专题03 有理数11考点11重难题型（期中复习讲义）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题03 有理数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 正数与负数 考点二 数轴 考点三 相反数 考点四 绝对值 考点五 有理数的大小比较 考点六 有理数的加法 考点七 有理数的减法 考点八 有理数的乘法 考点九 有理数的除法 考点十 有理数的乘方 考点十一 有理数的混合运算 05 重难题型突破 题型一 正负数与相反意义的量 题型二 数轴与有理数大小比较 题型三 相反数与绝对值的化简求值 题型四 有理数四则与混合运算 题型五 运用运算律简便计算 题型六 乘方运算与符号判断 题型七 含绝对值的有理数运算 题型八 绝对值分类讨论 题型九 规律探究 题型十 新定义运算 题型十一 数轴上的动点与距离 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考查载体 核心考点 常考题型 分值占比 三层设问梯度 正数与负数 相反意义的量、0的特殊性 选择、填空 约8%～10% 识记＋应用 数轴 三要素、点与有理数对应 选择、作图 约8%～10% 理解 相反数 求相反数、相反数之和为0 填空、选择 约6% 识记 绝对值 化简、非负性、几何意义 选择、填空 约10%～12% 理解＋应用 大小比较 数轴比较、两负数比较 选择、填空 约8% 理解 加法与减法 加减法则、运算律 计算、选择 约16%～18% 应用 乘法与除法 符号法则、倒数 计算、填空 约12%～14% 应用 乘方 幂的符号、(-a)ⁿ与-aⁿ 填空、计算 约8% 理解＋应用 混合运算 运算顺序、简便运算 计算、解答 约16% 应用（综合） 识记 1. 能准确说出正数、负数的概念，知道0既不是正数，也不是负数； 2. 能默写数轴的三要素：原点、正方向、单位长度； 3. 能说出相反数与绝对值的定义，知道0的相反数是0、|a|≥0； 4. 能背出有理数加、减、乘、除、乘方的法则与符号规则； 5. 能背出运算顺序（乘方→乘除→加减，括号优先）与三条运算律。 理解 1. 理解数轴上的点与有理数的对应关系，能解释“右边的点表示的数较大”； 2. 理解绝对值的几何意义（到原点的距离）与代数定义，能说清 |a| 与 a 的关系； 3. 理解两个负数比较，绝对值大的反而小的原因； 4. 理解减法化加法、除法化乘法的算理（a-b=a+(-b)、a÷b=a×倒数）； 5. 理解乘方符号法则的由来（负因数的个数决定符号）。 应用 1. 会用正负数表示实际中相反意义的量（温度、海拔、盈亏、升降等）； 2. 会用运算律进行简便计算（凑整、分配律逆用等）； 3. 会正确进行含分数、绝对值、乘方的混合运算； 4. 会用绝对值与数轴解决大小比较、求距离等实际问题； 5. 会解绝对值分类讨论、规律探究、新定义运算等拔高题。 考点一 正数与负数 ① 大于 0 的数叫做正数。如 +3、+1.5、等，“＋”号通常省略不写。 ② 在正数前面添上“－”号所得到的数叫做负数，如 －3、－1.5。 ③ 0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。 ④ 用正数和负数可以表示具有相反意义的量，如收入/支出、上升/下降、向东/向西。 ⚠️概念辨析 正数都大于 0，负数都小于 0；0 既大于负数，又小于正数。 0 不只表示“没有”，还可以表示基准、起点、分界（如 0 ℃、海拔 0 m）。 ⚠️记忆口诀 “正数大于零，负数小于零，零是分界两不沾。” ⚠️易混易错 错把 0 当正数（0 既非正也非负）。 误以为带负号的数必为负数（忽略字母符号的不确定性）。 用正负数表示相反意义的量时，未先确定“基准量”而致符号取反。 ⚠️避坑指南 ❌ 判断一个数是正数还是负数，看它是否大于 0，不能只看有没有符号。 ❌ 不带“＋”“－”号的数（0 除外）一定是正数；－a 不一定是负数（当 a 为负数时，－a 是正数）。 考点二 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三者合称数轴的三要素，缺一不可。 数轴是向两方无限延伸的直线，一般取向右为正方向。 任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示（一一对应）。 表示正数的点在原点右侧，表示负数的点在原点左侧。 ⚠️概念辨析 数轴是一条直线，不是线段、也不是射线，两端都能无限延长。 原点不一定要画在正中间，正方向通常向右，单位长度必须均匀。 ⚠️记忆口诀 “数轴一条直线长，原点方向单位长。” ⚠️易混易错 把数轴画成线段或射线。 单位长度画得不均匀，导致点的位置错误。 误认为数轴上的每一个点都表示有理数。 ⚠️避坑指南 ❌ 三要素原点、正方向、单位长度一个都不能少，缺任一要素都不是数轴。 ❌ 单位长度之间的间隔必须处处相等，否则表示的数不对应。 ❌ 原点不一定在图形中央，可根据需要选取。 考点三 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，如 3 与 －3。 数 a 的相反数记作－a；0的相反数是0。 互为相反数的两个数和为 0，即 a＋(－a)＝0。 在数轴上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等（关于原点对称）。 ⚠️概念辨析 求一个数的相反数，只需在这个数前添上“－”号；即“求相反数＝改符号”。 相反数只与符号有关，与数值大小、绝对值大小无关。 ⚠️记忆口诀 “相反数，改符号；和为零，成双对。” ⚠️易混易错 把相反数与倒数混淆（相反数看“和”，倒数看“积”）。 误认为相反数一定是负数（正数的相反数才是负数，负数的相反数是正数）。 计算 －(－3) 时漏去负号得 －3。 ⚠️避坑指南 ❌ 相反数是成对出现的，不能说“某数是相反数”。 ❌ 0 的相反数是它本身，绝对值是 0 的数也只有 0。 ❌ 注意多重符号：－(－3)＝3，即“负负得正”。 考点四 绝对值 在数轴上，表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。 绝对值表示“距离”，所以绝对值一定是非负数，即 |a|≥0 恒成立。 绝对值的代数定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 ⚠️概念辨析 |a| 是非负数，|a|≥0 恒成立；绝对值等于它本身的数是非负数，等于它的相反数的数是负数或 0。 互为相反数的两个数绝对值相等：|a|＝|－a|。 ⚠️记忆口诀 “绝对值，是距离，去掉符号变非负。” ⚠️易混易错 把 |a| 当成 a 本身（当 a＜0 时，|a|＝－a）。 化简如 |－2|＋|－3| 时漏去绝对值符号导致符号错误。 误以为绝对值小的数就小（绝对值只表示距离，不直接决定大小）。 ⚠️避坑指南 ❌ 绝对值符号里若是负数，去掉绝对值符号后要变号（取其相反数）。 ❌ |a| 表示的是距离，去掉符号后一定是“非负数”，不能直接把 |a| 当成 a。 ❌ 求几个数绝对值的和，先分别去掉绝对值再相加，注意符号。 考点五 有理数的大小比较 数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大。 正数大于 0，0 大于负数，所以正数大于负数。 两个正数：绝对值大的数较大。 两个负数：绝对值大的反而小。 可以概括为：正数＞0＞负数；正数之间比绝对值，负数之间反着比。 ⚠️概念辨析 比较两个负数的大小时，不能直接比较负号后面的数，要先看绝对值。 例：－5 与 －3，因 |－5|＞|－3|，所以 －5＜－3。 ⚠️记忆口诀 “负数比大小，绝对值大反而小；数轴看左右，右大左小忘不掉。” ⚠️易混易错 比较两负数时错用“绝对值大的大”。 排序时把 0 的位置放错（0 大于一切负数、小于一切正数）。 ⚠️避坑指南 ❌ 两负数比较，绝对值大的反而小，这是最容易出错的一处。 ❌ 比较多个数时，先在数轴上标出，再“从左到右”即“从小到大”写出。 考点六 有理数的加法 同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。 运算律：交换律 a＋b＝b＋a；结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。 ⚠️概念辨析 有理数加法的关键步骤是：先定符号，再算绝对值。 “符号”由“取相同符号”或“取绝对值较大的加数的符号”决定。 ⚠️记忆口诀 “同号相加取同号，异号取大减小数；相反数相加得零，任何数加零不变。” ⚠️易混易错 异号两数相加时符号确定错误（取错符号或把绝对值相加）。 计算如 (－3)＋(＋2) 时，误以为等于 －5（应为 －1）。 ⚠️避坑指南 ❌ 异号两数相加，应用“较大的绝对值减去较小的绝对值”，而不是直接相加。 ❌ 加法交换律、结合律可把“同号”“能凑整”的数先合并，简化计算。 考点七 有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即： 减法运算统一转化为加法运算。 特别地，减去一个负数等于加上它的相反数（即加正数）：a－(－b)＝a＋b。 ⚠️概念辨析 把减法变加法时，被减数不变，减数变号。 “减负等于加正”：如 3－(－2)＝3＋2＝5。 ⚠️记忆口诀 “减法变加法，减数变相反；被减数别动，符号才不差。” ⚠️易混易错 把被减数也一起变号（如把 3－(－2) 错写成 －3＋2）。 只把“－”变“＋”却忘记把减数变相反数。 ⚠️避坑指南 ❌ 变减为加时，只能改变减数的符号，被减数保持不变。 ❌ 遇到“减一个负数”要转化为“加一个正数”，不要混淆。 考点八 有理数的乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同 0 相乘，都得 0。 运算律：交换律 ab＝ba；结合律 (ab)c＝a(bc)；分配律 a(b＋c)＝ab＋ac。 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为偶数时积为正，为奇数时积为负。 ⚠️概念辨析 确定乘积符号：先看负因数个数（奇负偶正），再把所有因数的绝对值相乘。 分配律既可正用（a(b＋c)），也可逆用（ab＋ac＝a(b＋c)）简化计算。 ⚠️记忆口诀 “同号得正异号负，负因奇个积为负；任何数乘零得零，分配律用不重不漏。” ⚠️易混易错 乘积符号判断错误（负因数个数数错）。 运用分配律时漏乘某一项，如 a(b－c) 只乘 b。 把“异号相乘得负”与“加法异号取大”混淆。 ⚠️避坑指南 ❌ 负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正；与 0 相乘结果为 0。 ❌ 用分配律时不要漏乘括号内的某一项。 考点九 有理数的除法 除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数。即： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何一个不为 0的数，都得 0。 0 不能作除数。 ⚠️概念辨析 乘积为 1 的两个数互为倒数，如 3 与 ；0 没有倒数。 除法运算通过“取倒数”统一转化为乘法运算。 ⚠️记忆口诀 “除法变乘法，除数取倒数；同号正异号负，零除被除数得零。” ⚠️易混易错 把除数当作被除数取倒数（如把 a÷b 错写成 b×a 的倒数形式）。 出现“0 作除数”的式子仍往下算。 求带符号数、分数的倒数时出错。 ⚠️避坑指南 ❌ 除号变乘号的同时，除数要变成它的倒数，被除数不变。 ❌ 0 不能作除数，出现 0 作除数的式子无意义。 ❌ 倒数是针对“数”而言，求一个数的倒数即“分子分母互换”。 考点十 有理数的乘方 求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。中，a 叫做底数，n 叫做指数，读作“a 的 n 次方”或“a 的 n 次幂”。 符号规律：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；正数的任何次幂都是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。 1 的任何次幂都是 1；－1 的奇次幂是 －1，偶次幂是 1。 ⚠️概念辨析 乘方是“连乘”的简记，如 a³＝a·a·a（3 个 a 相乘）。要严格区分：前者底数是 －2，结果为 4；后者底数是 2，结果为 －4。 ⚠️记忆口诀 “负偶次方得正，负奇次方得负；底数是负加括号，莫忘指数是个数。” ⚠️易混易错 混淆 (－2)² 与 －2²：(－2)²＝4，－2²＝－4。 把指数与底数混淆（如把 2³ 当 3²）。 计算 (－1)ⁿ 时符号判断错误。 ⚠️避坑指南 ❌ 底数是负数时，写成幂一定要加括号：(－2)²＝4，而 －2²＝－4。 ❌ 指数是几就表示“几个底数相乘”，指数不参与连乘。 考点十一 有理数的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里面的。 同级运算，按从左到右的顺序依次进行。 括号顺序：先小括号，再中括号，后大括号。 能运用运算律使计算简便时，应灵活运用（凑整、分配律等）。 ⚠️概念辨析 混合运算的优先级可概括为：括号→乘方→乘除→加减；同级从左到右。 “先乘除后加减”是指乘除的优先级高于加减，不是“先算乘法再算除法”。 ⚠️记忆口诀 “括号乘方乘除加减，同级从左到右算；能简便时用运算律，符号数值分步断。” ⚠️易混易错 运算顺序错误（先加减后乘除）。 忽略负号或括号，导致符号与数值同时出错。 能用运算律简化的地方仍硬算，易出错且耗时。 ⚠️避坑指南 ❌ 不要跳步；每一步先确定运算符号，再确定数值。 ❌ 同级运算严格按从左到右，不能随意调整顺序（除非用运算律合理改变）。 ❌ 含括号时先算内层括号，括号外乘除加减顺序不变。 题型一 正负数与相反意义的量 典例1 （25-26六年级上·上海虹口·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是(        )． A．正整数可以分为素数和合数两类； B．正整数可以分为奇数和偶数两类； C．整数可以分为正整数和负整数两类； D．有理数可以分为正有理数和负有理数两类． 2．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）在，，，中，负数的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26六年级上·上海·期中）在，，0.45，0，，中，非负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 数轴与有理数大小比较 典例2 （25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）比较大小：___________（填“>”、“<”或“=”符号） 2．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）比较大小：______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 3．（25-26六年级上·上海闵行·期中）用数轴上的点表示下列各数：，，，，并将这些数按照从小到大排列： 题型三 相反数与绝对值的化简求值 典例3 （25-26六年级上·上海·期中）计算：___________． 迁移应用 1．（24-25六年级上·上海·期中）已知、在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）对于有理数，，若，则的值是______． 3．已知，，且，求_____． 题型四 有理数四则与混合运算 典例4 （25-26六年级上·上海虹口·期中）计算： 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 2．（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 3．（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 题型五 运用运算律简便计算 典例5 （25-26六年级上·上海·期中）计算：． 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 2．（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 3．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 题型六 乘方运算与符号判断 典例6 （25-26六年级上·上海松江·期中）下列各组数中，数值不相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 迁移应用 1．（24-25六年级上·上海·期中）下列各对数中，互为相反数的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25六年级上·上海·期中）下列各数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25六年级上·上海虹口·期中）下列各组式子中，结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 题型七 含绝对值的有理数运算 典例7 （25-26六年级上·上海奉贤·期中）计算： 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算：______． 2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 3．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身、负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；当时． 如下面一组等式：，． 根据以上阅读内容完成： (1)的结果是__________ (2)计算：． (3)若数轴上表示数的点位于与2之间．求的值． 题型八 绝对值分类讨论 典例8 （25-26六年级上·上海奉贤·期中）已知，且，求的值． 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则的值为______． 2．根据绝对值的定义，表示数在数轴上所对应的点与原点的距离．规定：表示数和在数轴上所对应的两点之间的距离．如果，那么的值为________． 3．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离”，请根据上述材料，尝试解决下列问题：的最小值是5，则___________. 题型九 规律探究 典例9 （24-25六年级上·上海青浦·期中）观察下面一列数：，，，……，按此排列规律，第50个数为_____________． 迁移应用 1．（24-25六年级上·上海·期中）定义：是不为1的有理数，我们称为的差倒数．如3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则___________． 2．（24-25六年级上·上海·期中）观察下面一列数： 探究其规律，得到第2024个数是______． 3．（25-26六年级上·上海·期中）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第6个等式：_______； (2)第n个等式：_______；（用含n的式子表示） (3)计算：． 题型十 新定义运算 典例10 （25-26六年级上·上海·期中）为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，．根据这种运算，则______． 迁移应用 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）现定义两种运算“□”“”，对于任意两个整数，则_____________． 2．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）小海说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．小华看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？请计算____（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． 3．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为______． 题型十一 数轴上的动点与距离 典例11 （25-26六年级上·上海·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 迁移应用 1．（24-25六年级上·上海金山·期中）综合应用： (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M，点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N，且点N表示的数是5，那么a的值是 ； (2)如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点T、点S分别落在数轴上的A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应的数为6（单位：）．利用所学知识可以求出点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁；你若是我现在这么大，我就20岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第（2）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程 2．（25-26六年级上·上海·期中）阅读下面的材料并解答问题： 在数轴上，点表示数，点表示数，点表示数，且点到点的距离记为线段的长，点在点左侧，点在点左侧，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即，若，是最小的正整数，点到原点的距离是5．则： (1)_____． (2)若将数轴折叠，使得与点重合： ①点与数_____表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是_____． (3)点、、开始在数轴上运动，点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出这个值． 3．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 小智在纸面上画出了一条数轴，对其作出了以下探究： (1)探究一：数轴上表示整数的点称为整点 ①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有___________个整点． ②若小智在数轴上放置了一根长为2025个单位长度的木棒，那么这个木棒盖住的整点个数为___________个． (2)探究二：小智在学习绝对值的几何意义时，注意到，其几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离．更一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． ③的几何意义是表示数的点到______________． ④小智在数轴上任取一个点表示有理数，当这个点在数轴上移动时，的最小值为_________；的最小值为_______________； (3)探究三：小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合． ⑤此时，表示3的点与表示_______________的点重合 ⑥若折叠后数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为4040（点在点的左侧），则点所表示的数是多少？ 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26六年级上·上海·期中）绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 2．（25-26六年级上·上海松江·期中）如果点和点在数轴的一部分上的位置如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．点表示的数一定是负数： B．点表示的数一定小于点所表示的数； C．点表示的数与点所表示的数的和一定是正数； D．点表示的数的绝对值一定小于点所表示的数的绝对值； 3．（25-26六年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．如果是有理数，那么的倒数是 B．若是有理数，则一定是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．一个数的绝对值是它本身，则这个数是正数 4．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果两个有理数的和为，那么下列说法不正确的是（    ） A．这两个数互为相反数 B．这两个数的绝对值相等 C．这两个数的商是 D．这两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等． 5．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果股票价格上涨元，记作元，那么下跌元，应记作____元． 6．（25-26六年级上·上海松江·期中）如果一个数的绝对值等于，那么这个数是______． 7．（25-26六年级上·上海·期中）计算：____________． 8．（25-26六年级上·上海金山·期中）的相反数是______，的倒数是______． 9．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算：______． 10．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算： ______． 11.（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果与互为相反数，那么_____． 12．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知，，，把a，，b，用“”按从小到大的顺序排列________． 13．（25-26六年级上·上海虹口·期中）若，则__________． 14．（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 15．（25-26六年级上·上海·期中）六年级（2）班的几位同学正在一起讨论一个关于同一数轴上的不同点所表示数的问题： 甲说：“数轴上的两点表示的数绝对值都是4，且点A在点B的左侧．” 乙说：“点C与D表示的数的差是3，点C表示最小的正整数．” 丙说：“点E表示的数的相反数是它本身．” 如果上述三位同学的表述都正确． (1)请直接写出点所表示的有理数； (2)问这5个数的和比这五个数的绝对值的和大或小多少？ 16．（25-26六年级上·上海·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产量､销量都大幅增加．小海家新购置了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的用正数表示，不足的用负数表示，刚好的记为0． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)小海家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)小海家原汽油车每行驶需用汽油，汽油价格为6.8元/升，而此辆新能源汽车每行驶耗电量为15千瓦时，平均充电费用为每千瓦时1.1元．小海家换成新能源汽车后，这七天的行驶费用比原来节省多少元？ 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如图，数轴上单位长度代表，点A、点B都在数轴上，A表示的数为，且点B与点A相距，则点B表示的数是_______． 3．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为______. 4．已知：，且，．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则_____ 5．（25-26六年级上·上海·期中）细胞有一个神奇的功能，它可以通过分裂产生新的细胞．在初始时刻（第0分钟）将1个活细胞放入无菌空瓶．此后每隔2分钟，瓶中的细胞会同步进入分裂期，每个细胞都会“一分为二”，形成两个一模一样的细胞．也就是说1个细胞经过2分钟分裂为2个，再经过2分钟分裂为4个，……．最终，从单个细胞开始分裂直到填满整个瓶子，全程共消耗了30分钟．（假设所有细胞都存活） （1）经过分钟（为正整数），瓶子里的细胞总数为______个（用含的式子表示）． （2）如果现在换一个容量仅为原瓶子一半的新瓶子，那么从1个细胞开始，到充满这个新瓶子所需要的时间，比充满原瓶子少用______分钟． 6．（24-25六年级上·上海·期中）“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用“分类讨论”的数学思想解答下面的问题．已知，，且，求的值． 7．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）（1）用数轴上的点表示下列各数：点A表示的倒数，点B表示的相反数，点C表示；点D表示绝对值最小的数． （2）已知点E与B的距离为线段长的一半，则点E表示的数是　　． 8．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如图，边长为的等边三角形放在数轴上，点与点重合，点与表示的点重合． (1)将三角形从如图所示位置沿数轴向右滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点所表示的数是______； (2)将三角形从如图所示位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次进行了5次滚动，滚动情况记录如下：，，，，， ①第几次滚动后，点离原点最远，最远距离是多少？请通过计算说明： ②当等边三角形结束滚动时，点表示的数是_____： (3)将三角形从如图所示位置按以下规律沿数轴滚动： 第一次向右滚动一圈，点到达点处； 第二次向左滚动两圈，点到达点处； 第三次向右滚动三圈，点到达点处； 第四次向左滚动四圈，点到达点处； …… 点表示的数是_______（用含的式子表示，是正整数）． 9．（25-26六年级上·上海青浦·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础： 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示的点之间的距离；也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是__________； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)当时，此时整数所有可取的值之和为_____． (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 正数与负数 考点二 数轴 考点三 相反数 考点四 绝对值 考点五 有理数的大小比较 考点六 有理数的加法 考点七 有理数的减法 考点八 有理数的乘法 考点九 有理数的除法 考点十 有理数的乘方 考点十一 有理数的混合运算 05 重难题型突破 题型一 正负数与相反意义的量 题型二 数轴与有理数大小比较 题型三 相反数与绝对值的化简求值 题型四 有理数四则与混合运算 题型五 运用运算律简便计算 题型六 乘方运算与符号判断 题型七 含绝对值的有理数运算 题型八 绝对值分类讨论 题型九 规律探究 题型十 新定义运算 题型十一 数轴上的动点与距离 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考查载体 核心考点 常考题型 分值占比 三层设问梯度 正数与负数 相反意义的量、0的特殊性 选择、填空 约8%～10% 识记＋应用 数轴 三要素、点与有理数对应 选择、作图 约8%～10% 理解 相反数 求相反数、相反数之和为0 填空、选择 约6% 识记 绝对值 化简、非负性、几何意义 选择、填空 约10%～12% 理解＋应用 大小比较 数轴比较、两负数比较 选择、填空 约8% 理解 加法与减法 加减法则、运算律 计算、选择 约16%～18% 应用 乘法与除法 符号法则、倒数 计算、填空 约12%～14% 应用 乘方 幂的符号、(-a)ⁿ与-aⁿ 填空、计算 约8% 理解＋应用 混合运算 运算顺序、简便运算 计算、解答 约16% 应用（综合） 识记 1. 能准确说出正数、负数的概念，知道0既不是正数，也不是负数； 2. 能默写数轴的三要素：原点、正方向、单位长度； 3. 能说出相反数与绝对值的定义，知道0的相反数是0、|a|≥0； 4. 能背出有理数加、减、乘、除、乘方的法则与符号规则； 5. 能背出运算顺序（乘方→乘除→加减，括号优先）与三条运算律。 理解 1. 理解数轴上的点与有理数的对应关系，能解释“右边的点表示的数较大”； 2. 理解绝对值的几何意义（到原点的距离）与代数定义，能说清 |a| 与 a 的关系； 3. 理解两个负数比较，绝对值大的反而小的原因； 4. 理解减法化加法、除法化乘法的算理（a-b=a+(-b)、a÷b=a×倒数）； 5. 理解乘方符号法则的由来（负因数的个数决定符号）。 应用 1. 会用正负数表示实际中相反意义的量（温度、海拔、盈亏、升降等）； 2. 会用运算律进行简便计算（凑整、分配律逆用等）； 3. 会正确进行含分数、绝对值、乘方的混合运算； 4. 会用绝对值与数轴解决大小比较、求距离等实际问题； 5. 会解绝对值分类讨论、规律探究、新定义运算等拔高题。 考点一 正数与负数 ① 大于 0 的数叫做正数。如 +3、+1.5、等，“＋”号通常省略不写。 ② 在正数前面添上“－”号所得到的数叫做负数，如 －3、－1.5。 ③ 0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。 ④ 用正数和负数可以表示具有相反意义的量，如收入/支出、上升/下降、向东/向西。 ⚠️概念辨析 正数都大于 0，负数都小于 0；0 既大于负数，又小于正数。 0 不只表示“没有”，还可以表示基准、起点、分界（如 0 ℃、海拔 0 m）。 ⚠️记忆口诀 “正数大于零，负数小于零，零是分界两不沾。” ⚠️易混易错 错把 0 当正数（0 既非正也非负）。 误以为带负号的数必为负数（忽略字母符号的不确定性）。 用正负数表示相反意义的量时，未先确定“基准量”而致符号取反。 ⚠️避坑指南 ❌ 判断一个数是正数还是负数，看它是否大于 0，不能只看有没有符号。 ❌ 不带“＋”“－”号的数（0 除外）一定是正数；－a 不一定是负数（当 a 为负数时，－a 是正数）。 考点二 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三者合称数轴的三要素，缺一不可。 数轴是向两方无限延伸的直线，一般取向右为正方向。 任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示（一一对应）。 表示正数的点在原点右侧，表示负数的点在原点左侧。 ⚠️概念辨析 数轴是一条直线，不是线段、也不是射线，两端都能无限延长。 原点不一定要画在正中间，正方向通常向右，单位长度必须均匀。 ⚠️记忆口诀 “数轴一条直线长，原点方向单位长。” ⚠️易混易错 把数轴画成线段或射线。 单位长度画得不均匀，导致点的位置错误。 误认为数轴上的每一个点都表示有理数。 ⚠️避坑指南 ❌ 三要素原点、正方向、单位长度一个都不能少，缺任一要素都不是数轴。 ❌ 单位长度之间的间隔必须处处相等，否则表示的数不对应。 ❌ 原点不一定在图形中央，可根据需要选取。 考点三 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，如 3 与 －3。 数 a 的相反数记作－a；0的相反数是0。 互为相反数的两个数和为 0，即 a＋(－a)＝0。 在数轴上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等（关于原点对称）。 ⚠️概念辨析 求一个数的相反数，只需在这个数前添上“－”号；即“求相反数＝改符号”。 相反数只与符号有关，与数值大小、绝对值大小无关。 ⚠️记忆口诀 “相反数，改符号；和为零，成双对。” ⚠️易混易错 把相反数与倒数混淆（相反数看“和”，倒数看“积”）。 误认为相反数一定是负数（正数的相反数才是负数，负数的相反数是正数）。 计算 －(－3) 时漏去负号得 －3。 ⚠️避坑指南 ❌ 相反数是成对出现的，不能说“某数是相反数”。 ❌ 0 的相反数是它本身，绝对值是 0 的数也只有 0。 ❌ 注意多重符号：－(－3)＝3，即“负负得正”。 考点四 绝对值 在数轴上，表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。 绝对值表示“距离”，所以绝对值一定是非负数，即 |a|≥0 恒成立。 绝对值的代数定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 ⚠️概念辨析 |a| 是非负数，|a|≥0 恒成立；绝对值等于它本身的数是非负数，等于它的相反数的数是负数或 0。 互为相反数的两个数绝对值相等：|a|＝|－a|。 ⚠️记忆口诀 “绝对值，是距离，去掉符号变非负。” ⚠️易混易错 把 |a| 当成 a 本身（当 a＜0 时，|a|＝－a）。 化简如 |－2|＋|－3| 时漏去绝对值符号导致符号错误。 误以为绝对值小的数就小（绝对值只表示距离，不直接决定大小）。 ⚠️避坑指南 ❌ 绝对值符号里若是负数，去掉绝对值符号后要变号（取其相反数）。 ❌ |a| 表示的是距离，去掉符号后一定是“非负数”，不能直接把 |a| 当成 a。 ❌ 求几个数绝对值的和，先分别去掉绝对值再相加，注意符号。 考点五 有理数的大小比较 数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大。 正数大于 0，0 大于负数，所以正数大于负数。 两个正数：绝对值大的数较大。 两个负数：绝对值大的反而小。 可以概括为：正数＞0＞负数；正数之间比绝对值，负数之间反着比。 ⚠️概念辨析 比较两个负数的大小时，不能直接比较负号后面的数，要先看绝对值。 例：－5 与 －3，因 |－5|＞|－3|，所以 －5＜－3。 ⚠️记忆口诀 “负数比大小，绝对值大反而小；数轴看左右，右大左小忘不掉。” ⚠️易混易错 比较两负数时错用“绝对值大的大”。 排序时把 0 的位置放错（0 大于一切负数、小于一切正数）。 ⚠️避坑指南 ❌ 两负数比较，绝对值大的反而小，这是最容易出错的一处。 ❌ 比较多个数时，先在数轴上标出，再“从左到右”即“从小到大”写出。 考点六 有理数的加法 同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。 运算律：交换律 a＋b＝b＋a；结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。 ⚠️概念辨析 有理数加法的关键步骤是：先定符号，再算绝对值。 “符号”由“取相同符号”或“取绝对值较大的加数的符号”决定。 ⚠️记忆口诀 “同号相加取同号，异号取大减小数；相反数相加得零，任何数加零不变。” ⚠️易混易错 异号两数相加时符号确定错误（取错符号或把绝对值相加）。 计算如 (－3)＋(＋2) 时，误以为等于 －5（应为 －1）。 ⚠️避坑指南 ❌ 异号两数相加，应用“较大的绝对值减去较小的绝对值”，而不是直接相加。 ❌ 加法交换律、结合律可把“同号”“能凑整”的数先合并，简化计算。 考点七 有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即： 减法运算统一转化为加法运算。 特别地，减去一个负数等于加上它的相反数（即加正数）：a－(－b)＝a＋b。 ⚠️概念辨析 把减法变加法时，被减数不变，减数变号。 “减负等于加正”：如 3－(－2)＝3＋2＝5。 ⚠️记忆口诀 “减法变加法，减数变相反；被减数别动，符号才不差。” ⚠️易混易错 把被减数也一起变号（如把 3－(－2) 错写成 －3＋2）。 只把“－”变“＋”却忘记把减数变相反数。 ⚠️避坑指南 ❌ 变减为加时，只能改变减数的符号，被减数保持不变。 ❌ 遇到“减一个负数”要转化为“加一个正数”，不要混淆。 考点八 有理数的乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同 0 相乘，都得 0。 运算律：交换律 ab＝ba；结合律 (ab)c＝a(bc)；分配律 a(b＋c)＝ab＋ac。 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为偶数时积为正，为奇数时积为负。 ⚠️概念辨析 确定乘积符号：先看负因数个数（奇负偶正），再把所有因数的绝对值相乘。 分配律既可正用（a(b＋c)），也可逆用（ab＋ac＝a(b＋c)）简化计算。 ⚠️记忆口诀 “同号得正异号负，负因奇个积为负；任何数乘零得零，分配律用不重不漏。” ⚠️易混易错 乘积符号判断错误（负因数个数数错）。 运用分配律时漏乘某一项，如 a(b－c) 只乘 b。 把“异号相乘得负”与“加法异号取大”混淆。 ⚠️避坑指南 ❌ 负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正；与 0 相乘结果为 0。 ❌ 用分配律时不要漏乘括号内的某一项。 考点九 有理数的除法 除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数。即： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何一个不为 0的数，都得 0。 0 不能作除数。 ⚠️概念辨析 乘积为 1 的两个数互为倒数，如 3 与 ；0 没有倒数。 除法运算通过“取倒数”统一转化为乘法运算。 ⚠️记忆口诀 “除法变乘法，除数取倒数；同号正异号负，零除被除数得零。” ⚠️易混易错 把除数当作被除数取倒数（如把 a÷b 错写成 b×a 的倒数形式）。 出现“0 作除数”的式子仍往下算。 求带符号数、分数的倒数时出错。 ⚠️避坑指南 ❌ 除号变乘号的同时，除数要变成它的倒数，被除数不变。 ❌ 0 不能作除数，出现 0 作除数的式子无意义。 ❌ 倒数是针对“数”而言，求一个数的倒数即“分子分母互换”。 考点十 有理数的乘方 求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。中，a 叫做底数，n 叫做指数，读作“a 的 n 次方”或“a 的 n 次幂”。 符号规律：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；正数的任何次幂都是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。 1 的任何次幂都是 1；－1 的奇次幂是 －1，偶次幂是 1。 ⚠️概念辨析 乘方是“连乘”的简记，如 a³＝a·a·a（3 个 a 相乘）。要严格区分：前者底数是 －2，结果为 4；后者底数是 2，结果为 －4。 ⚠️记忆口诀 “负偶次方得正，负奇次方得负；底数是负加括号，莫忘指数是个数。” ⚠️易混易错 混淆 (－2)² 与 －2²：(－2)²＝4，－2²＝－4。 把指数与底数混淆（如把 2³ 当 3²）。 计算 (－1)ⁿ 时符号判断错误。 ⚠️避坑指南 ❌ 底数是负数时，写成幂一定要加括号：(－2)²＝4，而 －2²＝－4。 ❌ 指数是几就表示“几个底数相乘”，指数不参与连乘。 考点十一 有理数的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里面的。 同级运算，按从左到右的顺序依次进行。 括号顺序：先小括号，再中括号，后大括号。 能运用运算律使计算简便时，应灵活运用（凑整、分配律等）。 ⚠️概念辨析 混合运算的优先级可概括为：括号→乘方→乘除→加减；同级从左到右。 “先乘除后加减”是指乘除的优先级高于加减，不是“先算乘法再算除法”。 ⚠️记忆口诀 “括号乘方乘除加减，同级从左到右算；能简便时用运算律，符号数值分步断。” ⚠️易混易错 运算顺序错误（先加减后乘除）。 忽略负号或括号，导致符号与数值同时出错。 能用运算律简化的地方仍硬算，易出错且耗时。 ⚠️避坑指南 ❌ 不要跳步；每一步先确定运算符号，再确定数值。 ❌ 同级运算严格按从左到右，不能随意调整顺序（除非用运算律合理改变）。 ❌ 含括号时先算内层括号，括号外乘除加减顺序不变。 题型一 正负数与相反意义的量 典例1 （25-26六年级上·上海虹口·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：∵盈利元记作元， 盈利记为正，则亏损用负数表示， ∴亏损元记作元， 故选：B． 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是(        )． A．正整数可以分为素数和合数两类； B．正整数可以分为奇数和偶数两类； C．整数可以分为正整数和负整数两类； D．有理数可以分为正有理数和负有理数两类． 【答案】B 【详解】解：∵正整数包括1，而1既不是素数也不是合数，∴A错误； ∵所有正整数要么是奇数，要么是偶数，无例外，∴B正确； ∵整数包括0，而0既不是正整数也不是负整数，∴C错误； ∵有理数包括0，而0既不是正有理数也不是负有理数，∴D错误． 因此，正确答案是B． 故选：B． 2．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）在，，，中，负数的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】，为正数；，为负数；，为正数；，为负数． ∴负数有2个． 故选：C． 3．（25-26六年级上·上海·期中）在，，0.45，0，，中，非负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：，为非负数； ，不为非负数； ，为非负数； ，为非负数； ，不为非负数； ，不为非负数． 故非负数有3个． 故选：B． 题型二 数轴与有理数大小比较 典例2 （25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，，， ，且，， ． 故选：C ． 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）比较大小：___________（填“>”、“<”或“=”符号） 【答案】> 【详解】解：，， ∵， 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）比较大小：______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】 【详解】解：， ，， ，即， ， 即， 故答案为：． 3．（25-26六年级上·上海闵行·期中）用数轴上的点表示下列各数：，，，，并将这些数按照从小到大排列： 【详解】解：如图所示： ． 题型三 相反数与绝对值的化简求值 典例3 （25-26六年级上·上海·期中）计算：___________． 【答案】 【详解】解：． 迁移应用 1．（24-25六年级上·上海·期中）已知、在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【详解】解：由已知图形可知：， ∴， ∴ ， ． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）对于有理数，，若，则的值是______． 【答案】 【详解】解：， ，异号． 当，时，则； 当，时，则； 综上，的值是． 故答案为： 3．已知，，且，求_____． 【答案】 【详解】解：和， ，， 中恰好一个为负，两个为正， 当，，时， 可得：，，，，，， 。 当，，时， 可得：，，，，，， ， 当，，时， 可得：，，，，，， ， 综上，． 故答案为： 0． 题型四 有理数四则与混合运算 典例4 （25-26六年级上·上海虹口·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 2．（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】24 【详解】解： ． 3．（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】15 【详解】解：原式 ． 题型五 运用运算律简便计算 典例5 （25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】2 【详解】解： ． 2．（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】0 【详解】解： ． 题型六 乘方运算与符号判断 典例6 （25-26六年级上·上海松江·期中）下列各组数中，数值不相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：对于A：∵ ， ， ∴和相等． 对于B：∵ ， ， ∴和不相等． 对于C：∵ ， ， ∴和相等． 对于D：∵ ， ， ∴和相等． 故选：B． 迁移应用 1．（24-25六年级上·上海·期中）下列各对数中，互为相反数的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】解:A．∵，， ∴与互为相反数，符合题意； B．∵，， ∴与不是相反数，不符合题意； C．∵，， ∴与不是相反数，不符合题意； D．∵，， ∴与不是相反数，不符合题意． 故选A． 2．（24-25六年级上·上海·期中）下列各数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：A、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； B、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； C、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； D、和，和的数值相等，本选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25六年级上·上海虹口·期中）下列各组式子中，结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：A、，，所以，故此选项不符合题意； B、，，所以，故此选项不符合题意； C、，，所以，故此选项符合题意； D、，，所以，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型七 含绝对值的有理数运算 典例7 （25-26六年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解：，故． 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 3．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身、负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；当时． 如下面一组等式：，． 根据以上阅读内容完成： (1)的结果是__________ (2)计算：． (3)若数轴上表示数的点位于与2之间．求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：7； （2）解：， ； （3）解：由题意得， ∴． 题型八 绝对值分类讨论 典例8 （25-26六年级上·上海奉贤·期中）已知，且，求的值． 【答案】7或1 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 综上可知，的值为7或1． 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则的值为______． 【答案】2或0 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∴． ∵c、d互为倒数， ∴， ∴． ∴． ∴原式． 又∵， ∴或． 当时，，原式； 当时，，原式． 故答案为：2或0． 2．根据绝对值的定义，表示数在数轴上所对应的点与原点的距离．规定：表示数和在数轴上所对应的两点之间的距离．如果，那么的值为________． 【答案】或4 【详解】解：根据绝对值的定义可知：表示为m点到和3的距离和为6， ∴分为两种情况： 当时，即， 解得：； 当时，即， 解得：； 综上，m的值为或4， 故答案为：或4． 3．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离”，请根据上述材料，尝试解决下列问题：的最小值是5，则___________. 【答案】4或 【详解】解：∵的最小值是5，且， ∴要分两种情况： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； 综上，a的值是4或． 故答案为：4或． 题型九 规律探究 典例9 （24-25六年级上·上海青浦·期中）观察下面一列数：，，，……，按此排列规律，第50个数为_____________． 【答案】 【详解】解：∵……， ∴第n个数为， ∴第50个数为． 故答案为：． 迁移应用 1．（24-25六年级上·上海·期中）定义：是不为1的有理数，我们称为的差倒数．如3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则___________． 【答案】2 【详解】，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，， ； ； ； 由此得出：这组数是以，2，为1个顺序循环， ， ， 故答案为：2． 2．（24-25六年级上·上海·期中）观察下面一列数： 探究其规律，得到第2024个数是______． 【答案】 【详解】解：的规律为：奇数个数的符号为负，偶数个的符号为正，并且它们的分子是连续的奇数， 分母的规律为：第1个数， 第2个数， 第3个数， 第4个数， 第5个数， 第6个数， 第7个数，……， 第2024个数的分母为， ∴第2024个数是是； 故答案为：． 3．（25-26六年级上·上海·期中）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第6个等式：_______； (2)第n个等式：_______；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【详解】（1）解：第6个等式为：； （2）解：第n个等式：（n为正整数） 故答案为：（n为正整数）． （3）解： ． 题型十 新定义运算 典例10 （25-26六年级上·上海·期中）为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，．根据这种运算，则______． 【答案】0 【详解】解：； 由于，故； 则； 由于，故． 故答案为：0． 迁移应用 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）现定义两种运算“□”“”，对于任意两个整数，则_____________． 【答案】67 【详解】解：，， ， ． 故答案为：67． 2．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）小海说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．小华看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？请计算____（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． 【答案】 【详解】解：首先计算：由于有一个数为0，结果为另一个数的绝对值，即，∴． 然后计算：由于两数异号，结果为它们的绝对值之和的相反数，即． 故答案为：． 3．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为______． 【答案】0 【详解】∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 题型十一 数轴上的动点与距离 典例11 （25-26六年级上·上海·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，点与原点重合， ∴点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵正方形的边长为，点与原点重合，点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， ∴点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （3）解：由（2）知点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 此时，点在点的正上方，点所表示的数是，即， ∴以点、、三点为顶点的三角形面积为， 故答案为：． 迁移应用 1．（24-25六年级上·上海金山·期中）综合应用： (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M，点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N，且点N表示的数是5，那么a的值是 ； (2)如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点T、点S分别落在数轴上的A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应的数为6（单位：）．利用所学知识可以求出点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁；你若是我现在这么大，我就20岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第（2）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【详解】（1）解：当点M向右移动时，； 当点M向左移动时，， 综上，a的值为：2或8； （2）解：由题意可知：点到24的距离，到B的距离，到6的距离相等， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； (3)如图， 小明与表姐的年龄差为： （岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为16岁，小明的年龄为12岁． 2．（25-26六年级上·上海·期中）阅读下面的材料并解答问题： 在数轴上，点表示数，点表示数，点表示数，且点到点的距离记为线段的长，点在点左侧，点在点左侧，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即，若，是最小的正整数，点到原点的距离是5．则： (1)_____． (2)若将数轴折叠，使得与点重合： ①点与数_____表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是_____． (3)点、、开始在数轴上运动，点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出这个值． 【详解】（1）是最小的正整数， ， 点在点左侧，点到原点的距离是5 ， ， 故答案为：； （2）①，，折叠后点与点重合， 折痕点所表示的数是， 设与点重合的点表示的数为， ， 则，即， 点与数表示的点重合， 故答案为：； ②、两点经折叠后重合， 的中点也是， 数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧）， 设点表示的数为，则点表示的数为， ，即， 点表示的数为， 故答案为：； （3）点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，，，， 运动秒后，点所表示的数是，点所表示的数是，点所表示的数是， ，， ， 的值不随着时间的变化而改变，这个值是2． 3．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 小智在纸面上画出了一条数轴，对其作出了以下探究： (1)探究一：数轴上表示整数的点称为整点 ①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有___________个整点． ②若小智在数轴上放置了一根长为2025个单位长度的木棒，那么这个木棒盖住的整点个数为___________个． (2)探究二：小智在学习绝对值的几何意义时，注意到，其几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离．更一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． ③的几何意义是表示数的点到______________． ④小智在数轴上任取一个点表示有理数，当这个点在数轴上移动时，的最小值为_________；的最小值为_______________； (3)探究三：小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合． ⑤此时，表示3的点与表示_______________的点重合 ⑥若折叠后数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为4040（点在点的左侧），则点所表示的数是多少？ 【详解】（1）解：①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有，共个整点， 故答案为：； ②若一根长为2025个单位长度的木棒起点在整点上，则覆盖个整点；若一根长为2025个单位长度的木棒起点不在整点上，则覆盖个整点， ∴这个木棒盖住的整点个数为或个， 故答案为：或； （2）解：③，则几何意义是表示数的点到表示数和数的点的距离之和； 故答案为：表示数和数的点的距离之和； ④，几何意义是表示数的点到表示数和数的点的距离之和， 当或时，则， 当时，则， ∴的最小值为； ，几何意义是数的点到表示数和数和表示数的点的距离之和， ∴同上由绝对值的几何意义可得，当时，其距离之和最小为， 故答案为：，； （3）解：∵小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合， ∴折痕点对应的数为， ⑤表示3的点到折痕点的距离为， ∴表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； ⑥由题意得，点到折痕点的距离为， ∵点A在点B的左侧， ∴点B所表示的数是． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26六年级上·上海·期中）绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】A 【详解】解：设满足条件的整数为， ∵是整数，且， ∴， ∴绝对值小于3的整数有，共5个． 2．（25-26六年级上·上海松江·期中）如果点和点在数轴的一部分上的位置如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．点表示的数一定是负数： B．点表示的数一定小于点所表示的数； C．点表示的数与点所表示的数的和一定是正数； D．点表示的数的绝对值一定小于点所表示的数的绝对值； 【答案】B 【详解】解：∵不知道原点的位置， ∴点A表示的数不一定是负数，点A表示的数不一定是正数，点A表示的数的绝对值不一定小于点B所表示的数的绝对值， ∵点A在点B左侧， ∴点A表示的数一定小于点B表示的数， ∴四个选项中只有B选项说法正确，符合题意， 故选：B． 3．（25-26六年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．如果是有理数，那么的倒数是 B．若是有理数，则一定是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．一个数的绝对值是它本身，则这个数是正数 【答案】C 【详解】解：A．当时，0没有倒数，故选项A错误； B． 若a为负数，则为正数，故选项B错误； C． 互为相反数的两个数如a和，它们的绝对值均为，故选项C正确； D．绝对值是它本身的数包括正数和零，但零不是正数，故选项D错误． 故选C． 4．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果两个有理数的和为，那么下列说法不正确的是（    ） A．这两个数互为相反数 B．这两个数的绝对值相等 C．这两个数的商是 D．这两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等． 【答案】C 【详解】解：设两个有理数为a和b，且， ∵ ∴，即a与b互为相反数， 对于选项A：，即a与b互为相反数，正确； 对于选项B：，绝对值相等，正确； 对于选项C：当时，； 但当时，，分母为零无意义，商不存在，不正确； 对于选项D：数轴上点到原点的距离即绝对值，则，则距离相等，正确． 故选：C． 5．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果股票价格上涨元，记作元，那么下跌元，应记作____元． 【答案】 【详解】解：股票价格上涨元记作元，那么下跌元应记作元， 故答案为：． 6．（25-26六年级上·上海松江·期中）如果一个数的绝对值等于，那么这个数是______． 【答案】 【详解】解：∵的绝对值是它本身，的绝对值是它的相反数， ∴绝对值等于的数是或． 故答案为：． 7．（25-26六年级上·上海·期中）计算：____________． 【答案】6 【详解】解：． 8．（25-26六年级上·上海金山·期中）的相反数是______，的倒数是______． 【答案】 【详解】解：将带分数化为假分数，得， 根据相反数的定义，的相反数为； 根据倒数的定义，的倒数为． 故答案为：，． 9．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解：原式为，根据有理数运算顺序，先计算指数：，再取负得，最后取绝对值． 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算： ______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 11.（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果与互为相反数，那么_____． 【答案】3 【详解】解：因为 A 与互为相反数， 所以， 故； 故答案为：3． 12．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知，，，把a，，b，用“”按从小到大的顺序排列________． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 13．（25-26六年级上·上海虹口·期中）若，则__________． 【答案】 【详解】∵， ∴，， 解得， 故答案为：． 14．（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 15．（25-26六年级上·上海·期中）六年级（2）班的几位同学正在一起讨论一个关于同一数轴上的不同点所表示数的问题： 甲说：“数轴上的两点表示的数绝对值都是4，且点A在点B的左侧．” 乙说：“点C与D表示的数的差是3，点C表示最小的正整数．” 丙说：“点E表示的数的相反数是它本身．” 如果上述三位同学的表述都正确． (1)请直接写出点所表示的有理数； (2)问这5个数的和比这五个数的绝对值的和大或小多少？ 【详解】（1）解：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是1， 点表示的数是，点表示的数是； （2）解：这5个数的和为：， 这五个数的绝对值的和为：， 则， 这个数的和比这五个数的绝对值的和小． 16．（25-26六年级上·上海·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产量､销量都大幅增加．小海家新购置了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的用正数表示，不足的用负数表示，刚好的记为0． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)小海家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)小海家原汽油车每行驶需用汽油，汽油价格为6.8元/升，而此辆新能源汽车每行驶耗电量为15千瓦时，平均充电费用为每千瓦时1.1元．小海家换成新能源汽车后，这七天的行驶费用比原来节省多少元？ 【详解】（1）解：（千米） 答：小海家的新能源汽车这七天一共行驶了千米； （2）设：汽油车和新能源车行驶七天的费用分别为和， 依据题意可知， （元） （元） 节省的费用为， （元） 答：这七天的行驶费用比原来节省了元． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】解：第1次运算输出的结果为， 第2次运算输出的结果为， 第3次运算输出的结果为， 第4次运算输出的结果为， 第5次运算输出的结果为， 第6次运算输出的结果为， 第7次运算输出的结果为， 第8次运算输出的结果为， 归纳类推得：运算结果以1、8、4、2为周期，每4次循环一次， ，余数为1， 所以第2025次运算输出的结果与第1次输出的结果相同， 即为1， 故选：A． 2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如图，数轴上单位长度代表，点A、点B都在数轴上，A表示的数为，且点B与点A相距，则点B表示的数是_______． 【答案】或2 【详解】解：当点B在点A的左侧时，点B所表示的数为， 当点B在点A的右侧时，点B所表示的数为． 故答案为：或2． 3．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为______. 【答案】3 【详解】解：∵时，，时，， ∴． 故答案为：3． 4．已知：，且，．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则_____ 【答案】15 【详解】解：∵，， ∴，，， a，b，c三个数中有两负一正，当a，b为负，c为正数时， ； 当a，c为负，b为正数时， ； 当b，c为负，a为正数时， ； ， m共有3个不同的值，在这些不同的m值中，最小的值为， ， ∴， 故答案为：15． 5．（25-26六年级上·上海·期中）细胞有一个神奇的功能，它可以通过分裂产生新的细胞．在初始时刻（第0分钟）将1个活细胞放入无菌空瓶．此后每隔2分钟，瓶中的细胞会同步进入分裂期，每个细胞都会“一分为二”，形成两个一模一样的细胞．也就是说1个细胞经过2分钟分裂为2个，再经过2分钟分裂为4个，……．最终，从单个细胞开始分裂直到填满整个瓶子，全程共消耗了30分钟．（假设所有细胞都存活） （1）经过分钟（为正整数），瓶子里的细胞总数为______个（用含的式子表示）． （2）如果现在换一个容量仅为原瓶子一半的新瓶子，那么从1个细胞开始，到充满这个新瓶子所需要的时间，比充满原瓶子少用______分钟． 【答案】 2 【详解】（1）经过分钟，瓶中的细胞数为 每分钟， 分钟需要乘以个 故答案为：． （2）原瓶需要分钟充满， 此时细胞数为， 新瓶容量为原来一半，即个细胞 新瓶装满需要 故比原来少， 故答案为：． 6．（24-25六年级上·上海·期中）“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用“分类讨论”的数学思想解答下面的问题．已知，，且，求的值． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴或；或， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故的值为或． 7．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）（1）用数轴上的点表示下列各数：点A表示的倒数，点B表示的相反数，点C表示；点D表示绝对值最小的数． （2）已知点E与B的距离为线段长的一半，则点E表示的数是　　． 【详解】解：（1）在数轴上表示如图所示： ． （2）∵点A表示倒数，点B表示2， ∴， ∵点E与B的距离为线段AB长的一半， ∴， 若点E在点B的左侧，则点E表示的数为； 若点E在点B的右侧，则点E表示的数为． 故答案为：或． 8．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如图，边长为的等边三角形放在数轴上，点与点重合，点与表示的点重合． (1)将三角形从如图所示位置沿数轴向右滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点所表示的数是______； (2)将三角形从如图所示位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次进行了5次滚动，滚动情况记录如下：，，，，， ①第几次滚动后，点离原点最远，最远距离是多少？请通过计算说明： ②当等边三角形结束滚动时，点表示的数是_____： (3)将三角形从如图所示位置按以下规律沿数轴滚动： 第一次向右滚动一圈，点到达点处； 第二次向左滚动两圈，点到达点处； 第三次向右滚动三圈，点到达点处； 第四次向左滚动四圈，点到达点处； …… 点表示的数是_______（用含的式子表示，是正整数）． 【详解】（1）解：由题意得：， 即点所表示的数是， 故答案为：； （2）①由题意可知，等边三角形滚动1圈的距离为， 第一次向右滚动2圈，此时点所表示的数是，与原点的距离为； 第二次向左滚动1圈，此时点所表示的数是，与原点的距离为； 第三次向右滚动3圈，此时点所表示的数是，与原点的距离为； 第四次向左滚动8圈，此时点所表示的数是，与原点的距离为； 第五次向右滚动3圈，此时点所表示的数是，与原点的距离为； ， 第三次滚动后，点离原点最远，最远距离是； ②由①可知，当等边三角形结束滚动时，点表示的数是， 故答案为：； （3）解：第一次向右滚动一圈，点到达点处，此时表示的数是； 第二次向左滚动两圈，点到达点处，此时表示的数是； 第三次向右滚动三圈，点到达点处，此时表示的数是； 第四次向左滚动四圈，点到达点处，此时表示的数是； 第五次向右滚动五圈，点到达点处，此时表示的数是； 第六次向左滚动六圈，点到达点处，此时表示的数是； …… 观察发现，当为奇数时，点表示的数是；当为偶数时，点表示的数是； 9．（25-26六年级上·上海青浦·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础： 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示的点之间的距离；也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是__________； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)当时，此时整数所有可取的值之和为_____． (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 【详解】（1）解：由题意可知，数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示的点与表示的点之间的距离； （2）解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离是， ∴或； 故答案为：或； （3）解：当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 综上所述，的最小值是；此时满足的条件是； ∴当时，， ∴此时整数所有可取的值之和为； （4）解：同（3）可知，当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当，即时，有最小值，最小值为0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：16；7． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $