第4章 相交线和平行线全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

第4章 相交线和平行线全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 利用邻补角互补求角度 题型2 垂线段最短 题型3 同位角、内错角、同旁内角 题型4 平行公里 题型5 画垂线 题型6 平行线的判定与性质 综合攻坚·知能拔高 题型1 根据平行线的性质探究角的关系 题型2 根据平行线的性质求角的度数 题型3 平行线的性质在生活中的应用 题型4 根据平行线的判定与性质求角的度数 题型5 根据平行线的判定与性质证明 ◆题型1 利用邻补角互补求角度 1．如图，为直线上一点，以为顶点作，射线平分．若，则___________°． 【答案】25 【分析】先由邻补角的定义得，再根据射线平分得，根据计算即可． 【详解】解：∵，为直线上一点， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴． 2．如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平角求出度数，再根据角平分线定义算出，最后再次利用平角关系求出． 【详解】解：根据平角的定义，直线上， ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵是直线，， ∴． 3．如图所示，直线与直线相交于点为的角平分线，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过对顶角相等得到，再用角平分线求出，最后根据平角定义算出． 【详解】解：∵ 直线、相交于点O， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 4．如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，平分．若，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】由已知条件和观察图形，可求出的度数，利用角平分线的性质求出的度数，再求的度数； 【详解】解：点A，O，B在同一条直线上， ． ． 平分， ． ， ． 平分， ． 5．如图，直线，相交于点，平分，平分，．求的度数． 【答案】 【分析】先求出的度数，再求出的度数，则可得的度数，进而可得的度数，然后根据邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ◆题型2 垂线段最短 6．点为直线外一点，点，，为直线上三点，，，，则点到直线的距离为（     ）． A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于 【答案】D 【分析】掌握垂线段最短的性质，根据该性质判断点到直线的距离的范围即可． 【详解】∵ 点到直线的距离定义为点到直线的垂线段的长度，且垂线段是点到直线上所有点连线中最短的， 已知，，，是三条线段中最短的． 若垂直于直线，则点到直线的距离就是； 若不垂直于直线，则点到直线的垂线段长度小于，即小于， ∴ 点到直线的距离不大于． 7．如图，点，在直线上，，的面积为2．若是直线上一点，连接，则线段的最小长度为________． 【答案】2 【详解】解：如图，作交于D， ∵的面积为2， ∴， 解得：， 根据“垂线段最短”可知线段的最小长度为2． 8．如图于点，，，，点是线段上的一个动点，则线段的长度不可能是（     ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短即可判断． 【详解】解：根据垂线段最短的性质： ， 点到直线的最短距离为，即的长度最小值为， ，点在线段上， 的长度最大不超过， 线段的长度不可能是． 9．如图，三角形中，，， 点P是上的动点， 则的长度不可能是（     ） A．8 B．7 C．6.2 D．5 【答案】D 【分析】根据点到直线的连线中垂线段最短，确定的取值范围，即可得出答案； 【详解】解：， ， 线段是点到直线的垂线段， 根据垂线段最短可知，， ， ， 的长不可能是． 10．如图，在中，，的面积为42，D为线段边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为_________． 【答案】36 【分析】根据面积公式求得的长，利用垂线段最短得最小值为的长，从而即可得解． 【详解】解：过点作于点， ， ，即， ， ∵为边上一动点，， ∴的最小值为的长6， ∴正方形的面积的最小值为． ◆题型3 同位角、内错角、同旁内角 11．如图，直线被直线所截，则下列说法正确的是（     ） A．与是同位角，与是内错角． B．与是同旁内角，与是同位角． C．与是同位角，与是内错角． D．与是同旁内角，与是同旁内角 【答案】C 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案． 【详解】解：.与是同位角，与不是内错角，故该选项不符合题意； .与是同位角，不是同旁内角，与是同位角，故该选项不符合题意； .与是同位角，与是内错角，故该选项符合题意； .与不是同旁内角，与不是同旁内角，故该选项不符合题意； 12．（1）指出下列各图中的与是同位角、内错角还是同旁内角． ①　　             ②　　          ③　　        ④　　 （2）请你归纳：辨认同位角、内错角、同旁内角的方法可以是什么？ 【答案】（1）①内错角；②同旁内角；③同位角；④同位角；（2）可通过同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形进行判断 【分析】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，是解决问题的关键 根据同位角、内错角、同旁内角的定义对各选项分析判断，后利用排除法求解． 【详解】（1）①与是内错角；②与是同旁内角；③与是同位角；④与是同位角． 故答案为：内错角，同旁内角，同位角，同位角； （2）辨认同位角、内错角、同旁内角的方法：在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的不同旁找内错角，因此在“三线八角”的图形中主线是截线，抓住了截线，再利用图形结构特征，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形进行判断． 13．如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是____________.    【答案】① 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义意义判断即可，同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角；内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角；如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角． 【详解】解：与构成同旁内角的是，有2个，故①正确； 与构成同位角的角的是，有1个，故②错误； 与构成同旁内角的角的是，有5个，故③错误； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关概念． 14．（1）如图，直线，被所截，则和___________是同位角，和___________是内错角，和___________是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为( )， ( )， 所以( )    【答案】 已知 对顶角相等 等量代换 【分析】根据对顶角、同位角、内错角及同旁内角的定义，解答即可． 【详解】如图，直线，被所截，则和是同位角，和是内错角，和是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为（已知）， （对顶角相等）， 所以（等量代换） 故答案为：，，，已知，对顶角相等，等量代换． 【点睛】本题考查了对顶角、同位角、内错角及共旁内角的定义，熟记这些概念，并能熟练应用，是解答这类题目的关键，同时还考查了对顶角相等、等量代换等知识． 15．如图，与，与，与，与，与分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的？它们分别是具有什么位置关系的角？    【答案】 与是直线和直线被直线所截得到的内错角； 与是直线和直线被直线所截得到的同位角； 与是直线和直线被直线所截得到的内错角； 与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角； 与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角． 【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角的判断，根据组成角的线及位置逐个判断即可得到答案； 【详解】略 ◆题型4 平行公里 16．如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查平行公理及垂线的性质，根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”以及“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可得出和的值，进而求解． 【详解】解：由图可知，点在直线外， ∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴， ∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴， ∴． 17．下列说法：①不相交的两条直线一定互相平行；②过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行；③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④平行于同一直线的两直线平行；⑤已知三点，过每两点画直线，一定可以画3条直线．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】结合平行线的基本概念、平行公理和直线的性质，逐一判断每个说法的正误，统计正确说法个数即可得到答案． 【详解】①不相交的两条直线一定平行，缺少“同一平面内”的前提，∴①错误； ②过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行，只有点在已知直线外才成立，点在已知直线上时无法画出，∴②错误； ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，点在已知直线上时不存在符合要求的直线，∴③错误； ④平行于同一直线的两直线平行，∴④正确； ⑤已知三点过每两点画直线，若三点共线只能画出1条直线，∴⑤错误； 综上，正确的说法只有1个，故选A． 18．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，平行公理及其推论，根据相关知识点逐一判断每个说法即可． 【详解】解：① 若与相交，与相交，与可能平行（如两条平行线都与第三条直线相交），因此①是假命题． ② ，，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，，因此②是真命题． ③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，因此③是真命题． ④ 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，因此④是假命题． 综上，真命题共有2个，故选B． 19．在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2) ，．理由如下： ，， ． ，， ． 【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行，平行公理推论，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的定义即可得到结论； （2）根据平行于同一直线的两直线平行即可得到结论． 【详解】（1）解：，，．（答案不唯一） （2） 略 20．下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的定义、平行公理及推论，逐项判断即可，熟记平行线的定义、平行公理及推论是解题的关键． 【详解】解：∵（1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，是平行的定义，故正确； （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条，是平行公理，故正确； （3）如果，，则，是平行公理推论，故正确； （4）两条不平行的射线，在同一平面内也不一定相交，例如“在同一平面内，点在点的正北方向，点向正西方向作射线，点向正南方向作射线”，两射线不平行也不相交，故原说法错误． ∴正确的是（1）（2）（3）共3个， 故选：C． ◆题型5 画垂线 21．如图，如果给A、B两个村庄各修一条小路与公路连接要使两条小路最短，应该怎样修？（在图中画出来） 【答案】 【分析】因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要分别作出A、B两点到公路的垂线段即可． 【详解】略 22．如图，已知点M在的内部，点N在边上．按要求画出图形并填空． (1)过点M画，垂足为E； (2)过点M画，垂足为F； (3)M、N两点间的距离是线段________的长度，线段的长度表示________到________的距离； (4)点M到直线的距离是线段________的长度； (5)点N到直线的距离是________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3)，A， (4) (5)0 【分析】（1）根据垂线的定义作图； （2）根据垂线的定义作图； （3）根据两点之间的距离求解和点到直线的距离求解； （4）根据点到直线的距离求解； （5）根据点到直线的距离求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：M、N两点间的距离是线段的长度，线段的长度表示A到的距离； （4）解：点M到直线的距离是线段的长度； （5）解：点N到直线的距离是0． 23．已知：如图，直线相交于． (1)作图：过点作直线（不要求写作法，点在上方） (2)若，求、、的度数． 【答案】(1) (2)，， 【分析】利用三角板过点作出直线的垂线即可； 由垂线的定义得，即得，得到，再利用对顶角的性质、角的和差关系及邻补角的定义解答即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 24．如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可； （3）先结合两处垂直条件，连续运用垂线段最短分步比较线段大小，最后得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 得此结论的依据是垂线段最短． 25．（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 （1）如图，线段即为所求； （2）（3） 【分析】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质． （1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【详解】解：（1） 略 （2）线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3） 故答案为：． ◆题型6 平行线的判定与性质 26．如图，点，分别是线段，上的点，连接与分别交于点，．已知， ． (1)求证：； (2)若，且 ，求的度数． 【答案】(1)证明： ∵，，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明即可得到结论； （2）证明，可得，结合，进一步可得答案. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 27．如图，已知，设，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点M向左作，过点N向右作，利用平行线的性质将已知角与未知角建立联系，从而求解． 【详解】解：如图，过点M向左作，过点N向右作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 28．如图1，为射线上一点，，（）． (1)若，，，求的度数； (2)如图2，点在上，过点作直线，． ①说明的理由； ②过点作射线，若，，求出的度数． 【答案】(1) (2)①证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ②或 【分析】（1）利用，可解得，从而得到的度数； （2）①过点作，可以得到，再利用，证得，进一步得到； ②分两种情况计算的度数，点在左侧和点在右侧． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴； （2）①略 ②解：，， 由①可知，， ∵， ∴， 如图，当点在左侧时， ， ∴， 如图，当点在右侧时， ， ∴． 29．如图1，已知，． (1)请判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若平分，于点E，，试求的度数． 【答案】(1)直线与直线的位置关系为， 理由如下： 因为，， 所以，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以， (2) 【分析】（1）根据平行线的性质推出，推出，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）求出，求出，可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， 所以，， 因为，， 所以，， 因为，，， 所以，， 所以，平分， 所以，， 所以，由（1）知，， 所以， 所以，的度数为． 30．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，同学们把一个含的直角三角尺如图摆放，且，，． 初步思考： (1)如图1，点C在直线b上，若，则 ； 深入探究： (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，分别与、交于点E、F并改变的位置，发现，请说明理由； (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3．点A在直线b上，直线a分别与、交于点E、F，平分．此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)； (2)解：理由如下： 过点作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）由平角定义求出，再由平行线的性质即可得出答案； （2）过点作．由平行线的性质得，则，进而得出结论； （3）过点作，由角平分线定义得，由平行线的性质得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ∵， ； （2）略； （3）解：，理由如下： 过点作，如图所示： 平分， ， 又 ， ， ， ， 又， ， ． ◆题型1 根据平行线的性质探究角的关系 31．下面是数学家普罗克拉斯的两种证明三角形内角和为的方法： 如图1，已知：三角形．求证：． 方法一：如图2，过点作于点，过点作，过点作． ，，， ，，， （依据一）． ． 又， ． （依据二）． 方法二：（将辅助线一般化）如图3，在边上任取一点（不与，重合），连接．分别过点，作的平行线 (1)材料中方法一的证明过程中的依据一，依据二分别指的是： 依据一：_______________，依据二：_______________． (2)材料中证法一的思路是用平行线的性质得到，，将三角形内角和问题转化为与的和，进而得到三角形内角和是， 这种方法主要体现的数学思想是__________（填选项） A．函数思想    B．分类思想    C．转化思想 (3)请将方法二的证明过程补充完整，在图3中作出辅助线，并标清字母． (4)请你用此数学思想验证四边形的内角和为．已知：四边形，求证： 【答案】(1)同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 (2)C (3)证明：分别过点，作，，如下图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ． (4)证明：在上取点E，连接，过点C作，过点A作交交于点P，过点D作，如图 ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质判断即可； （2）根据“将三角形内角和问题转化为与的和”即可确定解题思想； （3）分别过点，作，，根据平行线的性质证明即可． （4）在上取点E，连接，过点C作，过点A作，过点D作，推导出，再根据平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：依据一：同位角相等，两直线平行； 依据二：两直线平行，内错角相等； （2）解：由题意得，这种方法主要体现的数学思想是：转化思想； （3）略 （4）略 32．如图，点分别在的边上，，点在线段上，且． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ； (2) 【分析】（1）由平行线的性质和已知条件可证明，则可证明； （2）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则由平角的定义可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：略； （2）解：平分， ， ， （两直线平行，同位角相等）， ， ，， ． 33．如图，已知，． (1)判断直线和直线的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ， ， ， ， ， (2) 【分析】（1）先根据同旁内角互补，两直线平行证明，得到，再根据等量代换得到，即可得证； （2）根据平行线的性质得到，根据已知条件求出，即可得解； 【详解】（1）略 （2） ， ， ，， ， ． 34．如图，已知直线，直线c与a，b分别相交于点C，D，点P在直线c上，点A，B分别是直线a，b上的点，设，，． (1)如图①，如果，，求的度数； (2)在图①中，若点P在线段上移动（C，D两点除外），，，之间的关系是什么？请说明理由； (3)若点P移动到线段外时（C，D两点除外），（2）中，，之间的关系还成立吗？请画出图形并直接写出结论． 【答案】(1) (2)解：．理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴，． 又∵， ∴； (3)①当点在线段的延长线上时，． ②当点在线段的延长线上时，． 【分析】（1）过点作，根据可知，故可得出，，再由即可得出结论； （2）同（1）； （3）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段的延长线上与点P在线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，． 又∵， ∴； ∵，， ∴ （2）略 （3）解：①当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 35．作平行线是解几何题常用的辅助线（辅助线一般用虚线），例如： (1)如图1，已知，过点作，求证：； (2)如图2，已知四边形，试通过添加辅助线，求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． (2)证明：如图，过点作， 由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）利用平行传递性得到两组平行线，根据内错角相等拆分，然后等量代换完成证明； （2）过作，根据（1）中的，结合平行线内错角相等进行角的代换，推导出角度关系． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型2 根据平行线的性质求角的度数 36．五线谱是记谱法，用五根等距平行线标音符构成旋律．如图所示，将一个三角尺的缩小模型摆放在五线谱上，其中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，再根据角的和差得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵， ∴ ． 37．仰卧起坐是一项增加躯干肌肉力量和伸张性的运动，如图是彤彤做仰卧起坐某一瞬间的动作及其示意图，，，点F在直线上，若，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，得出，，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ． 38．如图，，，，， (1)直线与有怎样的位置关系？并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）由条件导角可证，结合即可得出； （2）利用平行线的性质可分别求出的值，再根据角的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 39．如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（    ） A．右转 B．左转 C．右转 D．左转 【答案】A 【分析】设处正北方向为射线，，延长至，根据题意可得即为所求，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，设处正北方向为射线，，延长至， 依题意，，， ∴， ∴ ∴ 即需向右转． 40．如图，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据两直线平行同位角相等得到，根据角平分线的定义得到，继而根据两直线平行内错角相等得到． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ． ◆题型3 平行线的性质在生活中的应用 41．小明骑自行车自处沿正北方向前进，到达处后，右拐继续行驶，若到达处后，想继续沿正北方向行驶，则他在处应（     ） A．左拐 B．右拐 C．右拐 D．左拐 【答案】A 【详解】解：如图，过点C作，延长， ∴， ∴若到达处后，想继续沿正北方向行驶，则他在处应左拐． 42．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，可见抖空竹在民间流行的历史至少存在年．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点E作，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 43．某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度和第三次转过的角度分别为、，则第二次拐弯角（）的度数是__________． 【答案】 【分析】过拐点作，根据平行线的性质分别求出、的度数，根据即可求解． 【详解】解：如图，过作， ∵最后行车路线与开始的路线相互平行， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 44．如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条b旋转的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角相等，两直线平行可知旋转后，进而可求旋转的度数． 【详解】解：要使木条a与b平行，则旋转后， ∴木条b旋转的度数是． 45．随着仿生机器人技术的快速发展，其已广泛应用于野外勘探、物流运输等场景．某野外勘探队携带一台如图所示的仿生机器人进行勘探，该机器人在某斜坡上平稳站立时，可抽象出如图所示的图形，其中，，，则此时的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，根据平行公理的推论推出，再根据平行线的性质分别求出，即可求解． 【详解】如图，过点作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴． ◆题型4 根据平行线的判定与性质求角的度数 46．如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】由平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解： ，， ，则， ，则． 47．一副直角三角板和，其中，，，． (1)如图1，其中直角顶点与重合，点落在上，则________． (2)如图2，将三角尺沿的方向平移，使得点在上．则________． (3)如图3，将图1中的三角尺绕点转动，使一边恰好平分，与相交于点，求的度数； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角板度数求解即可； （2）由平移的性质可知，，所以，再根据三角板的度数求解即可； （3）由题意可证，则题目可解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：如图2，由平移的性质可知，， ， 又， ； （3）解：平分，， ， 在中，， ， ， ， ， ． 48．如图，已知，，，，三点共线，连接与相交于点． (1)试说明：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ． ， ． ． (2) 【分析】（1）根据平行线的判定和性质，证明即可； （2）根据平行线的判定和性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解： ，， ， ． ．     ， ． ， ． ， ． 49．如图，已知，． (1)试说明的理由． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)解：理由如下： ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）由平行线的判定与性质求解即可； （2）由角平分线定义、平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 平分， ， 由（1）知，则， ， ． 50．如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断和的位置关系，并说明理由： (2)若，求的度数． 【答案】(1)解：，理由如下： ， ， ， 又， ， ． (2) 【分析】（1）由已知条件，，根据平行线的判定和性质可得，求出，即可得出答案． （2）由（1）中的结论可知，，可得，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 又， ， ， ∵， ∴． ◆题型5 根据平行线的判定与性质证明 51．如图，已知，点在的延长线上，连接，为线段上一点，点为内一点，连接、，．求证：． 【答案】证明：， ， 又． ， ， 【详解】略 52．已知，，求证：平分． 【答案】证明：∵ ， ∴ ，． ∵ ， ∴ ． ∴ 平分 ． 【分析】根据两直线平行同位角相等得到，两直线平行内错角相等得到，结合已知推出，依据角平分线的定义证明平分． 【详解】略． 53．已知：如图，，，是直线被直线截出的同位角，求证：． 分析：由条件，可以得到哪些等量关系？为了证明需要怎样的等量关系？ 【答案】由条件，可以得到，；为了证明需要证明 【分析】根据平行线的性质和判定证明即可． 【详解】略 54．如图，点在直线上，，与互余，是上一点，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）先由垂直的定义得到，推导出；再结合互余的条件得到，利用同角的余角相等证得，依据内错角相等，两直线平行证明． （2）根据角平分线定义求出的度数；再利用两直线平行，内错角相等得到，最后通过角的差运算求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 55．如图，已知直线，，连接，，点是直线，之间的一点，连接，且，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】先根据平行线的性质得到，再等量代换求出，最后通过平行线的判定和性质即可求解． 【详解】略 一、单选题 1．如图，已知：， ，平分，，有下列结论：①；  ②；  ③； ④．结论正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即，故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：，故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴，故④不正确； 正确的个数共有3个． 2．如图，，射线交于点E，，点F为上一点，，则与的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点N作、过点M作，证明，根据平行线的性质得到，进而求出，设、，则、，进而求出，从而得出结论． 【详解】解：如图，过点N作、过点M作， ， ， 、、、， ， 设、，则、， 、、， 、、， ， ， ． 3．将一副直角三角板如图放置，点C在线段上，点D在直线上，F在线段上（不与A，B重合），已知，，．若，则的度数用可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和三角板的度数求得，过点作，分别表示出，进而可得，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 过点作， ∴， ∴ ∴ 4．如图，已知，点E在上，点F在上，点P在上方，点Q在与之间，连接，，，，并延长至点G．若，，则下列关于与之间的数量关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，则，，，过作，根据平行线的判定与性质得出，，则，即，过作，根据平行线的判定与性质得出，，则，即，从而得出，化简即可得出结论． 【详解】解∶∵，， ∴设，，则，，， 如图，过作， 则， ∴，， ∴， ∴， 如上图，过作， 则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义及角平分线定义，结合图形中三角板的角度特征进行逐一判断即可． 【详解】解： 在 中，， ， ， ， 在 中，， ， ， 故①正确； ，， （两直线平行，同位角相等）， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 由图可知点 在 上， ， ， 在 中，， ， ， ，即 平分 ， 故③正确； 点 在 上， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的结论有4个． 6．如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况：当点在之间时，当点在的下方时，当点在的上方时，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当点在之间时，如图，过点作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故C正确； 当点在的下方时，如图，过点作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故A正确； 当点在的上方时，如图，过点作，此时， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即，故B正确；D不可能． 7．在学习“相交线与平行线”一章时，小阳学习了垂直的定义，并仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是，就称两条直线互为完美交线，交点叫完美点．已知直线，互为完美交线，为它们的完美点，，则的度数为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况，点C和点E在直线的同侧和点C和点E在直线的异侧，分别画出示意图讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，直线交于点O，且， ∵， ∴， ∴； 如图所示，直线交于点O，且， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 二、填空题 8．如图，，P、Q分别是线段上的定点，在与之间有一点F，分别为、的角平分线，若，则________度． 【答案】100 【分析】过E作，根据平行线的性质和角的和差关系，求出，再根据角平分线的定义和平角的定义推出，即可得出结果. 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ，， ， ， ∵分别为、的角平分线， ，， ， ∵， ∴， 同法可得：． 9．两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点重合，，．接着保持三角板不动，将三角板绕着点旋转，但保证点在直线的上方，若三角板有一条边与斜边平行，则__________ ． 【答案】或或 【分析】分、、三种情况讨论，利用平行线的性质可求解． 【详解】解：如图，当时， ∵ ， ； 如图，当时， ∵， ， ， ； 当时，如图，延长交于， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， 综上所述：或或， 故答案为：或或． 10．D是的边延长线上的一点，．过点A作的平行线交于点，平分，平分，若，则_____． 【答案】 【分析】过点F作，由，得．利用平行线内错角相等，将拆分为．由角平分线的性质，得，，因此．由，得，即．代入，得，即可求出答案． 【详解】解：过点F作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，． ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 11．图1是一盏可折叠台灯，图2为其侧面示意图，，灯头连接杆与桌面平行（即)，，灯体可绕点D旋转调节，现把灯体从水平位置旋转到位置（图2虚线所示），当灯体所在的直线恰好垂直支架，则的度数为_____． 【答案】/度 【详解】过点作， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ， 延长交于，交于， 则， ， ， ， ． 三、解答题 12．在学习了相交线与平行线这一章内容后，我们知道了：如果两条平行线被第三条直线所截，所截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．因此在某些探究性问题中，通过“构造平行线”可以起到转化角的作用． 已知，，一块三角板中，，，． 初步探究： 如图1，若将三角板的顶点放在直线上，与相交于点，于点．则的度数是多少呢？若过点作，则，这样就将转化为，转化为，从而可以求得的度数为 (1)请你直接写出： ， ； 类比再探： (2)若将三角板按图2所示方式摆放（与不垂直），请你猜想与的数量关系？并说明理由． 总结应用： (3)请你总结（1）、（2）解决问题的思路，在图2中探究与的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)，； (2)解：， 理由如下：如图，过点作，则， ，， ， ， ； (3)解：， 理由如下：如图，过点作，则， ，， ， ， ． ． 【分析】（1）由，，可得，则，根据三角板的度数，得出，再根据平行线的性质，可得； （2）如图，过点作，则，根据平行线的性质可得； （3）过点作，则，进而根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）略 13．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使得．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中． (1)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2，使得三角尺的一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使得三角尺的一边在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，旋转的过程中，在第几秒时，边与射线恰好平行． 【答案】(1) (2)，理由如下： ，， ，， ， ， 故与之间的数量关系为： (3)在第9秒或第27秒时，边与射线恰好平行． 【分析】（1）根据平角的定义，角平分线的定义，求出的度数，再根据角的和差关系即可得出结果； （2）根据角的和差关系，得到，，即可得出结论； （3）易得，进而得到当在直线上时，，进行求解即可. 【详解】（1）解：， ， 又∵平分， ， ． （2）略． （3）解：， ， ， ∴当在直线上时，，如图所示，此时旋转角为或， ∵每秒顺时针旋转， ∴在第9秒或第27秒时，边与射线恰好平行． 14．已知，作直线，，点在上． (1)若． ①如图1，求证：； ②如图2，点在上，点在的上方，，，求的度数． (2)如图3，点在上，点在上，是直线上一动点，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点（不与，重合），请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②； (2)与的数量关系为或． 【分析】（1）①利用平行线的判定和性质证明即可； ②作，设，，利用平行线的判定和性质即可求得； （2）分三种情况讨论，利用平行线的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：①略 ②作， 设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在线段上时，如图，作，， ∵， ∴， 设，，则，，，， ∴， ∵的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点， ∴，， ∴ ， ∴，即； 当点在射线上时，如图，作，， ∵， ∴， 设，，则，，，， ∴， ∵的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点， ∴，， ∴ ， ∴； 当点在射线上时，如图，作，， ∵， ∴， 设，，则，，，， ∴， ∵的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点， ∴，， ∴ ， ∴； 综上，与的数量关系为或． 15．【问题提出】 (1)如图，点在上，点在、之间，连接、、，，． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，过点F作，若，，平分，求的度数． 【问题解决】 (2)如图3，为治理河道污染，环保工作人员在河岸直线上选取监测点、，与为两条污水导流管道，已知管道夹角满足，导流管道与河岸保持平行，为了测量管道的延伸角度，工作人员在上取一点，连接，平分，过点作交的延长线于点，经测量，，求导流管道与河岸的夹角的度数．（河岸、管道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①证明： ， ， ， ， ; ②； (2)导流管道与河岸的夹角的度数为 【分析】（1）①根据平行线的性质可得，进而推出，即可得证；②由题意得，，根据平行线的性质可得，，进而求出，再根据角平分线的定义得到，进而求出，最后根据，即可求解； （2）根据，，推出，根据平行线的性质可得，结合垂直的定义可求出，根据角平分线的定义求出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）①略 ②解：， ， ，， ，         ，， ，         平分， ， ，         ， ； （2），， ， ， ，         ， ，         ， ， ， 平分， ，         ， ， 即导流管道与河岸的夹角的度数为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章相交线和平行线全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1利用邻补角互补求角度 题型2垂线段最短 题型3同位角、内错角、同旁内角 题型4平行公里 题型5画垂线 题型6平行线的判定与性质 目综合攻坚知能拔高 题型1根据平行线的性质探究角的关系 题型2根据平行线的性质求角的度数 题型3平行线的性质在生活中的应用 题型4根据平行线的判定与性质求角的度数 题型5根据平行线的判定与性质证明 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1利用邻补角互补求角度 1.如图，O为直线AB上一点，以O为顶点作∠COD=90°，射线OP平分∠AOD.若∠DOB=50°，则 ∠COP= D B 2.如图，直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOD,若∠BOD=38°，则∠COE的度数为() 1/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B A.43° B.71 c.109 D.114° 3.如图所示，直线AB与直线CD相交于点O,OF为∠AOD的角平分线，OF⊥OE.若∠BOC=130°， 则∠BOF的度数是() F A.105° B.110 C.115° D.120° 4.如图，点A,O,B在同一条直线上，OD平分∠AOC,OE平分∠BOC.若∠B0D=156°，则 ∠COE的度数为 D B 5.如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,∠2=.求∠AOF的度数 ◆题型2垂线段最短 6.点P为直线m外一点，点A,B,C为直线m上三点，PA=4cm,PB=5cm,PC=6cm,则点P到直线 m的距离为(). A.等于5cm B.等于4cm C.小于4cm D.不大于4cm 7.如图，点B,C在直线l上，BC=2,△ABC的面积为2.若P是直线BC上一点，连接AP,则线段AP 2/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的最小长度为 8.如图AD⊥BC于点D,AB=6,AC=9,AD=5,点P是线段BC上的一个动点，则线段AP的长度不 可能是() A.4.8 B.5.5 C.7 D.8.5 9.如图，三角形ABC中，∠B=90°，AB=6,点P是BC上的动点，则AP的长度不可能是() ■ A.8 B.7 C.6.2 D.5 10.如图，在△ABC中，AB=14,△ABC的面积为42，D为线段AB边上的动点，连接CD,以CD为 边向左侧作正方形CDEF,则正方形CDEF面积的最小值为 B ◆题型3同位角、内错角、同旁内角 l1.如图，直线a,b,c被直线d所截，则下列说法正确的是() 3122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 d 13 4 52 b 6 C 87 A.∠1与∠5是同位角，∠5与∠6是内错角. B.∠3与∠2是同旁内角，∠4与∠7是同位角. C.∠3与∠6是同位角，∠4与∠5是内错角. D.∠1与∠8是同旁内角，∠2与∠7是同旁内角 12.(1)指出下列各图中的∠1与∠2是同位角、内错角还是同旁内角， ① ② ③ ④ (2)请你归纳：辨认同位角、内错角、同旁内角的方法可以是什么？ ② ③ ④ 13.如图，有下列说法：①能与∠DEF构成同旁内角的角的个数有2个，②能与∠BFE构成同位角的角 的个数有2个；③能与∠C构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是 E F B 14.(1)如图，直线AB,CD被DE所截，则∠1和 是同位角，∠1和 是内错角， ∠1和 是同旁内角： (2)在(1)中，如果∠5，那么∠1=的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为∠5()， 5=( 所以∠1=( 4122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B IOD 15.如图，∠1与∠D,∠1与∠B,∠3与∠4，∠B与∠BCD,∠2与∠4分别是哪两条直线被哪一条 直线所截得到的？它们分别是具有什么位置关系的角？ ◆题型4平行公里 16.如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为 O· e A.0 B.1 C.2 D.无法确定 17.下列说法：①不相交的两条直线一定互相平行；②过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行： ③平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线平行；④平行于同一直线的两直线平行；⑤已知三点，过 每两点画直线，一定可以画3条直线.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 18.有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若ad,dc,则a‖c;③过直线外 一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种. 其中真命题有() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 19.在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M如下图所示. 5122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A'B' D B EF GH (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来. (2)EF与AB有何位置关系？CC与HR有何位置关系？为什么？ 20.下列说法中正确的个数有() (1)在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 (2)经过直线外一点，能够画出一条直线与己知直线平行，并且只能画出一条 (3)如果a‖b,b‖c,则a‖c (4)两条不平行的射线，在同一平面内一定相交. A.1 B.2 C.3 D.4 ◆题型5画垂线 21.如图，如果给A、B两个村庄各修一条小路与公路连接要使两条小路最短，应该怎样修？（在图中画 出来) 公路 .A村 ·B村 22.如图，已知点M在∠BAC的内部，点N在边AB上.按要求画出图形并填空. M B (I)过点M画ME⊥AC,垂足为E: (2)过点M画MF⊥AB,垂足为F: (3)M、N两点间的距离是线段 的长度，线段AE的长度表示 到 的距离： (4)点M到直线AC的距离是线段 的长度： 6122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (⑤)点N到直线AB的距离是 23.已知：如图，直线AB、CD相交于O, KD 20 1一B (I)作图：过点O作直线EF⊥AB(不要求写作法，点E在AB上方) (2)若∠EOB=4∠1，求∠2、∠EOD、∠E0C的度数. 24.如图，点C在∠O的一边OB上.请按要求画图并填空： C A (I)过点C作OB边的垂线CD,交线段AO的延长线于点D: (2)过点C作OA边的垂线段CE,垂足为点E; 3)比较线段CE,OD,CD的大小，并用“<”连接得，得此结论的依据是 25.(1)如图，点A、B、C都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图.过点C画直线AB的垂线CD, 并标出直线CD所经过的格点D及垂足E,连接线段BC: (2)线段的长就是点C到直线AB的距离： (3)比较大小：CE CB(填“>”“<”或“=”). B ◆题型6平行线的判定与性质 26.如图，点E,F分别是线段AB,CD上的点，连接CE与BF分别交AD于点G,H.已知 ∠A=∠AGE,∠D=∠CGD. 7/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G02 D (1)求证：AB‖CD: (2)若∠ 1+,且∠BEC=2∠B+30°，求∠BFD的度数： 27.如图，已知AB‖CD,设∠ABM=c,∠DNM=B,∠CDN=Y,则∠BMN的大小为() M D A.a+β-Y B.o-β+Y C.180°-c-β+Y D.180°-a+β-Y 28.如图1，M为射线BA上一点，∠ABC=c,∠AMN=B(a>B). E M M B 图1 图2 (1)若a=110°，β=50°，BDMN,求∠CBD的度数： (2)如图2，点E在BC上，过点E作直线PQ,∠CEQ=o-B, ①说明PQMN的理由： ②过点E作射线EF⊥BC,若a=105°，阝=45°，求出∠FEP的度数. 29.如图1，已知∠1=BDC,∠ 2+ E C 3 F B 图1 图2 (I)请判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由： (2)如图2，若DA平分∠BDC,CE⊥AE于点E,∠1=63，试求∠FAB的度数： 8122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30.综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动.已知直线 ab,同学们把一个含30°的直角三角尺如图摆放，且∠BCA=90°，∠BAC=30°，∠ABC=60°. B B - 6 C 图1 图2 图3 初步思考： (1)如图1，点C在直线b上，若∠1=40，则∠2=_°； 深入探究： (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，分别与AB、AC交于点E、F并改变∠2的位置，发现 2-,请说明理由： (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3.点A在直线b上，直线α 分别与BC、AB交于点E、F,AC平分∠BAM.此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出 ∠1与∠2的数量关系. 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1根据平行线的性质探究角的关系 31.下面是数学家普罗克拉斯的两种证明三角形内角和为180°的方法： B 图1 图2 图3 如图1，己知：三角形ABC.求证：∠BAC+∠ABC+∠ACB=180° 方法一：如图2，过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥BC,过点C作CF⊥BC. .AD⊥BC,BE⊥BC,CF⊥BC, ∴.∠ADC=90°，∠EBC=90°，∠FCB=90°， ∴.∠ADC=∠EBC=90° ∴.AD‖BE(依据一). 9122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAD=∠ABE 又，∠ADC+∠FCB=90+90°=180°， .AD‖CF ∴.∠DAC=∠FCA(依据二) .∴.∠BAC+∠ABC+∠ACB =∠BAD+∠DAC+∠ABC+∠ACB =∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACF =∠EBC+∠FCB =90°+90° =180° 方法二：（将辅助线一般化）如图3，在边BC上任取一点G(不与B,C重合)，连接AG.分别过点B, C作AG的平行线 (①)材料中方法一的证明过程中的依据一，依据二分别指的是： 依据一： ,依据二： (2)材料中证法一的思路是用平行线的性质得到∠BAD=∠ABE,∠CAD=∠ACF,将三角形内角和问 题转化为∠EBC与∠FCB的和，进而得到三角形内角和是180°， 这种方法主要体现的数学思想是 (填选项) A.函数思想B.分类思想C.转化思想 (3)请将方法二的证明过程补充完整，在图3中作出辅助线，并标清字母 (④)请你用此数学思想验证四边形的内角和为360°.已知：四边形ABCD,求证： ∠A+∠B+∠C+∠D=360° 4 B D 32.如图，点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，DEBC,点F在线段CD上，且∠DEF=∠B. D (I)求证：ADEF: 10/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若DE平分∠ADC,∠BDC=3∠B,求∠B的度数. 33.如图，已知∠1+BDE=180°，∠ 2+. D (1)判断直线AD和直线EF的位置关系，并说明理由： (2)若∠3=90，∠4=140，求∠BAC的度数. 34.如图，已知直线ab,直线c与a,b分别相交于点C,D,点P在直线c上，点A,B分别是直线a, b上的点，设∠CAP=∠1，∠APB=∠2，∠DBP=∠3. A C 0 D D B B B 图① 图②（备用图） 图③（备用图） (1)如图①，如果∠1=30，∠3=54，求∠2的度数： (2)在图①中，若点P在线段CD上移动(C,D两点除外)，∠1，∠2，∠3之间的关系是什么？请说明 理由； (3)若点P移动到线段CD外时(C,D两点除外)，(2)中∠1，∠2，∠3之间的关系还成立吗？请画出 图形并直接写出结论， 35.作平行线是解几何题常用的辅助线（辅助线一般用虚线），例如： B 图1 图2 (1)如图1，已知ABDE,过点C作CF‖AB,求证：∠BCD=∠B+∠D: (2)如图2，已知四边形ABCD,试通过添加辅助线，求证：∠BCD=∠A+∠B+∠D ◆题型2根据平行线的性质求角的度数 11/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 36.五线谱是记谱法，用五根等距平行线标音符构成旋律.如图所示，将一个三角尺的缩小模型摆放在五 线谱上，其中∠CBD=60°，∠BCE=100°，则∠FBD的度数是() F B A D& E A.20° B.30° C.40° D.50° 37.仰卧起坐是一项增加躯干肌肉力量和伸张性的运动，如图是彤彤做仰卧起坐某一瞬间的动作及其示意 图，AB‖CD,AC‖DE,点F在直线AC上，若∠FAB=112°，∠E=58°，求∠DCE的度数， 38.如图，CD‖AB,∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°， D E B (1)直线EF与CD有怎样的位置关系？并说明理由. (2)若∠CEF=70°，求∠ACB的度数， 39.如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向 调整到与出发时一致，则方向的调整应是() C 北 北 B A A.右转80° B.左转80° C.右转100° D.左转100° 12/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40.如图，CD平分∠ACB,DE‖BC,∠AED=80°，求∠CDE的度数. ◆题型3平行线的性质在生活中的应用 41.小明骑自行车自A处沿正北方向前进，到达B处后，右拐20°继续行驶，若到达C处后，想继续沿正北 方向行驶，则他在C处应() 东 A.左拐20° B.右拐20° C.右拐160° D.左拐160° 42.抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩 法和制作方法的记述，可见抖空竹在民间流行的历史至少存在600年，如图，通过观察抖空竹发现，可以 将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB‖CD,∠BAE=95°，∠E=30°，则∠DCE的度数为() A.125° B.126° C.127° D.128° 43.某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，己知第一次转 过的角度和第三次转过的角度分别为110°、130°，则第二次拐弯角（∠1）的度数是 0 A130 1以 44.如图，将木条4，b与c钉在一起，∠1=40，∠2=50，要使木条a与b平行，木条b旋转的度数是 13/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.10° C.15° D.20° 45.随着仿生机器人技术的快速发展，其已广泛应用于野外勘探、物流运输等场景.某野外勘探队携带一 台如图1所示的仿生机器人进行勘探，该机器人在某斜坡上平稳站立时，可抽象出如图2所示的图形，其中 AB‖CD,∠B=120°，∠D=145°，则此时∠BED的度数为()· D 图1 图2 A.80° B.85° C.90 D.95° ◆题型4根据平行线的判定与性质求角的度数 46.如图，己知∠1=73，∠2=107，∠3=79，求∠4的度数 47.一副直角三角板ABC和DEF,其中∠ACB=∠DFE=90°，∠A=∠ABC=45°，∠E=60°， ∠D=30° C(F) C(F) (图1) (图2) (图3) (I)如图1，其中直角顶点C与F重合，点B落在DF上，则∠ABD= (2)如图2，将三角尺ABC沿AE的方向平移，使得点B在DE上.则∠ABD=。 14/22 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，将图1中的三角尺ABC绕点C转动，使一边CB恰好平分∠DCE,AB与DE相交于点H,求 ∠AHE的度数； 48.如图，己知BC‖DF,∠B=∠D,A,F,B三点共线，连接AC与DF相交于点E. D B (①)试说明：AB‖CD; (2)若∠A=50°，∠AFG=130°，∠ACB=60°，求∠EFG的度数. 49.如图，己知BFDE,∠ 1+. D G (1)试说明GF‖BC的理由. (2)若BF平分∠ABC,∠1=40，求∠AGF的度数， 50.如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于 点H,∠CDG=∠B,∠1+FEA=180°. B H G (1)判断EH和AD的位置关系，并说明理由： (2)若∠BAD=40°，求∠H的度数 ◆题型5根据平行线的判定与性质证明 51.如图，已知AB‖CD,点G在DC的延长线上，连接BG,E为线段BG上一点，点F为∠BGD内一点， 连接EF、CF,∠1=.求证：∠BEF=∠F. 15/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 12 G C D 52.已知AD‖BC,∠B=∠C,求证：AD平分∠EAC. E 53.已知：如图，ba,ca,∠1，∠2，∠3是直线a,b,c被直线d截出的同位角，求证：bc 分析：由条件ba,ca可以得到哪些等量关系？为了证明bc需要怎样的等量关系？ d 54.如图，点O在直线AB上，OC⊥OD,∠CDO与∠1互余，F是DC上一点，连接OF. D C (1)求证：AB‖CD. (2)若0F平分∠C0D,∠OFD=75°，求∠1的度数. 55.如图，已知直线AB,CD,连接BD,AC,点E是直线AB,CD之间的一点，连接DE,且AC‖DE, ∠A+∠CDE=180°，求证：∠B=∠BDC. A 题型专练 高频重难特训 16/22 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.如图，已知：AB‖CD,CD|EF,AE平分∠BAC,AC⊥CE,有下列结论：①AB‖EF;② 2∠ 1;③2∠ 3,国∠3号<4=140：钻论正的有() 2 D 4 一F E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，AB‖CD,射线MG交AB于点E,∠GEN=3∠AEG,点F为CD上一点， ∠NFM=3∠MFD,则∠M与∠N的数量关系是() B M D A.∠M=∠N B.4∠M+∠N=180° C.∠M+∠N=90° D.3∠M-∠N=45 3.将一副直角三角板如图放置，点C在线段DF上，点D在直线GH上，F在线段AB上（不与A,B重 合)，已知AB‖GH,∠E=60°，∠CAB=45°.若∠EDH=a,则∠ACD的度数用c可表示为 () G 0 H ◆入 y B A.195°-o B.135°+0 c.165°+0 D.165°-a 4.如图，已知ABCD,点E在AB上，点F在CD上，点P在AB上方，点Q在AB与CD之间，连接 PE,P℉，QE,QF,并延长QE至点G.若3∠PEG=4∠BEG,3∠P℉Q=4∠CFQ,则下列关于∠P 与∠Q之间的数量关系正确的是() 17/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.∠P+∠Q=90° B.4∠P+3∠Q=360° 7 C.∠P+3∠Q=180° D3<QP-10 5.如图，GA‖FD,一副三角板如图摆放，∠EDF=60°，∠BAC=45°，若BC‖DE,下列结论：① EF‖AB:②∠GAB=30°；③EC平分∠DEF;④∠AED=135°.其中正确结论的个数有() G A 9 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，已知AB‖CD,∠D=100°，EF平分∠BED,点G是CD上的一个定点，点P是直线EF上的一 个动点，设∠EPG=C,∠PGD=B,则点P在运动过程中，Q与β的关系不可能是(). A.0+B=50° B.0+B=130° C.0-B=50° D.0-β=130° 7.在学习“相交线与平行线”一章时，小阳学习了垂直的定义，并仿照垂直的定义方法给出以下新定义： 两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是60°，就称两条直线互为完美交线，交点叫完美点.已知直 线AB,CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB,则∠EOC的度数为() A.30° B.60° C.30°或150° D.150° 二、填空题 8.如图，AB‖CD,P、Q分别是线段AB、CD上的定点，在AB与CD之间有一点F,PE、QE分别为 ∠APF、∠CQF的角平分线，若∠PEQ=130°，则∠PFQ=度， 18/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 9.两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点C重合，∠A=45°，∠D=30°，接着保持三角板 ABC不动，将三角板CDE绕着点C旋转，但保证点D在直线AC的上方，若三角板CDE有一条边与斜边 AB平行，则∠ACD= I0.D是△ABC的边BC延长线上的一点，CE‖AB.过点A作BC的平行线交CE于点H,CF平分 ∠ECD,FA平分∠HAD,若∠BAD=70°，则∠F= E H D 11.图1是一盏可折叠台灯，图2为其侧面示意图，∠ABC=2∠MAB-10°，灯头连接杆CD与桌面平 行（即CD‖MN),∠BCD=146°，灯体DE可绕点D旋转调节，现把灯体DE从水平位置旋转到DF位置 (图2虚线所示)，当灯体DF所在的直线恰好垂直支架AB,则∠EDF的度数为一： F C D E B M A (图1)》 (图2) 三、解答题 12.在学习了相交线与平行线这一章内容后，我们知道了：如果两条平行线被第三条直线所截，所截得的 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.因此在某些探究性问题中，通过“构造平行线”可以起到转化 角的作用. 19/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知，AB‖CD, 块三角板POQ中， ∠PQ0=60°， ∠P=30°， ∠0=90° 初步探究： 如图1，若将三角板POQ的顶点Q放在直线CD上，OP与AB相交于点F,PQ⊥AB于点E.则∠OFB的 度数是多少呢？若过点O作OM‖CD,则OM‖AB,这样就将∠OQD转化为∠MOQ,∠OFB转化为 ∠MOF,从而可以求得∠OFB的度数为.· B M 图1 图2 (1)请你直接写出：∠OQD=_,∠OFB=_; 类比再探： (2)若将三角板POQ按图2所示方式摆放(PQ与AB不垂直)，请你猜想∠OFB与∠OQD的数量关系？ 并说明理由. 总结应用： (3)请你总结(1)、(2)解决问题的思路，在图2中探究∠PQC与∠P℉A的数量关系？并说明理由. 13.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使得∠AOC=60°.将一把直角三角尺的直角顶 点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=30° 图1 图2 图3 (1)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2，使得三角尺的一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分 ∠BOC,求∠CON的度数； 20/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使得三角尺的一边ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM 与∠NOC之间的数量关系，并说明理由： (3)将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，旋转的过程中，在第几秒时，边 MN与射线OC恰好平行. 14.已知ABCD,作直线AC,BD,点M在CD上. E B D M D 图1 图2 图3 (I)若∠ACD=∠ABD ①如图1，求证：ACBD: ②如图2，点F在CA上，点E在AB的上方，∠EAB=2∠EAF,∠EDC=2∠EDB,求∠AED的度数. (2)如图3，点G在AB上，点Q在CD上，P是直线BD上一动点，∠PAG的平分线所在直线与∠PCQ的平 分线所在直线交于点H(不与A,C重合)，请直接写出∠APC与∠AHC的数量关系。 15.【问题提出】 图1 图2 B图3 (I)如图，点E在CD上，点F在AB、CD之间，连接BF、CF、AE,AEBF,∠B=∠AEC ①如图1，求证：CE‖AB: ②如图2，连接DF,过点F作FH‖AB,若∠AEC=150°，∠D=25°，FD平分∠BFC,求∠C的度 数 【问题解决】 (2)如图3，为治理河道污染，环保工作人员在河岸直线AB上选取监测点C、D,CE与DF为两条污水导流 管道，已知管道夹角满足∠ACE+∠BDF=I80°，导流管道EF与河岸AB保持平行，为了测量管道的延 伸角度，工作人员在AB上取一点G,连接FG,FG平分∠DFE,过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点 M,经测量，∠CMP=55°，求导流管道DF与河岸AB的夹角∠BDF的度数.（河岸、管道的宽度均忽 21/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 略不计) 22/22函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章相交线和平行线全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1利用邻补角互补求角度 题型2垂线段最短 题型3同位角、内错角、同旁内角 题型4平行公里 题型5画垂线 题型6平行线的判定与性质 目综合攻坚知能拔高 题型1根据平行线的性质探究角的关系 题型2根据平行线的性质求角的度数 题型3平行线的性质在生活中的应用 题型4根据平行线的判定与性质求角的度数 题型5根据平行线的判定与性质证明 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1利用邻补角互补求角度 1.25 2.C 3.C 4.66°/66度 5.135° ◆题型2垂线段最短 6.D 7.2 8.A 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.D 10.36 ◆题型3同位角、内错角、同旁内角 11.C 12.(1)①内错角；②同旁内角；③同位角：④同位角：(2)可通过同位角的边构成“P形，内错角的 边构成“Z形，同旁内角的边构成“U形进行判断 13.① 14. ∠3 ∠5∠2 己知 对顶角相等 等量代换 15. ∠1与∠D是直线BA和直线CD被直线AD所截得到的内错角： ∠1与∠B是直线AD和直线BC被直线AB所截得到的同位角： ∠3与∠4是直线AB和直线CD被直线AC所截得到的内错角： ∠B与∠BCD是直线AB和直线CD被直线BC所截得到的同旁内角： ∠2与∠4是直线AD和直线CD被直线AC所截得到的同旁内角. ◆题型4平行公里 16.C 17.A 18.B 19.I)ABEF,AB‖AB,HR‖DD'(答案不唯一) (2) EF‖AB,CC‖HR.理由如下： AB‖AB,AB‖EF, ∴.EF‖AB .HR DD,CC DD, ∴.CC‖HR 20.C ◆题型5画垂线 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 公路 5A村 21. B村 22. (1)如图，ME即为所求： E M B F N (2)如图，MF即为所求： E M ⊙ F (3)MN,4,ME (4)ME (5)0 E D 2 -B 23.(1) F (2)∠2=22.5，∠E0D=67.5°，∠E0C=112.5° 24.(1) 如图，CD即为所求； 3/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C D A (2) 如图，CE即为所求； B C D A (3)CE<CD<OD,垂线段最短 25. (1)如图，线段CD即为所求： (2)CE(3)< ◆题型6平行线的判定与性质 26.(I)证明：∠A=∠AGE,∠D=∠DGC,∠AGE=∠DGC, .∠A=∠D AB‖CD: (2)50° 27.D 28.(1)60° (2)①证明：过点B作BH‖MN, H M .∠AMN=∠ABH=阝， 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠ABC=∠ABH+∠CBH=a, .∠CBH=a-β， ∠CEQ=a-β， .∠CEQ=∠CBH, .PQ‖BH, .BH‖MN ..PQ MN ②30°或150° 29.(1)直线AD与直线CE的位置关系为ADCE, 理由如下： 因为，∠1=BDC, 所以，AB‖CD 所以，∠2=ADC, 因为，∠ 2+, 所以，∠ADC+∠3=180， 所以，AD‖CE (2)58.5° 30.(1)50: (2)解：理由如下： 过点B作BD‖a,如图所示： A a F B-------2-- ---D 则∠ 2+ABD=180°. alb, ..b BD, ∴.∠1DBC, .∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1， ∠ 2+, .∠ 2-； 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)∠ 1= 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1根据平行线的性质探究角的关系 31.(1)同位角相等，两直线平行：两直线平行，内错角相等 (2)C (3)证明：分别过点B,C作BMAG,CN‖AG,如下图 G 图3 .BM‖AG, .∠BAG=∠MBA, .CN‖AG, .∠CAG=∠ACN, .BM AG,CN AG, BM‖CN, ∴.∠MBC+∠NCB=180°， ∴.∠BAC+∠ABC+∠ACB =∠BAG+∠GAC+∠ABC+∠ACB =∠MBA+∠ABC+∠ACB+∠ACN =∠MBC+∠NCB =180° (4)证明：在DC上取点E,连接BE,过点C作CF‖BE,过点A作交AP‖BE交CD于点P,过点D作 DQ‖BE,如图 B E PD .CF‖DQ‖AP‖BE, 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠FCD+∠PDQ=180°，∠FCB=∠CBE,∠EBA+∠BAP=180°，∠PAD=∠ADQ, ∴.∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠FCB=∠FCD, ∠PAD+∠ADC=∠ADQ+∠ADC=∠CDQ, :.∠BCD+∠CBE+∠PAD+∠ADC=∠FCD+∠CDQ=180°， ∴.∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB =∠CBE+∠EBA+∠BCD+∠ADC+∠PAD+∠BAP =∠BCD+∠CBE+∠PAD+∠ADC+∠EBA+∠BAP =180°+180° =360°」 32.(1)证明：.DE‖BC, .∠B=∠ADE, .∠B=∠DEF, ∴∠ADE=∠DEF. .AD‖EF (2)36° 33.(1)ADEF,理由如下： ,∠1+BDE=180°， .AC‖DE, .∠2=ADE, 2+, ∴.∠ADE+∠4=180， ∴.AD‖EF (2)∠BAC=50° 34.(1)84° (2)解：∠2=∠·理由如下： 如图，过点P作PE‖a, 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 alb, ..PE b, ∴.∠1=APE,∠3=BPE. 又∠APB=∠APE+∠BPE, ∠2=∠： (3)①当点P在线段DC的延长线上时，∠2=∠·②当点P在线段CD的延长线上时，∠2=∠. 35.(1)证明：：AB‖DE,CF‖AB, ..DE CF, .∠D=∠DCF, :AB‖CF, ∴.∠B=∠BCF, ,∠BCD=∠BCF+∠DCF, .∠BCD=∠B+∠D (2)证明：如图，过点B作BE‖AD, E B 由(1)得，∠BCD=∠EBC+∠D, .BE AD .∠EBA=∠A, .∠EBC=∠EBA+∠ABC, ∴.∠BCD=∠EBA+∠ABC+∠D=∠A+∠ABC+∠D. ◆题型2根据平行线的性质求角的度数 36.C 37.54° 38.(I)解：CD‖EF,理由如下： .CD‖AB,∠DCB=70°， .∠CBA=∠DCB=70°， ∴.∠ABF=∠ABC-∠CBF=70°-20°=50°， .∠EFB=130°， 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABF+∠EFB=180°， AB‖EF, CD‖AB, CD‖EF: (2)40° 39.A 40.40° ◆题型3平行线的性质在生活中的应用 41.A 42.A 43.60 44.B 45.D ◆题型4根据平行线的判定与性质求角的度数 46.101° 47.(1)135° (2)105° (3)120° 48.()证明：.BC‖DF, ∴.∠B=∠AFD」 .∠B=∠D, ∴.∠AFD=∠D. ∴.AB‖CD (2)∠EFG=60° 49.(1)解：理由如下： BF‖DE, .∴.∠CBF+∠2=180， 1+, .∠1-CBF, ∴.GFBC (2)80° 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 50.)解：EH‖AD,理由如下： .∠CDG=∠B, ∴.AB‖GD ∴.∠1=BAD, 又.∠1+FEA=180°， ∴.∠BAD+∠FEA=180°， .EH‖AD (2)40° ◆题型5根据平行线的判定与性质证明 51.证明：.AB‖CD, .∴.∠1=G, 又∠1= ∴.∠G=∠2， ∴.BG‖CF, ∴.∠BEF=∠F 52.证明：：AD‖BC, .∠1=∠B,∠2=∠C. ,∠B=∠C, .∠1=∠2」 .AD平分∠EAC. 53.由条件b‖a,c‖a可以得到∠1=，∠1=；为了证明b‖c需要证明∠2= 54.(1)证明：0C⊥OD, .∠COD=90°， ∴.∠1+A0D=180°-∠C0D=90°， ,∠CD0与∠1互余， ∴.∠1CD0=90°， .∠AOD=∠CDO. .AB‖CD: (2)30° 55.证明：，AC‖DE, :.∠CDE+∠ACD=180°， 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠A+∠CDE=180°， .∠A=∠ACD. ..AB CD, .∠B=∠BDC. 题型专练 高频重难特训 1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.D 7.C 8.100 9.135°或45°或165° 10.55° 11.46°/46度 12.(1)30°，60°： (2)解：∠OFB+∠OQD=90°， 理由如下：如图，过点O作OM‖CD,则∠OQD=∠MOQ, ,'AB‖CDOM‖CD D 图2 ∴.AB‖OM, ∴.∠OFB=∠MOP, ∴.∠OFB+∠OQD=∠MOF+∠MOQ=∠POQ=90°： (3)解：∠PQC-∠PFA=30°， 理由如下：如图，过点P作PN‖CD,则∠PQC=∠NPQ 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB CD,PN‖CD, .AB‖PN, ∴.∠PFA=∠NPF ∴.∠PQC-∠PFA=∠NPQ-∠NPF=∠OPQ=30°. ------W F A M 0 0 D 13.(1)150° (2)∠AOM-∠NOC=30°，理由如下： .∠MON=90°，∠AOC=60°， ∴.∠AON=90°-∠AOM,∠AON=60°-∠NOC, 90A0M=60°-∠NOC, ∴.∠AOM-∠NOC=30°， 故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM-∠NOC=30° (3)在第9秒或第27秒时，边MN与射线OC恰好平行. 14.(1)①证明：：ABCD, .∠BAC+∠ACD=180°， .∠ACD=∠ABD, ∴.∠BAC+∠ABD=180°， .AC‖BD ②∠AED=60°： g∠AC与∠AHC的数&关系为∠AHC=号∠APC或∠AHC+号∠APC=IBO. 15.(1)①证明：AE‖BF, ∴.∠A+∠B=180°， ,∠B=∠AEC, ∴.∠A+∠AEC=180°， .CE‖AB: ②∠C=100°： 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)导流管道DF与河岸AB的夹角∠BDF的度数为70° 13/13