专题01 整式的加减中规律探索类14大题型64题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版

专题01整式的加减中规律探索类 基础·固本强基 题型1单项式系数、次数规律探索（重点） 题型2正负交替数列规律（重点） 题型3图形递推规律（火柴棒）（重点） 题型4图形递推规律（几何图形）（重点） 题型5图形递推规律（餐桌摆放）（重点） 题型6图形递推规律之其他类（重点） 提升·进阶突破 题型7图形递推规律之等差数列类（重点） 题型8二次型（平方差）数字规律（难点） 题型9表格行列排列规律（难点） 拔高·压轴破难 题型10对折、拆分累加类规律（重点） 题型11绝对值累加型规律（重点） 题型12等比数列求和型规律（重点） 题型13错位相减求和型规律（重点） 题型14新定义类题型规律（重点） 基础·固本强基 题型1单项式系数、次数规律探索（共5小题） 【模型】单项式拆分规律模型→将单项式拆分为符号、系数绝对值、字母部分、次数**四块，分别找每一块的变化规律，再合并成第n项单项式 【步骤】①拆分：分开观察符号、系数绝对值、字母、次数；②分别写出四块关于n的表达式；③组合得到第n个单项式；④代入(n=1,2)验证是否匹配 【易错】系数符号遗漏；次数和序号n的关系式写错；混淆系数与次数；字母指数规律看错 1．（26-27七年级上·全国·期中）观察下列单项式：，，，，，，，写出第n个单项式． 为了解决这个问题，特提供下面的解题思路： 通过观察单项式的结构特征，分三步确定：先确定符号，再确定系数的绝对值，最后确定次数． (1)这组单项式的系数依次为多少？系数符号的规律是什么？第n个单项式的系数的绝对值是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？ 2．（26-27七年级上·全国·期中）观察下列关于的单项式：． (1)直接写出第5个单项式：________． (2)第20个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为2027的单项式的次数是多少？ 3．（26-27七年级上·全国·期中）观察下列单项式：写出第个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？ (4)请你根据猜想，写出第个，第个单项式． 4．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）观察一组单项式：x，，，，…． (1)根据你发现的规律写出第8个单项式． (2)当和时，分别求出前6项的和． 5．（25-26七年级上·陕西延安·期中）观察下列单项式：． (1)按此规律直接写出：第7个单项式是_______________；第8个单项式是_______________． (2)按此规律直接写出第（为正整数）个单项式，并写出它的系数和次数． 题型2正负交替数列规律（共4小题） 【模型】符号调控规律模型→用(-1)n或(-1)n+1控制正负交替，数值部分单独推导通项，最后合并 【步骤】①分离符号和数字两部分；②先寻找数字部分的变化规律；③选择合适的\((-1)\)幂次匹配正负；④整体写出第n项式子并检验 【易错】符号因子选错，奇偶正负颠倒；符号规律和数值规律混在一起；指数写错 6．（26-27七年级上·湖北襄阳·期中）观察下列三行数，并完成后面的问题： ①； ②； ③； (1)思考第①行数的规律，直接写出第7个数是_____； (2)请观察第②行数和第①行数的关系并直接写出第②行数的第8个数是_____； (3)设、、分别表示第①、②、③行数的第10个数，求的值． 7．（26-27七年级上·福建龙岩·期中）观察下列三行数 第一行：2，，8，，32，，······ 第二行：4，，10，，34，，······ 第三行：1，，4，，16，，······ (1)第一行中的第9个数为，第二行中的第9个数为，第三行中的第9个数为； (2)第二、三行中的数与第一行中对应的数分别有什么关系？ 8．（26-27七年级上·江苏南京·期中）仔细观察下列有关联的三行数： 第一行：，4，，16，，64，……； 第二行：0，6，，18，，66，……； 第三行：，2，，8，，32，……； 解答下列问题： (1)第一行中的第7个数为_________． (2)第二行、第三行中的数与第一行中的数分别有什么关系？ (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 9．（26-27七年级上·辽宁大连·期中）观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行中的第8个数为_________； (2)若设第①行中的第（n为正整数）个数为a，请用含a的式子分别表示：第②行中的第n个数为_________，第③行中的第n个数为_____________； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 题型3图形递推规律（火柴棒）（共4小题） 【模型】等差图形递推模型→每新增一个图形，火柴棒增加固定根数，属于等差型，通项：an=首项+(n-1)×公差 【步骤】①数出前3个图形对应的火柴棒数量；②算出每次增加的固定数量（公差）；③写出第n个图形对应的代数式；④代入n检验 【易错】数错初始图形火柴数量；混淆“第n个图形”和“增加n根”；公差计算出错 10．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）用火柴棒按下图的方式搭图形： (1)图②有______根火柴棒；图③有______根火柴棒． (2)按上面的方法继续下去，第个图形中有______根火柴棒． (3)第（的整数）个图形中有______根火柴棒． 11．（26-27七年级上·全国·期中）用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 12．（25-26七年级上·四川成都·期中）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 13．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图，下列图案均由长度相等的小棒按一定的规律拼搭而成：第一个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，…，依此规律摆放． (1)第5个图案需要________根小棒； (2)第n（n大于等于2，且n为整数）个图案中小棒的数量为________；（用含n的代数式表示） (3)按上面的规律，第137个图案中有多少根小棒？ 题型4图形递推规律（几何图形）（共6小题） 【模型】几何图形增量模型→观察图形拼接、分割的变化，统计点、线段、面的数量，寻找增量规律 【步骤】①依次写出前几组图形对应的数据；②对比相邻两组数据，找到增量；③列出第n项整式表达式；④验证 【易错】数点、线段、面的时候漏数、重复计数；找错增量，误判规律类型 14．（26-27七年级上·浙江绍兴·期中）甲、乙、丙、丁四个图都是平面图，观察图甲和表中对应数值，探究计数的方法并作答． (1)数一数每个图形各有多少个顶点，多少条边，这些边围出多少个区域，并将结果填入下表． 图 甲 乙 丙 丁 顶点数 4 7 8 边数 6 9 区域数 3 (2)根据表中数值，写出平面图的顶点数，边数，区域数之间的一种关系：（   ） (3)如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）题中得出的关系，可求出这个平面图形有（   ）条边． 15．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）探索与思考． (1)你将要探索的是多边形内角和与多边形边数的关系．你可以利用三角形内角和为，在多边形内添一些辅助线，把多边形划分成多个三角形来计算．如图，分别算出几个多边形的内角和，从中找出规律． 你发现的多边形内角和与边数n的关系是：（     ）． (2)根据以上规律，可以算出五十边形的内角和是（     ）． 16．（25-26七年级下·福建福州·期中）三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图1给出了七边形的三角剖分的两种方法。 (1)将一个四边形进行三角剖分，则有______种剖分方法； (2)在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法； (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，，其中规定．请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数． 17．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 18．（26-27七年级·全国·期中）奥地利数学家皮克（）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系． (1)观察图形，补全表格． 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 ______ b 6 10 6 6 ______ S 2 6 4 ______ 12 (2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______． 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______． 根据上述发现，可得：______．（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图形的面积． 19．（26-27七年级上·江苏常州·期中）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 题型5图形递推规律（餐桌摆放）（共4小题） 【模型】餐桌人数递推模型→每增加一张餐桌，增加固定可坐人数，等差规律 【步骤】①确定1张桌子的基础人数；②观察每多一张桌子增加几人；③写出第n张桌子可坐人数的式子；④作答验证 【易错】固定基础人数搞错；分不清左右两侧、上下座位增量；列式时忘记基础量 20．（26-27七年级上·全国·期中）某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 21．（26-27七年级上·全国·期中）按如图示的方式摆放餐桌和餐椅． (1)n张餐桌可以摆放多少把餐椅？ (2)8张餐桌可以摆放多少把餐椅？10张呢？15张呢？ 22．（26-27七年级·江苏·期中）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 23．（25-26七年级上·河南信阳·期中）在数学实践活动中，老师带领同学们来到学校餐厅，利用学校餐桌使用情况进行数学问题实践探究活动：学校现有的餐桌，一张桌子可坐6人，同学们讨论以下两种摆放方式，请你利用所学知识解决问题： (1)当有5张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (2)当有n张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有50张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？请说明理由． 题型6图形递推规律之其他类（共4小题） 【模型】通用图形归纳模型→统计前几项数据，先判断等差/等比/二次规律，再构造对应代数式 【步骤】①列出前3~4组数据；②计算差值，判断规律类型；③写出对应通项；④带回原题检验 【易错】只看前两项就下定论，规律判断错误；图形结构理解错误，统计数据失真 24．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图），则这串珠子被盒子遮住的部分有多少颗？ 思考： (1)一位同学小杰，观察变化规律是：两颗白珠子之间黑珠子的数量依次为1颗，2颗．．．，因此被遮住部分有_____颗； (2)另一位同学小磊，可以跳一级找规律：依次为1颗，3颗，紧跟着是5颗，．．．，9，因此被遮住部分的珠子有_____颗． 请你按照上述两位同学的思路，列式计算出（或表述出）相应结果． 25．（26-27七年级上·河南南阳·期中）算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式，……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹． 例如：数字823所对应的图案为“”． (1)算筹“”所表示的数是多少？ (2)算筹“”所表示的数是多少？ (3)求（2）中的数减去（1）中的数的差的绝对值． 26．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）观察下图： (1)图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； (2)第n层应该有多少个点？ (3)第27层有多少个点？ 27．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图所示的是小宇用“●”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答以下问题： 图一：●●●● 图二：●●●●●●● 图三：●●●●●●●●●● 图四：●●●●●●●●●●●●● 图 图一 图二 图三 图四 图五 ．．． ●的个数 4 7 ．．． (1)完成上表； (2)写出●的个数与的函数关系式，并求当时，的值． 提升·进阶突破 题型7图形递推规律之等差数列类（共6小题） 【模型】等差数列通项模型→相邻两项差值恒定，通项：，为首项，为公差 【步骤】①求出相邻两项的差，确认差值不变；②确定首项、公差；③代入公式化简；④检验n=1,2 【易错】公差符号写错；n的起始位置搞错；化简整式计算错误 28．（2026·安徽芜湖·二模）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有________个矩形； (2)图n中共有________个矩形（用含n的式子表示）； (3)已知图1的面积为，若该人行道的面积，求该人行道图案上共有多少个矩形？ 29．（26-27七年级上·安徽蚌埠·期中）观察下面的雪花图和相应的等式，探究其中的规律． (1)完成④和⑤后面的填空： ①； ②； ③； ④___________； ⑤___________；… (2)参照上面的等式写出第个等式； (3)计算：． 30．（26-27七年级上·全国·期中）完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想：__________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 31．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 32．（25-26七年级下·云南玉溪·期中）如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； …… (1)请根据上述规律，计算的结果为________ (2)猜想________； (3)根据发现的规律，计算． 33．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）规律探究，用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形． 第1个图形中有1张正方形纸片； 第2个图形中有（张）正方形纸片； 第3个图形中有（张）正方形纸片； 第4个图形中有（张）正方形纸片； … (1)根据上面的发现我们可以猜想： 第n个图形中有____=_____（张）正方形纸片； (2)请根据你的发现计算： ①； ②（提示：可适当进行拆分） 题型8二次型（平方差）数字规律（共5小题） 【模型】二级差恒定二次规律模型→一级差不相等、二级差固定，通项为二次整式 【步骤】①列出前4组数据；②计算一级差、二级差；③求出二次式系数；④得到第n项表达式并验证 【易错】误当成等差计算；平方项系数求错；代入数值验算出错 34．（26-27七年级上·辽宁营口·期中）探究下列各式的规律： ，，，，… (1)根据你发现的规律填写：_______________×______________________________； (2)用含有n（n为整数，且）的代数式表示（1）中的规律：__________________________________； (3)计算：的值． 35．（26-27七年级上·天津·期中）观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第个等式为，第个等式为． (2)利用上述规律，计算：． 36．（26-27七年级上·甘肃张掖·期中）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________________________； 第50个等式：___________________________； (2)运用你发现的规律 求的值． 37．（26-27七年级上·江苏南京·期中）阅读探究：，，，， (1)根据上述规律，计算的值是_____； (2)用一个含有（为正整数）的等式表示这个规律； (3)根据规律计算：． 38．（26-27七年级上·安徽·期中）观察下列算式，回答下列问题： _______． _______， (1)请完成题干中的填空； (2)的个位数字是________； (3)求的个位数字． 题型9表格行列排列规律（共4小题） 【模型】行列定位规律模型→确定每行数字个数，用除法求商、余数，定位数字所在行、列，推导表达式 【步骤】①找出一行有几个数据；②序号÷每行个数；③商判断行数，余数判断列数；④结合排布方向写式子 【易错】余数为0时行列定位出错；分不清从左向右、从右向左排布；行列规则看错 39．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，将边长为1的正方形第一次划分得到图1，图1中共有4个正方形，其中右上角正方形①的边长为原正方形边长的一半；第二次划分得到图2，图2中共有7个正方形，其中右上角正方形②的边长为正方形①边长的一半；第三次划分得到图3；…；如此下去． 将划分次数和每次划分后正方形总个数进行整理，如表： 划分次数 1 2 3 4 … 正方形总个数 4 7 a b … (1)上表中_________，_________； (2)按上述划分方式，能否得到正方形的总数为2026个？为什么？ (3)第5次划分后，右上角最小正方形的面积为_________． 40．（25-26六年级下·全国·期中）有如下问题：“平面上，分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上．经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线条数 1 2+1 3+2+1 4+3+2+1 … (1)请你帮小明在图表的横线上填上归纳出的一般性结论； (2)若某人共画了171条直线，则该平面上共有多少个点？ 41．（25-26七年级上·山东青岛·期中）本册书的学习中，我们经历了归纳等问题解决策略的学习．归纳是从几种特殊情形出发，展开研究，最终得到一般规律，归纳是发现数学结论、解决实际问题的重要方法． 【问题探究】 如图，在不改变原图形形状的前提下，将一张长方形纸片剪次，最多可以将该纸片分成多少部分？ 将探究结果整理成下面的表格： 剪的次数 1 2 3 4 5 ．．． 最多可分成的部分数 2 4 7 - - ．．． （1）补全表格； （2）归纳：_____（用含的代数式表示） 【应用结论】 （3）在不改变原图形形状的前提下，将一张长方形纸片剪20次，最多可以将该纸片分成_____部分． 【拓展延伸】 （4）在不改变原图形形状的前提下，切一个长方体木块，竖切（垂直于底面切）次，横切（平行于底面切）次，则最多可将这个长方体木块分成_____块； （5）在不改变原图形形状的前提下，切一个长方体木块，一共切5次，竖切_____次，横切_____次，能切出的块数最多． （6）针对这个切木块的情境，你还想继续研究什么问题？ 你的问题是：__________． 42．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）观察如图，按要求回答问题（单位：cm） 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形的周长 … (1)观察图形规律并填表； (2)现在给这个图形涂上某种颜料，共花费324元．已知，若这个图形中梯形的高为3cm，cm，求这种颜料每平方厘米多少元？ 拔高·压轴破难 题型10对折、拆分累加类规律（共6小题） 【模型】指数递变累加模型→每次对折/拆分，数量按固定倍数变化，通项为指数式，按需累加求和 【步骤】①写出前几次操作后的结果；②观察底数、指数变化；③写出第n次结果；④求总和 【易错】对折次数与指数对应错误；混淆“第n次结果”和“累计总和” 43．（26-27七年级上·安徽蚌埠·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第5个等式：； (2)利用规律计算：的值． 44．（26-27七年级上·福建龙岩·期中）阅读材料： ，，，…… (1)________，________； (2)计算：； (3)计算：． 45．（26-27七年级上·广东佛山·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：______． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 46．（26-27七年级上·山东德州·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ．我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似的，对于可以用裂项的方法变形为：． 类比上述方法，解决以下问题． (1)【类比探究】猜想并写出：_______；_______． (2)【理解运用】类比裂项的方法，计算：． (3)【迁移应用】探究并计算：． 47．（26-27七年级上·山东济南·期中）阅读下列材料： ①，， ②，， ③，， (1)写出①组中的第个等式：； (2)写出②组的第个等式：； (3)利用由①②③组你发现的等式规律计算：． 48．（26-27七年级上·福建漳州·期中）我们知道：，， 根据规律填空： (1)______，______． 根据以上规律计算： (2)； (3)若，则_____，_____，求的值． 题型11绝对值累加型规律（共3小题） 【模型】绝对值分段累加模型→先确定每一组绝对值式子的变化周期，分组求和，再结合序号计算总和 【步骤】①拆解开绝对值，判断内部正负；②分组，寻找循环单元；③一组求和；④组数×每组和+剩余项 【易错】去绝对值符号出错；分组边界划分错误；剩余项求和漏算 49．（26-27七年级上·广东东莞·期中）观察下列各式的特征： ；；；． 根据规律，解决以下问题： (1)表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为___________． A．    B．    C．    D． (2)计算：． 50．（26-27七年级上·陕西汉中·期中）【观察】 ， ， ， ． 【体验】 (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用算出结果）： ①________； ②_________； ③___________． 【应用】 (2)应用以上规律计算： 51．（26-27七年级上·湖南娄底·期中）阅读材料解决问题 (1)数学李老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方式计算： ； (2)阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： ①________； ②计算：． 题型12等比数列求和型规律（共4小题） 【模型】等比求和模型 【步骤】①判断后项÷前项=定值，确定首项、公比；②分清是求第n项，还是前n项的和；③套用求和公式；④化简整式 【易错】公比判断错误；求和公式和通项公式混淆；\(q=1\)特殊情况忽略 52．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是，空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令① 等式两边同时乘以2，得② 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为_____． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为_____． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为_____ 53．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； (4)【拓展延伸】参考上述方法，当n=6时，求出值． （参考：，） 54．（25-26七年级下·重庆江北·期中）将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图③，以此类推． (1)图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，图③中阴影部分的面积为； (2)计算：． 55．（26-27七年级上·广西南宁·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式： (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式： (3)请利用上述规律计算：． 题型13错位相减求和型规律（共3小题） 【模型】错位相减求和模型→等差×等比复合型数列，通过错位对齐、两式相减消中间项求和 【步骤】①写出和式Sn；②两边同乘公比得到新式子；③两式错位对齐相减；④整理化简求出Sn 【易错】错位对齐位置错；相减时符号出错；最后化简整式失误 56．（26-27七年级·全国·期中）【阅读材料】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．请用你学到的方法计算：． 57．（23-24七年级下·山东聊城·期中）在数学活动中，小明为了求的值，写出下列解题过程． 设：① 两边同乘以2得： ② 由得： (1)应用结论：______； (2)拓展探究： ①求：的值； ②求：的值． 58．（25-26六年级上·山东威海·期中）【信息提取】信息1：从2开始，连续的正偶数相加，和的情况如下表： 偶数的个数 个偶数的和 1 2 2 3 4 信息2：计算． 解：(方法一)令，． 则 所以 ． 即． (方法二)令． 则 ． 所以 ． 即． 【问题解决】 (1)若，则__________×_________； (2)①猜想______；(为正整数，结果用的代数式表示) ②写出“①猜想”合理性的理由； (3)利用上述规律和方法进行计算： ③； ④． 题型14新定义类题型规律（共5小题） 【模型】新定义翻译归纳模型→读懂题目自定义运算规则，先算前几项，归纳内在规律，再用整式表 【步骤】①严格按新定义运算算出前3项；②观察数据变化；③归纳第n项表达式；④代入条件求解 【易错】看不懂新定义，自行改动运算规则；只套规律忽略定义前提；计算前几项出错 59．（26-27七年级上·辽宁葫芦岛·期中）若，定义的差倒数为．如的差倒数为．已知，是的差倒数，是的差倒数以此类推． (1)求、、； (2)直接写出； (3)计算； (4)求的值． 60．（25-26七年级上·广西南宁·期中）阅读材料 定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：因为，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是__________．（请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 61．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）已知（且n是自然数）是按顺序排列的若干个数．定义一种运算方式：第一个数为，第二个数开始，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数． (1)试计算：________；________；________． (2)根据以上计算试求的值． (3)若表示不超过p的最大整数，如，记，当时， ________（直接写出答案）． 62．（25-26七年级上·广东广州·期中）阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 材料二：关于数学家高斯的故事：2000多年前，高斯的老师提出了下面的问题： ？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：． 也可以这样理解：令①， 则②， ①+②得：， 即． 解决问题： (1) ； ； (2)已知，且，求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求：值． 63．（25-26七年级上·重庆·期中）材料一： 对于任意有理数，定义新运算“”：．例如： ． 材料二： 规定表示不大于的最大整数，如：． 根据上述材料解答下列问题： (1)_____；_____； (2)计算的值； (3)若有理数满足，求． 1/56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01整式的加减中规律探索类 基础·固本强基 题型1单项式系数、次数规律探索（重点） 题型2正负交替数列规律（重点） 题型3图形递推规律（火柴棒）（重点） 题型4图形递推规律（几何图形）（重点） 题型5图形递推规律（餐桌摆放）（重点） 题型6图形递推规律之其他类（重点） 提升·进阶突破 题型7图形递推规律之等差数列类（重点） 题型8二次型（平方差）数字规律（难点） 题型9表格行列排列规律（难点） 拔高·压轴破难 题型10对折、拆分累加类规律（重点） 题型11绝对值累加型规律（重点） 题型12等比数列求和型规律（重点） 题型13错位相减求和型规律（重点） 题型14新定义类题型规律（重点） 基础·固本强基 题型1单项式系数、次数规律探索（共5小题） 【模型】单项式拆分规律模型→将单项式拆分为符号、系数绝对值、字母部分、次数**四块，分别找每一块的变化规律，再合并成第n项单项式 【步骤】①拆分：分开观察符号、系数绝对值、字母、次数；②分别写出四块关于n的表达式；③组合得到第n个单项式；④代入(n=1,2)验证是否匹配 【易错】系数符号遗漏；次数和序号n的关系式写错；混淆系数与次数；字母指数规律看错 1．（26-27七年级上·全国·期中）观察下列单项式：，，，，，，，写出第n个单项式． 为了解决这个问题，特提供下面的解题思路： 通过观察单项式的结构特征，分三步确定：先确定符号，再确定系数的绝对值，最后确定次数． (1)这组单项式的系数依次为多少？系数符号的规律是什么？第n个单项式的系数的绝对值是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？ 【答案】(1)，3，，7，……，，39；系数符号的规律为第奇数个单项式的系数符号为负，第偶数个单项式的系数符号为正； (2)从1开始的连续自然数 (3) 【分析】（1）根据已知数据可得出单项式的系数和单项式的系数的符号规律，继而可得第n个单项式的系数的绝对值； （2）根据已知数据次数得出变化规律； （3）根据（1）（2）中数据规律得出即可． 【详解】（1）解：∵单项式：，，，，，，， ∴这组单项式的系数依次为，3，，7，……，，39， ∴这组单项式的系数符号的规律是第奇数个单项式的系数符号为负，第偶数个单项式的系数符号为正； ∵这组单项式的系数的绝对值是，3，，7，……，，39， ∴第n个单项式的系数的绝对值是． （2）解：∵这组单项式的次数依次为1，2，3，4，……，19，20， ∴这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数． （3）解：根据（1）（2）中系数和次数的规律可得：第n个单项式是． 2．（26-27七年级上·全国·期中）观察下列关于的单项式：． (1)直接写出第5个单项式：________． (2)第20个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为2027的单项式的次数是多少？ 【答案】(1) (2)系数是，次数是41 (3)2029 【分析】（1）根据给出示例，写出第5个单项式； （2）根据给出示例，找出单项式的规律，利用代数式表示出来，然后写出第20个单项式，确定其系数和次数； （3）根据系数的规律，列出方程求解． 【详解】（1）解：根据给出示例，可知第5个单项式是； （2）解：由题意得， 第个单项式为， 所以第20个单项式为， 所以第20个单项式的系数是，次数是41； （3）解：因为系数的绝对值为2027， 所以， 所以， 所以单项式的次数为． 3．（26-27七年级上·全国·期中）观察下列单项式：写出第个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？ (4)请你根据猜想，写出第个，第个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数依次为，绝对值规律是从开始的连续奇数，即 (2)这组单项式的次数的规律是从开始的连续正整数 (3)第n个单项式是 (4)第个单项式是，第个单项式是 【分析】（1）根据题目中的单项式，依次写出这组单项式的系数及其绝对值即可得出答案； （2）根据题目中的单项式，可以写出这组单项式的次数就可以得出规律； （3）根据（1）和（2）中的发现，可以写出第个单项式； （4）根据（3）中的猜想可以写出第个，第个单项式． 【详解】（1）解：这组单项式的系数依次为， ∵这组单项式系数的绝对值为， ∴绝对值规律是从开始的连续奇数，即． （2）解：∵这组单项式的次数分别为， ∴这组单项式的次数的规律是从开始的连续正整数． （3）解：由（1）（2）中规律可知，第个单项式的系数为，次数为， ∴第n个单项式是． （4）解：由（3）可知第n个单项式是， ∴第个单项式是， 第个单项式是． 4．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）观察一组单项式：x，，，，…． (1)根据你发现的规律写出第8个单项式． (2)当和时，分别求出前6项的和． 【答案】(1) (2)当时，前6项的和为；当时，前6项的和为 【分析】本题主要考查单项式的规律问题，解题的关键是得到单项式的一般规律； （1）由题意易得…；由此问题可求解； （2）根据（1）可知：前6项的单项式分别为x，，，，，，然后分别代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由x，，，，…；可知：…； ∴第8个单项式为； （2）解：由（1）可知：前6项的单项式分别为x，，，，，， ∴当时，前6项的和为； 当时，前6项的和为． 5．（25-26七年级上·陕西延安·期中）观察下列单项式：． (1)按此规律直接写出：第7个单项式是_______________；第8个单项式是_______________． (2)按此规律直接写出第（为正整数）个单项式，并写出它的系数和次数． 【答案】(1)， (2)第个单项式是，其系数为，次数为 【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． （1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知： 单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，， x的指数都是3，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，， 故第7个单项式是：， 第8个单项式是：． 故答案为：，； （2）解：由上可得第个单项式是，其系数为，次数为． 题型2正负交替数列规律（共4小题） 【模型】符号调控规律模型→用(-1)n或(-1)n+1控制正负交替，数值部分单独推导通项，最后合并 【步骤】①分离符号和数字两部分；②先寻找数字部分的变化规律；③选择合适的\((-1)\)幂次匹配正负；④整体写出第n项式子并检验 【易错】符号因子选错，奇偶正负颠倒；符号规律和数值规律混在一起；指数写错 6．（26-27七年级上·湖北襄阳·期中）观察下列三行数，并完成后面的问题： ①； ②； ③； (1)思考第①行数的规律，直接写出第7个数是_____； (2)请观察第②行数和第①行数的关系并直接写出第②行数的第8个数是_____； (3)设、、分别表示第①、②、③行数的第10个数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）找出数列的规律，然后利用代数式表示出规律，即可求解； （2）找出两组数列的关系，然后利用代数式表示出规律，即可求解； （3）找出和两组数列的关系，然后利用代数式表示出规律，求出各值代入求解． 【详解】（1）解：第个数为， ∴第7个数是； （2）解：通过观察可得，第②组数据可以由第①组数据对应项乘所得， ∴第②组数据的第个数为， ∴第8个数是； （3）解：通过观察可得，第③组数据可以由第②组数据对应项乘，然后再加所得， ∴第③组数据的第个数为， ∴， ， ， ∴． 7．（26-27七年级上·福建龙岩·期中）观察下列三行数 第一行：2，，8，，32，，······ 第二行：4，，10，，34，，······ 第三行：1，，4，，16，，······ (1)第一行中的第9个数为，第二行中的第9个数为，第三行中的第9个数为； (2)第二、三行中的数与第一行中对应的数分别有什么关系？ 【答案】(1)512；514；256 (2)第二行中的数是第一行中对应的数加上2；第三行中的数是第一行中对应的数除以2 【分析】（1）通过观察可得到第一行数第个数的规律，写出第一行第9个数，再根据第二行的数是第一行数加2，第三行中的数是第一行中对应的数除以2，求出结果即可； （2）观察各行数的规律来求解即可． 【详解】（1）解：∵2，，8，，32，， 第一行的第个数是， ∴第一行中的第9个数为； 观察可知，第二行的数是第一行对应的数加2，第三行中的数是第一行中对应的数除以2， ∴第二行中的第9个数为；第三行中的第9个数为； （2）略 8．（26-27七年级上·江苏南京·期中）仔细观察下列有关联的三行数： 第一行：，4，，16，，64，……； 第二行：0，6，，18，，66，……； 第三行：，2，，8，，32，……； 解答下列问题： (1)第一行中的第7个数为_________． (2)第二行、第三行中的数与第一行中的数分别有什么关系？ (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2) 第二行的每个数是第一行对应位置的数加2，第个数为； 第三行的每个数是第一行对应位置的数的，第个数为 (3) 【分析】以第一行的排列规律为突破口，对比各行对应位置的数得到数量关系，代入对应序号计算求解． 【详解】（1）解：观察第一行数： 得第一行第个数为 所以当时，； （2）解：对比第二行与第一行对应位置的数： …… ∴第二行的数是第一行对应位置的数加2，第个数为 对比第三行与第一行对应位置的数： …… ∴第三行的数是第一行对应位置的数的，第个数为； （3）解：当时，第一行第9个数： 第二行第9个数： 第三行第9个数： 三个数的和为：． 9．（26-27七年级上·辽宁大连·期中）观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行中的第8个数为_________； (2)若设第①行中的第（n为正整数）个数为a，请用含a的式子分别表示：第②行中的第n个数为_________，第③行中的第n个数为_____________； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据前面6个数的规律，可写出第7个、第8个数，从而完成解答； （2）找出每行的规律即可完成；第①行：符号是第一个数为负，第二个数为正，且负正相间，数字为2的乘方；第②行：第①行对应的数加1；第③行：第①行对应的数的倍； （3）根据（2）中的规律求出每行中的第10个数，再计算这三个数的和即可． 【详解】（1）解：由规律得：第7个数为，第8个数为256； （2）解：第①行第n个数为a； 第②行为第①行对应的数加1，即第n个数为； 第③行为第①行对应的数的倍，即第n个数为； （3）解：每行中第10个数的和为： ． 题型3图形递推规律（火柴棒）（共4小题） 【模型】等差图形递推模型→每新增一个图形，火柴棒增加固定根数，属于等差型，通项：an=首项+(n-1)×公差 【步骤】①数出前3个图形对应的火柴棒数量；②算出每次增加的固定数量（公差）；③写出第n个图形对应的代数式；④代入n检验 【易错】数错初始图形火柴数量；混淆“第n个图形”和“增加n根”；公差计算出错 10．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）用火柴棒按下图的方式搭图形： (1)图②有______根火柴棒；图③有______根火柴棒． (2)按上面的方法继续下去，第个图形中有______根火柴棒． (3)第（的整数）个图形中有______根火柴棒． 【答案】(1), (2) (3) 【分析】通过观察火柴棒搭建正方形的图形，发现每增加一个正方形就增加根火柴棒，据此推导出通项公式，再代入序号求值． 【详解】（1）解：图②有根火柴棒；图③有根火柴棒． （2）解：观察图形发现第一个图形有根火柴棒； 第二个图形有根火柴棒； 第三个图形有根火柴棒； … 第个图形有根火柴棒； 当时，根火柴棒； （3）解：由得第（的整数）个图形中有根火柴棒． 11．（26-27七年级上·全国·期中）用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 【答案】(1) 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2) 【分析】第一个图形有小棒根，第二个图形有小棒根，第三个图形有小棒根，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，根据此规律可得答案． 【详解】（1）解：第一个图形小棒根数，第二个图形小棒根数为，第三个图形小棒根数为，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，所以第四个图形小棒根数为，第五个图形小棒根数为． （2）解：由小问1可知后面的图形都比前面相邻的图形多根， 第一个图形小棒根数为，可表示为， 第二个图形小棒根数为，可表示为， 第三个图形小棒根数为，可表示为， 第个图形可表示为． 12．（25-26七年级上·四川成都·期中）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 【答案】（1）10；（2）49；（3） 【分析】本题考查图形类规律探索，找出图形变化规律是解题的关键． （1）根据前3组数据找出变化规律，利用规律求解； （2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒，由此列方程求解； （3）第n个图形有n层，每层竖放小棒数为 【详解】解：（1）由题意知，第2个图形比第1个图形多6根小棒，， 第3个图形比第2个图形多8根小棒，， 以此类推，第4个图形比第3个图形多：根小棒， 故答案为：10； （2）由（1）知第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒， 令， 解得； （3）由题意得，第n个图形竖放小棒根数为， 解得． 13．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图，下列图案均由长度相等的小棒按一定的规律拼搭而成：第一个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，…，依此规律摆放． (1)第5个图案需要________根小棒； (2)第n（n大于等于2，且n为整数）个图案中小棒的数量为________；（用含n的代数式表示） (3)按上面的规律，第137个图案中有多少根小棒？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查图形规律，找出规律是关键． （1）根据题意得到第5个图案需要的小棒数为，，由此即可求解； （2）根据（1）的图形规律得到当从第2个图案，即开始，第n个图案中小棒的数量为，由此即可求解； （3）把代入（2）中的代数式计算即可． 【详解】（1）解：第1个图案需要7根小棒， 第2个图案需要13根小棒，即 第3个图案需要18根小棒，即， 第4个图案需要的小棒数为，， ∴第5个图案需要的小棒数为，， 故答案为：； （2）解：根据题意，当从第3个图案，即开始，第n个图案中小棒的数量为， 故答案为：； （3）解：， ∴第137个图案中有根小棒． 题型4图形递推规律（几何图形）（共6小题） 【模型】几何图形增量模型→观察图形拼接、分割的变化，统计点、线段、面的数量，寻找增量规律 【步骤】①依次写出前几组图形对应的数据；②对比相邻两组数据，找到增量；③列出第n项整式表达式；④验证 【易错】数点、线段、面的时候漏数、重复计数；找错增量，误判规律类型 14．（26-27七年级上·浙江绍兴·期中）甲、乙、丙、丁四个图都是平面图，观察图甲和表中对应数值，探究计数的方法并作答． (1)数一数每个图形各有多少个顶点，多少条边，这些边围出多少个区域，并将结果填入下表． 图 甲 乙 丙 丁 顶点数 4 7 8 边数 6 9 区域数 3 (2)根据表中数值，写出平面图的顶点数，边数，区域数之间的一种关系：（   ） (3)如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）题中得出的关系，可求出这个平面图形有（   ）条边． 【答案】(1)第一行：10；第二行：12，15；第三行：3，5，6． (2) (3)30 【分析】（1）按照规律去数顶点数，边数以及区域数； （2），，，，所以可得到一般规律：顶点数区域数边数； （3）将，代入到（2）中的公式，即可求出的值． 【详解】（1）解：结合图形可以得出： 图甲有4个顶点、6条边、这些边围成3个区域； 图乙有7个顶点、9条边、这些边围成3个区域； 图丙有8个顶点、12条边、这些边围成5个区域； 图丁有10个顶点、15条边、这些边围成6个区域． （2）解：∵，，，， ∴顶点数区域数边数， 即． （3）解：∵，， ∴，解得， ∴这个平面图形有30条边． 15．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）探索与思考． (1)你将要探索的是多边形内角和与多边形边数的关系．你可以利用三角形内角和为，在多边形内添一些辅助线，把多边形划分成多个三角形来计算．如图，分别算出几个多边形的内角和，从中找出规律． 你发现的多边形内角和与边数n的关系是：（     ）． (2)根据以上规律，可以算出五十边形的内角和是（     ）． 【答案】(1)边形内角和 (2) 【分析】（1）分别把四边形、五边形、六边形分割为三角形，即可发现它们的内角和等于三角形个数乘以，计算后可发现规律多边形内角和与边数n的关系是：n边形内角和为． （2）根据（1）的规律，把代入即可得五十边形的内角和． 【详解】（1）解：如图， ∵三角形内角和为， ∴四边形的内角和为：，其中， 五边形的内角和为：，其中， 六边形的内角和为：，其中， …… 观察发现，n边形内角和， ∴多边形内角和与边数n的关系是：n边形内角和． （2）解：由（1）得：多边形内角和与边数n的关系是：n边形内角和， ∴五十边形的内角和为：， ∴五十边形的内角和是． 16．（25-26七年级下·福建福州·期中）三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图1给出了七边形的三角剖分的两种方法。 (1)将一个四边形进行三角剖分，则有______种剖分方法； (2)在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法； (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，，其中规定．请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意画出四边形的不同三角剖分方法数； （2）根据题意画出五边形的三角剖分的一种方法； （3）根据公式进行计算即可求解． 【详解】（1）如图， 将一个四边形进行三角剖分，则有种剖分方法； （2）略 （3）由题意得，， ∵时，， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴． 17．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 【答案】(1)①6，54；② (2) (3)铺设这样的图案，最多能铺11层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为 ， 令， ， 因为，，且为正整数， 所以最大取12，即最大取11， 所以最多可以铺设这样的图案11层． 【分析】（1）列出前面几层正方形和三角形个数，找出规律，利用规律求解； （2）观察前面几个式子，找出规律，利用规律求解； （3）先计算出正方形地板可以铺多少层，由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，令，即可求解． 【详解】（1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为； （2）解：由题意知，； （3）略 18．（26-27七年级·全国·期中）奥地利数学家皮克（）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系． (1)观察图形，补全表格． 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 ______ b 6 10 6 6 ______ S 2 6 4 ______ 12 (2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______． 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______． 根据上述发现，可得：______．（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图形的面积． 【答案】(1) 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 6 b 6 10 6 6 14 S 2 6 4 8 12 (2)1；； (3)图形的面积为21． 【分析】（1）先观察图形⑤，数出内部格点数i和边界格点数b；观察前几个图形，可以把图形④当作是两个相等的梯形，上底是1，下底是3，高是2，计算图形④的面积S； （2）对比①、③、④的i和S的变化量，得出每增加i时面积的变化值；对比②和③、④和⑤的b和S的变化量，得出b每增加1时面积的变化值；再结合这两个变化规律，推导S关于i和b的表达式； （3）先确定目标图形的内部格点数i和边界格点数b，再代入（2）中推导的公式计算面积． 【详解】（1）略 （2）解：①：图形①、③、④的边界格点b都是6，每增加i，面积对应增加1； 即观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加1， ②：图形②和③的内部格点i都是2，b增加4时面积增加2，因此b每增加1，面积增加​； 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加； ③：， ， ， 根据上述发现，可得：； （3）解：由图可知： 答：图形的面积为21． 19．（26-27七年级上·江苏常州·期中）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)，n (3)不存在，理由如下： 当一个图案中有30个六边形时， 该图案中三角形的个数为：， 所以不存在这样的图案． 【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中三角形及六边形的个数，发现规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据上面发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为1， 第2个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为2， 第3个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为3， …， 所以第n个图案中三角形的个数为，六边形的个数为n， 当时， 第4个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为4； （2）解：由（1）知， 第n个图案中三角形的个数为，六边形的个数为n； （3）解：略 题型5图形递推规律（餐桌摆放）（共4小题） 【模型】餐桌人数递推模型→每增加一张餐桌，增加固定可坐人数，等差规律 【步骤】①确定1张桌子的基础人数；②观察每多一张桌子增加几人；③写出第n张桌子可坐人数的式子；④作答验证 【易错】固定基础人数搞错；分不清左右两侧、上下座位增量；列式时忘记基础量 20．（26-27七年级上·全国·期中）某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 【答案】(1)摆4张桌子可坐12人，摆5张桌子可坐14人，摆n张桌子可坐人 (2)摆4张桌子可坐18人，摆5张桌子可坐22人，摆n张桌子可坐人 (3)按第二种方式所需要的餐桌数较少 【分析】（1）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐2人，n张餐桌共可坐（人）； （2）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐4人，n张餐桌共可坐（人）． （3）分别求出两种方式坐300人各需多少张桌子，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加2人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人） 摆n张桌子可坐（人）； （2）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加4人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人）， 摆n张桌子可坐（人）； （3）解：若按第一种方式， 由， 得， 则需要148张桌子； 若按第二种方式， 由， 得， 则需要75张桌子； ∵， ∴按第二种方式所需要的餐桌数较少． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律是解决问题的关键． 21．（26-27七年级上·全国·期中）按如图示的方式摆放餐桌和餐椅． (1)n张餐桌可以摆放多少把餐椅？ (2)8张餐桌可以摆放多少把餐椅？10张呢？15张呢？ 【答案】(1) (2)34；42；62 【分析】（1）观察摆放的餐桌和椅子图示，得到摆放1张，2张，3张桌子，…，放的椅子数依次是6，10，14，…从中得到一个规律，那么根据摆放规律，就能表示出摆放n张餐桌，应放的椅子数为，再进一步解答即可． （2）将，10，15，分别代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由图示，摆放1张，2张，3张，…桌子，放的椅子数依次是6，10，14，… ， ， ， … ∴摆放n张餐桌应放的椅子数为． （2）解：当时，， 当时，， 当时，． 22．（26-27七年级·江苏·期中）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 【答案】(1)2 (2)22 (3) 【详解】（1）解：观察发现：每增加1张桌子，可坐人数就增加2人． （2）解：10张桌子拼在一起，相当于增加了（张）桌子． （人） 因此如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐22人． （3）解：人 因此按这样拼下去，m张餐桌可坐人． 23．（25-26七年级上·河南信阳·期中）在数学实践活动中，老师带领同学们来到学校餐厅，利用学校餐桌使用情况进行数学问题实践探究活动：学校现有的餐桌，一张桌子可坐6人，同学们讨论以下两种摆放方式，请你利用所学知识解决问题： (1)当有5张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (2)当有n张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有50张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？请说明理由． 【答案】(1)22；14 (2)； (3) 解：选择第一种方式．理由如下： 第一种方式：50张坐（人）； 第二种方式：50张坐（人）； ∵， ∴选择第一种方式． 【分析】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． （1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；旁边4人除外，每张桌可以坐2人，由此即可解决问题； （2）根据（1）中所得规律列式可得； （3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断． 【详解】（1）解：当有5张桌子时， 第一种摆放方式能坐（人）， 第二种摆放方式能坐（人）， 故答案为：22；14； （2）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人， 即有n张桌子时是； 第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人， 即， 故答案为：；． （3）略 题型6图形递推规律之其他类（共4小题） 【模型】通用图形归纳模型→统计前几项数据，先判断等差/等比/二次规律，再构造对应代数式 【步骤】①列出前3~4组数据；②计算差值，判断规律类型；③写出对应通项；④带回原题检验 【易错】只看前两项就下定论，规律判断错误；图形结构理解错误，统计数据失真 24．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图），则这串珠子被盒子遮住的部分有多少颗？ 思考： (1)一位同学小杰，观察变化规律是：两颗白珠子之间黑珠子的数量依次为1颗，2颗．．．，因此被遮住部分有_____颗； (2)另一位同学小磊，可以跳一级找规律：依次为1颗，3颗，紧跟着是5颗，．．．，9，因此被遮住部分的珠子有_____颗． 请你按照上述两位同学的思路，列式计算出（或表述出）相应结果． 【答案】(1)27 (2)27 【分析】（1）白珠间隔的黑珠数依次递增，盒左到4颗黑珠段，盒右露出8颗黑珠中的2颗，中间被遮挡部分包含5、6、7段黑珠及间隔白珠． （2）跳一级观察奇数段黑珠数1，3，5，7，仅为找规律的观察方式，偶数段珠子仍存在，遮挡珠子总数不变． 【详解】（1）解：两颗白珠子之间黑珠子数量依次：1，2，3，4，5，6，7，8，9， 盒子左边相邻白珠间黑珠是颗，盒子右边相邻白珠间黑珠是颗， 盒子内包含：黑珠子5，6，7，8颗；右边8颗黑珠露出颗， 所以8里面遮住（颗）． 黑珠子总数： （颗）， 盒子内还有颗白珠子， （颗）； （2）解：跳一级找规律，隔一段选取黑珠段，取出奇数段黑珠数量依次为1，3，5，7，9； 跳一级只是观察规律的方式，原数列被跳过的偶数段2，4，6，8仍然真实存在，珠子实际排列不变． 盒子左侧结束在4颗黑珠这一段之后，盒子右侧露出8颗黑珠中的2颗， 盒子遮住部分包含：5黑、1白、6黑、1白、7黑、1白，以及8黑剩下颗黑珠， 被遮住珠子总数：（颗）． 25．（26-27七年级上·河南南阳·期中）算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式，……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹． 例如：数字823所对应的图案为“”． (1)算筹“”所表示的数是多少？ (2)算筹“”所表示的数是多少？ (3)求（2）中的数减去（1）中的数的差的绝对值． 【答案】(1)8429 (2) (3)9101 【分析】（1）根据题干定义解答即可； （2）根据题干定义解答即可； （3）计算并求绝对值即可． 【详解】（1）解：由题干定义可知，该算筹表示的数为：8429． （2）解：由题干定义可知，该算筹表示的数为：． （3）解：， ． 26．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）观察下图： (1)图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； (2)第n层应该有多少个点？ (3)第27层有多少个点？ 【答案】(1)9 (2) (3)53 【分析】（1）先统计已知的第1层、第2层、第3层、第4层的点数，分析相邻两层点数的差值规律即可求解； （2）根据层数和对应点数之间的规律，即可归纳出第层的点数公式； （3）将层数代入（2）中的公式计算即可． 【详解】（1）解：第1层有个点，第2层有个点，第3层有个点，第4层有个点， 如果继续画下去，那么第5层有个点 （2）解：第1层： 第2层： 第3层： 第4层： 按照这个规律：第层应该有个点． （3）解：把代入规律公式，得（个）， 所以第27层有个点． 27．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图所示的是小宇用“●”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答以下问题： 图一：●●●● 图二：●●●●●●● 图三：●●●●●●●●●● 图四：●●●●●●●●●●●●● 图 图一 图二 图三 图四 图五 ．．． ●的个数 4 7 ．．． (1)完成上表； (2)写出●的个数与的函数关系式，并求当时，的值． 【答案】(1)见解析 (2)．当时， 【分析】（1）观察图形变化特点逐个填写即可； （2）根据（1）图形的变化特点得出规律，即可得出关系式，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意填表如下： 图 图一 图二 图三 图四 图五 ．．． ●的个数 4 7 10 13 16 ．．． （2）解：第1个图中●的个数有4个； 第2个图中●的个数有（个）； 第3个图中●的个数有（个）； 第4个图中●的个数有（个）； 第5个图中●的个数有（个）； 第n个图中●的个数有（个）． 当时，． 提升·进阶突破 题型7图形递推规律之等差数列类（共6小题） 【模型】等差数列通项模型→相邻两项差值恒定，通项：，为首项，为公差 【步骤】①求出相邻两项的差，确认差值不变；②确定首项、公差；③代入公式化简；④检验n=1,2 【易错】公差符号写错；n的起始位置搞错；化简整式计算错误 28．（2026·安徽芜湖·二模）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有________个矩形； (2)图n中共有________个矩形（用含n的式子表示）； (3)已知图1的面积为，若该人行道的面积，求该人行道图案上共有多少个矩形？ 【答案】(1)60 (2) (3)481200个 【分析】（1）根据，推出图4中的矩形个数即可； （2）由（1）推导出规律即可； （3）观察可知图的面积是图1面积的倍，进而求出的值，代入（2）中规律进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴图4中的矩形个数为（个）； （2）解：由（1）可知，图n中共有个矩形； （3）解：观察可知，图的面积是图1面积的倍， ∴当时，， 当时，， 故该人行道图案上共有个矩形. 29．（26-27七年级上·安徽蚌埠·期中）观察下面的雪花图和相应的等式，探究其中的规律． (1)完成④和⑤后面的填空： ①； ②； ③； ④___________； ⑤___________；… (2)参照上面的等式写出第个等式； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的加法运算法则直接计算即可； （2）由部分点阵图对应的等式，得出规律，即可得出第个点阵图对应的等式； （3）由（2）的结论，即可求出结论． 【详解】（1）解：，； （2）解：①， ②， ③， ④， ⑤， ∴第个等式为， 即； （3）解：观察可知，第个等式为， ∴ ． 30．（26-27七年级上·全国·期中）完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想：__________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 【答案】(1)解：由图可得，图1由1个小圆圈组成，图2由4个小圆圈组成，图3由9个小圆圈组成，图4由16个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； 还可以发现图1由1个小圆圈组成，图2由个小圆圈组成，图3由个小圆圈组成，图4由个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； (2) (3)(n为正整数） 【分析】（1）根据图形的变化寻找规律进行求解即可； （2）由（1）求解即可； （3）由（1）求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：(n为正整数）． 31．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 32．（25-26七年级下·云南玉溪·期中）如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； …… (1)请根据上述规律，计算的结果为________ (2)猜想________； (3)根据发现的规律，计算． 【答案】(1)210 (2) (3)4995 【分析】（1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可进行求解； （3）分成1到100的和减去1到10的和，利用（2）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解:   ． 33．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）规律探究，用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形． 第1个图形中有1张正方形纸片； 第2个图形中有（张）正方形纸片； 第3个图形中有（张）正方形纸片； 第4个图形中有（张）正方形纸片； … (1)根据上面的发现我们可以猜想： 第n个图形中有____=_____（张）正方形纸片； (2)请根据你的发现计算： ①； ②（提示：可适当进行拆分） 【答案】(1)； (2)①2500；②7500 【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． （1）观察式子是连续的奇数相加可知是，观察图形的变化可得规律，根据发现的规律即可猜想的值； （2）①根据（1）中的规律即可求解；②每个数进行拆分，再根据①的结果，即可求得的值． 【详解】（1）解：∵第1个图形中有（张）正方形； 第2个图形有（张）小正方形； 第3个图形有（张）小正方形； 第4个图形有（张）小正方形； …… 第n个图形有（张）小正方形； ∴． （2）解：， ∴． ． 题型8二次型（平方差）数字规律（共5小题） 【模型】二级差恒定二次规律模型→一级差不相等、二级差固定，通项为二次整式 【步骤】①列出前4组数据；②计算一级差、二级差；③求出二次式系数；④得到第n项表达式并验证 【易错】误当成等差计算；平方项系数求错；代入数值验算出错 34．（26-27七年级上·辽宁营口·期中）探究下列各式的规律： ，，，，… (1)根据你发现的规律填写：_______________×______________________________； (2)用含有n（n为整数，且）的代数式表示（1）中的规律：__________________________________； (3)计算：的值． 【答案】(1)，， (2)（为整数，且） (3) 【分析】（1）根据等式规律，由反推左边两个乘数； （2）用含的式子表示等式中的数，得到通用规律； （3）利用（2）的规律化简每个因式，约分后计算结果． 【详解】（1）解：观察已知等式，可得规律，两个相差2的正整数相乘加1，等于两数中间整数的平方 ， ∴中间的整数为， ∴两个乘数分别为，即． （2）解：设第一个整数为n（n为整数，且）， 则第二个整数为，两数中间的整数为， 所以规律为（为整数，且）． （3）解：对每个括号内的式子通分，得， 由（2）的规律可知， 则， 所以 ． 35．（26-27七年级上·天津·期中）观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第个等式为，第个等式为． (2)利用上述规律，计算：． 【答案】(1)第6个等式为，第10个等式为． (2)4850 【分析】（1）观察题干式子，进行类比即可解答； （2）先观察式子，整理式子，然后将题干等式代入化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 第n个等式为， ∴第6个等式为，第10个等式为． （2）解：依题意可得： ． 36．（26-27七年级上·甘肃张掖·期中）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________________________； 第50个等式：___________________________； (2)运用你发现的规律 求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）先依次观察已知等式，分别对比等式序号、分母、拆分后的分数，归纳出第个等式的通用表达式，再将，代入通用式，写出对应等式． （2）利用已经归纳出的裂项规律，把每一项拆成的形式，展开后中间项两两抵消，只保留首尾两项，计算最终结果． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， ……， ∴第个等式：， 当时， 第50个等式：； （2）解： ． 37．（26-27七年级上·江苏南京·期中）阅读探究：，，，， (1)根据上述规律，计算的值是_____； (2)用一个含有（为正整数）的等式表示这个规律； (3)根据规律计算：． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【详解】（1）解：观察可知，； （2）解：观察可知，（为正整数）； （3）解：； ； 两式相减可得． 38．（26-27七年级上·安徽·期中）观察下列算式，回答下列问题： _______． _______， (1)请完成题干中的填空； (2)的个位数字是________； (3)求的个位数字． 【答案】(1)97，793 (2)3 (3)的个位数字为8 【分析】（1）直接进行计算即可解答； （2）从所给的算式可得：个位数字以5，3，5，7这4个数循环出现，再分析所求的式子进行求解即可． （3）由原式变形为，再根据（2）发现的规律求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ，，… ∴每4组算式结果个位数字按照5，3，5，7循环， ， 则的个位数字是3． （3）解： ∵每4组算式结果个位数字按照5，3，5，7循环， ∴，即每四组算式结果个位数字为0， ∵， ∴的个位数字为． 题型9表格行列排列规律（共4小题） 【模型】行列定位规律模型→确定每行数字个数，用除法求商、余数，定位数字所在行、列，推导表达式 【步骤】①找出一行有几个数据；②序号÷每行个数；③商判断行数，余数判断列数；④结合排布方向写式子 【易错】余数为0时行列定位出错；分不清从左向右、从右向左排布；行列规则看错 39．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，将边长为1的正方形第一次划分得到图1，图1中共有4个正方形，其中右上角正方形①的边长为原正方形边长的一半；第二次划分得到图2，图2中共有7个正方形，其中右上角正方形②的边长为正方形①边长的一半；第三次划分得到图3；…；如此下去． 将划分次数和每次划分后正方形总个数进行整理，如表： 划分次数 1 2 3 4 … 正方形总个数 4 7 a b … (1)上表中_________，_________； (2)按上述划分方式，能否得到正方形的总数为2026个？为什么？ (3)第5次划分后，右上角最小正方形的面积为_________． 【答案】(1)10，13 (2)能， 理由， 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； ； 第次划分后，正方形个数有：； ∴，解得：， 答：当划分次数为时，正方形的总数为个； (3) 【分析】本题考查了图形类规律探索，读懂题意，找出规律是解题的关键． （）根据表格可得第次划分后，正方形个数有：；第次划分后，正方形个数有：； （）根据表格可得第次划分后，正方形个数有，则，求得； （）根据第次划分后，右上角最小正方形的面积为：；第次划分后，右上角最小正方形的面积为；第次划分后，右上角最小正方形的面积为；第次划分后，右上角最小正方形的面积为；第次划分后，右上角最小正方形的面积为；从而求解． 【详解】（1）解：第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 故答案为：，； （2）略 （3）解：第次划分后，右上角最小正方形的面积为：； 第次划分后，右上角最小正方形的面积为； 第次划分后，右上角最小正方形的面积为； 第次划分后，右上角最小正方形的面积为； 第次划分后，右上角最小正方形的面积为； 故答案为：． 40．（25-26六年级下·全国·期中）有如下问题：“平面上，分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上．经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线条数 1 2+1 3+2+1 4+3+2+1 … (1)请你帮小明在图表的横线上填上归纳出的一般性结论； (2)若某人共画了171条直线，则该平面上共有多少个点？ 【答案】(1) (2)19个点 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索． （1）根据前几个图形中点与直线的个数关系找出规律即可； （2）根据（1）可知，即，判断是否有正整数使其成立即可． 【详解】（1）解：2个点有1条直线， 3个点有条直线， 4个点有条直线， 5个点有条直线， ……， 以此类推可知，n个点有条直线； 故答案为：； （2）解：∵某人共画了171条直线， ∴， 即， ∵， ∴， 可知该平面上共有19个点． 答：该平面上共有19个点． 41．（25-26七年级上·山东青岛·期中）本册书的学习中，我们经历了归纳等问题解决策略的学习．归纳是从几种特殊情形出发，展开研究，最终得到一般规律，归纳是发现数学结论、解决实际问题的重要方法． 【问题探究】 如图，在不改变原图形形状的前提下，将一张长方形纸片剪次，最多可以将该纸片分成多少部分？ 将探究结果整理成下面的表格： 剪的次数 1 2 3 4 5 ．．． 最多可分成的部分数 2 4 7 - - ．．． （1）补全表格； （2）归纳：_____（用含的代数式表示） 【应用结论】 （3）在不改变原图形形状的前提下，将一张长方形纸片剪20次，最多可以将该纸片分成_____部分． 【拓展延伸】 （4）在不改变原图形形状的前提下，切一个长方体木块，竖切（垂直于底面切）次，横切（平行于底面切）次，则最多可将这个长方体木块分成_____块； （5）在不改变原图形形状的前提下，切一个长方体木块，一共切5次，竖切_____次，横切_____次，能切出的块数最多． （6）针对这个切木块的情境，你还想继续研究什么问题？ 你的问题是：__________． 【答案】（1）11，16； （2）； （3）； （4）； （5）竖切2次、横切3次或竖切3次、横切2次； （6）问切次时，竖切和横切各多少次能使长方体块数最多？ 【分析】本题主要考查了图形切割的规律探究、二次函数的最值应用、代数式的推导与求值，熟练掌握每一刀与之前所有刀痕相交以获得最多块数的规律，以及将实际问题转化为数学表达式的方法是解题的关键． （1）补全表格：遵循每一刀都与之前所有刀痕相交的原则，依次计算每次新增的块数，累加得到对应次数的总块数． （2）归纳公式：从递推关系出发，将每次增加的块数累加求解即可． （3）应用结论：将代入（2）中得到的公式进行计算． （4）长方体切割：竖切次把底面分成块，横切次把高度分成块，总块数为两者的乘积． （5）分情况讨论求解即可． （6）围绕切割次数、方式与块数的关系提出新问题即可． 【详解】解：（1）剪1次：， 剪2次：， 剪3次：， 剪4次：， 剪5次：， 表格补全：4次对应11，5次对应16； （2） ； （3）当时，， ∴最多可以将该纸片分成部分； （4）切一个长方体木块，竖切（垂直于底面切）次，横切（平行于底面切）次，则最多可将这个长方体木块分成块； （5）竖切0次，横切5次：， 竖切1次，横切4次：， 竖切2次，横切3次：， 竖切3次，横切2次：， 竖切4次，横切1次：， 竖切5次，横切0次：， 对比所有结果，最大块数为12，对应：竖切2次、横切3次或竖切3次、横切2次， ∴一共切5次，竖切2次、横切3次或竖切3次、横切2次，能切出的块数最多． （6）略 42．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）观察如图，按要求回答问题（单位：cm） 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形的周长 … (1)观察图形规律并填表； (2)现在给这个图形涂上某种颜料，共花费324元．已知，若这个图形中梯形的高为3cm，cm，求这种颜料每平方厘米多少元？ 【答案】(1)，， (2)6元 【分析】本题主要考查规律探索，利用数形结合，根据已知图形得出规律是解题的关键． （1）根据已知图形，从1个梯形开始，逐步找到规律，填表即可； （2）先求出一个梯形的面积，再当，时，求出图形的总面积，再根据总费用求出每平方厘米颜料多少元即可． 【详解】（1）解：根据图形可知：1个梯形周长为， 2个梯形周长为， 3个梯形周长为， 4个梯形周长为， 5个梯形周长为， … n个梯形周长为， 故答案为：，，； （2）∵一个梯形的面积为， 当，时，（cm2）， ∵共花费324元， ∴， 答：这种颜料每平方厘米6元． 拔高·压轴破难 题型10对折、拆分累加类规律（共6小题） 【模型】指数递变累加模型→每次对折/拆分，数量按固定倍数变化，通项为指数式，按需累加求和 【步骤】①写出前几次操作后的结果；②观察底数、指数变化；③写出第n次结果；④求总和 【易错】对折次数与指数对应错误；混淆“第n次结果”和“累计总和” 43．（26-27七年级上·安徽蚌埠·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第5个等式：； (2)利用规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知等式的数字变化规律，推导第n个等式的通用形式，代入求解； （2）将规律等式变形为裂项形式，利用裂项相消法计算求和式的值． 【详解】（1）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……， 以此类推，可知，第n个等式为， ∴第5个等式为，即； （2）解：由（1）的规律可知 ． 44．（26-27七年级上·福建龙岩·期中）阅读材料： ，，，…… (1)________，________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由阅读材料所给式子的形式即可得到答案； （2）由阅读材料中的方法先裂项，再重新组合消去中间项，最后由有理数减法运算计算即可； （3）先对每项提公因数，再类比（2）中的裂项相消的方法计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解： ． 45．（26-27七年级上·广东佛山·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：______． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题中例子可写出相应的等式； （2）①根据式子特点，采用裂项的方法进行计算即可； ②将原式变形，然后采用裂项方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，猜想， 当时，； （2）解：① ； ② ． 46．（26-27七年级上·山东德州·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ．我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似的，对于可以用裂项的方法变形为：． 类比上述方法，解决以下问题． (1)【类比探究】猜想并写出：_______；_______． (2)【理解运用】类比裂项的方法，计算：． (3)【迁移应用】探究并计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用阅读材料中的裂项法求出结果； （2）利用裂项法把算式中的各项展开再计算； （3）利用裂项法把算式中的各项展开再计算． 【详解】（1）解：， ； ， ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ． 47．（26-27七年级上·山东济南·期中）阅读下列材料： ①，， ②，， ③，， (1)写出①组中的第个等式：； (2)写出②组的第个等式：； (3)利用由①②③组你发现的等式规律计算：． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【分析】（1）等式的左边，分子都为1，分母为连续的两个正整数的乘积，等式的右边，连续的两个正整数中，较小正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此规律作答即可； （2）先找到式子中分母的规律，再找式子运算的规律，结合示例的式子形式，作答即可； （3）结合（2）的规律，找到新式子的变化规律，即可作答． 【详解】（1）解：通过分析可知，第n个式子为：， 则第个等式为：； （2）第1个式子，，，， 第2个式子，，，， 第3个式子，，， 第n个式子，，， ，（为正整数）； （3） 48．（26-27七年级上·福建漳州·期中）我们知道：，， 根据规律填空： (1)______，______． 根据以上规律计算： (2)； (3)若，则_____，_____，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)3；1； 【分析】（1）观察给出的等式可知，分母为两个相邻正整数的乘积、分子为的分数，可拆分为以这两个相邻正整数为分母、分子为的分数的差； （2）将每个带分数拆分为整数部分和分数部分，再结合（1）中的规律计算即可得出结果； （3）先根据绝对值的意义求出，，再代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵，，…， ∴原式 ． 题型11绝对值累加型规律（共3小题） 【模型】绝对值分段累加模型→先确定每一组绝对值式子的变化周期，分组求和，再结合序号计算总和 【步骤】①拆解开绝对值，判断内部正负；②分组，寻找循环单元；③一组求和；④组数×每组和+剩余项 【易错】去绝对值符号出错；分组边界划分错误；剩余项求和漏算 49．（26-27七年级上·广东东莞·期中）观察下列各式的特征： ；；；． 根据规律，解决以下问题： (1)表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为___________． A．    B．    C．    D． (2)计算：． 【答案】(1)C (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质及化简计算求解即可． （2）根据绝对值内式子的正负性去掉绝对值符号，进而找出规律即可求解． 【详解】（1）解：观察各式的特征可知：当时，；当时，； 由数轴可知，那么， ∴； （2）解：∵，，，，，， ∴，，，，；， ∴ ． 50．（26-27七年级上·陕西汉中·期中）【观察】 ， ， ， ． 【体验】 (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用算出结果）： ①________； ②_________； ③___________． 【应用】 (2)应用以上规律计算： 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】根据绝对值的定义探索规律并解决问题即可． 【详解】（1）解：略； （2）解： ． 51．（26-27七年级上·湖南娄底·期中）阅读材料解决问题 (1)数学李老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方式计算： ； (2)阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： ①________； ②计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据提供的解题方法，求解即可； （2）①首先比较大小，根据绝对值的意义，解答即可； ②首先比较大小，根据绝对值的意义，解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）（2）解：①，； ②，，…，同理，， 故 ． 题型12等比数列求和型规律（共4小题） 【模型】等比求和模型 【步骤】①判断后项÷前项=定值，确定首项、公比；②分清是求第n项，还是前n项的和；③套用求和公式；④化简整式 【易错】公比判断错误；求和公式和通项公式混淆；\(q=1\)特殊情况忽略 52．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是，空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令① 等式两边同时乘以2，得② 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为_____． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为_____． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为_____ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）观察图形发现部分①的面积为，部分②的面积为，部分③的面积为； （2）由（1）得求的值，即为求将图形分割下去空白部分的面积，此时剩余阴影部分面积为，用总面积减去阴影部分面积即可解题； （3）根据材料二两边同时乘以，然后相减解题即可； （4）利用材料二两边同时乘以，然后相减解题即可． 【详解】（1）解：正方形边长为1， 正方形面积为1， ①是边长为1的正方形纸片面积的一半， ①的面积为， 依此类推，②的面积为， ③的面积为； （2）解：求的值， 即为求将图形分割下去空白部分的面积， 此时剩余阴影部分面积为：， ； （3）解：令①， 等式两边同时乘以5，得②， 由②式减去①式，得， ， ； （4）解：令①， 等式两边同时乘以4，得②， ②一①得，， ， 即． 53．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； (4)【拓展延伸】参考上述方法，当n=6时，求出值． （参考：，） 【答案】(1)①② (2) (3) (4) 【分析】（1）根据新的拆分的一个正方形面积是上一个正方形面积的即可求出①和②的面积． （2）按照裂项法，将看成，看成，看成，，依次进行相加即可求出答案． （3）观察图形，将其正方形拆分成的长方形形状换成三角形的形状即可． （4）按照（2）问的方法计算即可． 【详解】（1）解：①的面积是， ②的面积是． （2）解： ． （3）略 （4）解：时， ， ， 原式 ． 54．（25-26七年级下·重庆江北·期中）将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图③，以此类推． (1)图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，图③中阴影部分的面积为； (2)计算：． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据图形推理即可解得答案； （2）根据图形得出图n中空白部分的面积为．再将代入得出答案即可． 【详解】（1）解：由题知： 图①中阴影部分的面积为：； 图②中阴影部分的面积为：； 图③中阴影部分的面积为：； …， 所以图n中阴影部分的面积为． （2）解：由题知， 图①中空白部分的面积为：； 图②中空白部分的面积为：； 图③中空白部分的面积为：； …， 所以图n中空白部分的面积为：． 当时， ． 55．（26-27七年级上·广西南宁·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式： (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式： (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出第四个等式； （2）根据题目中式子的特点可以写出第n个等式； （3）根据发现的规律，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：第四个等式：； （2）解：第n个等式：（为正整数）； （3）解： ． 题型13错位相减求和型规律（共3小题） 【模型】错位相减求和模型→等差×等比复合型数列，通过错位对齐、两式相减消中间项求和 【步骤】①写出和式Sn；②两边同乘公比得到新式子；③两式错位对齐相减；④整理化简求出Sn 【易错】错位对齐位置错；相减时符号出错；最后化简整式失误 56．（26-27七年级·全国·期中）【阅读材料】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．请用你学到的方法计算：． 【答案】 【详解】解：设， 则： 所以 ． 57．（23-24七年级下·山东聊城·期中）在数学活动中，小明为了求的值，写出下列解题过程． 设：① 两边同乘以2得： ② 由得： (1)应用结论：______； (2)拓展探究： ①求：的值； ②求：的值． 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）将代入中即可得解； （2）①模仿题目中的算法计算即可； ②模仿题目中的算法计算即可. 【详解】（1）解：由题干得：， 将代入得：； （2）解：①设， 两边同乘得：， 由得：， ∴； ②设， 两边同乘2得：， 由得：． 58．（25-26六年级上·山东威海·期中）【信息提取】信息1：从2开始，连续的正偶数相加，和的情况如下表： 偶数的个数 个偶数的和 1 2 2 3 4 信息2：计算． 解：(方法一)令，． 则 所以 ． 即． (方法二)令． 则 ． 所以 ． 即． 【问题解决】 (1)若，则__________×_________； (2)①猜想______；(为正整数，结果用的代数式表示) ②写出“①猜想”合理性的理由； (3)利用上述规律和方法进行计算： ③； ④． 【答案】(1)；； (2)①； ②理由如下： 令， 将等式倒序得， 将两式相加得：， 每一组括号内的和均为，且共有组， ， 两边同时除以2得：． (3)③；④ 【分析】（1）依据信息1中归纳出的n个连续正偶数的和为的规律，直接代入求解即可； （2）①结合信息1的表格特征，猜想出从2开始n个连续正偶数和的代数式； ②用倒序相加法，将和式正序与倒序相加，合并同类项后化简推导，验证猜想的合理性； （3）①先根据最后一个偶数2026求出对应的n值，再代入归纳的和的公式，结合乘法分配律进行有理数混合运算得出结果； ②借鉴信息2的错位相减法，先设和式为，给等式两边乘以等比数列的公比5，再将两式作差，化简后求解即可得到结果． 【详解】（1）解：观察信息1的表格可知，个连续正偶数的和， 当时，． （2）①解：猜想：； ②略 （3）③解：最后一项为，即， ， 根据，可得：． ④解：令， 两边同时乘以5得：， ， 化简得：， 两边同时除以4得：． 题型14新定义类题型规律（共5小题） 【模型】新定义翻译归纳模型→读懂题目自定义运算规则，先算前几项，归纳内在规律，再用整式表 【步骤】①严格按新定义运算算出前3项；②观察数据变化；③归纳第n项表达式；④代入条件求解 【易错】看不懂新定义，自行改动运算规则；只套规律忽略定义前提；计算前几项出错 59．（26-27七年级上·辽宁葫芦岛·期中）若，定义的差倒数为．如的差倒数为．已知，是的差倒数，是的差倒数以此类推． (1)求、、； (2)直接写出； (3)计算； (4)求的值． 【答案】(1)，，． (2)． (3)． (4)． 【分析】（1）把新定义“ 的差倒数为 ”翻译成运算，由 依次求出 、、，并发现 ； （2）由 知数列每 项循环一次，把 除以 ，由余数确定 与哪一项相等； （3）把三个数通分后相加； （4）先算每 项的积为 ，再把 项分成 组与余下的一项，用乘方的意义求值． 【详解】（1）解：由定义， 的差倒数为 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． （2）解：由（1）知 ， ∴ 数列 ，，，， 每 项循环一次，即以 为周期． ∵ ， ∴ ． （3）解：． （4）解：∵ ， ∴ 每 项的积都等于 ． ∵ ， ∴ ． 60．（25-26七年级上·广西南宁·期中）阅读材料 定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：因为，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是__________．（请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算“隔一数对”的判断和计算，准确结合有理数的混合运算求解是解题的关键． （1）分别根据，算出结果进行判断即可； （2）先算出和，相减即可； （3）根据展开，再进行合并计算即可． 【详解】（1）对于①，，， ， ， ，故①是“隔一数对”； 对于②，，， ， ， ，故②不是“隔一数对”； 对于③，，， ， ， ，故③是“隔一数对”； 综上所述：符合条件的是①③； 故答案是：①③． （2）， ， ； （3）两个连续的非零整数都是“隔一数对”， 对于任意正整数，有， ， ． 61．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）已知（且n是自然数）是按顺序排列的若干个数．定义一种运算方式：第一个数为，第二个数开始，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数． (1)试计算：________；________；________． (2)根据以上计算试求的值． (3)若表示不超过p的最大整数，如，记，当时， ________（直接写出答案）． 【答案】(1)，3， (2) (3)648或650 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的定义总结出数列存在的规律． （1）根据定义的运算进行求解即可； （2）根据（1）可看出该数列以，，3这3个数不断循环出现，从而可求解； （3）根据题意，可得，当时求得相应的值，再分析即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：，3，； （2）解：由（1）可得：该数列以，，3这3个数不断循环出现， ， ， ， ； （3）解：表示不超过的最大整数，， ， 当，且为3的倍数时，有， 解得：， 则当时，， 综上所述：或650． 故答案为：648或650． 62．（25-26七年级上·广东广州·期中）阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 材料二：关于数学家高斯的故事：2000多年前，高斯的老师提出了下面的问题： ？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：． 也可以这样理解：令①， 则②， ①+②得：， 即． 解决问题： (1) ； ； (2)已知，且，求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求：值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用新定义计算解题即可； （2）根据,且,可得,,再根据当时, ；当时, ,即可求解； （3）由于由可得根据是正数可求，再代入求值即可. 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）∵,且 ∴, ∴ ， 故的值为； （3）∵为正数, ， ， ， 则(负值舍去)， ∴ ∴ ． 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，关键是通过观察得出题目中的规律，并用公式表示出来，注意公式的灵活应用． 63．（25-26七年级上·重庆·期中）材料一： 对于任意有理数，定义新运算“”：．例如： ． 材料二： 规定表示不大于的最大整数，如：． 根据上述材料解答下列问题： (1)_____；_____； (2)计算的值； (3)若有理数满足，求． 【答案】(1)44， (2)1095 (3)217 【分析】本题考查了新定义运算、有理数的混合运算，解题的关键是理解新运算的定义并按照定义进行计算． （1）分别根据新运算“”和“”的定义进行计算； （2）先根据新运算“”将每一项展开，再进行求和计算； （3）先根据“”的定义求出、的值，再代入新运算“”进行计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：44，； （2）解： …… ， 答：的值为1095； （3）解：设，则，， 因为， 所以， 解得， 将代入，可得， 代入，可得， 因为， 所以， 因为， 所以， ， ， 答：的值为217． 1/56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $