第3章 一元一次方程（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制六年级上册

第3章 一元一次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各项属于移项的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 3．定义一种运算：，若，则x的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．下列式子是运用等式的性质进行的变形，其中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．下列各方程的变形中，去分母错误的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 6．我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有x个人，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．已知是关于的方程的解，则_______． 8．由去括号得__________． 9．当______时，代数式与互为相反数． 10．已知a是一个固定的数，如果关于x的方程的解是的解的3倍，那么a的值是______． 11．已知方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为______． 12．新华书店新进一种畅销书若干本，第一天售出总数的，第二天售出剩下的，结果书店还有210本，请问书店新进这种畅销书_____本． 13．《孙子算经》中有这样一个问题：用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材的长，则绳子比木材短1尺，问：木材的长为多少尺？若设木材的长为尺，则_____． 14．某商店两件衣服均卖元，其中一件赚了，而另一件亏了，这两件衣服合在一起是 ______．(填“不赚也不亏”或“赚了多少（具体数据）元”或“亏了多少元”) 15．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．若关于x的方程与方程互为“成双方程”，m的值为________． 16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”请你帮忙算出共有______人出钱买鸡． 17．规定新运算“*”，对于任意有理数、都有．例如，，如果，那么的值为______． 18．如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，19题8分，20-22每题6分，23-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4) 20．解方程： 21．若关于x的方程是一元一次方程，解关于y的方程． 22．列方程解决问题：已知、两地相距120千米，甲车的速度为每小时50千米，乙车的速度为每小时45千米．两车分别从、两地出发，相向而行，若甲车先行驶30分钟，那么乙车行驶几小时后与甲车相遇？ 23．定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 24．永辉超市第一次用4200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多20件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润=售价-进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 29 40 (1)永辉超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多480元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 25．如图，数轴上的单位长度为1，A，B两点表示的数互为相反数． (1)点A表示的数是______，点B表示的数______； (2)数轴上一个动点M表示的数为x，先向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度，此时点M到表示数的点的距离为3，求x的值； (3)在数轴上，点O为坐标原点，点P从点A出发，以每秒3个单位长度向右作匀速运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①点P表示的数为______；点Q表示的数为______；（用含t的式子表示） ②当t为何值时，点P、点Q、点O三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）进行判断． 【详解】A．是一元一次方程； B．中，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程； C．中含有两个未知数，不是一元一次方程； D．中没有未知数，不是方程． 故选：A． 2．下列各项属于移项的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，移项是指将方程中的项从等式的一边移动到另一边，并改变该项的符号，据此可得答案． 【详解】解：A、由得，项顺序变化，符号未变，不是移项，不符合题意； B、由得，是两边同除以2，不是移项，不符合题意； C、由得 ，7移右变，移左变，符号改变，是移项，符合题意； D、由得，移项时符号错误（如移到右变为，移左边为），不是正确移项，不符合题意． 故选：C． 3．定义一种运算：，若，则x的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算．根据运算定义，，代入表达式并解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴ 解得：． 故选：A． 4．下列式子是运用等式的性质进行的变形，其中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是明确等式两边同时除以同一个数（或式子）时，这个数（或式子）不能为零． 若，根据等式性质1（等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立），两边同时减可得，故A正确；根据等式性质2（等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为零的数，等式仍成立），两边同时乘可得，故B正确；是不为零的常数，两边同时除以可得，故C正确；若，当时，两边不能同时除以，此时不一定等于，故D错误． 【详解】解：A、若，根据等式性质1，等式两边同时减去，得，此选不项符合题意； B、若，根据等式性质2，等式两边同时乘，得，此选项不符合题意； C、若，，根据等式性质2，等式两边同时除以，得，此选项不符合题意； D、若，当时，等式两边不能同时除以，此时不一定等于，此选项符合题意； 故选：D． 5．下列各方程的变形中，去分母错误的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程过程中去分母的变形．解题的关键在于去分母时方程两边每一项都乘以分母的最小公倍数，避免漏乘常数项．逐一检查各选项方程两边是否每一项都乘即可． 【详解】解： A：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘得 ，正确．不符合题意； B：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘得 ，正确．不符合题意； C：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘得 ，正确．不符合题意； D：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘应得 ，但选项中为 ，常数项未乘，错误．符合题意． 故答案为：D． 6．我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有x个人，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是抓住车的数量作为等量关系． 根据车的数量不变列方程，从第一个条件得总车数为，从第二个条件得总车数为，两者相等． 【详解】解：∵每3人乘1车，剩余2辆车， ∴总车数； ∵每2人乘1车，剩余9人无车， ∴总车数； ∴， 故选B． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．已知是关于的方程的解，则_______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，将方程解代入原方程中是解题的关键． 将代入方程中，即可求出的值． 【详解】解：将代入方程， 得，即． 解得． 故答案为：． 8．由去括号得__________． 【答案】 【分析】本题考查了去括号的法则，掌握去括号的法则是解决本题的关键． 根据去括号的法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．当______时，代数式与互为相反数． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，相反数的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据互为相反数的两个数的和为零，列出方程并求解． 【详解】解：由题意，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 系数化为1，得． 故当时，代数式与互为相反数， 故答案为：． 10．已知a是一个固定的数，如果关于x的方程的解是的解的3倍，那么a的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先分别求出两个方程的解，再根据第一个方程的解是第二个方程的解的3倍，列出关于a的方程，求解即可． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 根据题意，， 即， 整理得， 解得， 故答案为：． 11．已知方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为______． 【答案】1 【分析】此题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，解题的关键是：正确理解一元一次方程的定义． 先根据一元一次方程的定义求出k，从而得出这个一元一次方程，再解这个一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意得：，， 且， 所以：， ， ． 故答案为：． 12．新华书店新进一种畅销书若干本，第一天售出总数的，第二天售出剩下的，结果书店还有210本，请问书店新进这种畅销书_____本． 【答案】560 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，准确找出等量关系是解题的关键． 设新进书的总数为x本，根据第一天售出总数的，第二天售出剩下的，列出方程求解． 【详解】解：设新华书店新进这种畅销书x本． ， 故答案为：560． 13．《孙子算经》中有这样一个问题：用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材的长，则绳子比木材短1尺，问：木材的长为多少尺？若设木材的长为尺，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设木材的长为尺，则绳子长尺，根据将绳子对折再量木材的长，绳子比木材的长短1尺，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设木材的长为尺，则绳子长尺， 根据题意得：， 解得：， ∴木材的长为6.5尺． 故答案为：． 14．某商店两件衣服均卖元，其中一件赚了，而另一件亏了，这两件衣服合在一起是 ______．(填“不赚也不亏”或“赚了多少（具体数据）元”或“亏了多少元”) 【答案】亏了元 【分析】本题主要考查了分数应用题中的成本、售价、利润的计算，以及盈亏问题的综合运用．分别计算两件衣服的成本价，第一件赚了成本的，成本为元；第二件亏了成本的，成本为元；总成本元，总售价元，故亏了元． 【详解】解：设第一件衣服成本为元，根据赚了成本的，有， 解得元， 设第二件衣服成本为元，根据亏了成本的，有， 解得元， 总成本为元， 总售价为元， 元， 亏了元， 故答案为：亏了元． 15．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．若关于x的方程与方程互为“成双方程”，m的值为________． 【答案】18 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2，分别求出两个方程的解，再列方程求解m． 【详解】解： ， ， ， ， ， ； ， ， ； 由题意，方程的解之和为2， 即， 整理，得， 移项，得， 解得 ； 故答案为：18． 16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”请你帮忙算出共有______人出钱买鸡． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设共有x人出钱买鸡，根据鸡的价格不变，列出方程求解． 【详解】解：设共有x人． 由题意，得． 移项，得， 即， 解得． 故答案为：9． 17．规定新运算“*”，对于任意有理数、都有．例如，，如果，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程，掌握新运算定义是解题关键．根据新运算的定义，将等式 转化为关于的一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， ， 解得， 故答案为：． 18．如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为______． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．先设下面长方形每份的面积为未知数，根据两个长方形面积相同及阴影部分面积列出方程，求解后计算整个图形的面积． 【详解】解：设下面长方形每份为，则下面长方形面积为，则上面长方形面积也为， 由于把上面一个长方形平均分成2份，则上面长方形每份为， 由题意得， 解得， 则整个图形的面积为． 故答案为：9． 三、解答题（本大题共7小题，19题8分，20-22每题6分，23-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （4）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 20．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值的非负性，根据绝对值的非负性可得，则，据此去绝对值并解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 21．若关于x的方程是一元一次方程，解关于y的方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程， 先根据一元一次方程的定义求出m的值，再解一元一次方程即可. 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴，且， 解得，且. 方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得. 22．列方程解决问题：已知、两地相距120千米，甲车的速度为每小时50千米，乙车的速度为每小时45千米．两车分别从、两地出发，相向而行，若甲车先行驶30分钟，那么乙车行驶几小时后与甲车相遇？ 【答案】乙车行驶1小时后与甲车相遇 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设乙车行驶小时后与甲车相遇，根据甲车的速度为每小时50千米，乙车的速度为每小时45千米，甲车先行驶30分钟，列出方程即可求解． 【详解】解：设乙车行驶小时后与甲车相遇， 根据题意可得，， 解得：， 答：乙车行驶1小时后与甲车相遇． 23．定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法，理解新定义，是解题的关键． （1）根据差根方程的定义进行求解即可； （2）先求出方程的解为：，然后根据关于x的一元一次方程是“差解方程”，列出关于m的方程，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：方程的解为：， ， ∴方程不是“差解方程”； （2）解：方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解得：． 24．永辉超市第一次用4200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多20件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润=售价-进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 29 40 (1)永辉超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多480元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)1680元 (2)打9折 【分析】（1）首先设甲商品的件数为件，根据“甲商品的总进价 + 乙商品的总进价 ”列出方程，求出甲、乙两种商品的件数．最后根据“利润 =（甲商品的单件利润×甲商品的件数）+（乙商品的单件利润×乙商品的件数）”计算出总利润． （2）先根据第一次的进价和件数关系求出第二次乙商品的件数．设第二次乙种商品按原价打折销售，根据“第二次的总利润 = 第一次的总利润”列出方程，求解得出的值． 本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据题目中的数量关系列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲商品的件数为件，则乙商品的件数为件．由题意得 解得， 则乙商品的件数为（件）， 甲商品单件利润为（元）， 乙商品单件利润为（元）， 总利润为（元） 答：一共可获得元利润； （2）解：设第二次乙种商品按原价打折销售，则乙商品打折后单件利润为元．则 解得， 答：第二次乙种商品是按原价打九折销售． 25．如图，数轴上的单位长度为1，A，B两点表示的数互为相反数． (1)点A表示的数是______，点B表示的数______； (2)数轴上一个动点M表示的数为x，先向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度，此时点M到表示数的点的距离为3，求x的值； (3)在数轴上，点O为坐标原点，点P从点A出发，以每秒3个单位长度向右作匀速运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①点P表示的数为______；点Q表示的数为______；（用含t的式子表示） ②当t为何值时，点P、点Q、点O三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？ 【答案】(1)，2 (2)或 (3)①，，②或或6或 【分析】本题考查了相反数的概念，数轴上点的移动规律，绝对值的几何意义及一元一次方程的应用． （1）A、B互为相反数且，即可表示A和B的数； （2）根据题意列出方程，解得或； （3）①点P从点A出发，速度为3，则t秒后表示为，点Q从点B出发，速度为1，则t秒后表示为；②分三种情况讨论：点O到点P、Q距离相等，点P到点O、Q距离相等，点Q到点O、P距离相等，分别列出不同情况下的方程，并解得t的值，再根据取符合要求的值即可． 【详解】（1）解：∵A，B两点表示的数互为相反数，且， ∴点A表示的数是，点B表示的数是2， 故答案为：，2． （2）解：根据题意得：， 即或， 解得：或． （3）解：①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，； ②当点O到点P、点Q的距离相等时，， 即或， 解得：（不符合题意，舍去）或； 当点P到点O、点Q的距离相等时，， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当点Q到点O，点P的距离相等时，， 即或， 解得：或， 即当t的值为2或或6或时，点P、点Q、点O三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次方程（高效培优单元自测·提升卷） 参考答案 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C A D D B 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．/ 8． 9．/ 10． 11．1 12．560 13． 14．亏了元 15．18 16．9 17． 18．9 三、解答题（本大题共7小题，19题8分，20-22每题6分，23-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得；……………………2分 （2）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得；……………………4分 （3）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得；……………………6分 （4）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得．……………………8分 20．解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得．……………………6分 21．解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴，且， 解得，且. 方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得.……………………6分 22．解：设乙车行驶小时后与甲车相遇， 根据题意可得，， 解得：， 答：乙车行驶1小时后与甲车相遇．……………………6分 23．（1）解：方程的解为：， ， ∴方程不是“差解方程”；……………………4分 （2）解：方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解得：．……………………8分 24．（1）解：设甲商品的件数为件，则乙商品的件数为件．由题意得 解得， 则乙商品的件数为（件）， 甲商品单件利润为（元）， 乙商品单件利润为（元）， 总利润为（元） 答：一共可获得元利润；……………………4分 （2）解：设第二次乙种商品按原价打折销售，则乙商品打折后单件利润为元．则 解得， 答：第二次乙种商品是按原价打九折销售．……………………8分 25．（1）解：∵A，B两点表示的数互为相反数，且， ∴点A表示的数是，点B表示的数是2， 故答案为：，2．……………………2分 （2）解：根据题意得：， 即或， 解得：或．……………………4分 （3）解：①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，；……………………6分 ②当点O到点P、点Q的距离相等时，， 即或， 解得：（不符合题意，舍去）或； 当点P到点O、点Q的距离相等时，， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当点Q到点O，点P的距离相等时，， 即或， 解得：或，……………………10分 即当t的值为2或或6或时，点P、点Q、点O三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $