专题01 期中复习压轴22类题型归纳（考试范围：第1章 一元二次方程～第3章 圆）（举一反三讲义）数学新教材苏科版九年级上册

专题01 期中复习压轴22类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 一元二次方程~第3章 圆） 【新教材苏科版】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值】 1 【题型2 一元二次方程中的含参问题】 2 【题型3 反比例与几何图形综合计算】 2 【题型4 反比例函数k几何意义综合】 3 【题型5 圆周角求值问题】 5 【题型6 圆内折叠角度长度计算】 6 【题型7 点到圆距离问题】 7 【题型8 直线与圆位置关系含参】 8 【题型9 扇形阴影面积计算】 9 【题型10 正多边形圆内角度计算】 10 【解答压轴】 11 【题型11 一元二次方程实际应用题】 11 【题型12 一元二次方程与几何图形综合】 13 【题型13 一元二次方程中的新定义问题】 15 【题型14 反比例函数几何综合大题】 15 【题型15 反比例函数的应用】 17 【题型16 圆周角综合证明计算题】 20 【题型17 圆内折叠几何综合大题】 22 【题型18 圆动点线段探究题】 23 【题型19 直线与圆相切证明计算】 25 【题型20 圆与几何图形综合求值】 26 【题型21 弧长或面积综合应用】 28 【题型22 圆中动点存在性探究题】 30 【选填压轴】 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值】 【例1】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【变式1-3】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知实数满足，则的值是___________． 【题型2 一元二次方程中的含参问题】 【例2】（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）若关于x的两个不同的方程，有且只有一个公共解，则m的值是______． 【变式2-1】（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 【变式2-3】（25-26九年级下·山东·自主招生）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【题型3 反比例与几何图形综合计算】 【例3】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若．有以下结论：①；②当点的横坐标为3时，四边形是正方形；③当点的纵坐标为9时，点的横坐标为，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式3-2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数的图象上，轴，轴，将四边形的面积分成的两部分，则的面积为________，k的值为_______． 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，反比例函数的图象与直线交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，在平面直角坐标系内存在点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是________． 【题型4 反比例函数k几何意义综合】 【例4】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【变式4-1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，已知是反比例函数图象上的一点，在轴上，在轴上，交轴于轴，若，则__________． 【变式4-3】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 【题型5 圆周角求值问题】 【例5】（2025·四川自贡·三模）是的内接三角形，，的半径为5，若点P是上的一点，在中，，则的长为_________． 【变式5-1】（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【变式5-2】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【变式5-3】（25-26九年级下·浙江丽水·开学考试）如图，是的外接圆，将绕点顺时针旋转至，使点在上，再将沿翻折，点恰好与点重合，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【题型6 圆内折叠角度长度计算】 【例6】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知矩形内接于，，，点是弧上一点，连接，将弧沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径________； （2）连接，若，则________． 【变式6-1】（24-25九年级下·上海普陀·阶段检测）如图，已知的半径为5，点在上，将劣弧沿直线翻折，与弦交于点，那么弦的长为___________． 【变式6-2】（2026·浙江·一模）如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知圆O的半径为5，B是圆上一点，A是圆外一点，，，若将线段沿着过点B的一条弦翻折，使得点A恰好落在圆上，求这条弦长为___________ 【题型7 点到圆距离问题】 【例7】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的半圆交轴于点，点为第二象限内半圆上一动点，轴于E点，点F为和的角平分线交点，则的最小值为______． 【变式7-1】（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式7-2】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式7-3】（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）已知，如图1，是等边三角形，，点、分别为边、上的两个动点（不与端点重合），且，连接、交于点，则________；若连接，如图2所示，则线段的最小值为________． 【题型8 直线与圆位置关系含参】 【例8】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 【变式8-1】（2025·陕西西安·一模）在中，，，．若与相离，则半径为r满足（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·江苏常州·模拟预测）对于及一个矩形给出如下定义：如果上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点、在轴上，且．若矩形的“等距圆” 始终在矩形内部（含边界），则的半径r的取值范围是 __． 【变式8-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，的半径为，、分别为、所在直线上的动点，且，连接若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，则的长为_______． 【题型9 扇形阴影面积计算】 【例9】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【变式9-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，…；按此规律，则的值为________________． 【变式9-2】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2026·重庆江津·三模）如图，在等腰直角中，，，，以为圆心，为直径作半圆，交的中点，以为圆心，为直径作半圆．连接并延长交半圆于点，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【题型10 正多边形圆内角度计算】 【例10】（2026·福建福州·模拟预测）如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 【变式10-1】（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【解答压轴】 【题型11 一元二次方程实际应用题】 【例11】（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【变式11-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【变式11-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 【变式11-3】（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【题型12 一元二次方程与几何图形综合】 【例12】（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【变式12-1】（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在矩形中，cm，cm．点从点出发，沿边以的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以的速度向点运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)当为何值时，的面积为？ (2)是否存在某一时刻，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，当为何值时，？ 【变式12-2】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【变式12-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【题型13 一元二次方程中的新定义问题】 【例13】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）定义：若点满足，则称这个点为“完美点”．例如，，故点是“完美点”． (1)点，，中，不是“完美点”的是________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点是“完美点”，求出的值． 【变式13-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【变式13-2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【变式13-3】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：___________________． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________． (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根． 【题型14 反比例函数几何综合大题】 【例14】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 【变式14-1】（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式14-2】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【变式14-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【题型15 反比例函数的应用】 【例15】（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）【阅读资料】 杆秤是我国古代经典的计量工具，距今已有两千多年历史．《墨经》中最早记载了杠杆平衡的科学原理，为杆秤的发明奠定了理论基础． 材料1：如图1，杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂． 材料2：如图2，移动提纽，秤杆在水平位置平衡． 材料3：如图3，记秤钩的质量为克，秤钩一侧的秤杆（左杆）质量记为克，右杆的质量记为克，秤砣的质量为克，它们对应的力臂长分别为（其中为常数）．我们可以得到．现有秤杆（已经确定提纽位置），秤钩各一个，秤砣若干．请按照以下步骤完成后续问题： (1)【步骤一：确定定盘星】定盘星为杆秤上的0刻度线．已知当克，杆秤不称重物保持平衡时，． ①请直接写出秤砣对应的力臂长关于的函数表达式：_________； ②如果测定定盘星（0刻度线）时，秤砣最大可滑动距离为，那么可选用的秤砣最小质量为_________克． (2)【步骤二：刻度标注】我们选定100克的秤砣来制作刻度，已知克，重物的质量为克， ①请求出关于的函数表达式； ②秤砣和提纽的距离每增加，杆秤上表示质量的刻度数需要增加_________克． (3)【步骤三：换砣称重】用100克的秤砣制作的杆秤称得物体的质量为120克．现在把秤砣换成克，再次称重，测得的物体的质量与真实质量偏差了_________克（用含字母的代数式表示）． 【变式15-1】（2025·浙江金华·模拟预测）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要． (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 【变式15-2】（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【变式15-3】（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【题型16 圆周角综合证明计算题】 【例16】（2026·山东烟台·中考真题）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式16-1】（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式16-2】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式16-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 【题型17 圆内折叠几何综合大题】 【例17】（24-25九年级上·浙江台州·阶段检测）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【变式17-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 【变式17-2】（2025·贵州遵义·一模）如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O． (1)________； (2)若，求的半径r； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【变式17-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图1~图3，是半圆O的直径，且，是半圆O的弦（点M，N可分别与点A，B重合），将半圆O沿直线翻折．     (1)当点N与点B重合，且时，如图1． ①求劣弧的长； ②当半圆O沿直线翻折后，劣弧是否经过圆心O？__________（填“是”或“否”）； (2)当时，如图2，过点O作，垂足为点P，折叠后的劣弧恰好经过的中点Q，连接，求的值； (3)若折叠后的劣弧与直径切于点C，且点C是半径的中点，如图3，求折痕的长； (4)若折叠后的劣弧始终与直径相切，设，直接写出d的取值范围． 【题型18 圆动点线段探究题】 【例18】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【变式18-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知P是上一点，过点P作不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接、，若． (1)如图1，当，，时，求的半径． (2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，，记，用含的代数式表示． 【变式18-2】（2025·河北唐山·一模）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的度数； (3)连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值． 【变式18-3】（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【题型19 直线与圆相切证明计算】 【例19】（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【变式19-1】（2023·广东·中考真题）综合探究 如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．    (1)求证：； (2)以点为圆心，为半径作圆． ①如图2，与相切，求证：； ②如图3，与相切，，求的面积． 【变式19-2】（2026·安徽·中考真题）如图，为的直径，点在上，点，分别在的边，上，，分别与相切于点，． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【变式19-3】（2026·天津河西·二模）已知为的直径，又以为边的平行四边形． (1)如图①，当点在上，边与交于点时，与交于，若，求和的大小； (2)如图②，当边与相切于点，边交于点时，若，的半径为，求的长． 【题型20 圆与几何图形综合求值】 【例20】（2025·湖南衡阳·一模）如图，内接，点A为的中点，D为边上一点，，是的切线，，连接．    (1)求证：； (2)当点A到弦的距离为1时，求的值． 【变式20-1】（2025·广东佛山·一模）如图，经过正方形的顶点，，与相切于点，分别交，于点，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的值． 【变式20-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是的直径，点是的内心，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 【变式20-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点为轴负半轴上一点，交轴于、两点，交轴于、两点，点为劣弧上一个动点，连接，，且，． (1)如图1，求点的坐标和的度数； (2)如图2，若平分交于点，小明认为当点在运动时，线段的长度始终不发生变化，只要连接即可证明请完成小明的证明． (3)如图3，连接，当点在运动时不与、两点重合，求的值． 【题型21 弧长或面积综合应用】 【例21】（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 【变式21-1】（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【变式21-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 【变式21-3】（2026九年级上·广东广州·专题练习）如图，是内接于，是的直径，，． (1)求的长； (2)点为上的一个动点，且位于直线的上方，点从点开始沿着运动至点，连接，延长交于点，连接，． ①当平分时，试探究，和三者之间的数量关系，并证明你的结论； ②与交于点，求点运动过程中，点的运动路径长． 【题型22 圆中动点存在性探究题】 【例22】（25-26九年级下·陕西榆林·期中）【问题初探】 (1)如图1，在中，延长至点，使得，延长至点，使得．若，则的周长为_____； (2)如图2，在中，，过点作于点，作的外接圆，连接，已知，请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由； 【问题解决】 (3)如图3，某生态园区内有一块四边形空地，其中，，米，米．连接，现计划沿修建一条休闲步道，同时在线段上选取两个可移动的智能监测点，保证观测角，且由点为顶点构成的三角形区域的周长尽可能的小，以节约材料成本并缩短布线距离．请你帮助规划师计算周长的最小值．（步道的宽度及监测点的大小均忽略不计） 【变式22-1】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 【变式22-2】（2025·广东江门·模拟预测）综合探究 如图，在扇形中，是上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当点在上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由． (3)求证：是定值． 【变式22-3】（2019·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点. (1)如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长； (2)如图2，已知直线分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以为圆心，为半径画圆. ①当点与点重合时，求证: 直线与相切； ②设与直线相交于两点， 连结. 问:是否存在这样的点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中复习压轴22类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 一元二次方程~第3章 圆） 【新教材苏科版】 题型归纳 【选填压轴】 2 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值】 2 【题型2 一元二次方程中的含参问题】 4 【题型3 反比例与几何图形综合计算】 7 【题型4 反比例函数k几何意义综合】 13 【题型5 圆周角求值问题】 18 【题型6 圆内折叠角度长度计算】 22 【题型7 点到圆距离问题】 28 【题型8 直线与圆位置关系含参】 34 【题型9 扇形阴影面积计算】 40 【题型10 正多边形圆内角度计算】 44 【解答压轴】 48 【题型11 一元二次方程实际应用题】 48 【题型12 一元二次方程与几何图形综合】 53 【题型13 一元二次方程中的新定义问题】 59 【题型14 反比例函数几何综合大题】 64 【题型15 反比例函数的应用】 74 【题型16 圆周角综合证明计算题】 81 【题型17 圆内折叠几何综合大题】 89 【题型18 圆动点线段探究题】 98 【题型19 直线与圆相切证明计算】 108 【题型20 圆与几何图形综合求值】 116 【题型21 弧长或面积综合应用】 125 【题型22 圆中动点存在性探究题】 136 【选填压轴】 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值】 【例1】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 【变式1-1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 2027 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求多项式降次，再结合根与系数的关系代入计算． 【详解】解：∵a是方程的实数根， ∴，即， ∵a，b是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， 对所求式子变形得：， 将代入得： 原式 ． 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 【变式1-3】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知实数满足，则的值是___________． 【答案】 【分析】将第二个方程整理得到和满足同一个一元二次方程，结合得到和是该方程的两个不等实根，利用根与系数的关系代入化简即可得结果． 【详解】解：∵ 代入，得左边， ∴ ， 对两边同时除以， 得， ∵ ，且，即， ∴ 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得，， 拆分所求式子： ． 【题型2 一元二次方程中的含参问题】 【例2】（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）若关于x的两个不同的方程，有且只有一个公共解，则m的值是______． 【答案】 【分析】设两个方程的公共解，代入两个方程联立消元，整理得到关系式，分情况讨论排除不符合条件的结果，即可得到的值． 【详解】解：设两个方程的公共解为，将代入两个方程得： ， 得： 整理得： 因式分解得： 或 当时，两个方程都为，两个方程相同，有两个公共解，不符合题意，舍去； 当时，把代入得： 计算得：，解得 解方程，得，， 解方程，得，， 验证得此时两个方程只有一个公共解，符合题意，因此的值为． 【变式2-1】（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 【变式2-2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 【答案】5 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，用含m的式子表示，求出的值，从而将已知条件转化为关于m的方程，求出m的值，再根据根的判别式求出m的取值范围，确定最终结果即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系，得，， 由根的判别式，可知， 解得或， ∴， 解得或， ∵， ∴不符合题意， ∴ ． 【变式2-3】（25-26九年级下·山东·自主招生）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【答案】59 【分析】根据根的判别式并结合，可求出，设方程的两个整数根为，根据根与系数的关系得，则，不妨设，利用、为正整数，可得出或，或，，从而得到对应的的值，即可求解． 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 【题型3 反比例与几何图形综合计算】 【例3】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，先理解反比例函数k的几何意义，再分析四边形的面积构成，利用线段比例建立m与n的关系，最后代入面积条件求解m和n即可求得． 【详解】解：由题意知，，， ∵轴，轴，点A在的图象上，点E在的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若．有以下结论：①；②当点的横坐标为3时，四边形是正方形；③当点的纵坐标为9时，点的横坐标为，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、反比例函数的性质以及正方形的判定，结合已知条件求出的值，再根据正方形的判定条件判断，最后根据点的坐标求出的横坐标，对三项依次判断正误即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：设，， ，在上， ， ∵平行于轴， ∴， 如图，连接，交于点， ， ∵四边形为菱形， ∴，点 ∵平行于轴， ∴轴， ∴， ∵坐标原点为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由菱形的性质并结合图形可得，点、点关于线段对称，点、点关于线段对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴反比例函数的解析式为， 当点的横坐标为3时， 为的中点， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形，故②正确； 当点的纵坐标为9时，点的横坐标为， ∵， ∴点的横坐标为，故③错误； 故选：A． 【变式3-2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数的图象上，轴，轴，将四边形的面积分成的两部分，则的面积为________，k的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，三角形的面积，首先根据题意设出，，则，，，然后表示出，，然后利用将四边形的面积分成的两部分列方程求出，延长，交于点E，根据代入可求出k的值． 【详解】解：∵经过原点O的直线与反比例函数的图像交于A，B两点， ∴设，， ∵点C，D在反比例函数的图像上，轴，轴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∵将四边形的面积分成的两部分， ∴，即， ∴解得， 如图所示，延长，交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴解得， 经检验，时原方程的解， 故答案为：，． 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，反比例函数的图象与直线交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，在平面直角坐标系内存在点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是________． 【答案】或或 【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，先将点的坐标代入反比例函数求得的值，然后将代入反比例函数解析式求得相应的的值，即得点的坐标；然后结合图象分类讨论以、、、为顶点的平行四边形，如图所示，找出满足题意的的坐标即可． 【详解】把点代入得：， 故该反比例函数解析式为：． 点，轴， 把代入反比例函数，得 ． 则． ①如图，当四边形为平行四边形时，且． 、、， 点的横坐标为2，，故． 所以． ②如图，当四边形为平行四边形时，且． 、、， 点的横坐标为2，，故． 所以． ③如图，当四边形为平行四边形时，且． 、、， 即，故． 即，故． 所以． 综上所述，符合条件的点的坐标是：或或． 【题型4 反比例函数k几何意义综合】 【例4】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【答案】 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 【变式4-1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是等腰直角三角形，证明，设，则，点D在反比例函数图象上，则，根据，，即可求出的值． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∵、在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得 【变式4-2】（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，已知是反比例函数图象上的一点，在轴上，在轴上，交轴于轴，若，则__________． 【答案】 【分析】连接，根据几何图形面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵反比例函数图象在第一象限，即， ∴． 【变式4-3】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，求得点，，，求得，，，，根据，代入数据计算，即可得出正确答案． 【详解】解：∵点在的图象上， ∴， ∴点， ∵轴，轴，C，D两点在的图象上， ∴四边形是矩形， ∴点，， ∴，，，， ， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【题型5 圆周角求值问题】 【例5】（2025·四川自贡·三模）是的内接三角形，，的半径为5，若点P是上的一点，在中，，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接、、，设交于点，根据圆周角定理求出，判定为等边三角形得出，利用线段垂直平分线判定定理得出，结合勾股定理求解． 【详解】解：连接、、，设交于点， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ，垂直平分， ，， ， 在中，， ∴． 【变式5-1】（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】过点O作于点D，延长OD交 于点E，根据等腰三角形的性质得到，证明．得到．由勾股定理得到．设，则．由勾股定理得到，即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点D，延长OD交 于点E， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得． ∴． 【变式5-2】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过O作于F，连接，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式5-3】（25-26九年级下·浙江丽水·开学考试）如图，是的外接圆，将绕点顺时针旋转至，使点在上，再将沿翻折，点恰好与点重合，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，连接，根据圆周角定理得出，再由翻折的性质确定，，，得出，，确定，再由等腰三角形的性质及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 经过圆心， ， 由翻折得，，，， ， ∵， ∴， ， ， 是的外角， ， ， 由旋转的性质得，． 【题型6 圆内折叠角度长度计算】 【例6】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知矩形内接于，，，点是弧上一点，连接，将弧沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径________； （2）连接，若，则________． 【答案】 / 【分析】（1）利用矩形内接于圆的性质，矩形的对角线为圆的直径，结合勾股定理求出对角线长度，进而得到半径． （2）先由折叠性质推出，再证明弧的对称性得到，结合圆心角与圆周角的关系得出，最后在等腰直角三角形中用勾股定理求出，从而得到 【详解】解：（1）连接， ∵矩形内接于，，， ∴，，， ∴对角线为的直径， ∵，， ∴， ∴半径， （2）连接、、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弧沿折叠交于， ∴和关于直线对称，点的对称点为， ∴， ∵， ∴， ∵是圆周角， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴． 【变式6-1】（24-25九年级下·上海普陀·阶段检测）如图，已知的半径为5，点在上，将劣弧沿直线翻折，与弦交于点，那么弦的长为___________． 【答案】 【分析】连接，连接并延长交于点E，连接，过点作于点F，先确定，由勾股定理得，可得，然后根据圆周角定理得到，继而得到点D、E为翻折前后的对应点，然后证明，再由等腰三角形的性质，结合解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接，连接并延长交于点E，连接，过点作于点F， ∵为直径， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴点E为点D关于的对称点， ∴由翻折得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，难度较大，方法不唯一，解题的关键在于辅助线的添加，合理利用圆的有关性质． 【变式6-2】（2026·浙江·一模）如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、、，由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为得，进而得，结合等腰三角形性质及三角形外角性质可得，由是 的直径得，可得，代入可得，解方程求得的值即可判断其所在范围． 【详解】解：如图，连接、、， 由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是 的直径， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴所在的范围是． 【变式6-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知圆O的半径为5，B是圆上一点，A是圆外一点，，，若将线段沿着过点B的一条弦翻折，使得点A恰好落在圆上，求这条弦长为___________ 【答案】或 【分析】以点B为圆心，长为半径画圆，交于点，，此时，即为翻折后的线段，分情况讨论：当时和当时，分别作，的角平分线，交上一点为，，利用圆的性质，勾股定理，等腰三角形的性质及解直角三角形等性质作出对应的辅助线，通过计算得出对应的线段长度即可． 【详解】解：如图，以点B为圆心，长为半径画圆，交于点，， 此时，即为翻折后的线段， ①当时， 作的角平分线，交上一点为，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 过点B作交于点N， ∵， 在中，， 由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴弦的长度为； ②当时， 作的角平分线，交上一点为，连接，， 同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点M， ∵， ∴，则， 在中，， 由勾股定理得，， ∴， 在中，， ∴弦的长度为， 综上所述，这条弦长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆的性质，翻折的性质，角平分线定理，等腰三角形的性质，勾股定理及解含的直角三角形等知识点． 【题型7 点到圆距离问题】 【例7】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的半圆交轴于点，点为第二象限内半圆上一动点，轴于E点，点F为和的角平分线交点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由题意可得，半径为．根据内心性质得出．设轴负半轴与半圆交点为，通过证明得出，从而确定点的轨迹是以为弦的一段圆弧．求出该圆弧所在圆的圆心和半径，当三点共线时取得最小值． 【详解】点的坐标为， 半圆半径． 半圆交轴于点， ． 设轴负半轴与半圆交点为， 则，． 轴， ． 点为和的角平分线交点， 点为的内心． ． 点在的平分线上， ． 在和中， ． ． 点在以为弦，含圆周角的圆弧上．设该圆弧所在圆的圆心为，半径为． 圆周角为，且点在轴上方， 圆心在轴下方，且． ，为等腰直角三角形， 点的横坐标为，纵坐标为， 即．． 连接， 当三点共线时，取得最小值．． 的最小值为． 故答案为：． 【变式7-1】（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 【变式7-2】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连接，根据得出点在以为直径的上，进而勾股定理求得，当点在线段上时，最小，即可求解． 【详解】解：如解图①，连接， ，，， ， 为直径， ， ， 点在以为直径的上， 的半径为， 连接，， ， 在中， ，， ， 如解图②，当点在线段上时，最小， ，即线段长度的最小值为． 故选D． 【变式7-3】（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）已知，如图1，是等边三角形，，点、分别为边、上的两个动点（不与端点重合），且，连接、交于点，则________；若连接，如图2所示，则线段的最小值为________． 【答案】 120 【分析】可证明得到，则可证明，再根据即可求；点F的运动路径是以点O为圆心的，且，连接、、、，证明得到，，进而可得，在中，，由勾股定理求出，进而可求、，根据，可得当O、F、C三点共线时，线段的长最小． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； 如答图所示，点F的运动路径是以点O为圆心的，且， 连接、、、． ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，， 由勾股定理，得， 即， 解得或（舍）， 此时，， ∵点F在上运动，总有，即， ∴当O、F、C三点共线时，线段的长最小，最小值为． 【题型8 直线与圆位置关系含参】 【例8】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的内切圆与内心、勾股定理、直角三角形内切圆半径的计算等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由勾股定理求出是解决问题的关键． 作于D，于E，于F，根据题意得出四边形是正方形，得出，由勾股定理得出，由内心的性质得出，，，由勾股定理求出，，由直线与圆的位置关系，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于D，于E，于F，连接，， 则， 四边形是长方形， 是的内心， ， 四边形是正方形， ． ，，， ， 设， 则， ， ， ，， ，， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段有两个公共点， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段没有公共点， 综上可知，的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式8-1】（2025·陕西西安·一模）在中，，，．若与相离，则半径为r满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理和含30度直角三角形的性质， 根据含30度直角三角形的性质和勾股定理得到和的长度，再根据与相离可知半径小于点C到的距离，即可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， ∵ ∴，解得：， ∴ 设点C到的距离为h，则， ∴， ∴， ∵若与相离， ∴ 故选：C． 【变式8-2】（2025·江苏常州·模拟预测）对于及一个矩形给出如下定义：如果上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点、在轴上，且．若矩形的“等距圆” 始终在矩形内部（含边界），则的半径r的取值范围是 __． 【答案】 【分析】先确定最大圆的位置，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：矩形的顶点的坐标为，顶点、在轴上，且． 它的中心点坐标为，如图， 经过点且在矩形内部（含边界）的最大圆为过点且和，相切的圆， 设切点分别为，，如图， 连接，，，过点作轴于点，设的半径为， 则，，， 在中， ， ， 解得，， 由题意，，而， 应舍去， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是确定出最大圆的位置，利用勾股定理解答． 【变式8-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，的半径为，、分别为、所在直线上的动点，且，连接若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，则的长为_______． 【答案】或 【分析】本题考查旋转的性质，直线与圆的位置关系，矩形的性质，含直角三角形的性质，三角形的面积计算；若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，等价于将绕点顺时针旋转，得到时，线段上存在唯一的点，恰好落在上，连接、、，过作，、，则四边形为矩形，当时，点M是线段上唯一在上的点，设，则，分类讨论：①当，即时，利用建立方程求解；②当，即时，利用求解. 【详解】解：由旋转的性质可得： ∵若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上， ∴将绕点顺时针旋转，得到时，线段上存在唯一的点，恰好落在上，如图1所示， ∵点、点分别为、所在直线上的动点，由图可知当点在点C右侧或点在点C下方时，线段与没有交点， ∴点、点分别为射线、射线上的动点， 连接、、，过作，、，则四边形为矩形， ∵的半径与的半径相同为， ∴当时，点M是线段上唯一在上的点， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， 设，则， ①当，即时，则，，如图1所示： 此时， ， ， ， ， ∵由图1可知：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ②当，即时，则，，如图2所示： 此时， ， ， ， ， ∵由图2可知：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴. 综上：或时线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上. 故答案为：或. 【题型9 扇形阴影面积计算】 【例9】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 【变式9-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，…；按此规律，则的值为________________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，得到、、、、都是等腰直角三角形，分别求出 ，，，利用扇形面积求出，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点 ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…， ∴ ，，，，； ∴， ∴. 【变式9-2】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设弧和弧的交点为E,连接作.先求出，再求出，即可得到.再根据 即可得到空白的面积.再根据即可得到得到阴影的面积，再用即可得到空白的面积，最后用即可得到图中空白两部分的面积之差. 【详解】设弧和弧的交点为E,连接则是等边三角形 作，则           故选：D 【点睛】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键 【变式9-3】（2026·重庆江津·三模）如图，在等腰直角中，，，，以为圆心，为直径作半圆，交的中点，以为圆心，为直径作半圆．连接并延长交半圆于点，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得：，，因为点是的中点，点是的中点，可得：，，根据三角形中位线定理可以求出，，根据扇形的面积公式和梯形的面积公式可以求出，，再根据求出结果． 【详解】解：，，， ，， 点是的中点，点是的中点， ，， 是的中位线， ， ，， ， ， ， . 【题型10 正多边形圆内角度计算】 【例10】（2026·福建福州·模拟预测）如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 【答案】 【分析】作正七边形的外接圆，证明得出，再证明，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，作正七边形的外接圆， ∵正七边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式10-1】（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解题的关键是熟练掌握圆的基本知识．连接，，求出，再利用圆周角定理求解即可． 【点睛】 解：如图，连接，． ∵点M，N，F分别是边，，与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中， ∴， ∴． 【变式10-2】（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式10-3】（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，连接，连接，交于点G，证明直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形，延长交小圆于点P，连接，易证，得到，此时，；延长交小圆于点P，同理可得． 【详解】解：根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动， 连接，连接，交于点G， ∵O为边长为2的正六边形的中心， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形， ∴，，， ∴，， 延长交小圆于点P，连接，则， 在和中， ∴ ∴，即， 此时，； 延长交小圆于点P，连接，同理可得， 此时，； 故选：B． 【解答压轴】 【题型11 一元二次方程实际应用题】 【例11】（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 【变式11-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，甲组实际工作天数为天，乙组实际工作天数为天，甲提高效率后的天数为天，乙在甲组提高效率后，继续工作的天数为：天，甲组提高效率后的日产量为盒，根据总任务量等于前2天完成量加上甲组提高效率后完成量和乙组后续完成量，建立方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 【变式11-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为，可列方程，解方程即可求出平均增长率； 设储藏个星期后，出售这批苹果可获利元，根据利润总售价总成本，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：果园年至年苹果年产量的年平均增长率为； （2）解：设储藏星期后出售这批苹果可获利元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：储藏个星期后出售这批苹果可获利元． 【变式11-3】（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 【题型12 一元二次方程与几何图形综合】 【例12】（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 【变式12-1】（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在矩形中，cm，cm．点从点出发，沿边以的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以的速度向点运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)当为何值时，的面积为？ (2)是否存在某一时刻，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，当为何值时，？ 【答案】(1)当或时，面积为 (2)存在，时，是等腰直角三角形 (3)当时，． 【分析】(1)利用直角三角形面积公式，把代入得到关于的一元二次方程，解方程，筛选落在取值范围内的，即可解答； (2)直角在点，等腰直角三角形则两条直角边相等，列等式求，判断结果是否在运动时间区间，即可解答； (3) 在中，用勾股定理，建立含方程，求根后舍去负根，验证剩余根是否符合时间范围，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 点到达终点时间：，点到达终点时间：， 运动时间取值范围：． 四边形是矩形， ， 当的面积为时，， ， 整理得：， ，均符合题意． 当或时，面积为． （2）解：存在，使是等腰直角三角形，理由如下： ，为等腰直角三角形， ， ， 解得， ，符合取值范围． 存在，时，是等腰直角三角形． （3）解：，由勾股定理得： ， ， 解得，（舍去）， ，符合题意． 当时，． 【变式12-2】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【答案】 【分析】过点作于点，标记与交于点，由题意求得，，进而可得到，分析可得，，从而求得，根据与矩形重叠部分的面积为，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，标记与交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∵， ∴点刚好在矩形的上边所在直线上， ∴， 当时，点进入矩形左侧， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与矩形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， ∵， ∴． 【变式12-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 【题型13 一元二次方程中的新定义问题】 【例13】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）定义：若点满足，则称这个点为“完美点”．例如，，故点是“完美点”． (1)点，，中，不是“完美点”的是________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点是“完美点”，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)2026或2028 【分析】（1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）根据点是“完美点”，得出，即，当时，当时，分别求解即可； （3）根据点是“完美点”，得出，即，分当时，当时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，故点是“完美点”； ∵，故点是“完美点”； ∵，故点不是“完美点”； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴， 当时，则，解得或（舍去）， 当时，则，解得或（舍去）， ∴． （3）解：∵点是“完美点”， ∴，即， ∴， 当时，恒成立，则； 当时，，则， ∴， ∴ ． 综上，原式的值为2026或2028． 【变式13-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 【变式13-2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 【变式13-3】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：___________________． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________． (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2)，互为倒数 (3)或 【分析】（1）根据定义解答即可． （2）解方程，根据根与系数关系定理解答即可． （3）根据结论，结合方程解的定义解答即可． 本题考查了新定义，根与系数关系定理，方程解的定义，熟练掌握新定义，根与系数关系定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． （2）解：已知一元二次方程的两根为， 解方程得， 故答案为：； 由方程的两根；，“友好方程”的两根， 则，， 故． 故方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数． 故答案为：互为倒数． （3）解：关于x的方程的两根是． 故方程的两根是， 故方程的两根是， 又， 故， 故是方程的根． 故或， 解得或， 故关于x的方程的两根为或． 【题型14 反比例函数几何综合大题】 【例14】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)不存在，理由如下： 设，即， ∵点E是线段上一动点，点F是线段上一动点， ∴， 在中，， ∴， ∴的周长，的面积， ∵直线将的周长和面积同时平分， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，此时，不符合题意， ∴不存在这样的直线． 【分析】（1）过点D作轴于点G，则，证明，可得，即可得到点D的坐标，即可求解； （2）过点C作轴于点F，交双曲线于点P，则，证明，可得，从而得到点C、P的坐标，即可求解； （3）设，即，其中， 根据直线将的周长和面积同时平分，可得，，从而得到，可求出m，n的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作轴于点G，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点代入中得：， 即， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图，过点C作轴于点H，交双曲线于点P，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点P的纵坐标为7， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为， ∴， 即将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； （3）略 【变式14-1】（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出．证明．根据与关于直线对称即可得到结论； （2）求出，利用待定系数法即可求出答案； （3）求点P的纵坐标为，即点P的纵坐标为或．由点P在函数的图象上即可求出点P的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． 【变式14-2】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出点B的坐标，可求出反比例函数的解析式，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （2）设，根据四边形是矩形，可得，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴点B的坐标为， 把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的纵坐标是4， ∴，解得：， ∴点A的坐标为， 把点，代入，得： ，解得：， 即一次函数的解析式为； （2）解：存在， 对于，当时， ∴， ∴， ∵直线轴， ∴可设， ∵四边形是矩形， 如图，此时， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式14-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答； （2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标； （3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 由题意得，，， ，， ，， 四边形是矩形， ， 点的坐标为； 将代入，得． （2）解：存在， 点是的中点，， ， ， 反比例函数的解析式为， 设，， 以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形， 下面分3种情况讨论： ①当与互相平分，则 解得， ； ②当与互相平分，则 解得， ； ③当与互相平分，则 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． （3）已知，，设直线解析式为， 将两点代入得： 把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为． 当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程： 两边同乘整理得：， 只有一个交点， 一元二次方程判别式， ， 解得． 当反比例函数图象经过点时，， 此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点． 当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意； 当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点； 当时，双曲线与四边形无交点． 反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，． 【题型15 反比例函数的应用】 【例15】（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）【阅读资料】 杆秤是我国古代经典的计量工具，距今已有两千多年历史．《墨经》中最早记载了杠杆平衡的科学原理，为杆秤的发明奠定了理论基础． 材料1：如图1，杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂． 材料2：如图2，移动提纽，秤杆在水平位置平衡． 材料3：如图3，记秤钩的质量为克，秤钩一侧的秤杆（左杆）质量记为克，右杆的质量记为克，秤砣的质量为克，它们对应的力臂长分别为（其中为常数）．我们可以得到．现有秤杆（已经确定提纽位置），秤钩各一个，秤砣若干．请按照以下步骤完成后续问题： (1)【步骤一：确定定盘星】定盘星为杆秤上的0刻度线．已知当克，杆秤不称重物保持平衡时，． ①请直接写出秤砣对应的力臂长关于的函数表达式：_________； ②如果测定定盘星（0刻度线）时，秤砣最大可滑动距离为，那么可选用的秤砣最小质量为_________克． (2)【步骤二：刻度标注】我们选定100克的秤砣来制作刻度，已知克，重物的质量为克， ①请求出关于的函数表达式； ②秤砣和提纽的距离每增加，杆秤上表示质量的刻度数需要增加_________克． (3)【步骤三：换砣称重】用100克的秤砣制作的杆秤称得物体的质量为120克．现在把秤砣换成克，再次称重，测得的物体的质量与真实质量偏差了_________克（用含字母的代数式表示）． 【答案】(1)①；②12.5 (2)①；②40 (3) 【分析】（1）①由平衡式得为定值，设，得，把数值代入可求得K的值，即可求得表达式； ②由题意得，即可求得最小的质量； （2）①根据杠杆平衡原理得，即，代入，克的值，即可求解； ②由变形得，根据y的系数即可解答； （3）先求出物体A真实质量为120克，用100克秤砣时y的值，换用t克秤砣时，该y值对应的测量质量，偏差则为真实质量与测量值的差． 【详解】（1）解：①由平衡式知，不称重物时左侧为定值， 记常数 ，则 ； ∵克时，， ∴ ， ∴； ②秤砣最大滑动距离为，即，代入， 解得， ∴最小质量为12.5克； （2）解：①称重物时，新增重物质量克， 根据杠杆平衡原理，总平衡式为：​， 整理得， 把，克代入得： ， 化简得； ②由变形得， 则是的一次函数，一次项系数为40，即每增加，对应增加40克； （3）解： 对于， 物体A真实质量为120克（克），用100克秤砣时，代入，得； 换用t克秤砣时，该y值对应的测量质量满足，代入，得； 偏差为真实质量减测量值：． 【变式15-1】（2025·浙江金华·模拟预测）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要． (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 【答案】(1)生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要 (2)①，； ②小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗，计算说明如下： 在中，当时，，解得， 当时，，解得， ∴小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗． 【分析】（1）根据生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要建立方程组求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②在中，分别求出和时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要． 根据题意得， 解得， 答：生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要； （2）解：①设当时，，当时，， 由题意得，， 解得， ∴，． ②略 【变式15-2】（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图像求出与的函数关系式，以及利用反比例函数的性质求解电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图像经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 【变式15-3】（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究 ，检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 【题型16 圆周角综合证明计算题】 【例16】（2026·山东烟台·中考真题）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； (2)， 证明：如图，连接，过点作于点， ∴ 由（1）可得 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，根据得出，等量代换可得，即可得出； （2）连接，过点作于点，证明得出，进而证明，得出，根据线段的和差关系，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式16-1】（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 【变式16-2】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 【变式16-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是的直径； (2)证明： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即平分； (3) 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，，，结合已知进而证明，从而得出是的直径； （2）根据，结合已知得出，根据等边对等角可得，进而可得平分； （3）延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，证明，得出，，设，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ， ∵ ∴ 由（2）知， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ， 又∵已知 ， ∴ ∴， 设 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∵ ∴ 解得： ∴且， ∴ ∴ ∴ 【题型17 圆内折叠几何综合大题】 【例17】（24-25九年级上·浙江台州·阶段检测）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）将还原后点的对应点为，连接、，则，，求出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，证出，由等腰三角形的性质得出，，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； 【详解】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示： 则，， ， ； （2）（2）由（1）得， ，， ， 点是翻折所得的中点， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由三角形内角和定理得：， 解得， 即． 【变式17-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆的综合应用、折叠的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图1：过点O作于E，由垂径定理可得到的长，由折叠的性质可得，根据勾股定理计算即可求得半径r，然后运用三角函数求得，再运用弧长公式求解即可； （2）如图2：连接，根据翻折的性质弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，在根据角的和差求解即可； （3）如图3：过C作于G，连接、，可求得半径的长度，根据计算得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则， ∵翻折后点D与圆心O重合， ∴， 在中，，即，解得； ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的长为． （2）解：如图2，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3：过C作于G，连接、， ∵， ∴的半径为， 由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中，， 在中，． 【变式17-2】（2025·贵州遵义·一模）如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O． (1)________； (2)若，求的半径r； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据圆心角，弧，平角的定义解答即可； （2）过O作于H，根据直角三角形的性质，勾股定理解答即可； （3）利用分割法求面积，得阴影面积扇形的面积减去弓形面积． 本题考查了圆的性质，扇形的面积，弓形面积，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：120． （2）解：中，，， ∴， 过O作于H， 则，， 在中，，即， 解得， ． （3）解：半圆的面积， 扇形的面积， 的面积． 弦与弧围成的弓形面积， 弦与弧围成的弓形面积， 弓形面积弓形面积， ∴阴影面积扇形的面积减去弓形面积． 【变式17-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图1~图3，是半圆O的直径，且，是半圆O的弦（点M，N可分别与点A，B重合），将半圆O沿直线翻折．     (1)当点N与点B重合，且时，如图1． ①求劣弧的长； ②当半圆O沿直线翻折后，劣弧是否经过圆心O？__________（填“是”或“否”）； (2)当时，如图2，过点O作，垂足为点P，折叠后的劣弧恰好经过的中点Q，连接，求的值； (3)若折叠后的劣弧与直径切于点C，且点C是半径的中点，如图3，求折痕的长； (4)若折叠后的劣弧始终与直径相切，设，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)①；②是 (2) (3) (4) 【分析】（1）①连接，根据，，得到，，根据弧长公式求劣弧的长即可； ②设点O的对称点为W，如图，与得交点为R，则， 由，故，根据折叠的等距性质，得，解答即可； （2）设与圆的交点为T，根据折叠的性质，得，结合折叠后的劣弧恰好经过的中点Q，得到，故，利用勾股定理，正切函数的定义解答即可； （3）设折叠圆弧所在的圆的圆心为，连接，设与的交点为H，根据折叠的性质，得，，，利用勾股定理，垂径定理解答即可． （4）分类解答即可． 【详解】（1）①解：连接， ∵，， ∴，， ∴劣弧， 故答案为：； ②解：当半圆O沿直线翻折后，设点O的对称点为W，如图，与的交点为R，则， 由， 故， 根据折叠的等距性质，得， 故，等于圆的半径， 故点W一定圆上， 故劣弧是经过点W的， 故答案为：是． （2）解：设与圆的交点为T， ∵，， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵折叠后的劣弧恰好经过的中点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为， 连接，设与的交点为H， 根据折叠的性质，得，， ， ∵点C是半径的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为， 根据题意，当点N 与点B重合，点M是的中点时，切点为B，此时取得最小值， 根据折叠的性质，，， ∴四边形是正方形， ∴； 当， 且恰好经过的中点K时，取得最大值， 根据折叠性质，垂径定理，得 ∴， ∴， ∴， 故． 【点睛】本题考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，弧长公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键． 【题型18 圆动点线段探究题】 【例18】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)证明：， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (3)存在，的长为3或 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得，进而证明，即可求得； （2）根据直角三角形两锐角互余得，由，证明，进而得，结合，即可证明； （3）分两种情况：①当时，证明，在中，设，得，即可求得；②当时，同法可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形 ①如图1，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， ， 即； ②如图2，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ，． 综上所述，存在点，使是以为腰的等腰三角形，的长为3或． 【变式18-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知P是上一点，过点P作不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接、，若． (1)如图1，当，，时，求的半径． (2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，，记，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由已知得到，根据圆周角定理证得是的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径； （2）连接，由圆周角定理可得弧弧，从而由垂径定理的推论得到，根据平行线的性质可证，然后根据三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：连接，    ∵， ∴， ∴为的直径， 在中，，， ∴， ∴的半径为； （2）解：连接，    ∵， ∴弧弧． 又∵为半径， ∴． ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∴在中，， 即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 【变式18-2】（2025·河北唐山·一模）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的度数； (3)连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）结合直径所对的圆周角是90度，得，利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，，可得结论． （3）如图中，连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，的值，根据，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中， 是直径， ， ，， ， ∴ 的半径为． （2）解：如图中，连接，． ，， ， ， ∵ ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：如图中，连接，．    ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，，可知 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹． 【变式18-3】（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3 (2) 解：，证明如下： 如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即； (3)或． 【分析】本题考查了圆周角，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，理解阿基米德折弦定理是解题关键． （1）根据阿基米德折弦定理求解即可； （2）在上取，连接、、、，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可得出结论； （3）先利用圆周角和勾股定理，求得，再分两种情况讨论：当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ， ， ， ； （2）略 （3）解：是的直径， ， 的半径为10， ， ， 由勾股定理得：， ， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，， ， ，即点是的中点， 由（2）可知，， ， 在中，， 综上可知，长为或． 【题型19 直线与圆相切证明计算】 【例19】（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明 ，推出，即可证明与相切； （2）由 可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式19-1】（2023·广东·中考真题）综合探究 如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．    (1)求证：； (2)以点为圆心，为半径作圆． ①如图2，与相切，求证：； ②如图3，与相切，，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵点关于的对称点为， ∴点E是的中点，， 又∵四边形是矩形， ∴O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴， ∴ (2) ①证明：过点O作于点F，延长交于点G，则，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，． ∵，，， ∴， ∴． ∵与相切，为半径，， ∴， ∴ 又∵即，， ∴是的角平分线，即， 设，则， 又∵ ∴ ∴ 又∵，即是直角三角形， ∴，即 解得：， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴； ② 【分析】（1）由点关于的对称点为可知点E是的中点，，从而得到是的中位线，继而得到，从而证明； （2）①过点O作于点F，延长交于点G，先证明得到，由与相切，得到，继而得到，从而证明是的角平分线，即，，求得，利用直角三角形两锐角互余得到，从而得到，即，最后利用含度角的直角三角形的性质得出； ②先证明四边形是正方形，得到，再利用是的中位线得到，从而得到，，再利用平行线的性质得到，从而证明是等腰直角三角形，，设，求得，在中，即，解得，从而得到的面积为． 【详解】（1）略； （2）①略； ②过点O作于点H，    ∵与相切， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵是的中位线， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 又∵， ∴ 又∵， ∴是等腰直角三角形，， 设，则 ∴ 在中，， 即 ∴ ∴的面积为： 【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键． 【变式19-2】（2026·安徽·中考真题）如图，为的直径，点在上，点，分别在的边，上，，分别与相切于点，． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为的直径， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，分别与相切于点，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； (2) 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据平行四边形的性质得到，再由圆的切线的性质证明即可； （2）过点作于点，由垂径定理得，然后求出， 再证明四边形是矩形，则，，再由勾股定理求解，最后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，则， ∵经过圆心， ∴， ∵在中，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵，四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式19-3】（2026·天津河西·二模）已知为的直径，又以为边的平行四边形． (1)如图①，当点在上，边与交于点时，与交于，若，求和的大小； (2)如图②，当边与相切于点，边交于点时，若，的半径为，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意易得，根据平行四边形的性质可知，，然后根据角的和差关系可进行求解； （2）连接，，过点作于点，由题意易得，则有，然后可得，设，在中，，则有，进而求解即可． 【详解】（1）解：是直径， ． ， 在中，， 平行四边形， ，， ， 又， ， ． （2）解：连接，，过点作于点，如图所示： 与相切于， ，即． ， ， ． 又， 在中，． ， ， 设，在中，， 在中，， ． 解得， ． 【题型20 圆与几何图形综合求值】 【例20】（2025·湖南衡阳·一模）如图，内接，点A为的中点，D为边上一点，，是的切线，，连接．    (1)求证：； (2)当点A到弦的距离为1时，求的值． 【答案】(1) 证明：如图，连接交于点M，    ∵点A为的中点， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据点A为的中点，与相切，证明，得到，由，得到，证明四边形为平行四边形，即可证明结论； （2）由，得到，在中， ，求出，进而求出，根据四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∵点A到弦的距离为1，即， 在中， ， ∴， ∴|， ， 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了圆与四边形综合，切线的性质，垂径定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键． 【变式20-1】（2025·广东佛山·一模）如图，经过正方形的顶点，，与相切于点，分别交，于点，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 经过正方形的顶点，， ， 是的直径， ， 四边形是矩形； (2) 【分析】（1）连接，根据正方形的性质及圆周角定理可得有三个内角是直角，即可得出结论； （2）连接交于点，连接，过点作于点，证明四边形、四边形和四边形均为矩形，推出，，，，设，，则，推出，，由勾股定理，构建关系式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点，连接，过点作于点， 经过圆心， ， 是的切线， ， 由（1）知四边形是矩形， ， ， ， ， 是半径， ， 同理可得四边形和四边形均为矩形， ，，， ， 设，，则， ， ，， ， 整理得， ， 或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握知识点，利用参数构建方程是解题的关键． 【变式20-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是的直径，点是的内心，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1) 证明：点是的内心， ，． ，，， ， ； (2)． 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识． （1）由点是的内心，得出，，再结合圆周角定理得：，，，进而得出，由此得证； （2）由题意可得，从而得出，再结合，可推出，可以证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到在中，，根据直角三角形中所对的边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． 是的直径， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 【变式20-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点为轴负半轴上一点，交轴于、两点，交轴于、两点，点为劣弧上一个动点，连接，，且，． (1)如图1，求点的坐标和的度数； (2)如图2，若平分交于点，小明认为当点在运动时，线段的长度始终不发生变化，只要连接即可证明请完成小明的证明． (3)如图3，连接，当点在运动时不与、两点重合，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据勾股定理可得，即可得点的坐标，证明，可得是等边三角形，可得，由圆周角定理可得的度数； （2）连接，由（1）得，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，由角平分线的定义，结合三角形外角的性质，可得，由等角对等边可得，即可求解； （3）在的延长线上截取，连接，则，证明，可得，，由圆内接四边形对角互补，结合同角的补角相等，可得，证明，可得，，由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，作于，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，由勾股定理可得，，即可得的值． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （2）解：当点在运动时，线段的长度始终不发生变化， 证明：连接， 由（1）可得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在运动时，线段的长度始终不发生变化． （3）解：在的延长线上截取，连接，则， 由（1）可知， ∵，点在上，交轴于、两点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、、、在上， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 作于，则， ∴， ∴， ∴． 【题型21 弧长或面积综合应用】 【例21】（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 【答案】(1)， (2)①， ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由： 将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，，，， ，，， ， ，， ，， 用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片． ③设的矩形纸片为矩形，，将扇环纸片如图放置，使点在边上，点在边上，点在边上，与边相切于点， 则此时的值最小，若求的范围，则此时的为的最小值． 延长，，延长线交于点，连接，交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点， 由题意得：，，，， 与边相切于点， ， ，，四边形为矩形， 四边形，四边形，四边形为矩形， ，，， ，． 求得，的值即可求得的最小值； 由于，解和即可求得结论． 【分析】（1）设， ，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可； （2）①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可； ②将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可； ③设计出能够放置扇环纸片的最小的的矩形纸片即可． 【详解】（1）解：由题意得：的长为，的长为， 设， ，则， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，如图， 则， 四边形为矩形， 四边形，为矩形， ， 由题意得：，，，， 为等边三角形， ，，， ，， ，， ， ． ②略 ③略 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，弧长公式，分类讨论的思想方法，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式21-1】（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵，则，    ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论； （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，    ∵O为正方形中心， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， 而正方形的边长， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式21-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴是的半径， 又， ∴是的切线； (2) 如图，即为所求， (3)能 【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得可得是的半径，即可得证； （2）作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，根据作图可得，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解； （3）根据弧长公式求得的长，继而求得圆锥的底面半径，连接交于点，过点作 于点，交于点，过点作于点，则与相切，继而求得的半径，比较与的大小，进而比较与圆锥底面半径的大小即可求解． 【详解】（1）略 （2）理由：∵ ， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴是的切线； （3）解：∵ ∴， ∴ 则圆锥的底面圆的半径为 如图，连接交于点，过点作 于点，交于点，过点作于点，则与相切， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）可知之间的距离为， ∴, ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设的半径为，则， ∴ 解得 ∴, ∴， ∴， ， ∵， 又， ∴， 即， ∵． ∴能从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 【变式21-3】（2026九年级上·广东广州·专题练习）如图，是内接于，是的直径，，． (1)求的长； (2)点为上的一个动点，且位于直线的上方，点从点开始沿着运动至点，连接，延长交于点，连接，． ①当平分时，试探究，和三者之间的数量关系，并证明你的结论； ②与交于点，求点运动过程中，点的运动路径长． 【答案】(1) (2) ①， 证明：作于点，交的延长线于点，则， ， 四边形是矩形， 平分，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； ② 【分析】（1）由是的直径，得，而，，所以，则； （2）①作于点，交的延长线于点，因为平分，所以，可证明四边形是正方形，则，再证明 ，得，则，由，得，所以； ②作的外接圆，圆心为点，连接、、，由，，得，再证明，延长交于点，连接，可证明是等边三角形，则，由，得，求得，所以点的运动路径长为． 【详解】（1）解：是的直径， ， ，， ， ， 的长为； （2）解：① 略 ②如图2，作的外接圆，圆心为点，连接、、，则， ，， ， ，， ， ， 延长交于点，连接，则，， 是的直径， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 点从点开始沿着运动至点，则点从点开始沿着运动至点， 点运动过程中，点的运动路径为上的一段弧，即， 点的运动路径长为． 【点睛】此题考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、圆周角定理、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【题型22 圆中动点存在性探究题】 【例22】（25-26九年级下·陕西榆林·期中）【问题初探】 (1)如图1，在中，延长至点，使得，延长至点，使得．若，则的周长为_____； (2)如图2，在中，，过点作于点，作的外接圆，连接，已知，请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由； 【问题解决】 (3)如图3，某生态园区内有一块四边形空地，其中，，米，米．连接，现计划沿修建一条休闲步道，同时在线段上选取两个可移动的智能监测点，保证观测角，且由点为顶点构成的三角形区域的周长尽可能的小，以节约材料成本并缩短布线距离．请你帮助规划师计算周长的最小值．（步道的宽度及监测点的大小均忽略不计） 【答案】(1)14 (2)存在，的最小值为 (3)米 【分析】（1）由线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点作于点，连接，利用三角形内角和定理以及圆周角定理可得；设的半径为，则，易得，进而得到，即，从而确定的最小值； （3）如图，过点作于点，易得，进而得到，如图，在射线上取一点，使得，在射线上取一点，使得，易得的周长，即当最小时，的周长最小；如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，由易得，即；设的半径为，求得，再求得r的最小值即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即的周长为14． （2）解：存在，的最小值为（或），理由如下： 如图，过点作于点，连接， ， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 的最小值为． （3）解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，在射线上取一点，使得，在射线上取一点，使得， 的周长， 当最小时，的周长最小， ， ， ， 如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点， 由易得， ， 设的半径为， ， ， 当最小时，最小， ， ， ， 的最小值为100， 的最小值为， 周长的最小值为米． 【变式22-1】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，最大值为 【分析】本题考查了圆的基本性质（圆周角定理、直径性质）、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理及弦长最值的应用．解题的关键是通过构造全等三角形转化线段和，结合的固定角度确定固定线段长度，利用直径是最长弦求动态线段的最大值． （1）在上截取线段构造全等三角形，利用圆内接图形的角度关系和等腰三角形性质，推导出的度数； （2）延长至F使，连接，证明，得，可得，由勾股定理的逆定理可得；由及，得为直径圆周角对直径），四边形周长，利用直径是最长弦，得最大值为4米，进而求周长最大值． 【详解】解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接， 四边形为的内接四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． ， 即 （2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下： 如图4所示，延长至F，使，连接， ∵ ∴ ， 从而， 又， 在中，因，， ∴，故， 从而可得，故为直径，， 即，则， 四边形周长 ， 当最大时即为直径时，四边形周长最大值为 【变式22-2】（2025·广东江门·模拟预测）综合探究 如图，在扇形中，是上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当点在上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由． (3)求证：是定值． 【答案】(1) 证明：如图，连接交于点． ， ， 四边形是矩形， ． ， ， ， 四边形是平行四边形． (2)存在，1； (3)证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H． 设，则． 由，得， ． ， ， ， 是定值． 【分析】本题主要考查圆的基本性质以及勾股定理： （1）道德证明四边形是矩形，得，同理可证，得出四边形是平行四边形． （2）根据点A是上的点，，得出，由得出； （3）过点作于点．设，则，求出，，计算出，进一步可得出结论 【详解】（1）略 （2）解：存在，线段的长度不变． ∵点A是上的点， 在矩形中，． ， ． （3）略 【变式22-3】（2019·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点. (1)如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长； (2)如图2，已知直线分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以为圆心，为半径画圆. ①当点与点重合时，求证: 直线与相切； ②设与直线相交于两点， 连结. 问:是否存在这样的点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 的直径长为； (2) ①证明：如图4过点作于点， 将代入，得， ∴点的坐标为. ∴， ∵， ∴. ∵点与点重合， 又的半径为， ∴直线与相切. ②存在这样的点和，使得是等腰直角三角形. 【分析】（1）连接BC，证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长=BC=AB，即可求解； （2）过点作于点，证明CE=ACsin45°=4×=2 =圆的半径，即可求解； （3）假设存在这样的点，使得是等腰直角三角形，分点在线段上时和点在线段的延长线上两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）如图3，连接BC， ∵∠BOC=90°， ∴点P在BC上， ∵⊙P与直线l1相切于点B， ∴∠ABC=90°，而OA=OB， ∴△ABC为等腰直角三角形， 则⊙P的直径长=BC=AB=3 (2)①略 ②假设存在这样的点，使得是等腰直角三角形， ∵直线经过点， ∴的函数解析式为. 记直线与的交点为， 情况一： 如图5，当点在线段上时，      由题意，得. 如图，延长交轴于点， ∵， ∴， 即轴， ∴点与有相同的横坐标， 设，则， ∴. ∵的半径为， ∴， 解得， ∴， ∴的坐标为. 情况二： 当点在线段的延长线上时，同理可得，的坐标为. ∴存在这样的点和，使得是等腰直角三角形. 【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $