中）研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 14．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 15．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的8种规律探究问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、数字类规律探究 1 类型二、四则运算中的规律探究 2 类型三、乘方中的规律探究 7 类型四、数轴中的规律探索 11 类型五、周期中的规律探索 15 类型六、表格中的规律探索 17 类型七、末尾数字规律探索 23 类型八、新定义有关的规律探索 25 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 规律探究题是有理数章节的热门题型，常以选择填空压轴或解答题形式出现，考查观察、归纳、猜想和验证能力。本专题归纳 8 类常见规律探究问题，核心解题思路是 "从特殊到一般"：先计算前几项的结果，观察数字或图形的变化特征，寻找不变量和循环周期，再归纳出通用规律，最后代入验证。解题时要注意：①数字规律要看差、比、符号的变化；②周期规律要先求周期再用余数定位；③所有猜想的规律必须用前几项验证，确保正确。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、数字类规律探究 典例精讲1（24-25七年级上·北京顺义·期末）观察一组数：3，，12，，48，，…，根据你观察到的规律，第8个数是______；第2025个数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数字变化的规律，找出数字之间的联系得到规律是解题的关键．观察数字可知，第奇数个数是正数，第偶数个数是负数，且第个数的绝对值为，根据规律即可解答． 【详解】解：，，，，，，… 第8个数是，第2025个数是． 故答案为：；． 题型归纳 1.特征：给出一列数（或一组数），要求找出第 n 项的表达式，或求某一项的值。常见形式有等差数列、等比数列、正负交替数列、平方数列等 2.方法：先观察相邻两项的差或比值是否固定；等差数列第 n 项等于首项加 (n 减 1) 乘公差；等比数列第 n 项等于首项乘公比的 (n 减 1) 次方；正负交替用负 1 的 n 次方或 (n 减 1) 次方控制符号；平方数列看项数的平方关系 3.易错提醒：项数 n 从 1 开始，不要从 0 开始；正负交替时符号与 n 的对应关系容易搞反；只看前两项就下结论，未用第三项验证 变式训练1（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： （1）在A处的数是______．（填“正数”或“负数”） （2）在A，B，C，D四个位置，______所在位置的数是负数． （3）第2024个数是______（填“正数”或“负数”），位于A，B，C，D中的______处． 【答案】 12 B、D 正数 A 【分析】本题是一道数字类变化规律题，解题的关键是正确找出所给数字变化的规律． （1）根据A是向上箭头的上方的对应数即可解答； （2）根据箭头的方向和与所对应的数正、负情况即可解答； （3）观察数据可知，所有数据是4个数为1个循环，即可求解． 【详解】解：（1）由图中数据变化可知，A是向上箭头的上方对应的数，且符号为正，故在A处的数是12， 故答案为：12； （2）观察不难发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数， 所以，B和D的位置是正数, 故答案为：B、D； （3）∵， ∴第2024个数是正数，排在A的位置， 故答案为：正数，A． 变式训练2（23-24七年级上·广东梅州·期中）观察下列等式：，，，，……这些等式反映出自然数间的某种规律，设表示自然数，试用关于的等式表示出你所发现的规律：_________． 【答案】 【分析】此题考查了数字的变化类，观察等式，发现：，即；，即；，即；…推而广之即可写出规律．解题的关键是分别找到等式的左边和右边的规律，进一步推而广之即可． 【详解】解：依题意， 因为， 即； 因为， 即； 因为， 即； … 所以设n表示自然数，试用关于n的等式表示出你所发现的规律：； 故答案为：． 变式训练3（25-26七年级上·山东日照·期中）观察下面两行数，并按规律填空： ①，，，，，，······ ②，，，，，，······ 请你取每行数的第个数，计算这两个数的和是______． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，第一行中的第个数为，所以第个数为，第二行中的第个数为，所以第个数为． 【详解】第一行中的第个数为，所以第个数为， 第二行中的第个数为，所以第个数为， 所以两个数的和为． 故答案为： 变式训练4（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）观察下面有规律排列的三行数： ① ② ③ 分别取第①②③行中的第10个数，依次记为，则的值为___________． 【答案】510 【分析】本题考查数字的规律探究，解题的关键是找出三行数的通项公式． 先确定三行数的第个数的规律，得到通项公式后，代入求出，再计算的值． 【详解】解：分析第①行的规律：第①行的数为，其第个数的通项公式为， 当时，， 分析第②行的规律：第②行的数比第①行对应位置的数大2，其第个数的通项公式为， 当时，， 分析第③行的规律：第③行的数是第①行对应位置数的，其第个数的通项公式为， 当时，， ． 故答案为：510． 类型二、四则运算中的规律探究 典例精讲2（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【答案】 11 15 【分析】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． （1）根据所给等式两边数字变化规律可得答案； （2）根据所给等式两边数字变化规律列出等式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 题型归纳 1.特征：给出一组等式，等式中包含加、减、乘、除运算，要求找出运算规律，写出第 n 个等式或利用规律计算 2.方法：分别观察等式左边各数与项数 n 的关系、右边结果与 n 的关系；将每个等式的序号标在下方，对比各位置数字随 n 的变化；归纳出通用等式后，代入前几项验证 3.易错提醒：等式中多个数字各自与 n 的关系不同，需逐个分析不要混淆；规律归纳后未代入验证；计算第 n 项时项数与已知项对应错误 变式训练1（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道：，…，那么______． 利用上面的规律计算：_______． 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于利用拆分法得出的规律变形，再计算即可． 根据已知等式得出拆项方法，写出规律；原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果． 【详解】∵，…， ∴； ∴ ． 故答案为：，． 变式训练2（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列等式：，，，…… （1）根据上面的规律，若，则______，______； （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为______． 【答案】 21 19 【分析】本题考查了数字类规律． （1）观察题干可知，两个连续奇数的平方差等于8的倍数，进而分析出一般规律，即可得到答案； （2）根据（1）所得规律，列式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … ，所以，， 所以 （2）第n个式子可表示为． 故答案为： 21， 19， ． 变式训练3（25-26七年级上·广西梧州·期中）根据图中数的规律，的值是______． 【答案】593 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是找出数字之间的关系． 根据示例找出数字之间的规律，然后求出的值，最后代数求值即可． 【详解】解：①，； ②，； ③，； 根据规律得，，， ∴， 故答案为：593． 变式训练4（24-25七年级上·山东聊城·期中）观察图形  ，  ，  ，找规律，根据规律，  ______． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，有理数的加减，根据已知图形找出一般规律是解题关键． 根据题意发现一般规律  ，进而即可求解． 【详解】解：由图形可知，， ， ， 发现一般规律，  ， 则  ， 故答案为：． 类型三、乘方中的规律探究 典例精讲3（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是______．（保留幂的形式） 【答案】 【分析】本题主要考查了用代数式表示图形的规律，乘方的应用， 先分别表示出，根据变化特点得出，再求出差即可． 【详解】解：由图可知，； ； ； ； ， ； ， ∴． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：题目涉及 2 的 n 次方、3 的 n 次方等乘方运算，或乘方与四则运算结合，要求找出结果的规律或求和 2.方法：先计算前几项的乘方结果，观察数字变化；乘方结果往往增长很快，注意与项数的对应关系；涉及乘方求和时，可用错位相减法：设原式为 S，乘公比后两式相减消去中间项 3.易错提醒：乘方运算中底数和指数搞反；错位相减时首项和末项容易漏；项数计算错误 变式训练1（26-27七年级上·全国·课后作业）用计算器探索规律：请先用计算器计算，，，，由此猜想 __________ 【答案】 【分析】本题考查用计算器计算乘方，探究规律，掌握计算器的使用方法和找出规律是解题的关键． 先用计算器计算，再找出规律：底数中有个，幂中有个和个，据此求解． 【详解】用计算器依次求出：，，，， 规律：底数中有个，幂中有个和个， ∴ 故答案为：． 变式训练2（24-25七年级上·全国·期中）观察下列式子：根据其中的规律，第8个式子是_____． 【答案】 【分析】本题考查了式子的规律探究，有理数的乘方等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意，可推导一般性规律为：第个式子为，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， … ∴可推导一般性规律为：第个式子为， ∴第8个式子是， 故答案为：． 变式训练3（24-25七年级上·四川巴中·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个．根据此规律，一个细胞经过6次分裂后可分裂成________个细胞． 【答案】64 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用．熟练掌握这种细胞分裂规律是解决问题的关键．根据这种细胞经过 1 次分裂便由 1 个分裂成 2 个，得6次分裂成个，计算即得． 【详解】解：经过1次分裂后：个， 经过2次分裂后：个， 经过3次分裂后：个， 经过4次分裂后：个， 经过5次分裂后：个， 经过6次分裂后：个， 故答案为：64． 变式训练4（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为（   ） A．271 B．143 C．141 D．75 【答案】A 【分析】本题考查了数字变化规律，观察出上边的数与左边的数的和正好等于右边的数是解题的关键．由图可知：上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，上边的数为连续的奇数，左边的数为，，，…，由此可得，． 【详解】解：由图可知，图片上方的数为连续的奇数，，，，，…， 图片下方左边的数为，，，…， 图片下方右边的数为上方的数与左边数的和，，，…， 由，解得． ∴， ∴． 故选． 类型四、数轴中的规律探索 典例精讲4（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图所示，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的中点规律与有理数的乘方运算，熟练掌握“每次跳动后点到原点的距离为”的规律是解题的关键． 先根据每次跳动的中点规律，确定第次跳动后点到的距离，再分别求出2026次跳动后点的位置和的中点的位置，进而计算它们的中点距离． 【详解】解：∵，第1次跳到中点，∴； ∵第2次跳到中点，∴； ∵第3次跳到中点，∴； …… ∴第次跳动后，． ∵2026次跳动后，点到的距离为； ∵，，； ∴点到的中点的距离为； ∴经过这样2026次跳动后的点与的中点的距离为． 故选：D． 题型归纳 1.特征：点在数轴上按固定规律运动（左右交替、往返、跳动等），或图形在数轴上滚动，求第 n 次后点的位置或对应的数 2.方法：先计算前几次运动后点的位置，观察变化规律；若有循环，求出周期，用 n 除以周期看余数定位；点的位移用正负表示，向右为正、向左为负；总位移是各次位移的代数和 3.易错提醒：运动方向与正负对应错误；周期判断错误；分组计算时剩余次数处理不当；最终位置与总路程混淆 变式训练1（25-26七年级上·北京西城·期中）如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念，两点间的距离公式及找规律进行归纳推理． 【详解】解：由题意知，∵数轴上点表示的数为，且，分别到0对应的点的距离相等，先根据数轴上两点到某点距离相等的性质求出前几个点所表示的数，再分析这些数的规律，最后根据规律求出表示的数． ∴， 即点表示的数为2， 依此类推，点表示的数为0，点表示的数为4，点表示的数为2，点表示的数为6，点表示的数为4，…， ∴点（n为正整数）表示的数为：，点（n为正整数）表示的数为， ∴当时，，即点表示的数为． 故选：B． 变式训练2（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 【答案】157 【分析】本题考查了数字类规律型探究，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．观察根据排列的规律得到第一行为数轴上左边的第一个数1，第二行为1右边的第6个数13，第三行为13右边的第15个数43，第四行为43右边第24个数91，…，由此规律可得出第五行的数． 【详解】解：根据排列的规律得到： 第一行为数轴上左边的第一个数1， 第二行为1向右数第个数，为第个奇数，即， 第三行为13向右数第个数，为第个奇数，即， 第四行为43向右数第个数，为第个奇数，即， 第五行为91向右数第个数，为第个奇数，即． 故答案为：157． 变式训练3（25-26七年级上·湖南长沙·期中）数轴上点A对应的数为1，另有一动点P从点A出发，按如下规律运动： 1秒后运动到点，点在数轴上对应的数为p， 2秒后运动到点，点在数轴上对应的数为2p， 3秒后运动到点，点在数轴上对应的数为3p， 依照此规律，t秒后运动到点，点在数轴上对应的数为． (1)若，求点，，分别到点A的距离之和； (2)若，求点，，分别到点A的距离之和； (3)设动点P运动20秒后，将，，…，到点A的距离之和记为S，当p在某一个范围内变化时，S始终为定值，请求出这个p的范围及S的定值． 【答案】(1) (2) (3)当p在内变化时，S为定值8 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值的运算以及规律探究，熟练掌握数轴上两点间距离的计算、绝对值的化简和规律分析是解题的关键． （1）先根据规律求出、、对应的数，再分别计算它们到点的距离，最后求和； （2）根据的范围判断、、对应的数与的大小关系，进而求出距离之和； （3）分析为定值的条件，即让含的项相互抵消，从而确定的范围并求出的定值． 【详解】（1）解：若，则，，，           所以点，，分别到点A的距离之和为：． （2）解：，则，，，           所以点，，分别到点A的距离之和为：． （3）解：解法一：若，则t秒后运动到的点在数轴上对应的数为， 所以，若，则，若，则．           又因为， 所以只需要满足，，…，，，，…，． 即点，，…，在点A或其左侧，点，，…，在点A或其右侧，即可满足S始终为定值．            所以当时， ． 因此，当p在内变化时，S为定值8．           解法二：由题意，得           ，           又因为，所以时，           ， 因此，当p在内变化时，S为定值8． 类型五、周期中的规律探索 典例精讲5（25-26七年级上·湖南湘西·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点和点对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点对应的数是1；翻转2次后，点对应的数是3……按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是______． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得， 因为，所以数轴上数2027所对应的点是C， 故答案为：C． 题型归纳 1.特征：数列或图形按固定周期循环出现，如每 3 项一循环、每 4 项一循环，要求求第 n 项的值或前 n 项的和 2.方法：先找出循环周期 T（即多少项后重复）；用 n 除以 T，看余数：余数为 0 对应周期中最后一项，余数为 r 对应第 r 项；求前 n 项和时，先算一个周期的和，乘完整周期数，再加剩余项的和 3.易错提醒：周期找错（需至少观察两个完整循环才能确定）；余数为 0 时误认为对应第 0 项；求和时剩余项的项数数错；周期起点判断错误 变式训练1（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是______． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索．根据点从1开始，每翻转6次一个循环，利用，根据余数的情况进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是； 故答案为：C 变式训练2（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024． 故选：C． 变式训练3（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 类型六、表格中的规律探索 典例精讲6（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知数据，得出一般规律．根据给出的已知图形得出规律，求出a的值即可． 【详解】解：由第1个图可知：； 由第2个图可知：； 由第3个图可知：； …… 可得：； ∴． 故选：B． 题型归纳 1.特征：数字按行、列排列在表格中（或数阵、三角形数阵），要求找出某行某列的数，或第 n 行第 m 个数的表达式 2.方法：分别观察每行的数字个数、首项、末项与行号的关系；观察每列的规律；杨辉三角类看每个数等于上方两数之和；将行号、列号与数值建立对应关系，必要时用等差数列求和计算每行首项 3.易错提醒：行号与该行数字个数的关系搞错；计算第 n 行首项时求和公式用错；表格中斜向规律未观察到；只看行不看列导致规律片面 变式训练1（25-26七年级上·山东临沂·期中）观察下列表格中的数字排列规律，第⑧个表中，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律的探索以及乘方的运算．找到表格中的数字排列规律是解题的关键． 探究上方数字的规律得到，推导左右数字与上方数字的联系得到，，求得，后，即可计算的值． 【详解】解：观察第①到④个表格的上方数字， 第①个 第②个 第③个 第④个， 由此可得， 观察左右数字与上方数字的联系， 有，， 第⑧个表中，， 则，， ． 故答案为． 变式训练2（24-25七年级上·福建厦门·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则_______，_______． 【答案】 1 【分析】此题考查了有理数的加减运算的应用，解题的关键是正确列式求解． 首先求出，然后根据题意求出，，然后代数求解即可． 【详解】解： ∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， ∴ ∴1和x中间的数为 ∴ ∴． 故答案为：，1． 变式训练3（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（　　） A．139 B．209 C．109 D．259 【答案】B 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给表格，发现表格中四个数之间的关系是解题的关键． 观察表格中四个数之间的关系，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：观察所给表格可知， ， ， ， ， 所以． 又因为左下方的数比左上方的数大1， 则 又因为， ， ， ， 所以． 故选：B． 变式训练4（25-26七年级上·四川泸州·期中）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律n的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的规律探索，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．观察前三个正方形，左上角数字与右上角数字为连续奇数，且右上角数字比左上角大2；左下角数字比右上角数字大2，右下角数字等于右上角数字乘以左下角数字加3的和，根据此规律，当左上角为时，计算右下角n的值． 【详解】解：∵ 左上角数字a与右上角数字b为连续奇数，且， 左下角数字， 右下角数字， ∴ 当时， ， ， ． 故选：C． 变式训练5（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（    ） A． B． C．254 D．256 【答案】C 【分析】本题考查图形中的数字规律问题，含乘方的有理数的混合运算，根据图形中的数字，抽象概括出数字规律是解题的关键． 先找到三角形每个位置上的数字规律，确定第⑨个图中的数字，再进行计算即可． 【详解】解：设三角形左上位置的数字为：，右上位置上的数字为：，下方位置上的数字为：，由图可知： ， ， ， ∴， ∴； ， ， ， ∴， ∴； ， ， ， ∴， ∴； ∴； 故选C． 类型七、末尾数字规律探索 典例精讲7（25-26七年级上·江苏泰州·期末）观察下列计算结果：通过分析计算结果中个位数字的变化规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．5 C．9 D．2 【答案】A 【分析】先确定的个位数字循环节为1，5，9，5，循环周期为；再计算的余数，根据余数确定的个位数字． 【详解】解：当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 的个位数字以1，5，9，5为周期循环，周期为． ， 的个位数字与时相同，为． 故选：A． 题型归纳 1.特征：求一个数的高次幂的个位数字（末尾数字），如 2 的 2026 次方的个位数字是多少，或多个乘方乘积的末尾数字 2.方法：先计算底数的前几次幂的个位数字，找出循环周期；用指数除以周期，根据余数确定个位数字；常见周期：2 的幂个位周期为 4（2，4，8，6），3 的幂周期为 4（3，9，7，1），4 的幂周期为 2（4，6），5、6 的幂个位不变 3.易错提醒：周期找错或周期长度记错；余数为 0 时对应周期最后一项，容易搞混；乘积的末尾数字需分别看每个因数的末尾再相乘取个位；底数为负数时先定符号再看个位 变式训练1（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 【答案】C 【分析】先找出个位数字的规律，再根据结果的个位数字是，确定结果的个位数字，最后据此找出可能的值．本题主要考查了尾数特征问题，熟练掌握通过找规律的方法确定幂次的个位数字是解题的关键． 【详解】解：个位数字是， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 可以发现当为奇数时，个位数字是；当为偶数时，个位数字是． 个位数字是． 结果的个位数字是， 结果的个位数字是． 个位数字是（的幂次个位数字以、、、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的任何正整数次幂个位数字都是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）． 的值可能是． 故选：C． 变式训练2（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是______． 【答案】1 【分析】本题主要考查数字规律，通过计算的个位数字，发现其规律为以1、3、7、5每4个循环一次，根据2025除以4的余数，可确定的个位数字． 【详解】解：，，，，，… 可以发现：个位数字依次为1、3、7、5，每4个循环一次， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，为1． 故答案为：1． 变式训练3（25-26六年级上·上海虹口·期中）观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 【答案】7 【分析】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．由已知可得的尾数7，9，3，1循环，和为20，每周期个位数字之和的个位数字为0，余1，因此有507个完整周期，余数对应的个位数字为7．总和的个位数字为． 【详解】解：∵，，，，…… ∴的尾数7，9，3，1循环， ∴，每个周期个位数字之和的个位数字为0， ∵余1， ∴从到共507个完整周期，其和的个位数字为0，的个位数字与相同，为7， ∴的个位数字为． 故答案为：7． 类型八、新定义有关的规律探索 例精讲8（25-26七年级上·福建漳州·期末）若规定的个位数字，例如，所以，，所以，那么计算_____． 【答案】 【分析】首先通过计算前几个的值，发现其个位数字以2、4、8、6为一个循环，每个循环的和为；接着计算中包含多少个完整循环及余下的数字个数，最后根据循环数与余下数字计算总和． 【详解】解：先计算前几个的值： ∵，，，，， ∴；；；；； 观察可得，的个位数字以为一个循环，每个循环内数字的和为． ∵， ∴共有个完整的循环，还余下1个数字，该数字为循环节的第一个数2． 则总和为． 题型归纳 1.特征：题目定义一种新运算或新概念（如用特殊符号表示的运算、"关联数"" 友好数 " 等），要求按定义计算前几项，找出规律并解决问题 2.方法：仔细阅读定义，明确新运算的规则；先按定义计算前几项的结果，观察变化规律；将新定义转化为常规四则运算或乘方，再归纳规律；复杂时可多算几项确保规律稳定 3.易错提醒：未读懂定义就开始计算，导致前几项全错；新运算不一定满足交换律和结合律，不能随意套用；规律归纳后未用定义验证；多步递推时中间某一步算错影响后续所有项 变式训练1（25-26七年级上·四川达州·期末）定义一种新运算“”：表示在运算作用下的结果． 若表示在运算作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，…… 根据以上定义完成以下问题： 的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了新运算的有关计算及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． 根据题意可得到，然后把原式变形为，即可求解． 【详解】解：，，，…… 由此发现：， ∴ 故答案为： 变式训练2（24-25七年级上·江苏·期末）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （），，，，； （），，，，． 利用以上规律计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据“”的运算法则计算即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：． 变式训练3（23-24七年级上·安徽池州·期中）规定“g”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…… （2），，，，…… 利用以上规律计算：①______； ②根据（1）的规律求______（n为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据已知运算结果，得出相应的规律：、，据此计算即可得到答案． 【详解】解：由（1）可知，当是奇数时，符号为正，当是偶数时，符号为负，且数值为， 即； 由（2）可知，数值为的倒数减1， 即， ①， 故答案为：； ②根据（1）的规律求（n为正整数）， 故答案为：． 变式训练4（25-26七年级上·辽宁阜新·阶段检测）把有理数t代入算式中得，称为第一次运算；再将作为t的值代入算式得到，称为第二次运算；……，依此规律，当，且经过第十次运算后得到的结果是______． 【答案】 【分析】本题为运算规律类问题，考查了有理数的加减运算，绝对值的化简等知识，根据多次运算结果发现规律是解题关键．根据运算程序进行多次运算，得出结果规律“从第二次计算开始，偶数次运算结果为，奇数次运算结果为”，据此即可求解． 【详解】解：第一次运算，当时，； 第二次运算，当时，； 第三次运算，当时，； 第四次运算，当时，； 第五次运算，当时，； 观察结果，从第二次运算开始，偶数次运算结果为，奇数次运算结果为， ∴第十次运算后得到的结果是． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算，根据图形，发现规律是解题的关键． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则， 故选：B． 2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算中末位数字的周期性规律，解题的关键是找出末位数字的循环周期，再通过指数除以周期求余数确定结果． 观察已知算式的末位数字，发现其以2、4、8、6为一个循环周期；用指数2026除以周期4，根据余数判断对应的末位数字． 【详解】解：观察算式可得，的末位数字依次为2、4、8、6，以4为循环周期；，余数为2； 余数为2对应循环周期中的第2个数字4，即的末位数字是4； 故选：C． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ） A．2419 B．2400 C．2601 D．2501 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、有理数的混合运算等知识点，归纳出是解题的关键． 根据所给图形，发现基本图形个数的变化规律，再利用规律求解即可． 【详解】解： ， …， ∴． ． 故选B． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）观察下列算式：，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是（ ） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】A 【分析】首先根据已知的式子可以得到，末尾数字以3，9，7，1这四个数字为周期循环； 然后再分析2025中有多少个4，然后由得到的余数来确定所求数的末尾数字，据此解答即可. 本题是有关探究规律的问题，观察得到末尾数字的循环规律是解答本题的关键. 【详解】解：根据已知的式子可以得到，末尾数字以3，9，7，1这四个数字为周期循环， 由， 故个位数字是3， 故选：A. 5．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一只蜗牛从数轴的原点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（   ） A． B．50 C． D．51 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴及数字的变化类，熟练掌握数轴上点的移动规律是解题的关键．数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律列式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 6．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算结果是（    ）． A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】考查了数字变化规律，有理数的加减运算，解题关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．由（1）得到，由（2）得到，可得，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，，，，…； ，，，，… ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 7．（2025·湖北武汉·三模）已知，，，……，已知按一定规律排列的一组数：101、103、105、……、9997、9999．若，用含a的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律，幂的乘方，将表示为，再根据题意化简即可，熟读题意，能够将原式补全是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 8．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，根据前面各式的规律，可得：的值的个位数字是____________． 【答案】3 【分析】根据已知等式归纳得到一般规律，将所求式子利用规律变形为，再找出的幂次的个位数字的循环周期规律，计算得到最终结果的个位数字． 【详解】解：由已知等式可得规律：， 令，，可得， ， ， ，个位数字为， ，个位数字为， ，个位数字为， ，个位数字为， ，个位数字为， ，个位数字为， 可得的幂次的个位数字以为一个周期循环， 的个位数字与的个位数字相同，为， 的个位数字为． 9．（25-26七年级上·安徽·期中）下列三行数按一定的规律排列，请你仔细观察并完成探究． 第一行：1，，4，，16，，… ； 第二行：，4，，16，，64，… ； 第三行：3，，9，，33，，… ； （1）第一行第10个数为______； （2）每一行第9和第10个数的总和是____ 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，有理数的乘方和加减运算，解题的关键是找出数字的规律． （1）找出数字的规律为，然后运用有理数的乘方法则求出第10个数即可； （2）找出每一行数字的规律，分别求出第9和第10个数的和，最后求出总和即可． 【详解】解：（1）根据给出数列的规律可得，第一行第个数为， ∴当时，， 即第一行第10个数为， 故答案为：； （2）第一行第9个数为，第10个数，和为； 根据给出数列的规律可得，第二行第个数为， ∴第二行第9个数为，第10个数，和为； 根据给出数列的规律可得，第三行第个数为， ∴第三行第9个数为，第10个数，和为； ∴每一行第9个数和第10个数的总和为， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…，，… （2），，，，…，，… 利用以上规律计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 根据题目中的式子的运算法则从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ． 故答案为：． 11．（23-24七年级上·北京大兴·期末）某学校把密码按照如下规律设置，根据提供的信息可以推断该校的密码是_____________． 账号： 密码 【答案】324880 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，根据前面三个等式，寻找规律解决问题即可，由前面三个等式发现规律是解决问题的关键． 【详解】解：由三个等式，得到规律： 可知：，，， 可知：，，， 可知：，，， ，，， ， 故答案为：． 12．（23-24七年级上·福建漳州·单元测试）观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按以上规律请计算：的值是________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律题，有理数的混合运算．根据题意可得第5个等式，第，6个等式，再代入，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ∴ 故答案为： 13．（25-26七年级上·福建厦门·期中）研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、有理数的混合运算． 根据题干中式子的变化规律写出第个式子； 根据中的规律写出第个式子； 根据中式子的变化规律可得：原式，再根据分数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第个式子， 第个式子， 第个式子， 第个式子， ， 第个式子， 故答案为：； （2）解：由中的规律可知，第个式子为， 故答案为：； （3）解：由 . 14．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 15．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 【答案】(1)210 (2) (3) 【分析】本题主要考查图形类规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形类的一般规律； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可进行求解； （3）利用（2）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为210； （2）解：由题意得：（n为正整数且）； （3）解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $