专题03 整式加减创新题8大题型40题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版

专题03整式加减创新题 基础·固本强基 题型1新定义简单运算，直接按规则列式化简（重点） 题型2整式中数字卡片、赋值类创新题型（重点） 题型3图形拼接，结合图形信息写整式（重点） 题型4程序框图运算转化为整式加减（重点） 提升·进阶突破 题型5定义 “友好式”“平衡式” 等新式判定题型（难点） 题型6表格信息型整式推理题型（难点） 拔高·压轴破难 题型7自定义变换下的整式规律探究（重难点） 题型8整式加减的实际应用之探究实践题型（重难点） 基础·固本强基 题型1新定义简单运算，直接按规则列式化简（共5小题） 【模型】新定义直译化简模型→读懂题目自定义运算符号的运算规则，把陌生运算转化为整式加减运算，再去括号、合并同类项化简 【步骤】①阅读题干，摘抄新定义运算关系式；②将字母、整式代入定义式；③去括号，合并同类项，化成最简整式；④核对式子，检验是否符合定义 【易错】替换式子时漏加括号；看错自定义运算的先后顺序；去括号符号出错 1．（26-27七年级上·河南周口·期中）定义运算：，则的值为（     ） A． B． C．2 D．10 2．（25-26七年级上·山东日照·期中）定义一种新运算，则的结果为（   ） A． B．17 C． D． 3．（25-26七年级上·广西玉林·期中）对任意两个有理数，定义如下运算：，有下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中所有正确结论的序号是____________． 4．（25-26七年级上·四川德阳·期中）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：，则二阶行列式的化简结果为______． 5．（25-26七年级上·广西钦州·期中）定义一种运算：．则化简后的结果是______． 题型2整式中数字卡片、赋值类创新题型（共5小题） 【模型】卡片赋值代值模型→选取卡片上数字替换整式里字母，代入最简整式计算结果 【步骤】①根据要求选取卡片数字；②确认代入的整式是否已经化简；③负数、分数代入必须添加括号；④按照有理数运算法则算出结果 【易错】负数赋值忘记加括号；卡片数字看错；没有先化简直接代入，计算量大出错 6．（25-26七年级上·河南商丘·期中）现有甲种正方形、乙种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图所示．某同学分别拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图1和图2，其面积分别为． (1)请用含的式子分别表示； (2)当时，求的值． 7．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）如图所示现有一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式，现从这三张卡片中任意抽取，规定抽到灰色卡片，就减去该卡片上面的整式，抽到白色卡片，就加上该卡片上面的整式． (1)请化简抽到甲，乙两张卡片的结果； (2)先化简抽到甲、丙两张卡片的结果，再求出时的值． 8．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）如图，现有两张白色卡片A、C和一张灰色卡片B，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)请你任意抽两张卡片进行计算． (2)当，时，求（1）中得到的代数式的值． 9．（25-26七年级上·浙江·期中）某数学兴趣小组利用、、、四张卡片做游戏．卡片上写有已化为最简的代数式，、两张卡片上有部分内容模糊不清，但知道它们是、两张卡片上代数式的和与差． (1)请通过计算求出、卡片上的代数式； (2)已知卡片上代数式的值为，请求出其余3张卡片上代数式的和的值． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在七年级活动课上，有三名同学各拿一张卡片，卡片上分别为三个代数式，三张卡片如下，其中代数式是未知的， (1)先化简，再求值：当时，求的值； (2)若，求代数式C． 题型3图形拼接，结合图形信息写整式（共5小题） 【模型】图形信息列式模型→根据拼接图形长、宽，利用周长、面积公式列出整式，再化简 【步骤】①从图中标注读取线段长度；②选用周长 / 面积公式列出整式；③去括号合并同类项化简；④按需代值计算 【易错】看错图形边长；拼接处重复加减边长；公式记错 11．（25-26七年级上·福建厦门·期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．如果想求图②中两块阴影部分的周长和，则只要知道（   ）． A．底面的长方形的周长 B．n的长 C．m的长 D．小长方形的周长 12．（25-26七年级下·河北廊坊·期中）把两张大小相同的正方形卡片A，B放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的周长为；将卡片B平移至如图2所示的位置时，阴影部分的周长为，则________（填“>”“<”或“=”）． 13．（25-26七年级上·全国·期中）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片长为x，宽为）不重叠地放在一个底面为长方形（长为a，宽为）的盒子底部（如图②），盒底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的面积和是__________． 14．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图，把四个长为、宽为（）的小长方形卡片，按图1和图2两种方式不重叠地放在同一个大长方形中，大长方形的长比宽大3.5，两种方式未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中两块阴影部分的周长和为，则的值为______． 15．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为6，宽为5的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分周长和是____． 题型4程序框图运算转化为整式加减（共5小题） 【模型】框图转化列式模型→顺着流程图的运算步骤，把框图文字运算转化成整式加减式子 【步骤】①顺着箭头，依次写出每一步运算；②整理得到整式表达式；③化简整式；④给定输入值时代入求值 【易错】颠倒框图运算顺序；漏掉分支条件；运算符号看错 16．（26-27七年级上·陕西汉中·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12．…则第2027次输出的结果为_________． 17．（26-27七年级上·重庆江北·期中）按如图程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是______． 18．（26-27七年级上·山东临沂·期中）如图是一个数值转换机，若a输入的值为，则输出的结果应为________． 19．（2026·山西朔州·模拟预测）如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 20．（2026·陕西榆林·三模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 提升·进阶突破 题型5定义 “友好式”“平衡式” 等新式判定题型（共7小题） 【模型】新式定义判定模型→理解题目给出的新式判定标准，将两个整式代入标准等式，化简验证是否满足条件 【步骤】①读懂判定规则，写出判定关系式；②把两个整式代入关系式；③化简等式左右两边；④对比结果，给出判定结论 【易错】理解错 “友好式、平衡式” 判定条件；化简不彻底就下结论 21．（26-27七年级上·全国·期中）定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”．如63的“友好数”是36． (1)填空：27，68的“友好数”分别是________、________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为a，十位数字为b，求这个两位数的“友好数”． 22．（26-27七年级上·山东青岛·期中）探究规律，解答相关题目： 小明说：“我定义了一种新运算，叫（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；；；；；；；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ①______；②______． (2)计算：______．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)，计算的值． 23．（26-27七年级上·福建厦门·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，所以，就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号） ①；②；③． (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数构成一对“隔一数对”． 计算：． 24．（2026七年级上·全国·期中）定义：若，则称与是关于5的平衡数． (1)4与________是关于5的平衡数，与________是关于5的平衡数（填一个含的代数式）； (2)若，，判断与是不是关于5的平衡数，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若为最大的负整数，直接写出的值． 25．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）定义一种新运算“f”：表示在运算作用下的结果．若表示在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下，，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 26．（25-26七年级上·广东广州·期中）定义：若，则称与是关于2的友好数． (1)3与 是关于2的友好数； (2)若，，判断与是否是关于2的友好数，并说明理由； (3)若，，且与是关于2的友好数，求代数式的值． 题型6表格信息型整式推理题型（共5小题） 【模型】表格信息推理模型→读取表格里对应数值，先寻找等量关系，列出整式，再推理、计算、验证 【步骤】①提取表格行、列对应数据；②设字母，结合数据列出整式；③化简整式；④代入数据验证或者求解参数 【易错】读错表格行列对应关系；找错数据之间的运算关系 27．（2026·安徽安庆·二模）综合与实践 【活动背景】我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为，第2个数记为，…，第n个数记为．我们定义“启源”数列：取初始项＝1，＝3，从第3项开始，每一项等于前一项的2倍与前前项的和，即递推公式为（n≥3）．记为“启源”数列前k个偶数项的和（k为正整数），数学兴趣小组制作了该数列的探究表格（部分空缺），请你参与探究并完成以下任务． n（项数） 1 2 3 4 5 6 … （项的值） 1 3 ______ 17 41 99 … * 3 * ______ * ______ … 【活动探究】 (1)请根据“启源”数列的递推公式，补全表格； (2)观察补全后的表格，你能发现与数列的某一项之间存在怎样的数量关系吗？请直接写出这个关系（用含k的代数式表示）； 【探究应用】 (3)“启源”数列在计算机科学中有一种有趣的应用，可用于生成某种特定长度的校验码序列．工程师小元需要设计一个流程： 生成主序列：首先按顺序生成该数列的前N项，，…，作为主序列． 生成校验码：同时，还需要生成一个校验码，该码的值等于主序列中所有偶数项之和（即，，其中或，根据N的奇偶决定）．现在，小元的任务目标是：需要最终生成一个数值为696的校验码． 请你帮助小元快速确定：他至少需要将主序列生成到第______项． 28．（25-26六年级下·全国·期中）【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量/辆 车身总长/米 素材：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．斜面米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 29．（25-26七年级上·江苏南京·期中）一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 m 5 7 … … 7 6 5 4 3 2 n … … 11 6 3 2 3 6 11 … (1) ______，______； (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加2．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：______．的值随着x的变化而变化的规律是：______． (3)下列结论： ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 其中，所有正确结论的序号是______． 30．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，先将边长为厘米的正方形硬纸板剪下四个边长为厘米的小正方形纸板，然后用剩余的纸板拼成一个无盖的长方体形收纳盒，如何裁剪能使得该收纳盒的容积最大？ 【问题初探】 小华采用一般问题特殊化的策略，令，探究为何值时收纳盒的容积最大．观察下表，并回答问题： 剪去小正方形的边长（厘米） 1 容积（厘米） _____； 结合表格信息，当剪下的小正方形的边长增大时，请描述出所得的无盖长方体形收纳盒容积的变化情况． 【问题解决】 小华通过查阅资料核实，当时．所得收纳盒的容积最大．求容积最大的收纳盒的容积（用含的代数式表示）． 【拓展应用】 根据小华在【问题解决】中的发现，将边长为厘米的正方形硬纸板按照上面的方法制作成容积最大的无盖长方体形收纳盒，若该长方体形收纳盒其中一个面的相邻两边长分别为厘米和厘米，求该收纳盒的容积． 31．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 拔高·压轴破难 题型7自定义变换下的整式规律探究（共4小题） 【模型】变换规律探究模型→按照自定义变换规则，依次算出前几项整式，观察结构，归纳通用整式规律 【步骤】①按变换规则，依次写出前 2~4 组结果；②对比式子变化，寻找不变部分和变化部分；③用字母写出通项整式；④代入验证规律是否成立 【易错】归纳规律时符号、系数找错；验证步骤省略 32．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）综合与实践．幻方起源于中国，月历常用于生活，二进制多用于电脑，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 活动 探究幻方、日历、二进制的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框：若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框：若方框中的部分数如图3所示，阴影部分构成了一个字母“”，则“”的所有数的和是______；（注：用含的代数式表示“”的和） 活动二 “三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若将，，，1，3，5，7，9，11填入图4中的九个格子中，则______，______． 活动三 将十进制数化为与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如图5： （4）将十进制数13化成二进制数：______（2） （5）将一个十进制两位数（个位数字为，十位数字为）交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数，若原数减去新数所得的差为18，则我们称这样的数为“青春数”，如果将这个“青春数”化成五进制数后是一个各数位上的数字全都为的三位数，则这个“青春数”是______． 33．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图（1）是2024年11月份的日历表，小明在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图（2）所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图（1）中的结果为_______． (2)深入思考：小明将的方框移动到图（1）中的其他位置，通过计算可以求出的值．探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将过程补充完整． 设，则_______，_______，_______，所以_______．（填写化简后的结果） (3)拓展探究：同学们利用小明的方法，借助图（1）中的日历，继续进行如下探究．在日历中用“Y型框”框住位置如图（3）所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 34．（25-26七年级上·吉林长春·期中）图①是2026年1月份的日历，欢欢在其中画出一个的方框，框出九个数，如图②，计算其中四个数“”的结果，并探究其规律． (1)若，则图②中“”的结果为_______． (2)提出猜想：若将图②的的方框移动到图①中的其他位置，猜想“”的值_______（填“不变”或“改变”）． (3)欢欢认为（2）中的猜想正确，其推理的过程如下，请将其补充完整． 设，则______． （_______） ______ ______． (4)乐乐在日历中用如图③的的方框框出图①中的四个数．直接写出“”的值． 35．（25-26七年级上·山西朔州·期中）综合与实践 如图①是年月份的月历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 【初步分析】 （1）计算图①中的结果为______；将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______． 【数学思考】 （2）小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． =（ ） ______． 所以的值均为______． 【拓广探究】 （3）同学们利用小乐的方法，借助图①中的月历，在月历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 题型8整式加减的实际应用之探究实践题型（共4小题） 【模型】实践探究综合模型→结合生活情境 + 探究设问，先列式化简整式，再说理、猜想、验证结论 【步骤】①审题，提取实际情境数量关系；②列出整式并化简；③根据设问猜想结论；④代入数值或者化简说理，完成探究 【易错】题意理解偏差，列式错误；说理过程不完整，缺少化简推导 36．（2026·安徽合肥·二模）【问题提出】如图，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则移动金属片． 规则1：每次只能移动一个金属片; 规则2：较大的金属片不能放在较小的金属片上面． 则把这个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？ 【问题探究】我们从为1，2，3，4个金属片入手，探究其中的规律性，进而归纳出个金属片最少需要移动的次数．（以下探究仅考虑最少移动次数） 探究一：当时，只需要把金属片从1号针移到3号针，用符号表示，共移动了1次．（说明：表示把金属片从1号针移到3号针，以此类推） 探究二：当时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，移动顺序是（本次移动我们借助2号针作为“中间针”）： （）把第1个金属片从1号针移到2号针； （）把第2个金属片从1号针移到3号针； （）把第1个金属片从2号针移到3号针． 用符号表示为：（）；（）；（），共移动了3次． 探究三：当时，移动顺序是： （）把上面两个金属片从1号针移到2号针； （）把第3个金属片从1号针移到3号针； （）把上面两个金属片从2号针移到3号针． 其中（Ⅰ）和（Ⅲ）都需要借助合适的“中间针”，用符号表示为： (1)： ；（）：；（）：____________；共移动了7次． 探究四：当时，移动顺序是： (2)把上面3个金属片从1号针移到2号针； （Ⅱ）把第______个金属片从1号针移到3号针； （Ⅲ）把上面______个金属片从2号针移到3号针． 完成（Ⅰ）需移动______次，完成（）需移动______次，共移动了______次． 【问题解决】根据探究一~四，以此类推，你能发现移动规律并对得出的结论进行归纳猜想吗？ (3)请你直接写出猜想结果：若把这个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动______次． 37．（25-26七年级上·北京昌平·期中）一个游戏的道具为4张纸牌，牌的正反面如图所示： 游戏规则： ①甲为持牌操作者，乙为报告“有”或“没有”的参与者； ②乙先从这12个整数中，任选一个记住； ③甲向乙依次展示4张牌的正面，乙看到牌上出现所记数时报“有”，没出现则报“没有”； ④甲将报“有”的牌反面对应的数字进行求和，即可得出乙所记的数字． 某次游戏过程如下： 甲出示 A牌 B牌 C牌 D牌 乙报告 有 没有 有 没有 甲将A牌反面对应数字“1”和C牌反面对应数字“4”相加，即，可知乙记的数字为5． (1)开始游戏： ①第1次游戏过程如下： 甲出示 A牌 B牌 C牌 D牌 乙报告 没有 有 没有 没有 则乙记的数字为___________； ②第2次游戏过程如下： 甲出示 A牌 B牌 C牌 D牌 乙报告 有 有 没有 没有 乙发现报“没有”的牌中，有一张报错了，则乙记的数字可能是___________； (2)某次游戏中乙报出两个“有”，报“有”的牌反面对应数求和结果记为，另两张牌的反面对应数求和结果记为，且．已知表示代数式：表示代数式：，其中为整数．若化简后关于的多项式总是二项式，求． 38．（25-26七年级上·吉林·期中）根据以下素材完成任务： 如何制定奶茶订购方案 素材1：为庆祝七年(1)班获得运动会团体总分优胜奖，班主任李老师决定在某奶茶店订购单价为15元的奶茶共46杯奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，赠送1杯． 免费 某外卖下单 满20元起送（配送费另算），如有优惠券结算时可使用，每个订单只允许使用一张优惠券． 1元/单 注：下单后，每个订单结算时系统自动加收配送费． 素材2：该外卖平台赠送李老师6张优惠券（无门店限制）如下： ①1张“无门槛5元”优惠券；②2张“满28元可减13元”优惠券；③3张“满38元可减15元”优惠券． 问题1： ①李老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，共需花费 元； ②某顾客通过外卖下单： 若一单购买6杯奶茶，使用“满28元可减13元”优惠券则需花费 元；使用“满38元可减15元”优惠券则需花费 元．若一单购买杯奶茶，使用“无门槛5元”优惠券需花费 元； ③李老师在外卖分六次下单这46杯奶茶，并将6张优惠券全部使用，则她共花费了 元． 问题2：请帮助李老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过580元．确定订购的最低费用方式与数量：电话订购 杯，送 杯；外卖订购 杯．该方案订购总费用为 元． 问题3：若你现在打算共下四单外卖订购杯奶茶，则最低花费 元． 39．（25-26七年级上·广东佛山·期中）根据以下材料完成任务． 设计被子采购方案 每年“双12”某网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．今年，某宾馆负责人张阿姨在“双12”到来之前准备在某网上商城三家店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条． 素材1 已知三家店铺在非活动期间，均按800元销售，“双12”活动期间在此基础上再分别给予优惠； 素材2 店铺：“双12”当天购买可以再享受8折优惠； 素材3 店铺：“双12”当天下单， ①每满800元可使用店铺优惠券50元； ②每满400元可使用商城“双12”购物津贴券50元； ③每单立减80元，但同一用户活动当天仅可享受1次立减优惠（即不可拆分订单重复享受）； （例：同一用户活动当天购买2条被子需支付元） 素材4 店铺：“双12”当天下单可享立减及满赠——所有订单都能享每条立减140元，当订单的实付数量达到10条及以上时，在立减的基础上还能再免费获赠1条同款商品． 问题解决 任务1 付款方式1 若在店铺9条被子作一单购买，需支付___________元； 付款方式2 若在店铺9条被子作一单购买，需支付___________元； 付款方式3 若在店铺9条被子作一单购买，需支付___________元． 任务2 对比方案 若张阿姨在“双12”当天下单，且购得条该款被子，请用含的代数式分别表示在这三家店铺购买的实际费用．（说明：张阿姨购得的条被子均作一单购买） 任务3 明确需求 已知张阿姨在“双12”当天需下单购得25条该款被子，且可分批次在三家店铺中自主选择下单渠道． 最优方案设计 请结合各店铺优惠规则，制定出最省钱的方案，并计算该方案下的最终购买总金额． 40．（25-26七年级上·广东惠州·期中）综合与实践 如何设计装饰布，优化透光面积 素材1 小亮家进行装修，窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成（半径相同），如图1所示．已知长方形窗户的长为，宽为． 素材2 小亮想改变窗户的透光面积，他购买了片形状为四分之一圆的装饰布，半径均为． 问题解决 任务1 分析数量关系 结合素材1，用含，的代数式表示窗户的透光面积为________（结果保留） 任务2 确定透光面积 结合素材1，当，时，求窗户的透光面积．（取） 任务3 设计悬挂方案 结合素材2，请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案，要求：①四片装饰布都要使用，且保持形状不变；②每片装饰布必须全部挂在窗户顶部；③装饰布不可以出现重叠；④设计图要呈现对称美．画出示意图，并算出设计方案中窗户透光的面积．（取） 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03整式加减创新题 基础·固本强基 题型1新定义简单运算，直接按规则列式化简（重点） 题型2整式中数字卡片、赋值类创新题型（重点） 题型3图形拼接，结合图形信息写整式（重点） 题型4程序框图运算转化为整式加减（重点） 提升·进阶突破 题型5定义 “友好式”“平衡式” 等新式判定题型（难点） 题型6表格信息型整式推理题型（难点） 拔高·压轴破难 题型7自定义变换下的整式规律探究（重难点） 题型8整式加减的实际应用之探究实践题型（重难点） 基础·固本强基 题型1新定义简单运算，直接按规则列式化简（共5小题） 【模型】新定义直译化简模型→读懂题目自定义运算符号的运算规则，把陌生运算转化为整式加减运算，再去括号、合并同类项化简 【步骤】①阅读题干，摘抄新定义运算关系式；②将字母、整式代入定义式；③去括号，合并同类项，化成最简整式；④核对式子，检验是否符合定义 【易错】替换式子时漏加括号；看错自定义运算的先后顺序；去括号符号出错 1．（26-27七年级上·河南周口·期中）定义运算：，则的值为（     ） A． B． C．2 D．10 【答案】A 【分析】按照定义运算的要求进行计算即可． 【详解】解：由已知，． 2．（25-26七年级上·山东日照·期中）定义一种新运算，则的结果为（   ） A． B．17 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，理解新定义是解题的关键． 根据新运算的定义，分别计算和，然后将二者作差即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故选：A． 3．（25-26七年级上·广西玉林·期中）对任意两个有理数，定义如下运算：，有下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】③ 【分析】本题考查了新定义运算，代数式求值．根据新运算定义，逐项计算并判断结论的正确性． 【详解】解：对于①，，错误； 对于②，，当时，错误； 对于③，，，故，正确； 对于④，，，由得或，即或，故不一定成立，错误． 故答案为：③． 4．（25-26七年级上·四川德阳·期中）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：，则二阶行列式的化简结果为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 根据题意列出算式，然后去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·广西钦州·期中）定义一种运算：．则化简后的结果是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了新运算及整式的加减运算，理解新运算的定义是解决问题的关键．根据新运算，直接化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 题型2整式中数字卡片、赋值类创新题型（共5小题） 【模型】卡片赋值代值模型→选取卡片上数字替换整式里字母，代入最简整式计算结果 【步骤】①根据要求选取卡片数字；②确认代入的整式是否已经化简；③负数、分数代入必须添加括号；④按照有理数运算法则算出结果 【易错】负数赋值忘记加括号；卡片数字看错；没有先化简直接代入，计算量大出错 6．（25-26七年级上·河南商丘·期中）现有甲种正方形、乙种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图所示．某同学分别拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图1和图2，其面积分别为． (1)请用含的式子分别表示； (2)当时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）分别把各部分面积相加即可； （2）把与相加，再把代入计算即可． 【详解】（1）， ； （2）当时， ． 7．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）如图所示现有一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式，现从这三张卡片中任意抽取，规定抽到灰色卡片，就减去该卡片上面的整式，抽到白色卡片，就加上该卡片上面的整式． (1)请化简抽到甲，乙两张卡片的结果； (2)先化简抽到甲、丙两张卡片的结果，再求出时的值． 【答案】(1) (2)；1 【分析】（1）根据整式的加减运算法则即可求出答案； （2）根据整式的加减运算法则进行化简，即可求出答案，再将x的值代入计算即可． 【详解】（1）由题意可知： ； （2）由题意可知： ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查整式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． 8．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）如图，现有两张白色卡片A、C和一张灰色卡片B，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)请你任意抽两张卡片进行计算． (2)当，时，求（1）中得到的代数式的值． 【答案】(1) 若抽到A、B，可得 ； 若抽到A、C，可得 ； 若抽到B、C，可得 ； (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，注意卡片颜色代表的符号是关键． （1）确定抽到的卡片，根据卡片颜色列式，计算即可； （2）直接代入求值即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：当，时， 若抽到A、B，； 若抽到A、C，； 若抽到B、C，． 9．（25-26七年级上·浙江·期中）某数学兴趣小组利用、、、四张卡片做游戏．卡片上写有已化为最简的代数式，、两张卡片上有部分内容模糊不清，但知道它们是、两张卡片上代数式的和与差． (1)请通过计算求出、卡片上的代数式； (2)已知卡片上代数式的值为，请求出其余3张卡片上代数式的和的值． 【答案】(1)，卡片上的代数式分别为，； (2) 【分析】本题考查了整式的加减的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据整式的加减运算，计算出与即可； （2）由题意可得，再化简其余3张卡片上代数式的和，代入计算求值即可． 【详解】（1）解：， ， 即、卡片上的代数式分别为，； （2）解： 卡片上代数式的值为， ， ， ． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在七年级活动课上，有三名同学各拿一张卡片，卡片上分别为三个代数式，三张卡片如下，其中代数式是未知的， (1)先化简，再求值：当时，求的值； (2)若，求代数式C． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式加减运算的化简求值，熟记整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）先去括号，再合并同类项得到化简结果，然后将代入代数式计算即可得到答案； （2）由得到，代入，先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ，， ， 当时，原式； （2）解：， ． 题型3图形拼接，结合图形信息写整式（共5小题） 【模型】图形信息列式模型→根据拼接图形长、宽，利用周长、面积公式列出整式，再化简 【步骤】①从图中标注读取线段长度；②选用周长 / 面积公式列出整式；③去括号合并同类项化简；④按需代值计算 【易错】看错图形边长；拼接处重复加减边长；公式记错 11．（25-26七年级上·福建厦门·期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．如果想求图②中两块阴影部分的周长和，则只要知道（   ）． A．底面的长方形的周长 B．n的长 C．m的长 D．小长方形的周长 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的应用，解题关键是正确列出算式．先列出算式，再利用整式加减化简，然后代入求值，根据结果即可得到答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 则下面的阴影的周长为， 上面的阴影的周长为， 所以两块阴影部分的周长和为 ． 因为， 所以 ， 即图②中两块阴影部分的周长和是， 如果想求图②中两块阴影部分的周长和，则只要知道n的长即可． 故选：B． 12．（25-26七年级下·河北廊坊·期中）把两张大小相同的正方形卡片A，B放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的周长为；将卡片B平移至如图2所示的位置时，阴影部分的周长为，则________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】设大正方形的边长为，正方形卡片、的边长为，然后表示出阴影部分的周长，最后进行比较即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，正方形卡片、的边长为， 对于图1，阴影部分的周长包括大正方形的边长和卡片、的部分边长， 水平方向的线段长度之和为：， 竖直方向的线段长度之和为：， 所以； 对于图2，阴影部分的周长包括大正方形的边长和卡片、的部分边长， 水平方向的线段长度之和为：， 竖直方向的线段长度之和为：， 所以， 因为，所以． 13．（25-26七年级上·全国·期中）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片长为x，宽为）不重叠地放在一个底面为长方形（长为a，宽为）的盒子底部（如图②），盒底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的面积和是__________． 【答案】 【分析】此题考查了列代数式． 根据阴影部分的面积等于大长方形减去四个小长方形的面积，列出关系式，即可得到结果． 【详解】解：图②中两块阴影部分面积和是． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图，把四个长为、宽为（）的小长方形卡片，按图1和图2两种方式不重叠地放在同一个大长方形中，大长方形的长比宽大3.5，两种方式未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中两块阴影部分的周长和为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减的运用，认真观察图形，准确表示出阴影的周长是解题的关键． 根据题意，结合图形分别得出图1的阴影周长和图形2的两块阴影周长，比较后即可求出答案． 【详解】解：根据题意，设大长方形的宽为，则长为， ∵小长方形的长为，宽为， ∴图1的阴影周长为：， ∴图2上面阴影的总周长为：， 图2下面阴影的周长为：， ∴图2阴影的总周长为：， ∴（）． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为6，宽为5的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分周长和是____． 【答案】20 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，则可用x，y表示出左侧阴影部分的周长和右侧阴影部分的周长，再相加即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 则左侧阴影部分的长为x，宽为；右侧阴影部分的长为，宽为， ∴左侧阴影部分的周长为；右侧阴影部分的周长为， ∴图②中两块阴影部分周长和是． 故答案为：20． 【点睛】本题考查整式加减的应用．利用数形结合的思想是解题关键． 题型4程序框图运算转化为整式加减（共5小题） 【模型】框图转化列式模型→顺着流程图的运算步骤，把框图文字运算转化成整式加减式子 【步骤】①顺着箭头，依次写出每一步运算；②整理得到整式表达式；③化简整式；④给定输入值时代入求值 【易错】颠倒框图运算顺序；漏掉分支条件；运算符号看错 16．（26-27七年级上·陕西汉中·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12．…则第2027次输出的结果为_________． 【答案】6 【分析】求出5次的输出结果，可得从第3次输出开始，每两次输出为一个循环，输出的结果依次为6，3，据此求出2027减去2后除以2的商和余数即可得到答案． 【详解】解：第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12， 第3次输出的结果为6， 第4次输出的结果为3， 第5次输出的结果为6， ， 发现：从第3次输出开始，每两次输出为一个循环，输出的结果依次为6，3， ， 输出的结果为6． 17．（26-27七年级上·重庆江北·期中）按如图程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是______． 【答案】180 【详解】解：若开始输入，则， 输入，则， 输入，则， 则最后输出的结果是180． 18．（26-27七年级上·山东临沂·期中）如图是一个数值转换机，若a输入的值为，则输出的结果应为________． 【答案】 【分析】根据数值转换机的计算方法得，代入a的值计算即可得答案． 【详解】解：根据数值转换机的计算方法得：， 若a输入的值为时，， ∴若a输入的值为，则输出的结果应为． 19．（2026·山西朔州·模拟预测）如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 【答案】5 【分析】根据运算程序图可知输出结果按5和1一循环，然后问题可求解． 【详解】解：由运算程序图可知： 第一次输出结果为，第二次输出结果为，第三次输出结果为，第四次输出结果为，…..；由此可知：输出结果按5和1一循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为5． 20．（2026·陕西榆林·三模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 【答案】1 【分析】利用程序图中的程序将代入计算即可． 【详解】解：当输入时，原式， 将代入得：． 故输出结果为1． 提升·进阶突破 题型5定义 “友好式”“平衡式” 等新式判定题型（共7小题） 【模型】新式定义判定模型→理解题目给出的新式判定标准，将两个整式代入标准等式，化简验证是否满足条件 【步骤】①读懂判定规则，写出判定关系式；②把两个整式代入关系式；③化简等式左右两边；④对比结果，给出判定结论 【易错】理解错 “友好式、平衡式” 判定条件；化简不彻底就下结论 21．（26-27七年级上·全国·期中）定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”．如63的“友好数”是36． (1)填空：27，68的“友好数”分别是________、________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为a，十位数字为b，求这个两位数的“友好数”． 【答案】(1)72；86 (2) 【分析】（1）根据“友好数”的定义，因为友好数是交换两位数的个位和十位数字得到的新数，所以直接对27、68交换个位和十位即可得到结果． （2）首先根据两位数的表示方法，因为十位数字为、个位数字为的两位数可表示为，所以交换个位和十位后，新的十位数字为、个位数字为，按照两位数的表示公式即可写出友好数的表达式． 【详解】（1）解：根据“友好数”的定义，交换两位数的个位和十位数字即可： 交换27的十位2和个位7得到72，交换68的十位6和个位8得到86． （2）解：原两位数的十位数字为、个位数字为，交换位置后，新数的十位数字变为，个位数字变为， 根据两位数的表示规则“两位数十位数字个位数字”， 可得这个新的“友好数”为． 22．（26-27七年级上·山东青岛·期中）探究规律，解答相关题目： 小明说：“我定义了一种新运算，叫（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；；；；；；；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ①______；②______． (2)计算：______．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)，计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为非负数，并把绝对值相加； （2）根据（加乘）运算的法则计算即可； （3）可知，，原式，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为非负数，并把绝对值相加． ， （2）解： 原式 （3）解：根据题意可知，，即 ， 原式 23．（26-27七年级上·福建厦门·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，所以，就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号） ①；②；③． (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数构成一对“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】本题属于定义新运算题型，题目自定义两种运算、，并给出“隔一数对”的判定条件． 第（1）小题直接代入新运算公式计算，比较两个式子结果是否相等完成判断； 第（2）小题按定义逐项求值，再进行有理数加减运算； 第（3）小题利用“两个连续的非零整数构成一对隔一数对”，得到，使用裂项相消法化简求和． 【详解】（1）解：① ，是隔一数对． ② ，不是隔一数对． ③ 两者相等，是隔一数对。 （2）解：逐项计算： 代入原式：. （3）解：已知连续非零整构成一对隔一数对，即： ， 所以：原式， ， 裂项相消，中间项全部抵消：. 【点睛】定义新运算核心是读懂规则，照猫画虎代入计算，不要和原有运算混淆；遇到连续分数相加的形式优先考虑裂项相消，中间项可以相互抵消，大幅简化计算． 24．（2026七年级上·全国·期中）定义：若，则称与是关于5的平衡数． (1)4与________是关于5的平衡数，与________是关于5的平衡数（填一个含的代数式）； (2)若，，判断与是不是关于5的平衡数，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若为最大的负整数，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)与是关于5的平衡数，理由如下： ， 所以与是关于5的平衡数． (3)7 【分析】（1）根据平衡数的定义进行求解即可； （2）根据整式加减运算法则求出，然后再进行判断即可； （3）先根据平衡数定义得出，再根据，得出，最后代入数据求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴4与1是关于5的平衡数； ∵， ∴与是关于5的平衡数； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为最大的负整数， ∴， ∴． 25．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）定义一种新运算“f”：表示在运算作用下的结果．若表示在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下，，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1)19 (2) 【分析】本题考查了数字规律类探索及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． （1）根据新运算，令即可求得的值； （2）利用新运算可分别求得的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 26．（25-26七年级上·广东广州·期中）定义：若，则称与是关于2的友好数． (1)3与 是关于2的友好数； (2)若，，判断与是否是关于2的友好数，并说明理由； (3)若，，且与是关于2的友好数，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 解：是，理由如下： ， 所以与是关于2的友好数． (3) 【分析】本题主要考查代数式求值，理解题意是解题的关键． （1）根据友好数的定义列式计算即可； （2）根据友好数的定义列式计算即可； （3）根据友好数的定义列式求出，再代入即可得出答案． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）略 （3）解：与是关于2的友好数， ， ，， ， ， ． 题型6表格信息型整式推理题型（共5小题） 【模型】表格信息推理模型→读取表格里对应数值，先寻找等量关系，列出整式，再推理、计算、验证 【步骤】①提取表格行、列对应数据；②设字母，结合数据列出整式；③化简整式；④代入数据验证或者求解参数 【易错】读错表格行列对应关系；找错数据之间的运算关系 27．（2026·安徽安庆·二模）综合与实践 【活动背景】我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为，第2个数记为，…，第n个数记为．我们定义“启源”数列：取初始项＝1，＝3，从第3项开始，每一项等于前一项的2倍与前前项的和，即递推公式为（n≥3）．记为“启源”数列前k个偶数项的和（k为正整数），数学兴趣小组制作了该数列的探究表格（部分空缺），请你参与探究并完成以下任务． n（项数） 1 2 3 4 5 6 … （项的值） 1 3 ______ 17 41 99 … * 3 * ______ * ______ … 【活动探究】 (1)请根据“启源”数列的递推公式，补全表格； (2)观察补全后的表格，你能发现与数列的某一项之间存在怎样的数量关系吗？请直接写出这个关系（用含k的代数式表示）； 【探究应用】 (3)“启源”数列在计算机科学中有一种有趣的应用，可用于生成某种特定长度的校验码序列．工程师小元需要设计一个流程： 生成主序列：首先按顺序生成该数列的前N项，，…，作为主序列． 生成校验码：同时，还需要生成一个校验码，该码的值等于主序列中所有偶数项之和（即，，其中或，根据N的奇偶决定）．现在，小元的任务目标是：需要最终生成一个数值为696的校验码． 请你帮助小元快速确定：他至少需要将主序列生成到第______项． 【答案】(1)7；20；119 (2) (3)8 【分析】（1）根据递推公式，补全表格即可； （2）观察规律：时，；时，；得到； （3）由题意得到，因此，则，对应前4个偶数项（，，，），得到主序列需生成到第8项或第9项，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据递推公式， ， ， ； （2）解：观察规律：时，； 时，； 时，； 故； （3）解：校验码为696，即＝696， 根据（2）的关系：， 则， 计算数列项，直到找到． ，，，，，，，，， 因此，则，对应前4个偶数项（，，，）， 其和为， 此时主序列需生成到第8项或第9项，即至少生成到第8项． 28．（25-26六年级下·全国·期中）【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量/辆 车身总长/米 素材：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．斜面米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】(1)， (2)该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 理由如下： 当时，， ， ∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 【分析】（1）直接根据素材1，列出购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式即可； （2）将代入（1）所得的解析式，求得购物车列的车身总长，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加米， 则， ∴车身总长与购物车数量之间的关系式为． （2）略 29．（25-26七年级上·江苏南京·期中）一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 m 5 7 … … 7 6 5 4 3 2 n … … 11 6 3 2 3 6 11 … (1) ______，______； (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加2．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：______．的值随着x的变化而变化的规律是：______． (3)下列结论： ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】(1)3，1 (2)x的值每增加1，的值就减小1；当时，的值随着x的增大而减小；当时，的值随着x的增大而增大，的最小值为2 (3)②④ 【分析】本题考查了求代数式的值，整式的性质，熟练掌握求代数式的值是解题的关键． （1）根据代数式求代数式的值解答即可； （2）根据代数式的值的变化规律解答即可． （3）根据代数式的值的变化特点，判断解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：3，1． （2）解：根据代数式的值变化规律是：x的值每增加1，的值就减小1， 时，的值随着x的增大而减小， 时，的值随着x的增大而增大， 的最小值为2． 故答案为：x的值每增加1，的值就减小1；时，的值随着x的增大而减小；时，的值随着x的增大而增大，的最小值为2． （3）解：①当时，解得，故本题错误； ②当时，解得，故本题正确； ③当时，解得或，故本题错误； ④当时，解得，故本题正确． 故答案为：②④． 30．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，先将边长为厘米的正方形硬纸板剪下四个边长为厘米的小正方形纸板，然后用剩余的纸板拼成一个无盖的长方体形收纳盒，如何裁剪能使得该收纳盒的容积最大？ 【问题初探】 小华采用一般问题特殊化的策略，令，探究为何值时收纳盒的容积最大．观察下表，并回答问题： 剪去小正方形的边长（厘米） 1 容积（厘米） _____； 结合表格信息，当剪下的小正方形的边长增大时，请描述出所得的无盖长方体形收纳盒容积的变化情况． 【问题解决】 小华通过查阅资料核实，当时．所得收纳盒的容积最大．求容积最大的收纳盒的容积（用含的代数式表示）． 【拓展应用】 根据小华在【问题解决】中的发现，将边长为厘米的正方形硬纸板按照上面的方法制作成容积最大的无盖长方体形收纳盒，若该长方体形收纳盒其中一个面的相邻两边长分别为厘米和厘米，求该收纳盒的容积． 【答案】【问题初探】 先增大后减小 【问题解决】 【拓展应用】立方厘米或立方厘米或 【分析】本题考查代数式，乘方运算，熟练掌握求代数式的值是解题的关键； 【问题初探】根据题意，列代数式求解即可；当剪下的小正方形的边长增大时，所得的无盖长方体形收纳盒的容积的变化情况为先增大后减小； 【问题解决】把代入中，即可求解； 【拓展应用】当底面相邻边长分别为厘米和厘米时；当侧面相邻边长分别为厘米和厘米时，分别讨论即可求解； 【详解】解：[问题初探]如图，边长为厘米的正方形剪下四个边长为厘米的小正方形，用剩余纸板拼成一个长和宽均为厘米、高为厘米的无盖长方体形收纳盒,此时其容积（长宽高）为立方厘米， 当，时， ； 故答案为： 当剪下的小正方形的边长增大时，所得的无盖长方体形收纳盒的容积的变化情况为先增大后减小； [问题解决]解：当时，收纳盒容积为立方厘米； [拓展应用]解：∵要将边长为厘米的正方形硬纸板按上面的方法制作成容积最大的无盖长方体形收纳盒， ∴其长和宽均为， ∴其容积为立方厘米， 当底面相邻边长分别为厘米和厘米时， 解得 ， ， 八该收纳盒容积为立方厘米； 当侧面相邻边长分别为厘米和厘米时， 分两种情况：当，时 解得， ， ， ∴容积为立方厘米； 当，时， 解得： ， ， ∴容积为立方厘米 综上，若该容积最大的无盖长方体形收纳盒其中一面的相邻边长分别为厘米和之厘米，该收纳盒的容积为立方厘米或立方厘米或立方厘米； 31．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2)增大；减小 (3) 解：我同意小海的结论． 理由如下： ∵， 所以当x的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6． 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值； （1）将代入即可． （2）根据表格数据分析即可． （3）两个代数式求差，得到，然后判断下结论即可． 【详解】（1）解：将代入得：． 故答案为：． （2）解：从表格中可以发现，当x的取值增大时，一次式的值增大，一次式的值减小； 故答案为：增大；减小． （3）略 拔高·压轴破难 题型7自定义变换下的整式规律探究（共4小题） 【模型】变换规律探究模型→按照自定义变换规则，依次算出前几项整式，观察结构，归纳通用整式规律 【步骤】①按变换规则，依次写出前 2~4 组结果；②对比式子变化，寻找不变部分和变化部分；③用字母写出通项整式；④代入验证规律是否成立 【易错】归纳规律时符号、系数找错；验证步骤省略 32．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）综合与实践．幻方起源于中国，月历常用于生活，二进制多用于电脑，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 活动 探究幻方、日历、二进制的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框：若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框：若方框中的部分数如图3所示，阴影部分构成了一个字母“”，则“”的所有数的和是______；（注：用含的代数式表示“”的和） 活动二 “三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若将，，，1，3，5，7，9，11填入图4中的九个格子中，则______，______． 活动三 将十进制数化为与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如图5： （4）将十进制数13化成二进制数：______（2） （5）将一个十进制两位数（个位数字为，十位数字为）交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数，若原数减去新数所得的差为18，则我们称这样的数为“青春数”，如果将这个“青春数”化成五进制数后是一个各数位上的数字全都为的三位数，则这个“青春数”是______． 【答案】活动一、(1)，，(2)活动二、 (3)， 活动三、(4)，(5) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、探索数字的变化规律、列代数式、整式的加减． 活动一、(1)根据已知月历中用方框框起来的数之间的关系，确定、的值； (2)根据数字的变化规律把阴影中的数字用含的代数式表示出来，求出它们的和； 活动二、(3)九宫格的中间的数字是个数字的平均数，把个数字的平均分成三组，这三组数的平均数就是每行、每列、每条对角线上的数字之和，再求出； 活动三、(4)依据题干提供的思路，把转化成二进制数； (5)根据原数与新数的差可知，找出符合题意的两位数，再把它们转化为五进制数，从而确定符合条件的数． 【详解】活动一、(1)解：在的左边， ， 左边的数是， ， 故答案为：，； (2)解：中间的数是， 阴影中的数字有：、、、、、、， 阴影中数字之和为：， 故答案为：； 活动二、个数的平均数是， ， 又， ， ， 故答案为：，； 活动三、(4)解：如下图所示， ， 故答案为：； (5)解： ，交换位置后的新数为， 原数减去新数所得的差为， ， 整理得：， 当，时，， 如下图所示， ； 当，时，， 如下图所示， (不符合题意，舍去)； 当，时，， 如下图所示， (不符合题意，舍去)； 当，时，， 如下图所示， (不符合题意，舍去)； 当，时，， 如下图所示， (不符合题意，舍去)； 当，时，， 如下图所示， (不符合题意，舍去)； 当，时，， 如下图所示， (不符合题意，舍去)； 综上所述，这个“青春数”是． 33．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图（1）是2024年11月份的日历表，小明在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图（2）所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图（1）中的结果为_______． (2)深入思考：小明将的方框移动到图（1）中的其他位置，通过计算可以求出的值．探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将过程补充完整． 设，则_______，_______，_______，所以_______．（填写化简后的结果） (3)拓展探究：同学们利用小明的方法，借助图（1）中的日历，继续进行如下探究．在日历中用“Y型框”框住位置如图（3）所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)； (2)设，则，，，所以的值为； (3) 【分析】本题围绕日历中数的位置关系展开，需利用日历每行7天导致相邻数差值固定的规律（同行左右差1，同列上下差7），通过代数表示数并化简运算来探索规律． （1）直接代入已知数计算加减； （2）设，依据日历行列差值确定、、的表达式，再代入化简； （3）设，同理确定、、的表达式，代入化简以得规律． 【详解】（1）解：： （2）日历中，同一行相邻数差1，同一列相邻数差7． 在右侧， ； 在下方两行且左移一列， ； 在下方两行且右移一列， ． 将，，，代入式子： （3）设，根据日历数的规律： 在右侧， ； 在下方一行且右移一列， ； 在下方两行且右移一列， ． 将，，，代入式子： 【点睛】本题核心是利用日历中数的行列差规律（同行差1，同列差7），通过“设未知数表示数→代入运算→化简”的步骤，探索运算结果的固定规律．这种方法体现了代数思想在规律探究中的应用，帮助我们将具体数值问题转化为一般化的代数推导． 34．（25-26七年级上·吉林长春·期中）图①是2026年1月份的日历，欢欢在其中画出一个的方框，框出九个数，如图②，计算其中四个数“”的结果，并探究其规律． (1)若，则图②中“”的结果为_______． (2)提出猜想：若将图②的的方框移动到图①中的其他位置，猜想“”的值_______（填“不变”或“改变”）． (3)欢欢认为（2）中的猜想正确，其推理的过程如下，请将其补充完整． 设，则______． （_______） ______ ______． (4)乐乐在日历中用如图③的的方框框出图①中的四个数．直接写出“”的值． 【答案】(1)21 (2)不变 (3) (4)28 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式加减的应用，正确理解题意和熟知整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据日历的特点求出b、c、d的值，再代值计算即可； （2）根据日历的特点和（1）所求可猜想的值不变； （3）根据日历的特点用含x的式子表示出c，再根据整式的加减计算法则求出的结果即可； （4）用a表示出b、c、d，再根据整式的加减计算法则求出的结果即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：由（1）和日历的特点可猜想的值不变； （3）解：设，则． ， ∴的值不变； （4）解：由题意得，， ∴ ． 35．（25-26七年级上·山西朔州·期中）综合与实践 如图①是年月份的月历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 【初步分析】 （1）计算图①中的结果为______；将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______． 【数学思考】 （2）小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． =（ ） ______． 所以的值均为______． 【拓广探究】 （3）同学们利用小乐的方法，借助图①中的月历，在月历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）0，0； （2），，0，0； （3）的值均为0， 如图， ，，，， 将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． 【分析】本题考查了数字类规律探索,整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据所给算式计算即可； （2）先得出，再代入计算即可求解； （3）先按框出，再计算后得出结论． 【详解】（1）解：； 将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． 故答案为：0，0； （2）设，则，，． ． 所以的值均为0． 故答案为：，，0，0； （3）略 题型8整式加减的实际应用之探究实践题型（共4小题） 【模型】实践探究综合模型→结合生活情境 + 探究设问，先列式化简整式，再说理、猜想、验证结论 【步骤】①审题，提取实际情境数量关系；②列出整式并化简；③根据设问猜想结论；④代入数值或者化简说理，完成探究 【易错】题意理解偏差，列式错误；说理过程不完整，缺少化简推导 36．（2026·安徽合肥·二模）【问题提出】如图，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则移动金属片． 规则1：每次只能移动一个金属片; 规则2：较大的金属片不能放在较小的金属片上面． 则把这个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？ 【问题探究】我们从为1，2，3，4个金属片入手，探究其中的规律性，进而归纳出个金属片最少需要移动的次数．（以下探究仅考虑最少移动次数） 探究一：当时，只需要把金属片从1号针移到3号针，用符号表示，共移动了1次．（说明：表示把金属片从1号针移到3号针，以此类推） 探究二：当时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，移动顺序是（本次移动我们借助2号针作为“中间针”）： （）把第1个金属片从1号针移到2号针； （）把第2个金属片从1号针移到3号针； （）把第1个金属片从2号针移到3号针． 用符号表示为：（）；（）；（），共移动了3次． 探究三：当时，移动顺序是： （）把上面两个金属片从1号针移到2号针； （）把第3个金属片从1号针移到3号针； （）把上面两个金属片从2号针移到3号针． 其中（Ⅰ）和（Ⅲ）都需要借助合适的“中间针”，用符号表示为： (1)： ；（）：；（）：____________；共移动了7次． 探究四：当时，移动顺序是： (2)把上面3个金属片从1号针移到2号针； （Ⅱ）把第______个金属片从1号针移到3号针； （Ⅲ）把上面______个金属片从2号针移到3号针． 完成（Ⅰ）需移动______次，完成（）需移动______次，共移动了______次． 【问题解决】根据探究一~四，以此类推，你能发现移动规律并对得出的结论进行归纳猜想吗？ (3)请你直接写出猜想结果：若把这个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动______次． 【答案】(1) (2)4；3；7；7；15 (3) 【分析】仿照探究一，二，解答探究三，四，再根据数字变化得出规律解答即可． 【详解】解：探究三：当时，移动顺序是： （I）把上面两个金属片从1号针移到2号针； （II）把第3个金属片从1号针移到3号针； （III）把上面两个金属片从2号针移到3号针， 其中（I）和（III）都需要借助合适的“中间针”，用符号表示为： （I）；（II）；（III），共移动了7次； 探究四：当时，移动顺序是： （I）把上面3个金属片从1号针移到2号针； （II）把第4个金属片从1号针移到3号针； （III）把上面3个金属片从2号针移到3号针， 完成（I）需要7次，（III）需要7次，共移动15次； 【问题解决】根据探究一至四，可得时，最少移动1次； 时，最少移3次； 时，最少移动7次； 时，最少移动15次， 总结发现n个金属片从1号移到3号针，最少移动了次． 37．（25-26七年级上·北京昌平·期中）一个游戏的道具为4张纸牌，牌的正反面如图所示： 游戏规则： ①甲为持牌操作者，乙为报告“有”或“没有”的参与者； ②乙先从这12个整数中，任选一个记住； ③甲向乙依次展示4张牌的正面，乙看到牌上出现所记数时报“有”，没出现则报“没有”； ④甲将报“有”的牌反面对应的数字进行求和，即可得出乙所记的数字． 某次游戏过程如下： 甲出示 A牌 B牌 C牌 D牌 乙报告 有 没有 有 没有 甲将A牌反面对应数字“1”和C牌反面对应数字“4”相加，即，可知乙记的数字为5． (1)开始游戏： ①第1次游戏过程如下： 甲出示 A牌 B牌 C牌 D牌 乙报告 没有 有 没有 没有 则乙记的数字为___________； ②第2次游戏过程如下： 甲出示 A牌 B牌 C牌 D牌 乙报告 有 有 没有 没有 乙发现报“没有”的牌中，有一张报错了，则乙记的数字可能是___________； (2)某次游戏中乙报出两个“有”，报“有”的牌反面对应数求和结果记为，另两张牌的反面对应数求和结果记为，且．已知表示代数式：表示代数式：，其中为整数．若化简后关于的多项式总是二项式，求． 【答案】(1)①2；②7或11； (2)4或1． 【分析】本题考查了多项式的定义，整式的加减． （1）①仿照题干作答即可； ②找出A牌、B牌正面均存在的数，进而根据C牌、D牌正面的数判断即可； （2）根据可知报“有”的牌不包含8，进而得到或或，计算，进而分三种情况求出可能的取值，根据若化简后关于的多项式总是二项式，可知的取值应使三种情况均为二项式，即，，或，，，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：①B牌反面对应数字“2” 则乙记的数字为2； 故答案为：2； ②A牌、B牌正面均存在的数为3、7、11， C牌、D牌正面的数均不存在3， 则乙记的数字可能是7或11， 若为7，则，符合； 若为11，则，符合； 故答案为：7或11； （2）解：∵报“有”的牌反面对应数求和结果记为，另两张牌的反面对应数求和结果记为，且，而， ∴报“有”的牌不包含8， 则报“有”的牌为1、2或1、4或2、4， 对应报“没有”的牌为4、8或2、8或1、8， 即或或， ∵表示代数式：表示代数式：， ∴ ， 当时， ， ∵化简后关于的多项式是二项式，为整数， ∴或或， 即或或， ∵为整数， ∴或； 当时， ， ∵化简后关于的多项式是二项式，为整数， ∴或或， 即或或， ∵为整数， ∴或； 当时， ， ∵化简后关于的多项式是二项式，为整数， ∴或或， 即或或， ∵为整数， ∴； ∵若化简后关于的多项式总是二项式， ∴的取值应使三种情况均为二项式， ∴，，或，，， ∴或 38．（25-26七年级上·吉林·期中）根据以下素材完成任务： 如何制定奶茶订购方案 素材1：为庆祝七年(1)班获得运动会团体总分优胜奖，班主任李老师决定在某奶茶店订购单价为15元的奶茶共46杯奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，赠送1杯． 免费 某外卖下单 满20元起送（配送费另算），如有优惠券结算时可使用，每个订单只允许使用一张优惠券． 1元/单 注：下单后，每个订单结算时系统自动加收配送费． 素材2：该外卖平台赠送李老师6张优惠券（无门店限制）如下： ①1张“无门槛5元”优惠券；②2张“满28元可减13元”优惠券；③3张“满38元可减15元”优惠券． 问题1： ①李老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，共需花费 元； ②某顾客通过外卖下单： 若一单购买6杯奶茶，使用“满28元可减13元”优惠券则需花费 元；使用“满38元可减15元”优惠券则需花费 元．若一单购买杯奶茶，使用“无门槛5元”优惠券需花费 元； ③李老师在外卖分六次下单这46杯奶茶，并将6张优惠券全部使用，则她共花费了 元． 问题2：请帮助李老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过580元．确定订购的最低费用方式与数量：电话订购 杯，送 杯；外卖订购 杯．该方案订购总费用为 元． 问题3：若你现在打算共下四单外卖订购杯奶茶，则最低花费 元． 【答案】问题1：①630；②78；76；；③620； 问题2：30；3；13；579； 问题3：当时为98；当时为 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式的运用，理解数量关系是关键． 问题1：①根据表格信息，确定赠送的杯数，再计算花费即可； ②根据外卖下单的计算方法，结合优惠券的使用情况即可求解； ③根据情况分别确定六次下单的数量，结合费用的计算即可求解； 问题2：根据电话订购与外卖订单的情况，合理分配购买数量即可求解； 问题3：根据题意，分类讨论，分别确定总费用，再确定优惠费用即可求解． 【详解】解：问题1：①电话订购，每购买10杯奶茶，赠送1杯， ∴李老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶中，购买40杯时，赠送了4杯，还需要购买2杯即可， ∴李老师需要花费：（元）， 故答案为：630； ②某顾客通过外卖下单，购买6杯奶茶，需要花费（元）， ∵每个订单结算时系统自动加收配送费， ∴需要花费（元）， 若使用“满28元可减13元”优惠券，则需要花费（元）； 若使用“满38元可减15元”优惠券，则需要花费（元）； 若一单购买杯奶茶，需要花费元，使用“无门槛5元”优惠券需花费（元）； 故答案为：78；76；； ③李老师在外卖分六次下单这46杯奶茶，并将6张优惠券全部使用， ∵，， ∴使用1张“无门槛5元”优惠券时，下单了1次，每次下单1杯，合计1杯， 需要花费：（元）； 使用2张“满28元可减13元”优惠券时，下单了2次，每次下单6杯，合计12杯， 需要花费：（元）； 使用3张“满38元可减15元”优惠券时，下单了3次，每次下单11杯，合计33杯， 需要花费：（元）； ∴共花费（元）， 故答案为：620； 问题2：∵电话订购，每购买10杯奶茶，赠送1杯， ∴结合问题1中的情况，电话订购30杯，送3杯，需要花费（元）， 外卖订购分5次下单杯， 使用2张“满28元可减13元”优惠券时，分2次下单，每次2杯，共4杯，花费（元）， 使用3张“满38元可减15元”优惠券时，分3次下单，每次3杯，共9杯，花费（元）， ∴共花费（元）， 故答案为：579； 问题3：共下四单外卖订购杯奶茶， 当时， 使用2张“满28元可减13元”优惠券时，分2次下单，每次2杯，共4杯，花费（元）， 使用2张“满38元可减15元”优惠券时，分2次下单，每次3杯，共6杯，花费（元）， ∴共花费（元）； 当时，为使花费最少，应使用优惠力度最大的4张优惠券， 即3张“满38元可减15元”的优惠券和1张“满28元可减13元”优惠券， ∴总花费为奶茶费用与4次配送费之和减去4张优惠券的总优惠金额， ∴共花费（元）， 故答案为：当时为98；当时为． 39．（25-26七年级上·广东佛山·期中）根据以下材料完成任务． 设计被子采购方案 每年“双12”某网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．今年，某宾馆负责人张阿姨在“双12”到来之前准备在某网上商城三家店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条． 素材1 已知三家店铺在非活动期间，均按800元销售，“双12”活动期间在此基础上再分别给予优惠； 素材2 店铺：“双12”当天购买可以再享受8折优惠； 素材3 店铺：“双12”当天下单， ①每满800元可使用店铺优惠券50元； ②每满400元可使用商城“双12”购物津贴券50元； ③每单立减80元，但同一用户活动当天仅可享受1次立减优惠（即不可拆分订单重复享受）； （例：同一用户活动当天购买2条被子需支付元） 素材4 店铺：“双12”当天下单可享立减及满赠——所有订单都能享每条立减140元，当订单的实付数量达到10条及以上时，在立减的基础上还能再免费获赠1条同款商品． 问题解决 任务1 付款方式1 若在店铺9条被子作一单购买，需支付___________元； 付款方式2 若在店铺9条被子作一单购买，需支付___________元； 付款方式3 若在店铺9条被子作一单购买，需支付___________元． 任务2 对比方案 若张阿姨在“双12”当天下单，且购得条该款被子，请用含的代数式分别表示在这三家店铺购买的实际费用．（说明：张阿姨购得的条被子均作一单购买） 任务3 明确需求 已知张阿姨在“双12”当天需下单购得25条该款被子，且可分批次在三家店铺中自主选择下单渠道． 最优方案设计 请结合各店铺优惠规则，制定出最省钱的方案，并计算该方案下的最终购买总金额． 【答案】任务1：5760；5770；5940 任务2：A店铺的费用为元；B店铺的费用为；当（a为整数）时，C店铺的费用为元，当（a为整数）时，C店铺的费用为元； 任务3：最省钱的方案为在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买13条，获得14条，总金额为15180元． 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 任务1：根据题意分别列式得到三家店铺需要支付的费用； 任务2：根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用，其中在C店铺的费用分当和两种情况求解； 任务3：根据任务2所求分别计算出A店铺和B店铺的费用，再计算出在C店铺购买，第一批10条，第二批13条的费用，比较即可得到答案． 【详解】解：任务1：由题意得，在店铺9条被子作一单购买，需支付元， 在店铺9条被子作一单购买，需支付元， 在店铺9条被子作一单购买，需支付元； 任务2：A店铺的费用为元， B店铺的费用为元， 当（a为整数）时，C店铺的费用为元， 当（a为整数）时，C店铺的费用为元； 任务3：当时，， ， ∴A店铺的费用为元，B店铺的费用为元， 在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买13条，获得14条，总费用为， ∵， ∴最省钱的方案为在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买13条，获得14条，总金额为15180元． 40．（25-26七年级上·广东惠州·期中）综合与实践 如何设计装饰布，优化透光面积 素材1 小亮家进行装修，窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成（半径相同），如图1所示．已知长方形窗户的长为，宽为． 素材2 小亮想改变窗户的透光面积，他购买了片形状为四分之一圆的装饰布，半径均为． 问题解决 任务1 分析数量关系 结合素材1，用含，的代数式表示窗户的透光面积为________（结果保留） 任务2 确定透光面积 结合素材1，当，时，求窗户的透光面积．（取） 任务3 设计悬挂方案 结合素材2，请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案，要求：①四片装饰布都要使用，且保持形状不变；②每片装饰布必须全部挂在窗户顶部；③装饰布不可以出现重叠；④设计图要呈现对称美．画出示意图，并算出设计方案中窗户透光的面积．（取） 【答案】任务1：； 任务2：； 任务3：设计示意图如下图所示： ． 【分析】此题主要考查了列代数式，整式的加减，求代数式的值． 任务1：根据窗户透光面积为“长方形的面积两个四分之一圆的面积”列出代数式即可； 任务2：当，代入任务一中的代数式进行计算即可； 任务3：根据设计的示意图，可得“窗户透光面积长方形的面积四个四分之一圆的面积”列出代数式． 【详解】解：任务1，∵长方形窗户的长为，宽为，两个四分之一圆的半径为， 窗户透光面积； 故答案为：； 任务2：当，时，，窗户透光面积； 任务3：此时窗户透光面积， 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $