期中复习专题讲与练 培优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

六年级上册 期中复习（整数与整除 + 分数 + 有理数） 培优讲义 2026 年沪教版（五四制）六年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握数的整除、因数倍数、素因数分解 · 熟练进行分数四则运算与应用题 · 理解有理数概念、数轴、相反数、绝对值 · 掌握有理数加减乘除乘方混合运算 · 能解决有理数实际应用与规律探究题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.数的整除与因数倍数 整除：整数a除以b商是整数余数为0 因数倍数：a÷b=c则b是a因数，a是b倍数 2的倍数个位偶数，5的倍数个位0或5，3的倍数各位和是3的倍数 素数：只有1和本身两个因数；合数：除1和本身还有其他因数 最大公因数用短除法，最小公倍数=两数积÷最大公因数 概念辨析例题：求12和18的最大公因数和最小公倍数。 解析：短除法：12=2×2×3，18=2×3×3，最大公因数=2×3=6，最小公倍数=2×2×3×3=36 ✅️ 2.分数的性质与运算 分数基本性质：分子分母同乘除相同数（0除外）分数值不变 约分：约去分子分母最大公因数 通分：找分母最小公倍数作公分母 分数加减：同分母直接加减，异分母先通分 分数乘除：乘法分子乘分子分母乘分母，除法乘倒数 概念辨析例题：计算+-。 解析：通分公分母12：+-= ✅️ 3.有理数的概念与数轴 有理数：整数和分数统称有理数 数轴：原点、正方向、单位长度三要素 相反数：a的相反数是-a，和为0 绝对值：数轴上点到原点距离，|a|≥0 有理数大小比较：数轴右边总比左边大 概念辨析例题：已知|x|=3，求x。 解析：x=3或x=-3 ✅️ 4.有理数运算 加法：同号取相同符号绝对值相加，异号取绝对值大的符号 减法：减去一个数等于加它的相反数 乘法：同号得正异号得负，绝对值相乘 除法：除以一个数等于乘它的倒数 乘方：an表示n个a相乘，注意符号 概念辨析例题：计算(-2)3+(-3)×2。 解析：=-8+(-6)=-14 🧀 知识总结表 运算 法则 注意 加法 同号相加异号相减 先定符号 减法 减变加相反数 两变 乘法 同正异负 绝对值相乘 乘方 n个a相乘 负数偶次方正 📩 核心考点 【考点1】数的整除与分数（第1-40题） · 整除判定 · 因数倍数 · 素因数分解 · 分数四则运算 · 分数应用题 1．（2024秋•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（　　） A．5和20 B．7和2 C．34和17 D．1.2和3 【答案】C 【分析】掌握数的整除定义，再逐项判断即可． 【解答】解：5÷20＝0.25，0.25不是整数，5不能被20整除， 故选项A不符合题意； 7÷2＝3.5，3.5不是整数，7不能被2整除， 故选项B不符合题意； 34÷17＝2，34能被17整除， 故选项C符合题意； 1.2不是整数，不能说1.2能被3整除， 故选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了数的整除，熟练掌数的整除的定义是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 2．（2024秋•闵行区校级期中）一个分数的分子缩小至原来的，分母扩大4倍，那么所得的分数（　　） A．与原分数相等 B．是原分数的 C．是原分数的16倍 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据题意可得4，进而得出答案即可． 【解答】解：4． 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数及分数的基本性质，根据题意得出4是解题的关键． 3．（2024秋•闵行区校级期中）在分数，，，中与相等的分数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分数的基本性质解答即可． 【解答】解：在分数，，，中与相等的分数有，，，共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数以及分数的基本性质，掌握分数的基本性质是解答本题的关键． 4．（2024秋•闵行区校级期中）下列各组数中，哪一组的第一个数能被第二个数整除（　　） A．12和5 B．4.5和1.5 C．4和28 D．36和6 【答案】D 【分析】根据整除的定义进行计算． 【解答】A．12÷5，不符合题意，故A错误； B．4.5和1.5不是整数，不符合题意，故B错误； C．4÷28，不符合题意，故C错误； D．36÷6＝6，符合题意，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了整除的概念，掌握整除的定义是关键． 5．（2024秋•闵行区校级期中）下列说法中，正确的个数是（　　） （1）1与素数相加一定是偶数；（2）一个正整数不是素数就是合数；（3）合数的因数中一定有合数；（4）两个偶数的最大公因数一定是2． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据素数、合数、奇数、偶数、公因数的概念，逐一判断各项，即可得到结果． 【解答】解：（1）2是素数，1+2＝3，3是奇数，故原说法错误； （2）1是正整数，1既不是素数，也不是合数，故原说法错误； （3）合数的因数中一定有合数，正确； （4）4和8都是偶数，4和8的最大公因数是4，故原说法错误， ∴正确的个数是1， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数中素数、合数、奇数、偶数、公因数的概念，准确理解各概念是解题的关键． 6．（2024秋•闵行区校级期中）如果一个数恰好等于它的所有因数（除本身外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．例如：6的因数有1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数，1+2+3＝6，所以6就是“完全数”．下面的数中，属于完全数的是（　　） A．28 B．15 C．12 D．36 【答案】A 【分析】根据完全数的定义，逐项判断即可解答． 【解答】解：A．28的因数有：1、2、4、7、14、28，所以1+2+4+7+14＝28，因此28是完全数，符合题意； B．15的因数有1，3，5，15，所以1+3+5＝9，因此15不是完全数，不符合题意； C.12的因数有：1、2、3、4、6、12，所以1+2+3+4+6＝16，因此12不是完全数，不符合题意； D.36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，所以1+2+3+4+6+9+12+18＝54，因此36不是完全数，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是如何计算一个数的因数、完全数的定义等知识点，掌握完全数的定义成为解题的关键． 7．（2024秋•闵行区期中）下列说法中，正确的是（　　） A．3.6÷0.4＝9，所以3.6能被0.4整除 B．12的因数有6个 C．一个素数和一个合数一定互素 D．在正整数中，偶数都是合数 【答案】B 【分析】根据有理数的除法可判断A，根据因数的定义可判断B，根据素数和合数的定义可判断D． 【解答】解：A．整除必须是：被除数、除数和商都要是整数，选项A不符合题意； B．12的因数有1、2、3、4、6、12，共有6个，则选项B符合题意； C．2是素数，4是合数 他们不互质，则选项C不符合题意； D．在正整数中，2是偶数，但它不是合数，选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了有理数的除法，因数，合数和素数，掌握因数，合数和素数的定义是解题的关键． 8．（2024秋•闵行区校级期中）从5、0、1、3四个数字中选出三个数字，组成一个三位数，能同时被2、3、5整除的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据能被2、3、5整除的数的特征进行解答即可． 【解答】解：组成的三位数能同时被2、5整除，因此这个三位数的个位数字一定是0， 由于这个三位数能被3整除，因此十位数字、个位数字的和能被3整除，所以十位数字和个位数字只能选5和1， 所以这个三位数可能为510或150，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查数的整除，掌握能被2、3、5整除的数的特征是正确解答的关键． 9．（2024秋•闵行区校级期中）下列各数中，第一个数能被第二个数整除的是（　　） A．17和3 B．4和16 C．5和2.5 D．10和5 【答案】D 【分析】根据题意，第一个数能被第二个数整除指第二个数能整除第一个数，就是指第一个数是第二个数的整数倍．据此解答． 【解答】解：A：17÷3，不能整除； B：4÷16，不能整除； C：5÷2.5＝2，不能整除， D：10÷5＝2，能整除． 故选：D． 【点评】本题考查了数的整除，解决本题的关键是知道整除的意义． 10．（2024秋•闵行区校级期中）甲数＝2×2×3×5，乙数＝2×3×3×7，它们的最大公因数是（　　） A．6 B．86 C．12 D．210 【答案】A 【分析】两个数公有质因数的乘积叫做这两个数的最大公因数，据此进行解答即可． 【解答】解：∵甲数＝2×2×3×5，乙数＝2×3×3×7， ∴甲、乙两数中都有2，3因数， ∴两数的最大公因数是2×3＝6， 故选：A． 【点评】本题考查最大公因数．熟练掌握最大公因数的求法是解题的关键． 11．（2024秋•闵行区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．12是倍数，3是因数 B．能被2除尽的数都是偶数 C．2是6的因数 D．偶数除以2的商一定是奇数 【答案】C 【分析】根据因数和倍数的定义逐一判断即可． 【解答】解：A.12是3的倍数，3是12的因数，故本选项不符合题意； B．能被2除尽的数可能是小数，故本选项不符合题意； C.2是6的因数，故本选项符合题意； D．偶数除以2的商可能是奇数也可能是偶数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查倍数和因数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12．（2024秋•闵行区校级期中）分数，，，中，能化成有限小数的有几个？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数． 【解答】解：是最简分数，因为16＝2×2×2×2，所以分母中只含有质因数2，能化成有限小数； 是最简分数，分母中含有质因数17，不能化成有限小数； 是最简分数，因为18＝2×3×3，所以分母中含有质因数3，不能化成有限小数； 是最简分数，分母中含有质因数19，不能化成有限小数； 所以能化成有限小数的有1个． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数，分数可以化成有限小数：必须是最简分数，分母中只含有质因数2或5． 13．（2024秋•闵行区校级期中）将217至少加上 　3　 ，才能同时被2，5整除． 【答案】3． 【分析】根据题意，能同时被2，5整除的数个位上是0或5，最接近217且能被2、5整除的数是220，所以217至少加上220﹣217＝3，才能被2，5整除． 【解答】解：能同时被2，5整除的数个位上是0或5， 所以最接近217且能被2、5整除的数是220， 所以217至少加上220﹣217＝3，才能同时被2，5整除． 故答案为：3． 【点评】本题考查了数的整除，解决本题的关键是知道能被2、5整除的数的特征． 14．（2024秋•闵行区校级期中）用0、1、5这三个数组成的三位数中，既有因数2，又是3和5的倍数的最大的数是 　510　 ． 【答案】510 【分析】先根据能同时被2，3，5整除数的特征是：个位数字为0，且各位数上数字之和能被3整除，找出符合要求的数字，进行判断即可． 【解答】解：∵能同时被2，3，5整除数的特征是：个位数字为0，且各位数上数字之和能被3整除， ∴这个三位数的个位数字一定是0， ∵用0、1、5这三个数组成的三位数且个位数为0的是2，3，5的倍数只有：150，510； ∴用0、1、5这三个数组成的三位数中既有因数2，又是3和5的倍数的最大的数是510， 故答案为：510． 【点评】本题主要考查了实数的有关概念．解题关键是熟练掌握2，3，5的倍数特征． 15．（2024秋•闵行区校级期中）当真分数是最简分数，且x是素数时，我们把该真分数叫做n的“素分数”，例如：是8的一个“素分数”，请求出12的所有“素分数”的和：　　 ． 【答案】． 【分析】根据素分数的定义可以知道素分数必须是真分数，分子是素数，而且是最简分数，写出12的所有素分数，求和即可． 【解答】解：∵素分数必须是真分数，分子是素数，而且是最简分数， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数，有理数的加法，掌握素分数必须是真分数，分子是素数，而且是最简分数是解题的关键． 16．（2024秋•闵行区校级期中）把一个自然数分解素因数，若所有素因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，则称这样的数为“史密斯数”．如：27＝3×3×3，3+3+3＝2+7，即27是“史密斯数”．那么，在4、32、58、65、94中，“史密斯数”有 　3　 个． 【答案】3 【分析】把4、32、58、65、94分别分解素因数，求出素因数每个数位上的数字的和，和原数每个数位上的数字的和，如果相等就是史密斯数”，否则就不是． 【解答】解：∵4＝2×2，2+2＝4 ∴4是“史密斯数”； ∵32＝2×2×2×2×2，2+2+2+2+2≠3+2， ∴32不是“史密斯数”； ∵58＝2×29，2+2+9＝5+8， ∴58是“史密斯数”； ∵65＝5×13，5+1+3≠6+5， ∴65不是“史密斯数”； ∵94＝2×47，2+4+7＝9+4， ∴94是“史密斯数”； 综上，4，58，94是“史密斯数”，一共3个． 故答案为：3． 【点评】本题关键是理解“史密斯数”的含义，从中得出寻找“史密斯数”的方法，再根据这个方法进行求解． 17．（2024秋•闵行区校级期中）已知a、b是正整数，设a@b＝[a，b]+（a，b），其中[a，b]表示a与b的最小公倍数，（a，b）表示a与b的最大公因数，求12@42＝ 　90　 ． 【答案】90． 【分析】根据定义的新的运算方法求解即可． 【解答】解：12，42的最小公倍数为84，12，42的最大公因数为6， ∴12@42＝84+6＝90， 故答案为：90． 【点评】本题考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法，熟练掌握相关概念是关键． 18．（2024秋•闵行区期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿　　 斗． 【答案】． 【分析】根据“禾苗主人要求赔偿五斗粟”裂缝处求解． 【解答】解：羊主人赔偿x斗， 则x+2x+4x＝5， 解得：x， ∴4x﹣x， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 19．（2024秋•闵行区校级期中）将一个蛋糕看成整体1，小明和妈妈吃了这块蛋糕的．现小明想把余下的蛋糕平均分成5份，取其中的4份带到学校分给他的四个好朋友吃，剩下的留给他爸爸吃，小明带到学校去的蛋糕是整个蛋糕的　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小明带到学校去的蛋糕是整个蛋糕的几分之几． 【解答】解：由题意可得， （1）÷5×4 4 ， 即小明带到学校去的蛋糕是整个蛋糕的， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 20．（2024秋•闵行区期中）一包糖果，不论平均分给8个人还是10个人，都能正好分完，这包糖果至少 　40　 块． 【答案】40． 【分析】求8和10 的最小公倍数． 【解答】解：由题意，这包糖果的个数为8和10的公倍数． ∴这包糖果的个数的最小值为8和10 的最小公倍数． ∵8＝2×2×2，10＝2×5， ∴2×2×2×5＝40， ∴这包糖果至少40块． 故答案为：40． 【点评】本题主要考查了有理数除法的应用．确定两个数的最小公倍数是解题的关键． 21．（2024秋•闵行区校级期中）1小时40分钟＝　1　 小时（填最简分数）． 【答案】1 【分析】把40分化成小时，用40除以进率60，即可得解． 【解答】解：40÷60， 1小时40分钟是1小时； 故答案为：1． 【点评】此题考查单位的换算，把高级单位换算成低级单位，就乘单位间的进率，把低级单位换算成高级单位，就除以单位间的进率． 22．（2024秋•闵行区校级期中）如果分数是最简真分数，那么m可取的所有正整数是 　1，3　 ． 【答案】1，3． 【分析】根据最简真分数的意义，即可解答． 【解答】解：如果分数是最简真分数，那么m可取的所有正整数是1，3， 故答案为：1，3． 【点评】本题考查了真分数、假分数和带分数，最简分数，熟练掌握最简真分数的意义是解题的关键． 23．（2024秋•闵行区校级期中）已知是假分数，是真分数（x＞0），写出所以符合条件的x值的和为　30　 ． 【答案】30． 【分析】根据假分数和真分数的定义，找到x的值． 【解答】解：根据题意可知，是假分数， ∴x≥6， 又∵是真分数， ∴x＜10， 综上所述，6≤x＜10， ∴符合条件的x值的为：6，7，8，9， 即6+7+8+9＝30． 故答案为：30． 【点评】本题考查了假分数、真分数和带分数，掌握相应的定义是关键． 24．（2024秋•闵行区期中）如果，那么a＝　12　 ． 【答案】12． 【分析】根据分数的基本性质计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴18﹣a＝6， ∴a＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了分数的基本性质，熟练掌握分数的基本性质是关键． 25．（2024秋•闵行区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．36和90公有的素因数是3 B．一个正整数的倍数一定能被它的因数整除 C．一个正整数的因数至少有两个 D．真分数的倒数不一定大于它本身 【答案】B 【分析】由倒数的定义，素因数，倍数的概念，即可判断． 【解答】解：A、36和90公有的素因数是2，3，故A不符合题意； B、一个正整数的倍数一定能被它的因数整除，正确，故B符合题意； C、1的因数只有1，故C不符合题意； D、真分数的倒数一定大于它本身，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查倒数的定义，素因数，倍数的概念，掌握以上知识点是解题的关键． 26．（2024秋•闵行区校级期中）一个数减去2，再加上1等于1，求这个数． 【答案】． 【分析】设这个数为x，根据“该数减去2再加上1等于1”即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这个数为x，可得： x﹣211， x＝121， x＝4﹣1， 解得：x， 答：这个数为． 【点评】本题考查了分数的加法和减法，根据数的加减列出关于x的一元一次方程是解题的关键． 27．（2024秋•闵行区期中）如图，把一个长方形平均分成上、下两部分，上半部分再平均分成4块，下半部分平均分成5块，若图形A、B、C的面积和为2，则阴影部分的面积是 　　 ． 【答案】 【分析】先求出下半部分的面积，再根据上下两部分面积相等即可求解． 【解答】解：∵图形A、B、C的面积和为2， ∴图形A、B、C的每一块的面积为， ∴下半部分的面积为， ∴上半部分的面积为， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：． 【点评】本题考查分数的运算，理解上下部分的一份不一样是解题的关键． 28．（2024秋•闵行区校级期中）如图，已知阴影部分是梯形与扇形重叠的部分，阴影部分的面积是梯形面积的，是扇形面积的，那么阴影部分面积是整个图形面积的 　　 ． 【答案】． 【分析】设阴影部分的面积为“1”，则梯形面积，扇形面积，从而可得整个图形面积，然后进行计算即可解答． 【解答】解：设阴影部分的面积为“1”， ∵阴影部分的面积是梯形面积的，是扇形面积的， ∴梯形面积＝1，扇形面积＝1， ∴整个图形面积1， ∴1， ∴阴影部分面积是整个图形面积的， 故答案为：． 【点评】本题考查了分数除法的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 29．（2024秋•闵行区期中）六（1）班女生人数是男生人数的，那么男生人数是全班人数的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设男生人数为1，表示出女生人数，进而求出男生占全班的份数即可． 【解答】解：∵女生人数是男生人数的， ∴设男生人数为1，则女生人数为， 则男生人数是全班人数的． 故选：D． 【点评】此题考查了分数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 30．（2024秋•闵行区期中）下列分数中，不能化为有限小数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题，将每个分数化成小数，看哪个小数不是有限小数即可． 【解答】解：， ， ， ， 所以不能化成有限小数的是． 故选：D． 【点评】本题考查了分数的互化、小数的互化，解决本题的关键是将分数都化成小数． 31．（2024秋•闵行区校级期中）． （1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果） 　　 ＝　　 ；　　 ＝　　 ； （2）利用以上所得的规律进行计算：． 【答案】（1），；，； （2）． 【分析】（1）直接利用已知运算规律，进而计算得出答案； （2）直接利用已知运算规律将原式变形，进而计算得出答案． 【解答】解：（1）；． 故答案为：，；，； （2） ＝1 ＝1 ． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 32．（2024秋•闵行区校级期中）六年级三个班级给图书馆捐书，一班捐了54本，二班捐的是一班的，三班捐的比二班多，求三个班共捐了几本？ 【答案】三班捐了50本． 【分析】先得出二班捐书的本数，然后问题可求解． 【解答】解：54（1） ＝45 ＝50（本）， 答：三班捐了50本． 【点评】本题主要考查分数混合运算的应用，熟练掌握分数的乘除法是解题的关键． 33．（2024秋•闵行区校级期中）某班有学生45名，其中男生占总人数的．现转入女生4名，转走男生1名，问：现在女生人数占全班人数的几分之几？ 【答案】见试题解答内容 【分析】女生人数为45×（1）+4＝24（人），总人数为48（人），继而可得答案． 【解答】解：根据题意女生人数为45×（1）+4 ＝454 ＝20+4 ＝24（人）， 总人数为45+4﹣1＝48（人）， 24÷48， 答：现在女生人数占全班人数的． 【点评】本题主要考查分数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，并熟练掌握分数混合运算顺序和运算法则． 34．（2024秋•闵行区校级期中）第七届进博会日益临近，其话题热度持续攀升．鉴于此，甲、乙两家广播电台准备在进博会期间对早间新闻进行调整．两家电台均打算在每天早晨8：00同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播3分钟广告；乙台每播报15分钟新闻后插播3分钟广告，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问： （1）早间新闻播报将在几点结束？ （2）早间新闻播报期间甲、乙两台将分别插播几分钟广告？ 【答案】（1）8：36； （2）早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了9分钟和6分钟广告． 【分析】（1）甲台新闻加广告是12分钟，乙台新闻加广告是18分钟；12，18的最小公倍数是36，所以是36分钟之后早间新闻播报结束，由此即可得； （2）用最小公倍数36分别除以新闻加广告共用的时间再乘插播广告时间即可． 【解答】解：（1）9+3＝12分钟，15+3＝18分钟， ∵12和18的最小公倍数为36， ∴早间新闻播报用了36分钟， ∵早晨8：00开始播报早间新闻， ∴结束时间为8：36， 答：早间新闻播报将在8：36结束； （2）∵早间新闻播报了36分钟，甲台每播报9分钟新闻后插播3分钟广告；乙台每播报15分钟新闻后插播3分钟广告， ∴（36÷12）×3＝9分钟，（36÷18）×2＝6分钟， 答：早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了9分钟和6分钟广告． 【点评】本题主要考查最小公倍数及整数四则运算的应用，正确理解题意是解题关键． 35．（2024秋•闵行区校级期中）小杰家的客厅地面是长4.8类，宽3米的长方形，他家装修新房时准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，请问地砖边长最大是多少厘米？需要多少块这样的地砖？ 【答案】地砖边长是60厘米，需要40块这样的地砖． 【分析】先将长与宽进行单位的换算，再找出长与宽的最大公因数，最后进行解题即可． 【解答】解：4.8米＝480厘米，3米＝300厘米． 480与300最大公因数是60． 故地砖边长是60厘米， （480÷60）×（300÷60）＝8×5＝40（块）． 故需要40块这样的地砖． 答：地砖边长是60厘米，需要40块这样的地砖． 【点评】本题考查最大公因数的运用，能够找出长与宽的最大公因数是解题的关键． 36．（2024秋•闵行区校级期中）某面粉厂有工人20名，为了获得更多利润，增设加工面条项目，用本厂生产的面粉加工面条（生产1千克面条需用面粉1千克），已知每人每天平均生产面粉600千克，或生产面条400千克，将面粉直接出售每千克可获利润0.2元，加工成面条后出售每千克可获利润0.6元，若每个工人一天只能做一项工作，且不计其它因素，设安排x名工人加工面条．完成下列问题： （1）一天中加工面条可获利润为　240x 元（用含x的式子表示）； （2）一天中剩余面粉可获利润为　（2400﹣200x）　 元（用含x的式子表示）； （3）要使该厂一天中所获利润为2880元，则应如何分配这20名工人？ 【答案】（1）240x； （2）（2400﹣200x）； （3）应安排12名工人加工面条，8名工人加工面粉． 【分析】（1）利用一天中加工面条可获利润＝加工成面条后出售每千克可获利润×每天加工面条的质量，即可用含x的代数式表示出一天中加工面条可获利润； （2）利用一天中剩余面粉可获利润＝将面粉直接出售每千克可获利润×（每天加工面粉的质量﹣每天加工面条的质量），即可用含x的代数式表示出一天中剩余面粉可获利润； （3）根据该厂一天中所获利润为2880元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：一天中加工面条可获利润为0.6×400x＝240x（元）． 故答案为：240x； （2）根据题意得：一天中剩余面粉可获利润为0.2[600（20﹣x）﹣400x]＝（2400﹣200x）（元）． 故答案为：（2400﹣200x）； （3）根据题意得：240x+（2400﹣200x）＝2880， 解得：x＝12， ∴20﹣x＝20﹣12＝8（人）． 答：应安排12名工人加工面条，8名工人加工面粉． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出一天中加工面条可获利润；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出一天中剩余面粉可获利润；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 37．（2024秋•闵行区校级期中）如图1，长方形ABCD的长BC是分米，宽AB是长BC的． （1）求长方形ABCD的周长． （2）如图2，点E在边CD上，若三角形BEC的面积比三角形ADE的面积多平方分米，求三角形BEC的面积是多少平方分米？ 【答案】（1）分米； （2）平方分米． 【分析】（1）先用长BC乘求出宽AB，再根据长方形的周长＝ （长+宽）×2解答； （2）根据长方形的面积＝乘×宽求出长方形ABCD的面积，因为三角形BEC的面积和三角形ADE的面积的和是长方形ABCD面积的一半，所以用长方形ABCD的面积除以2求出三角形BEC的面积和三角形ADE的面积的和，又因为三角形BEC的面积比三角形ADE的面积多平方分米，用三角形BEC的面积和三角形ADE的面积的和加上平方分米，就是三角形BEC的面积的2倍，所以再除以2即可解答． 【解答】解：（1） （分米）， ∴长方形ABCD的周长是分米． 答：长方形ABCD的周长是分米． （2） （平方分米）， （平方分米）， ∴三角形BEC的面积是平方分米． 答：三角形BEC的面积是平方分米． 【点评】本题考查了分数的四则混合运算，三角形的面积，关键是分数四则混合运算的应用． 38．（2024秋•闵行区校级期中）某种高档进口收工羊毛地毯原售价是每平方米4200元，现在价格上涨了． （1）现在售价为每平方米多少元？ （2）买进口商品还需缴纳总价的的关税，那么一块12平方的进口地毯，按现在的售价应付多少元？（精确到1元） 【答案】（1）现在售价为每平方米4242元； （2）按现在的售价应付约71775元． 【分析】（1）根据题意可得：现在每平方米的售价＝4200+4200，然后进行计算即可解答； （2）根据题意可得：按现在的售价应付的总钱数＝4242×12+4242×12，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：4200+4200 ＝4200+42 ＝4242（元）， ∴现在售价为每平方米4242元； （2）由题意得：4242×12+4242×12 ＝50904+20870.64 ≈71775（元）， ∴按现在的售价应付约71775元． 【点评】本题考查了分数混合运算的应用，近似数和有效数字，准确熟练地进行计算是解题的关键． 39．（2024秋•闵行区校级期中）为了丰富学生的课余生活，学校计划新买一批球类体育用品，其中购买的篮球数量占这批球类体育用品的，购买的排球数量是篮球数量的，其余是足球． （1）如果购买的足球数量是6个，那么该学校计划新买的球类体育用品的总数量是多少个？ （2）如果要使得购买的足球数量与排球数量相等，那么要将计划购买的排球数量的几分之几改去购买足球？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出购买的足球数量所占的比例，利用除法运算即可求解； （2）求出购买的足球数量与排球数量所占的比例，再列式计算即可． 【解答】解：（1）购买的足球数量所占的比例为：1， 640（个）， 答：该学校计划新买的球类体育用品的总数量是40个； （2）如果要使得购买的足球数量与排球数量相等，购买的足球数量与排球数量所占的比例为： （1）， （）÷2， ， ， 答：要将计划购买的排球数里的改去购买足球． 【点评】本题考查的是分数混合运算的应用，掌握其运算法则和正确根据数量关系列出算式是解决此题的关键． 40．（2024秋•闵行区期中）每四年举办一届的奥运会是全球最具盛名的综合性运动会，由国际奥林匹克委员会主办，2024年夏季奥运会在法国巴黎举行．该届奥运会的金牌数及部分国家的金牌数如图所示： （1）中国的金牌数占该届奥运会金牌数的几分之几？ （2）已知澳大利亚的金牌数是中国金牌数的，那么澳大利亚获得多少枚金牌？ （3）已知意大利获得的奖牌中，铜牌数是该国奖牌总数的，金牌数是铜牌数的，银牌13枚，那么意大利获得的奖牌总数是多少？ 【答案】（1）； （2）18枚； （3）40枚． 【分析】（1）中国的金牌数占该届奥运会金牌数的几分之几＝中国的金牌数÷该届奥运会金牌数； （2）澳大利亚的金牌数＝中国金牌数，代入数据计算即可； （3）将意大利获得的奖牌总数看作单位“1”，铜牌数是该国奖牌总数的，金牌数是铜牌数的，金牌数是奖牌总数的，所以银牌数是奖牌总数的，奖牌总数＝银牌数量÷银牌占奖牌总数的几分之几． 【解答】解：（1）40÷329 答：中国的金牌数占该届奥运会金牌数的． （2）（枚） 答：澳大利亚获得18枚金牌． （3） ＝40（枚） 答：意大利获得的奖牌总数是40枚． 【点评】本题考查了分数混合运算的应用，解决本题的关键是：求一个量是另一个量的几分之几用除法；求一个量的几分之几是多少用乘法；求单位“1”的量用除法． 【考点2】有理数的概念与数轴（第41-45题） · 数轴 · 相反数 · 绝对值 · 大小比较 41．（2024秋•闵行区校级期中）已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＜|b|，下列各式中正确的个数是（　　） （1）b﹣a＞0；（2）a+b＜0；（3）；（4）﹣a﹣b＞0；（5）3a﹣b＞0． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后根据有理数的加法和有理数的减法运算以及倒数的定义对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：（1）b﹣a＜0，原不等式错误； （2）a+b＜0，原不等式正确； （3）由图可知，b＜0＜a， ∴ab＜0， 所以，0， 所以，，正确； （4）﹣a﹣b＞0，原不等式正确； （5）3a﹣b＞0，原不等式正确； 故选：C． 【点评】本题考查了相反数的定义，数轴、倒数的知识，根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键． 42．（2024秋•闵行区校级期中）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．﹣c＜b B．a+c＜0 C．|a|＜|b| D．|a+b|＝a﹣b 【答案】B 【分析】根据a，b，c所在数轴位置判断它们的正负大小即可． 【解答】解：A选项：因为c到原点的距离小于b到原点的距离，故﹣c＞b，错误． B选项：因为a＜0，c＞0，且a到原点的距离大于c到原点的距离，故a+c＜0，正确． C选项：因为a到原点的距离大于b到原点的距离，故|a|＞|b|，错误． D选项：因为a＜b，故a﹣b＜0，而|a+b|＞0，故|a+b|＞a﹣b，错误． 故选：B． 【点评】本题考查数轴和绝对值．理解并运用基础知识是关键． 43．（2024秋•闵行区期中）在数轴上，到原点的距离等于4.5个单位长度的点所表示的有理数是　±4.5　 ． 【答案】±4.5 【分析】根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可． 【解答】解：在数轴上，到原点的距离等于4.5个单位长度的点所表示的有理数是±4.5． 故答案为：±4.5． 【点评】本题考查的是数轴上两点间距离的定义，解答此题时要注意在数轴上到原点距离相等的点有两个，这两个数互为相反数． 44．（2024秋•闵行区期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB＝OC，则下列结论中：①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c＝b；④．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据图示，可得c＜a＜0＜b，由OA+OB＝OC可得|a|+|b|＝|c|，据此逐项判定即可． 【解答】解：由题意可知：c＜a＜0＜b， ∴abc＞0，故①错误； ∵OA+OB＝OC， ∴|a|+|b|＝|c|． ∵c＜a＜0＜b，|a|+|b|＝|c|， ∴b+c＜0， ∴a（b+c）＞0，故②正确； ∵c＜a＜0＜b，|a|+|b|＝|c|， ∴﹣a+b＝﹣c， ∴a﹣c＝b，故③正确； ∵c＜a＜0＜b， ∴原式＝﹣1+1﹣1 ＝﹣1，故④错误， ∴正确的个数有2个． 故选：B． 【点评】本题考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算要熟练掌握． 45．（2024秋•闵行区校级期中）定义：a是不为1的有理数，我们称为a的差倒数．如3的差倒数是，﹣1的差倒数是．已知a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2024＝　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据差倒数的定义，求出a2，a3，a4等的值，可得这组数是以，2，﹣1为1个顺序循环，而2024÷3＝674⋯2，因此即可得出结果． 【解答】解：∵a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…， ∴a22； a31； a4； ⋯ 由此得出：这组数是以，2，﹣1为1个顺序循环， ∵2024÷3＝674⋯2， ∴a2024＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是数字的变化规律和倒数，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 整除先看个位，3的倍数看各位和 · 分数运算先通分再计算，结果要约分 · 绝对值问题别忘了正负两解 · 有理数运算先定符号再算绝对值 · 数轴动点问题画示意图分段讨论 【作业1】（2024秋•闵行区校级期中）有理数a，b，c，d使1，则的最大值是　2　 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值的运用判断出有理数a，b，c，d中负数的个数，然后分别讨论求出最大值． 【解答】解：∵1， ∴有理数a，b，c，d中负数为奇数个． ①若有理数a，b，c，d有一个负三个正， 则2； ②若有理数a，b，c，d有三个负一个正， 则2； 所以的最大值是2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了绝对值的运用，采用分类讨论的思想进行解题． 【作业2】（2024秋•闵行区期中）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，e是绝对值最小的数，则2（a+b）+3cd+4e＝　3　 ． 【答案】3 【分析】先根据a与b互为相反数，c与d互为倒数，e是绝对值最小的数知a+b＝0，cd＝1，e＝0，再代入计算即可． 【解答】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，e是绝对值最小的数， ∴a+b＝0，cd＝1，e＝0， 则原式＝2×0+3×1+4×0 ＝0+3+0 ＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握相反数性质、倒数定义和绝对值的定义． 【作业3】（2024秋•闵行区校级期中）比大小：　＞　 （填＞、＜或＝）． 【答案】＞． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【解答】解：1+（），1+（）， ∵、分子相同，分母不同，且2023＜2024， ∴， ∵， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 【作业4】（2024秋•闵行区校级期中）下列四个结论：①﹣a是负数；②若|a+b|＝﹣（a+b）则a+b＜0；③a+b一定比a大；④a﹣b一定比a小；⑤若|﹣x|＝|﹣3|，则x＝﹣3；⑥若|a|＝|b|，则a2＝b2．其中正确的个数是 　1　 个． 【答案】1． 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值等于它的本身，0的绝对值等于0，据此即可作答． 【解答】解：若a＜0，则﹣a是正数，故①错误，不符合题意； 若|a+b|＝﹣（a+b），则a+b≤0，故②错误，不符合题意； 若b＝0，则a+b＝a，a﹣b＝a，故③④错误，不符合题意； ∵|﹣x|＝|﹣3|， ∴|﹣x|＝3，则x＝±3，故⑤错误，不符合题意； ∵|a|＝|b|，则a2＝b2，⑥正确，符合题意； 故答案为：1． 【点评】本题考查了绝对值，正数和负数，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 【作业5】（2024秋•闵行区期中）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是 　9　 ． 【答案】9． 【分析】通过观察所给的式子，发现每4次运算尾数循环出现，由此求解即可． 【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256…． ∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现， ∵21÷4＝5……1， ∴221的末尾数字与21＝2的尾数相同为2， ∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…， ∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现， ∵11÷4＝2……3， ∴311的末尾数字与33＝27的尾数相同为7， ∴221+311的末位数字是9， 故答案为：9． 【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的尾数，找到尾数循环出现的规律是解题的关键． 【作业6】（2024秋•闵行区校级期中）已知|x|＝3，y3＝8，且xy＜0，那么（x+y）2024＝ 　1　 ． 【答案】1． 【分析】先根据绝对值的性质、立方根的定义和已知条件求出x，y，再代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：∵|x|＝3，y3＝8， ∴x＝±3，y＝2， ∵xy＜0， ∴x＝﹣3，y＝2， ∴（x+y）2024 ＝（﹣3+2）2024 ＝（﹣1）2024 ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了实数的有关运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、立方根的定义和乘法法则． 【作业7】（2024秋•闵行区期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等．类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3记作3③，读作“3的圈3次方”，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作（﹣2）④，读作“﹣2的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷…÷a（a≠0）记作a，读作“a的圈n次方”． （1）直接写出计算结果： 　　 ，4③＝ 　　 ． （2）将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 　（）n﹣2 ． （3）算一算：． 【答案】（1），； （2）（）n﹣2； （3）． 【分析】（1）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （2）根据题目中的新定义，可以计算出一个非零有理数a的圈n次方，并写成幂的形式； （3）根据除方和乘方法则，计算所求式子即可． 【解答】解：（1），4③＝4÷4÷4， 故答案为：，； （2）aⓝ＝a÷a÷a÷…÷a＝a•••…•（）n﹣2， 故答案为：（）n﹣2； （3） ＝﹣9÷（﹣2）3×（﹣4）2÷（8﹣33） ＝﹣9÷（﹣8）×16÷（8﹣27） ＝﹣9÷（﹣8）×16÷（﹣19） ＝﹣916 ． 【点评】本题考查新定义、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【作业8】（2024秋•闵行区校级期中）阅读下面材料并回答问题：点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点，如图1，AB＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时， （1）回答问题：数轴上表示﹣3和﹣8的两点之间的距离是　5　 ． （2）若数轴上表示x和﹣2的两点分别是点A、B，AB＝5，那么x＝　﹣7或3　 ． （3）若数轴上点A表示数﹣1，点B表示数7，动点P、Q分别同时从点A、点B出发沿着数轴正方向移动，点P的移动速度是每秒3个单位长度，点Q的移动速度是每秒2个单位长度，求①运动几秒后，点P追上点Q？②运动几秒后，P、Q两点相距3个单位长度？ 【答案】（1）5； （2）﹣7或3； （3）①运动8秒时，点P可以追上点Q；②运动5秒或者11秒时，P，Q两点相距3个单位长度． 【分析】（1）由AB＝|a﹣b|即可计算； （2）根据AB＝5，结合AB＝|a﹣b|列方程计算即可； （3）①设运动x秒时，点P可以追上点Q，根据题意可知，相遇时P所在的位置为﹣1+3x，Q所在的位置为2x+7，据此列方程解答即可；②分点P在点Q左侧和右侧两种情况分别讨论即可． 【解答】解：（1）﹣3﹣（﹣8）＝5， 故答案为：5； （2）AB＝5＝|﹣2﹣x|， ∴x＝﹣7或x＝3， 故答案为：﹣7或3； （3）①设运动x秒时，点P可以追上点Q， ﹣1+3x＝2x+7， x＝8， 答：运动8秒时，点P可以追上点Q． ②设运动y秒时，P，Q两点相距3个单位长度． 当点P在点Q左侧时，（2y+7）﹣（3y﹣1）＝3，解得：y＝5； 当点P在点Q右侧时，（3y﹣1）﹣（2y+7）＝3，解得：y＝11． 答：运动5秒或者11秒时，P，Q两点相距3个单位长度． 【点评】本题结合数轴上的动点问题考查了一元一次方程的应用，两点之间距离等知识点，注意动点问题的多解性． 【作业9】（2024秋•闵行区期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣24和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是 　﹣20　 、　10　 ． （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 【答案】（1）﹣20，10； （2）t的值为8，点P在数轴上所表示的数是﹣8． 【分析】（1）利用点C在数轴上所表示的数＝﹣24+蚂蚁M的速度×运动时间，可求出点C在数轴上所表示的数；利用点D在数轴上所表示的数＝16﹣蚂蚁N的速度×运动时间，可求出点D在数轴上所表示的数； （2）当运动时间为t秒时，蚂蚁M（看成一个点）在数轴上表示的数是（﹣24+2t），蚂蚁N（看成一个点）在数轴上表示的数是（16﹣3t），根据两只蚂蚁相遇，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入（﹣24+2t）中，即可求出点P在数轴上所表示的数． 【解答】解：（1）根据题意得：点C在数轴上所表示的数是﹣24+2×2＝﹣20； 点D在数轴上所表示的数是16﹣3×2＝10． 故答案为：﹣20，10； （2）当运动时间为t秒时，蚂蚁M（看成一个点）在数轴上表示的数是（﹣24+2t），蚂蚁N（看成一个点）在数轴上表示的数是（16﹣3t）， 根据题意得：﹣24+2t＝16﹣3t， 解得：t＝8， ∴﹣24+2t＝﹣24+2×8＝﹣8． 答：t的值为8，点P在数轴上所表示的数是﹣8． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【作业10】（2024秋•闵行区校级期中）计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先去括号，然后计算加减法即可； （2）先把除法转化为乘法，再约分即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）先算乘方和去绝对值，然后计算括号内的乘法，再算减法，最后算括号内的除法即可． 【解答】解：（1） ＝21 ＝2； （2） （）×（）×（） ； （3） （﹣28）（﹣28）（﹣28） ＝﹣8+38+（﹣21） ＝9； （4） ＝（|﹣4﹣4|）÷0.01 ＝（3﹣8）×100 ＝﹣5×100 ＝﹣500． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【作业11】（2024秋•闵行区校级期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小明把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）． （1）直接写出计算结果：　2　 ；f（4，3）＝　　 ； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是　③　 ；（填序号） ①对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1 ②f（6，3）＝f（3，6） ③f（2，a）＝1（a≠0） ④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0） （3）计算：　﹣6　 （直接写答案）． 【答案】（1）2；；（2）③；（3）﹣6． 【分析】（1）根据新定义和有理数的除法计算即可； （2）①分n为奇数和偶数的两种情况，计算判断； ②等式两端分别计算，比较结果即可； ③按新定义计算，可判断正确； ④2n为偶数，偶数个负数相除，结果应为正． （3）先按照新定义计算，再按有理数的乘除法计算即可． 【解答】解：（1）， ． 故答案为：2；； （2）当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1，故①错误，不符合题意； ∵，，即f（6，3）≠f（3，6），故②错误，不符合题意； f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故③正确，符合题意； ∵f（2n，a）（a＜0）表示的是2n个a相除，而a＜0， ∴多个非零有理数进行除法计算，负数的个数为偶数个数，结果符号为正，即f（2n，a）＞0（a＜0），故④错误，不符合题意； 故答案为：③； （3） ＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的除法，掌握相应的运算法则是关键． 【作业12】（2024秋•闵行区校级期中）阅读材料： 三千多年前，埃及人发明了一种书写分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称作单位分数，对于分子不是1的分数，埃及人将它们转化成分子是1的分数再计算，这使计算非常复杂，然而，如何将一个分数分拆为几个不同单位分数之和确是一个很有意义的问题． 例如：，即可以写成两个单位分数与的和； 又因为，，所以，即又可以写成三个不同的单位分数的和． 按照这样的思路，它也可以写成四个、甚至五个不同的单位分数的和． （1）类似地，试把分数拆分成两个不同单位分数的和； （2）你能把分数拆分成三个不同的单位分数之和吗？试写出你的结果； （3）尝试把分数拆分成四个不同单位分数的和； （4）尝试把分数拆分成五个不同单位分数的和． 【答案】（1）可以写成两个不同分数单位（，）的和； （2）可以写成三个不同分数单位（，，）的和； （3）可以写成四个不同分数单位（，，，）的和； （4）可以写成五个不同分数单位（，，，，）的和． 【分析】（1）将写成，即即可； （2）将写成，再将写成即可； （3）将写成，再将写成，再将写成即可； （4）将写成，再将写成，再将写成，再将写成即可； 【解答】解：（1）， 即可以写成两个不同分数单位（，）的和； （2）∵，， ∴， 即可以写成三个不同分数单位（，，）的和； （3）∵，，， ∴， 即可以写成四个不同分数单位（，，，）的和； （4）∵，，， ∴ 即可以写成五个不同分数单位（，，，，）的和． 【点评】本题考查分数的加减法，理解分数单位的定义，掌握分数加减法的计算方法是正确解答的关键． 【作业13】（2024秋•闵行区校级期中）【综合与实践】体重调查 党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某数学兴趣小组对本校六年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有六年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BMI数值，再参照BMI数值标准分成四组：A.16≤BMI＜20；B.20≤BMI＜24；C.24≤BMI＜28；D.28≤BMI＜32．将所得数据进行收集、整理、描述． 六年级10名男生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高（m） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72 体重（kg） 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5 BMI 21.6 s 16.5 16.1 24.5 19.4 21.3 21.2 266 30.6 六年级10名女生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高（m） 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62 体重（kg） 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8 BMI 21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8 整理、描述数据 六年级20名学生BMI统计分布表（素材1） 组别 BMI 男生数 女生数 A 16≤BMI＜20 3 2 B 20≤BMI＜24 4 6 C 24≤BMI＜28 t 2 D 28≤BMI＜32 1 0 素材2 表一60分钟各项运动消耗热量表 运动 骑车 快跑 慢跑 爬楼梯 游泳 热量变化（卡） ﹣184 ﹣700 ﹣655 ﹣480 ﹣1036 素材3 表二常见食物摄入热量表 食物 炸薯片 方便面 猪肉 巧克力 曲奇饼 虾 热量变化（卡/100g） +612 +472 +816 +586 +544 +126 任务1 （1）s＝　22　 ，t＝　2　 ． 任务2 已知该校六年级有男生260人，女生240人． ①估计该校六年级男生偏胖的人数； ②估计该校六年级学生BMI≥24的人数． 任务3 （3）针对目前中学生中肥胖率偏高的实际情况，李老师和同学们一同分析了形成这些问题的原因，多数学生喜欢吃一些零食、炸薯条，汉堡等含高糖、高脂和高热量的食品，还有一些学生根本就不正常吃饭，根据素材2，3提供的信息，请给六年级同学提出一些关于饮食方面的建议，并制订适合他们的体育锻炼方案． 【答案】任务1：22，2； 任务2：52，126； 任务3：对学校学生进行合理、健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼． 【分析】（1）根据题中公式直接计算即可得s；结合统计表确定t； （2）①用男生总人数乘以相应比例即可；②分别用男女生总人数乘以各自所占比例即可； （3）合理即可． 【解答】解：任务1： ∵， 24≤BMI＜28内， ∴t＝2， 故答案为：22；2； 任务2： ①男生偏胖的人数为：（人）， ②BMI≥24的人数为：（人）； 任务3： 对学校学生进行健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼． 【点评】题目主要考查统计调查表，结合图形，熟练掌握用样本估计总体是解题关键． 【作业14】（2024秋•闵行区校级期中）已知在数轴上点A1所对应的数为，点A2所对应的数为，…，点An所对应的数为（n为正整数）．请解答下列问题： （1）试写出点A3和A4所对应的数并比较它们的大小： A3＝ 　　 ，A4＝ 　　 ，比较大小：A3　＜　 A4．（填入“＞”或者“＜”） （2）如果我们把数轴上的点A1和点A2的距离记为|A1A2|且|A1A2|＝|a1﹣a2|，点A2和点A3的距离记为|A2A3|且|A2A3|＝|a2﹣a3|，…，点An﹣1和点An的距离记为|An﹣1An|，且|An﹣1An|＝|an﹣1an|（n＞1）．请根据理解以下回答（直接写出结果）： ①|A1A2|+|A2A3|+…+|A2024A2025|＝ 　　 ； ②使成立的正整数n共有 　43　 个． 【答案】（1）；；＜． （2）①． ②43． 【分析】（1）根据点An所对应的数为，将n＝3，n＝4代入求值，并通过通分得到A3与A4的大小关系． （2）①根据点An所对应的数为，将n＝1，n＝2，n＝3，n＝4等数字代入求值，得到点A1、点A2、点A3、点A4等表示的数， 将|A1A2|、|A2A3|等式子表示出来，就可发现其中的计算规律，即中间项会消掉． ②将|An﹣1An|用含n的式子表示出来，再确定n的取值范围及正整数n的个数． 【解答】解：（1）因为点An所对应的数为， 所以A3，A4． 因为， 所以A3＜A4． 故答案为：；；＜． （2）①因为点An所对应的数为， 所以易求得点A1所对应的数为，点A2所对应的数为，点A3所对应的数为，点A4所对应的数为，...，点A2024所对应的数为，点A2025所对应的数为， 所以|A1A2|，|A2A3|，|A3A4|，...，|A2024A2025|， 所以|A1A2|+|A2A3|+…+|A2024A2025|...． 故答案为：． ②因为点An所对应的数为（n为正整数）， 所以An﹣1所对应的数为， 所以|An﹣1An|． 因为成立， 所以， 所以n（n+1）＜2024． 因为44×45＝1980，45×46＝2070， 所以n的最大值为44． 又因为n＞1， 所以n的最小值为2， 所以使成立的正整数n共有43个． 故答案为：43． 【点评】本题考查了求代数式的值及与数轴相关的计算问题，将数字代入式子并正确求值，理解数轴上两点之间的距离公式，找到计算时的规律是解题的关键． 【作业15】（2024秋•闵行区期中）【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面． 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数﹣1对应的点重合，则此时数﹣3对应的点与数 　3　 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数﹣4对应的点重合，则此时数0对应的点与数 　﹣2　 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为 　﹣6.5　 ，点B对应的数为 　4.5　 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为8个单位长度的值． 【答案】（1）3； （2）﹣2； （3）﹣6.5，4.5； （4）①t为2时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②t＝9.5或1.5时，P、A两点之间的距离为15个单位长度． 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意，BP＝2t，点P对应的数为4.5+2t，用代数式表示PA，列方程求解即可； ②根据题意，点P在点A的左侧，点P对应的数为4.5﹣2t，用代数式表示PA，列方程求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数﹣3对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）因为数2对应的点与数﹣4对应的点重合， 所以，对称中心是数﹣1对应的点， ∴﹣1﹣[0﹣（﹣1）]＝﹣2， 此时数0对应的点与数﹣2对应的点重合； 故答案为：﹣2； （3）由（2）可知，对称中心是数﹣1对应的点， 数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧）， 设点A对应的数为x，点B对应的数为11+x， ∴﹣1﹣[x﹣（﹣1）]＝11+x， 解得：x＝﹣6.5， 则11+x＝4.5， 所以，点A对应的数为﹣6.5，点B对应的数为4.5， 故答案为：﹣6.5，4.5； （4）①根据题意，BP＝2t， 点P对应的数为4.5+2t， PA＝4.5+2t﹣（﹣6.5）＝15， 解得：t＝2， 答：t为2时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②动点P从B点向左出发，P、A两点之间的距离为8个单位长度时， 此时，点P在点A的左侧， 点P对应的数为4.5﹣2t， PA＝|﹣6.5﹣（4.5﹣2t）|＝8， 解得：t＝9.5或t＝1.5， 答：t＝9.5或1.5时，P、A两点之间的距离为15个单位长度． 【点评】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级上册 期中复习（整数与整除 + 分数 + 有理数） 培优讲义 2026 年沪教版（五四制）六年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握数的整除、因数倍数、素因数分解 · 熟练进行分数四则运算与应用题 · 理解有理数概念、数轴、相反数、绝对值 · 掌握有理数加减乘除乘方混合运算 · 能解决有理数实际应用与规律探究题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.数的整除与因数倍数 整除：整数a除以b商是整数余数为0 因数倍数：a÷b=c则b是a因数，a是b倍数 2的倍数个位偶数，5的倍数个位0或5，3的倍数各位和是3的倍数 素数：只有1和本身两个因数；合数：除1和本身还有其他因数 最大公因数用短除法，最小公倍数=两数积÷最大公因数 概念辨析例题：求12和18的最大公因数和最小公倍数。 解析：短除法：12=2×2×3，18=2×3×3，最大公因数=2×3=6，最小公倍数=2×2×3×3=36 ✅️ 2.分数的性质与运算 分数基本性质：分子分母同乘除相同数（0除外）分数值不变 约分：约去分子分母最大公因数 通分：找分母最小公倍数作公分母 分数加减：同分母直接加减，异分母先通分 分数乘除：乘法分子乘分子分母乘分母，除法乘倒数 概念辨析例题：计算+-。 解析：通分公分母12：+-= ✅️ 3.有理数的概念与数轴 有理数：整数和分数统称有理数 数轴：原点、正方向、单位长度三要素 相反数：a的相反数是-a，和为0 绝对值：数轴上点到原点距离，|a|≥0 有理数大小比较：数轴右边总比左边大 概念辨析例题：已知|x|=3，求x。 解析：x=3或x=-3 ✅️ 4.有理数运算 加法：同号取相同符号绝对值相加，异号取绝对值大的符号 减法：减去一个数等于加它的相反数 乘法：同号得正异号得负，绝对值相乘 除法：除以一个数等于乘它的倒数 乘方：an表示n个a相乘，注意符号 概念辨析例题：计算(-2)3+(-3)×2。 解析：=-8+(-6)=-14 🧀 知识总结表 运算 法则 注意 加法 同号相加异号相减 先定符号 减法 减变加相反数 两变 乘法 同正异负 绝对值相乘 乘方 n个a相乘 负数偶次方正 📩 核心考点 【考点1】数的整除与分数（第1-40题） · 整除判定 · 因数倍数 · 素因数分解 · 分数四则运算 · 分数应用题 1．（2024秋•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（　　） A．5和20 B．7和2 C．34和17 D．1.2和3 2．（2024秋•闵行区校级期中）一个分数的分子缩小至原来的，分母扩大4倍，那么所得的分数（　　） A．与原分数相等 B．是原分数的 C．是原分数的16倍 D．无法判断 3．（2024秋•闵行区校级期中）在分数，，，中与相等的分数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024秋•闵行区校级期中）下列各组数中，哪一组的第一个数能被第二个数整除（　　） A．12和5 B．4.5和1.5 C．4和28 D．36和6 5．（2024秋•闵行区校级期中）下列说法中，正确的个数是（　　） （1）1与素数相加一定是偶数；（2）一个正整数不是素数就是合数；（3）合数的因数中一定有合数；（4）两个偶数的最大公因数一定是2． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（2024秋•闵行区校级期中）如果一个数恰好等于它的所有因数（除本身外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．例如：6的因数有1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数，1+2+3＝6，所以6就是“完全数”．下面的数中，属于完全数的是（　　） A．28 B．15 C．12 D．36 7．（2024秋•闵行区期中）下列说法中，正确的是（　　） A．3.6÷0.4＝9，所以3.6能被0.4整除 B．12的因数有6个 C．一个素数和一个合数一定互素 D．在正整数中，偶数都是合数 8．（2024秋•闵行区校级期中）从5、0、1、3四个数字中选出三个数字，组成一个三位数，能同时被2、3、5整除的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2024秋•闵行区校级期中）下列各数中，第一个数能被第二个数整除的是（　　） A．17和3 B．4和16 C．5和2.5 D．10和5 10．（2024秋•闵行区校级期中）甲数＝2×2×3×5，乙数＝2×3×3×7，它们的最大公因数是（　　） A．6 B．86 C．12 D．210 11．（2024秋•闵行区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．12是倍数，3是因数 B．能被2除尽的数都是偶数 C．2是6的因数 D．偶数除以2的商一定是奇数 12．（2024秋•闵行区校级期中）分数，，，中，能化成有限小数的有几个？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（2024秋•闵行区校级期中）将217至少加上 　 　 ，才能同时被2，5整除． 14．（2024秋•闵行区校级期中）用0、1、5这三个数组成的三位数中，既有因数2，又是3和5的倍数的最大的数是 　 　 ． 15．（2024秋•闵行区校级期中）当真分数是最简分数，且x是素数时，我们把该真分数叫做n的“素分数”，例如：是8的一个“素分数”，请求出12的所有“素分数”的和：　 　 ． 16．（2024秋•闵行区校级期中）把一个自然数分解素因数，若所有素因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，则称这样的数为“史密斯数”．如：27＝3×3×3，3+3+3＝2+7，即27是“史密斯数”．那么，在4、32、58、65、94中，“史密斯数”有 　 　 个． 17．（2024秋•闵行区校级期中）已知a、b是正整数，设a@b＝[a，b]+（a，b），其中[a，b]表示a与b的最小公倍数，（a，b）表示a与b的最大公因数，求12@42＝ 　 　 ． 18．（2024秋•闵行区期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿　 　 斗． 19．（2024秋•闵行区校级期中）将一个蛋糕看成整体1，小明和妈妈吃了这块蛋糕的．现小明想把余下的蛋糕平均分成5份，取其中的4份带到学校分给他的四个好朋友吃，剩下的留给他爸爸吃，小明带到学校去的蛋糕是整个蛋糕的　 　 ． 20．（2024秋•闵行区期中）一包糖果，不论平均分给8个人还是10个人，都能正好分完，这包糖果至少 　 　 块． 21．（2024秋•闵行区校级期中）1小时40分钟＝　 　 小时（填最简分数）． 22．（2024秋•闵行区校级期中）如果分数是最简真分数，那么m可取的所有正整数是 　 　 ． 23．（2024秋•闵行区校级期中）已知是假分数，是真分数（x＞0），写出所以符合条件的x值的和为　 　 ． 24．（2024秋•闵行区期中）如果，那么a＝　 　 ． 25．（2024秋•闵行区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．36和90公有的素因数是3 B．一个正整数的倍数一定能被它的因数整除 C．一个正整数的因数至少有两个 D．真分数的倒数不一定大于它本身 26．（2024秋•闵行区校级期中）一个数减去2，再加上1等于1，求这个数． 27．（2024秋•闵行区期中）如图，把一个长方形平均分成上、下两部分，上半部分再平均分成4块，下半部分平均分成5块，若图形A、B、C的面积和为2，则阴影部分的面积是 　 　 ． 28．（2024秋•闵行区校级期中）如图，已知阴影部分是梯形与扇形重叠的部分，阴影部分的面积是梯形面积的，是扇形面积的，那么阴影部分面积是整个图形面积的 　 　 ． 29．（2024秋•闵行区期中）六（1）班女生人数是男生人数的，那么男生人数是全班人数的（　　） A． B． C． D． 30．（2024秋•闵行区期中）下列分数中，不能化为有限小数的是（　　） A． B． C． D． 31．（2024秋•闵行区校级期中）． （1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果） 　 　 ＝　 　 ；　 　 ＝　 　 ； （2）利用以上所得的规律进行计算：． 32．（2024秋•闵行区校级期中）六年级三个班级给图书馆捐书，一班捐了54本，二班捐的是一班的，三班捐的比二班多，求三个班共捐了几本？ 33．（2024秋•闵行区校级期中）某班有学生45名，其中男生占总人数的．现转入女生4名，转走男生1名，问：现在女生人数占全班人数的几分之几？ 34．（2024秋•闵行区校级期中）第七届进博会日益临近，其话题热度持续攀升．鉴于此，甲、乙两家广播电台准备在进博会期间对早间新闻进行调整．两家电台均打算在每天早晨8：00同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播3分钟广告；乙台每播报15分钟新闻后插播3分钟广告，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问： （1）早间新闻播报将在几点结束？ （2）早间新闻播报期间甲、乙两台将分别插播几分钟广告？ 35．（2024秋•闵行区校级期中）小杰家的客厅地面是长4.8类，宽3米的长方形，他家装修新房时准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，请问地砖边长最大是多少厘米？需要多少块这样的地砖？ 36．（2024秋•闵行区校级期中）某面粉厂有工人20名，为了获得更多利润，增设加工面条项目，用本厂生产的面粉加工面条（生产1千克面条需用面粉1千克），已知每人每天平均生产面粉600千克，或生产面条400千克，将面粉直接出售每千克可获利润0.2元，加工成面条后出售每千克可获利润0.6元，若每个工人一天只能做一项工作，且不计其它因素，设安排x名工人加工面条．完成下列问题： （1）一天中加工面条可获利润为　 　 元（用含x的式子表示）； （2）一天中剩余面粉可获利润为　 　 元（用含x的式子表示）； （3）要使该厂一天中所获利润为2880元，则应如何分配这20名工人？ 37．（2024秋•闵行区校级期中）如图1，长方形ABCD的长BC是分米，宽AB是长BC的． （1）求长方形ABCD的周长． （2）如图2，点E在边CD上，若三角形BEC的面积比三角形ADE的面积多平方分米，求三角形BEC的面积是多少平方分米？ 38．（2024秋•闵行区校级期中）某种高档进口收工羊毛地毯原售价是每平方米4200元，现在价格上涨了． （1）现在售价为每平方米多少元？ （2）买进口商品还需缴纳总价的的关税，那么一块12平方的进口地毯，按现在的售价应付多少元？（精确到1元） 39．（2024秋•闵行区校级期中）为了丰富学生的课余生活，学校计划新买一批球类体育用品，其中购买的篮球数量占这批球类体育用品的，购买的排球数量是篮球数量的，其余是足球． （1）如果购买的足球数量是6个，那么该学校计划新买的球类体育用品的总数量是多少个？ （2）如果要使得购买的足球数量与排球数量相等，那么要将计划购买的排球数量的几分之几改去购买足球？ 40．（2024秋•闵行区期中）每四年举办一届的奥运会是全球最具盛名的综合性运动会，由国际奥林匹克委员会主办，2024年夏季奥运会在法国巴黎举行．该届奥运会的金牌数及部分国家的金牌数如图所示： （1）中国的金牌数占该届奥运会金牌数的几分之几？ （2）已知澳大利亚的金牌数是中国金牌数的，那么澳大利亚获得多少枚金牌？ （3）已知意大利获得的奖牌中，铜牌数是该国奖牌总数的，金牌数是铜牌数的，银牌13枚，那么意大利获得的奖牌总数是多少？ 【考点2】有理数的概念与数轴（第41-45题） · 数轴 · 相反数 · 绝对值 · 大小比较 41．（2024秋•闵行区校级期中）已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＜|b|，下列各式中正确的个数是（　　） （1）b﹣a＞0；（2）a+b＜0；（3）；（4）﹣a﹣b＞0；（5）3a﹣b＞0． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 42．（2024秋•闵行区校级期中）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．﹣c＜b B．a+c＜0 C．|a|＜|b| D．|a+b|＝a﹣b 43．（2024秋•闵行区期中）在数轴上，到原点的距离等于4.5个单位长度的点所表示的有理数是　 　 ． 44．（2024秋•闵行区期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB＝OC，则下列结论中：①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c＝b；④．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（2024秋•闵行区校级期中）定义：a是不为1的有理数，我们称为a的差倒数．如3的差倒数是，﹣1的差倒数是．已知a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2024＝　 　 ． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 整除先看个位，3的倍数看各位和 · 分数运算先通分再计算，结果要约分 · 绝对值问题别忘了正负两解 · 有理数运算先定符号再算绝对值 · 数轴动点问题画示意图分段讨论 【作业1】（2024秋•闵行区校级期中）有理数a，b，c，d使1，则的最大值是　 　 ． 【作业2】（2024秋•闵行区期中）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，e是绝对值最小的数，则2（a+b）+3cd+4e＝　 　 ． 【作业3】（2024秋•闵行区校级期中）比大小：　 　 （填＞、＜或＝）． 【作业4】（2024秋•闵行区校级期中）下列四个结论：①﹣a是负数；②若|a+b|＝﹣（a+b）则a+b＜0；③a+b一定比a大；④a﹣b一定比a小；⑤若|﹣x|＝|﹣3|，则x＝﹣3；⑥若|a|＝|b|，则a2＝b2．其中正确的个数是 　 　 个． 【作业5】（2024秋•闵行区期中）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是 　 　 ． 【作业6】（2024秋•闵行区校级期中）已知|x|＝3，y3＝8，且xy＜0，那么（x+y）2024＝ 　 　 ． 【作业7】（2024秋•闵行区期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等．类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3记作3③，读作“3的圈3次方”，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作（﹣2）④，读作“﹣2的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷…÷a（a≠0）记作a，读作“a的圈n次方”． （1）直接写出计算结果： 　 　 ，4③＝ 　 　 ． （2）将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 　 　 ． （3）算一算：． 【作业8】（2024秋•闵行区校级期中）阅读下面材料并回答问题：点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点，如图1，AB＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时， （1）回答问题：数轴上表示﹣3和﹣8的两点之间的距离是　 　 ． （2）若数轴上表示x和﹣2的两点分别是点A、B，AB＝5，那么x＝　 　 ． （3）若数轴上点A表示数﹣1，点B表示数7，动点P、Q分别同时从点A、点B出发沿着数轴正方向移动，点P的移动速度是每秒3个单位长度，点Q的移动速度是每秒2个单位长度，求①运动几秒后，点P追上点Q？②运动几秒后，P、Q两点相距3个单位长度？ 【作业9】（2024秋•闵行区期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣24和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是 　 　 、　 　 ． （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 【作业10】（2024秋•闵行区校级期中）计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【作业11】（2024秋•闵行区校级期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小明把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）． （1）直接写出计算结果：　 　 ；f（4，3）＝　 　 ； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是　 　 ；（填序号） ①对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1 ②f（6，3）＝f（3，6） ③f（2，a）＝1（a≠0） ④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0） （3）计算：　 　 （直接写答案）． 【作业12】（2024秋•闵行区校级期中）阅读材料： 三千多年前，埃及人发明了一种书写分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称作单位分数，对于分子不是1的分数，埃及人将它们转化成分子是1的分数再计算，这使计算非常复杂，然而，如何将一个分数分拆为几个不同单位分数之和确是一个很有意义的问题． 例如：，即可以写成两个单位分数与的和； 又因为，，所以，即又可以写成三个不同的单位分数的和． 按照这样的思路，它也可以写成四个、甚至五个不同的单位分数的和． （1）类似地，试把分数拆分成两个不同单位分数的和； （2）你能把分数拆分成三个不同的单位分数之和吗？试写出你的结果； （3）尝试把分数拆分成四个不同单位分数的和； （4）尝试把分数拆分成五个不同单位分数的和． 【作业13】（2024秋•闵行区校级期中）【综合与实践】体重调查 党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某数学兴趣小组对本校六年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有六年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BMI数值，再参照BMI数值标准分成四组：A.16≤BMI＜20；B.20≤BMI＜24；C.24≤BMI＜28；D.28≤BMI＜32．将所得数据进行收集、整理、描述． 六年级10名男生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高（m） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72 体重（kg） 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5 BMI 21.6 s 16.5 16.1 24.5 19.4 21.3 21.2 266 30.6 六年级10名女生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高（m） 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62 体重（kg） 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8 BMI 21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8 整理、描述数据 六年级20名学生BMI统计分布表（素材1） 组别 BMI 男生数 女生数 A 16≤BMI＜20 3 2 B 20≤BMI＜24 4 6 C 24≤BMI＜28 t 2 D 28≤BMI＜32 1 0 素材2 表一60分钟各项运动消耗热量表 运动 骑车 快跑 慢跑 爬楼梯 游泳 热量变化（卡） ﹣184 ﹣700 ﹣655 ﹣480 ﹣1036 素材3 表二常见食物摄入热量表 食物 炸薯片 方便面 猪肉 巧克力 曲奇饼 虾 热量变化（卡/100g） +612 +472 +816 +586 +544 +126 任务1 （1）s＝　 　 ，t＝　 　 ． 任务2 已知该校六年级有男生260人，女生240人． ①估计该校六年级男生偏胖的人数； ②估计该校六年级学生BMI≥24的人数． 任务3 （3）针对目前中学生中肥胖率偏高的实际情况，李老师和同学们一同分析了形成这些问题的原因，多数学生喜欢吃一些零食、炸薯条，汉堡等含高糖、高脂和高热量的食品，还有一些学生根本就不正常吃饭，根据素材2，3提供的信息，请给六年级同学提出一些关于饮食方面的建议，并制订适合他们的体育锻炼方案． 【作业14】（2024秋•闵行区校级期中）已知在数轴上点A1所对应的数为，点A2所对应的数为，…，点An所对应的数为（n为正整数）．请解答下列问题： （1）试写出点A3和A4所对应的数并比较它们的大小： A3＝ 　 　 ，A4＝ 　 　 ，比较大小：A3　 　 A4．（填入“＞”或者“＜”） （2）如果我们把数轴上的点A1和点A2的距离记为|A1A2|且|A1A2|＝|a1﹣a2|，点A2和点A3的距离记为|A2A3|且|A2A3|＝|a2﹣a3|，…，点An﹣1和点An的距离记为|An﹣1An|，且|An﹣1An|＝|an﹣1an|（n＞1）．请根据理解以下回答（直接写出结果）： ①|A1A2|+|A2A3|+…+|A2024A2025|＝ 　 　 ； ②使成立的正整数n共有 　 　 个． 【作业15】（2024秋•闵行区期中）【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面． 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数﹣1对应的点重合，则此时数﹣3对应的点与数 　 　 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数﹣4对应的点重合，则此时数0对应的点与数 　 　 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为 　 　 ，点B对应的数为 　 　 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为8个单位长度的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $