专题02 绝对值11大题型54题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02绝对值 题型图谱·导航总览 题型1识别绝对值的几何意义、代数意义（重点） 题型2求一个有理数的绝对值（重点） 基础固本强基 题型3已知一个数的绝对值，求原数（重点） 题型4绝对值的化简（不含字母，纯数字型） 题型5利用绝对值比较两个数的大小（重点） 提升进阶突破 题型6利用绝对值非负性求值（难点） 题型7结合数轴，判断字母大小并化简含绝对值式子（难点） 题型8多个非负数相加等于0求值（重难点） 题型9分类讨论化简x-型绝对值（零点分段基础） (难点) 拔高压轴破难 题型10利用绝对值几何意义求两点距离、最值（重难点） 题型11绝对值与动点结合综合压轴题（难点） 题型精练•靶向突破 基础固本强基 题型1识别绝对值的几何意义、代数意义（共7小题） 【模型】绝对值双重意义识别模型一代数意义：正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0的绝对值 是O:几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离 1/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【步骤】①代数角度：判断数的正负，对照代数定义理解；②几何角度：转化为数轴上点到原点距离： ③区分两种意义的表述 【易错】混淆几何意义（到原点距离）和代数意义；误认为绝对值一定是正数，忽略0的绝对值是0 1. (26-27七年级上·内蒙古呼和浩特期中)如图，四个有理数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个有理数中，绝对值最小的一个是() P N M O A.p B.g C.m D.n 2.(26-27七年级上内蒙古呼和浩特期中)已知有理数m,n(均不等于0)，若m=m,n=-n, m>nl,则m,n在数轴上对应的位置可能是() A. m 0n> n 0 m C. n 0m→ D. m0→ 3.(2627七年级上·河北沧州·期中)数轴上表示数a和-1的两点之间的距离是3，那么a的值为 4.(26-27七年级上江苏徐州期中)若在数轴上点A表示的数为6，则到点A的距离为2的点所表示的数 为 5.(25-26七年级上陕西安康期中)在数轴上，点A、B分别表示数a、b,且a的绝对值为2，b的绝对 值为5，若点A在点B的左侧，则b的值为 6.(25-26七年级上浙江温州期中)如图，图中数轴的单位长度为1.若点E表示数的绝对值恰是点C表 示数的绝对值的3倍，那么图中点B所表示的数是 B 7.(25-26七年级上甘肃武威期中)数轴上点A表示-3，那么到点A距离是6个单位长度的点表示的数 是 题型2求一个有理数的绝对值（共4小题) 【模型】直接求绝对值基础模型→先判断有理数正负，再套用绝对值代数定义计算 【步骤】①判断这个数是正数、负数还是0：②正数直接写本身，负数改成相反数，0结果为O:③写出结 果 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】负数求绝对值时，漏掉负号变换：把-5的绝对值错写成-5 8.(26-27七年级上福建龙岩期中)4的相反数是 的绝对值是 5 9.计算：1m-4|= 10.（26-27七年级上山西忻州期中)--2026= 11.(2627七年级上四川广安期中)化简---6.5川 题型3已知一个数的绝对值，求原数（共6小题） 【模型】绝对值反求原数模型→绝对值为正数的数有两个，互为相反数：绝对值是0只有0一个 【步骤】①看给出的绝对值结果；②结果大于0：写出一正一负两个数；③结果等于0：原数只能是0 【易错】只写出正数解，漏掉负的那个解；绝对值是0还写出两个答案 12.若a=2,-b=3,c是最大的负整数. (1)分别求出a,b,c的值： (2)数轴上表示数c的点在原点的边，若表示数d的点在数c的左边，则d的相反数为 13.（25-26七年级上陕西咸阳期中)已知a=4,b=8. (1)若a>b,求a-b的值： (2)若a-b=b-a,求a+b的值. 14.(25-26七年级上安徽期中)已知9-x=5,且x-y=x-y. (1)若x=x,求x的值.并直接写出所有符合条件的正整数y的值： (2)若x-y=1,求x+y的值 15.(25-26七年级上广东东莞期中)已知：|a=5,b|=3. (1)若a<0,b>0,求a-b的值： (2)若a>b>0,定义一种运算：a▲b=ab+2a-3b+2,求a▲b的值： 3)若a+b|=a+b,求a+b的值， 16.(25-26六年级上山东淄博期中)(1)若x=5,y=2,且x-y=-x-y1.求2y-5x的值； (2)若x-3+y-4=0.求-(5x-2y)的值. 17.(24-25七年级上江苏宿迁.期中)已知a=7,b=3. (1)若a+b=a+b,求a-b的值： (2)若a-b=a+b,求a+b的值. 3/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型4绝对值的化简（不含字母，纯数字型）（共3小题) 【模型】数字型绝对值化简模型一只看绝对值里面数字正负，去掉绝对值符号 【步骤】①判断绝对值内数字正负；②按法则去绝对值：③算出最终数值 【易错】多层绝对值化简时，从外向内计算，运算顺序出错 18. (26-27七年级上全国期中)计算： )+6+-59 2-3.3-1×-2.1 3)-4.5×+0.23 引 19.化简： 十引 (2)+-14 41-(-6.5川 20.（25-26七年级上全国期中)计算： -4+-14 2-20l--13引 -6 4/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 外 提升进阶突破 题型5利用绝对值比较两个数的大小（共4小题） 【模型】负数比大小模型一两个负数，绝对值大的反而小 【步骤】①分别求出两个负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小：③绝对值大的原负数更小 【易错】直接认为绝对值大，原数就更大，和正数比较大小规则搞混 21.(26-27七年级上福建泉州期中)有理数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是 0 b A.a>a B.a>b C.a>b D.b<b 22.(26-27七年级浙江.期中)若m,n为有理数，n<0,m>0,且m<n,那么m,n,-m,-n的大 小关系是() A.-n<m<n<-m B.n<-n<m<-m C.n<-m<m<-n D.m<n<-n<-m 23.(25-26七年级上福建福州期中)Q,b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把 a,,b,-b按照从小到大的顺序排列，正确的是() a b -20十234 A.-b<a<a<b B.a<-b<b<a C.-b<a<a<b D.a<-b<a<b 24.(25-26七年级上山西忻州期中)数轴上表示数a,b的点如图所示，把a,a,b,-b按照从小到大 的顺序排列，正确的是() b A.-b<a=a<bB.-b<a<a<b C.-b<b<a<a D.a<-b<a<b 5/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6根据1a=0,利用绝对值非负性求值（共6小题) 【模型】根据a=0,利用绝对值非负性求值 【步骤】①由a=0得到a=0;②把a=0代入所求代数式计算 【易错】认为a=0时a可以是正数或者负数 25. (2526七年级上厂东肇庆：期中)已知a+2+3-bP=0求代数式2a2b+3ab-4的值， 26.(25-26七年级上全国，期中)已知a-2+b-3+c-5=0,求3a+2b-c的值 27.(25-26七年级上四川广元：期中)已知：1a=2'2a-c卢(b+2互为相反数，求代数式值： abc a+b+c 28. （2526七年级上四川达州期肿)已知有理数y满足引x-y+y引=0术3x-7y-2的 值。 29.(25-26七年级上江苏无锡期中)绝对值非负性的基本含义，用数学语言表示就是：对于任意有理数 a,都有a≥0. 1)若x+1+y-2=0,求x+y的值： 2)已知a+82+b+2025=2025'求6-a的值. 30.(25-26七年级上广东汕头期中)数4、b是-5,1，-3,4，-2这5个数中的一个，其中a是相反 数最大的数，b是绝对值最小的数. (1)填空：a=,b=; (2)若x-a+y+3b=0,求2y2-xy的值. 题型7结合数轴，判断字母大小并化简含绝对值式子（共4小题) 【模型】数轴判号去绝对值化简模型→数轴右大左小，先判定绝对值内部代数式正负，再依据绝对值法则 去符号化简 【步骤】【步骤】①观察数轴，确定a、b的位置，判断正负以及相互大小：②判断绝对值里面式子（如a 6/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b、 +b)结果是正还是负，③内部为正，直接去掉绝对值：内部为负，去掉绝对值后整体添加负号，记得 带上括号；④去括号、合并同类项，完成化简 【易错】判断a+b、a-b这类组合式子的正负出错；去绝对值变号时只改变第一项符号，后面项忘记变号： 化简结束忘记合并同类项 31. (26-27七年级上四川德阳·期中)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示。 -1 1 bc→ (1)比较大小：a 0:a+b 0:b-c 0:（填“>"“<"或“=”) 2)化简：a+a+b-b-c. 32.(26-27七年级上河南新乡.期中)如图所示. b 0c2 (1)填空：a-b0:b-20:c-a0:2-C0.(填>、<或=) (2)化简：a-b-b-2-c-a-|2-c. 33.(26-27七年级上全国期中)有理数a,b,C在数轴上的对应点分别为A,B,C,其位置如图所示. b c B C0A (1)比较a,b,C,-b的大小； (2)试去掉绝对值符号并合并同类项：c-c+b+a-c+b+a. 34.(26-27七年级上陕西西安期中)数轴上，有理数a、b、C在数轴上对应点如图： b a -1 0c1 (1)a——0:b0;c0:(填“<”、“=”或“>”) 2c-b0b-a—0:a+—0:（填“<”、“”或“”) 3)化简：c-b-b-a-a+c+a. 35.（26-27七年级上北京通州期中)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示. (1)判断正负，用“>”或“<”填空：a+b0,b-C0 (2)化简：-b-c-a+c-a. 7/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拔高压轴破难 题型8多个非负数相加等于0（a+Hbl=0)求值（共3小题） 【模型】非负和为0模型→几个非负数相加等于0，则每一项都单独等于0 【步骤】①绝对值具有非负性：a≥0，bl≥0：②和为0，推出|a=0,b=0:③求出a=0,b=0:④ 代入代数式求值 【易错】只让其中一个式子等于0，另一个不为0：不知道绝对值属于非负数 36. (25-26七年级上四川达州期中)若a-2+b=--c,则a+b+c三 37. (25:26七年级上贵州黔东南：期中)若x+21+1-yP+m+x-y=0:且x+m= 38. (25-26七年级上陕西西安期中)已知x,y为有理数，且x-2+y-1+x+y-4=y-1,则 x-y的值为 39。(25-26九年级下-湖南株洲自主招生)已知a+b+b+3=b+3'且12a-b-1=5则ab= 题型9分类讨论化简x-a型绝对值（零点分段基础）（共6小题) 【模型】零点分段基础模型→找到零点x=a,分X>a、X=a、X<a三段讨论 【步骤】①找零点：令X-a=0,得零点x=a;②分情况：X>a、X=a、X<a;③每种情况判断内部 正负，去掉绝对值化简 【易错】漏掉零点x=a的情况；分类讨论时分界点重复或者遗漏 40.（26-27七年级上山东青岛期中)如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距 离表示为AB,在数轴上A、B两点之间的距离AB=a-b,利用数形结合思想回答下列问题： A B 。 a 0 b (1)数轴上1和4两点之间的距离是 数轴上2和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为 x+3的几何意义是」 (3)求出当x+3=7时x的值. (4)若x-2-x+1=3,则x能取到的最大值是 8/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5)求x+3+x-4的最小值，并直接写出此时x可取哪些整数值. 41.(26-27七年级上·内蒙古呼和浩特期中)阅读材料： x的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即x=x-0,也可以说x表示数轴上数x与数 0的对应点之间的距离.这个结论可以推广为X,一x,表示数轴上数x,与数x,的对应点之间的距离. 6-5-4-3-2-10123456> 根据材料的说法，试求： (1)使x-1=2024成立的x的值； (2)若x为有理数，代数式3-x-2有没有最大值？如果有，求出这个代数式的最大值及此时x的值；如果 没有，请说明理由； 3)若x为有理数，则x-1+x-3有最 值（填“大”或“小”），其值为 42.(25-26七年级上陕西西安期中)【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思 想方法.数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础. 我们知道14=4-0？它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离：又如式子7-3引”它的几何 意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离：即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,则 A、B之间的距离可表示为a-b.请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题. 【问题探究】 (1)若x+6=2,则x= (2)若x+2+x-3=12则， 【问题解决】 (3)利用数轴解决以下问题： ①x-1+x+2的最小值为 一，此时x可以取的整数有 ②x+2+x+3+2x-4有最小值吗？x+2-x-5有最大值吗？若有，请直接写出答案：若没有，请 说明理由 43.(25-26七年级上新疆阿克苏期中)阅读材料：点A、B在数轴上分别表示有理数b,A、B两点之 9/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 间的距离表示为AB,在数轴上A、B两点之间的距离AB=a-b.例如：数轴上表示3和5的两点之间的 距离是3-5=2数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1--3=4 利用数形结合思想回答下列问 题： (1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为.数轴上表示x和的两点之间的距离表示为x+2 (2)若x表示一个有理数，且x+2+x-3=5,直接写出满足条件的所有整数x. 44.（25-26六年级上山东威海期中)我们知道，在数轴上，a表示数Q到原点的距离，这是绝对值的几 何意义.进一步地，a-b表示数轴上数a与数b对应点之间的距离.例如：3-1表示3与1两数在数轴 上所对应的两点之间的距离：3+1=3-1所以3+1表示3与-1两数在数轴上所对应的两点之间 的距离。 (1)数轴上表示2和-3的两点之间的距离是； (2)数轴上点A表示的数为x,点B表示的数为-1，则A、B两点之间的距离可以表示为；若AB=3,则 X2; 3)找出所有符合条件的整数x,使得x+2+x-1=3,这样的整数有个： 45.(25-26七年级上河南郑州期中)数轴上的两个点A,B,分别用数a,b表示，那么A,B两点之间 的距离为AB=a-b,反过来，式子a-b的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的 距离。 (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，如果AB=2,那么x为 (2)若代数式x-2+x+a的最小值是3，则a= (3)探索规律： ①当x-1+x-2有最小值是 ②当x-1+x-2+x+3有最小值是 ③当x-1+x-2+x-3+x-4有最小值是 题型10利用绝对值几何意义求两点距离、最值（共5小题） 【模型】绝对值几何最值模型→x一a表示数轴上x到a的距离 10/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【步骤】①把x-a、x-b翻译成数轴上点之间距离；②分析动点x在数轴上位置：③找到距离和最小 最大的位置，算出最值 【易错】分不清x一a是x到a的距离，写成x到原点距离；求最值时判断位置错误 46. (2026七年级上·全国，专题练习)若x-2+x+5=7,则满足条件的整数x有 个 47. (2022七年级上福建宁德期中)当x=时，x+2+x-3+x-6的最小值是 48.(25-26七年级下河南新乡.期中)已知整数x满足3x-5+3x+11=16,则所有满足条件的整数x 的和是 49.(25-26七年级上河南期中)数轴上的两个点A,B,分别用数，b表示，那么A,B两点之间的距 离为AB=a-b,反过来，式子a-b的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离. 若代数式x-2+x+a的最小值是3，则a=一· 50.(24-25七年级上贵州遵义·期中)在数轴上，点A(表示整数α)在原点的左侧，点B(表示整数b) 在原点的右侧.若a-b=200,且AO=3BO,则a+b的值为 题型11绝对值与动点结合综合压轴题（共5小题） 【模型】数轴动点+绝对值综合模型→动点用含t代数式表示，距离用绝对值表达 【步骤】①设时间t,写出动点对应的数；②两点距离写成绝对值形式；③根据题意列方程；④分类讨论 去掉绝对值，解方程，检验t范围 【易错】动点移动方向考虑不全：去掉绝对值时分类讨论漏解：忽略t的取值范围 51. (26-27七年级上山西太原期中)综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在 联系，它是“数形结合”的基础 【定义】 一个点M(不是原点)在数轴上运动，第一次跳到M1的位置（点M1与点M表示的数互为相反数)，点 M1称为点M的一次跳跃点，紧接着从M1跳到M2的位置（点M1与点M2位于点P的两侧，且 PM1=PM2≠0，则点M2称为点M关于点P的二次跳跃点. ① ③ 0 M 0 M 图1 图2 【初步理解】 11/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，若点M表示的数是-2，点P表示的数是6，则点M的一次跳跃点M1表示的数是 ，点 M关于点P的二次跳跃点M,表示的数是 线段MM,的长度为 【深入探究】 (2)如图2，若点M是数轴正半轴上的一个点，点P是数轴负半轴上的一个点，点M2为点M关于点P的二次 跳跃点.若点M,点P表示的数分别是m,-5,当m变化时，探究线段MM2的值是否发生变化？若不变， 请求出其值；若变化，请说明理由， 【归纳总结】 (3)若在数轴上点M,P分别表示有理数m,p(其中m≠0，p≠0，点M2为点M关于点P的二次跳跃点， 直接写出线段MM2的长度， 52.(26-27七年级上江苏泰州期中)如图，己知数轴上有A、B、C三点，点O为原点，点A、B在原点 的右侧，点C在原点的左侧，点A表示的数为a,点B表示的数为b,且、b满足a-5P+b-8=0 AC=25, 0AB→ (直接写出答案)： b=- C= (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长 度的速度向右运动，设运动时间为t(t≥0)；当t为何值时，点P、Q刚好相距10个单位长度？ (3)在(2)的条件下，若点M从点A以每秒6个单位长度的速度向左与P、Q同时运动，当点M与点P或 点Q相遇时，则立即改变运动方向，以原来的速度向相反方向运动，当P、Q相遇时，三个点均停止运动， 求点M运动的总路程. 53。(25-26七年级上-江苏徐州-期中)已知：b是最小的正整数，且m、b满足c-5+a+b=0'请 回答问题： (1)请直接写出a、b的值，a= ,b= (2)数轴上a、b、c三个数所对应的分别为A、B、C,点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间 的距离表示为AB,点A与点C之间的距离表示为AC,点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每 12/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动. ①经过2秒后，点A与点C之间的距离AC=· ②经过t秒后，请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求 其值、 54.(25-26七年级上·吉林长春期中)在数轴上A点表示数α，B点表示数b,C点表示数c,b是最大的 负整数，且a,c满足 a+3+c-92=0 B C (1)a=_,b=-’c=-: (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数_对应的点重合： (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位 长度的速度向右运动，设运动时间为t秒， ①求t为何值时，点P到点B的距离是5： ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值. 13/13 专题02绝对值 基础·固本强基 题型1识别绝对值的几何意义、代数意义（重点） 题型2求一个有理数的绝对值（重点） 题型3已知一个数的绝对值，求原数（重点） 题型4绝对值的化简（不含字母，纯数字型） 提升·进阶突破 题型5利用绝对值比较两个数的大小（重点） 题型6利用绝对值非负性求值（难点） 题型7结合数轴，判断字母大小并化简含绝对值式子（难点） 拔高·压轴破难 题型8多个非负数相加等于0求值（重难点） 题型9分类讨论化简|x-a|型绝对值（零点分段基础）（难点） 题型10利用绝对值几何意义求两点距离、最值（重难点） 题型11绝对值与动点结合综合压轴题（难点） 基础·固本强基 题型1识别绝对值的几何意义、代数意义（共7小题） 【模型】绝对值双重意义识别模型→代数意义：正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0的绝对值是0；几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离 【步骤】①代数角度：判断数的正负，对照代数定义理解；②几何角度：转化为数轴上点到原点距离；③区分两种意义的表述 【易错】混淆几何意义（到原点距离）和代数意义；误认为绝对值一定是正数，忽略0的绝对值是0 1．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个有理数中，绝对值最小的一个是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据确定原点位置，结合数轴上点的位置关系判断绝对值大小． 【详解】解：， 与互为相反数，原点在线段的中点处， ， 由图可知， 点在点左侧，则， 点在点与点之间， 点到原点的距离小于点到原点的距离，即， 最小． 2．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知有理数，（均不等于），若，，，则，在数轴上对应的位置可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，且有理数，均不等于， ∴m是正数，n是负数， ∵， ∴m到原点的距离大于n到原点的距离， 四个选项中只有B选项符合． 3．（26-27七年级上·河北沧州·期中）数轴上表示数和的两点之间的距离是3，那么的值为______． 【答案】 或 【分析】根据数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值，即可求解． 【详解】解：数轴上两点之间的距离等于两点对应数差的绝对值， 数和的距离可表示为， 由题意得， 根据绝对值的性质，得或， 分别求解得或． 4．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）若在数轴上点表示的数为6，则到点的距离为2的点所表示的数为__________． 【答案】或 【分析】所求点有两种位置可能，分别在点的左侧和右侧，分情况计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当所求点在点左侧时，该点表示的数为； 当所求点在点右侧时，该点表示的数为； 因此所求点表示的数为或． 5．（25-26七年级上·陕西安康·期中）在数轴上，点分别表示数，且的绝对值为的绝对值为5，若点在点的左侧，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据绝对值得到和的所有可能取值，结合数轴上点的位置关系得到，筛选出符合条件的． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵点在点的左侧，数轴上左侧点对应的数小于右侧点对应的数， ∴， 当时，，，均不满足条件， 当时，，，均满足条件， ∴的值为． 6．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，图中数轴的单位长度为1．若点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍，那么图中点所表示的数是______． 【答案】5或2 【分析】利用数轴得出两点之间的距离，然后分两种情况进行讨论，即当原点位于点和点之间时和当原点位于点右侧时，最后根据线段的数量关系求出点的坐标． 【详解】解：由数轴得， ①当原点位于点和点之间时， ∵点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴点所表示的数是； ②当原点位于点右侧时， ∵点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴点所表示的数是； 综上，点所表示的数是5或2． 7．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）数轴上点A表示，那么到点A距离是6个单位长度的点表示的数是_____． 【答案】或3 【详解】解：设到点距离是个单位长度的点表示的数为， 由题意得， 整理得， 去绝对值可得或， 解得或． 题型2求一个有理数的绝对值（共4小题） 【模型】直接求绝对值基础模型→先判断有理数正负，再套用绝对值代数定义计算 【步骤】①判断这个数是正数、负数还是0；②正数直接写本身，负数改成相反数，0结果为0；③写出结果 【易错】负数求绝对值时，漏掉负号变换；把-5的绝对值错写成-5 8．（26-27七年级上·福建龙岩·期中）4的相反数是________，的绝对值是________． 【答案】 【分析】根据相反数和绝对值的定义，分别计算即可得到结果． 【详解】解：的相反数是，． 9．计算：___________． 【答案】/ 【详解】根据，所以，然后根据负数的绝对值等于它的相反数，得出答案． 【分析】解：∵，即， ∴． 10．（26-27七年级上·山西忻州·期中）___________． 【答案】 【详解】解：． 11．（26-27七年级上·四川广安·期中）化简__________． 【答案】 【分析】从内到外依次化简符号，再计算绝对值即可得到结果． 【详解】解：． 题型3已知一个数的绝对值，求原数（共6小题） 【模型】绝对值反求原数模型→绝对值为正数的数有两个，互为相反数；绝对值是0只有0一个 【步骤】①看给出的绝对值结果；②结果大于0：写出一正一负两个数；③结果等于0：原数只能是0 【易错】只写出正数解，漏掉负的那个解；绝对值是0还写出两个答案 12．若是最大的负整数． (1)分别求出的值； (2)数轴上表示数c的点在原点的______边，若表示数d的点在数c的左边，则的相反数为______． 【答案】(1)或 (2)左，d 【分析】根据绝对值的性质和负整数的定义求得的值，然后根据数轴和相反数的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数． ∴或； （2）解：因为，所以数轴上表示数c的点在原点的左边； 因为表示数d的点在数c的左边， 所以d为负数， 所以； 又的相反数为d， 所以的相反数为d． 13．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)4或12 (2)4或12 【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值，正确求出、的值是解题的关键． （1）根据绝对值的定义求出、的值，再根据进一步确定、的值，然后分别代入计算即可； （2）根据绝对值的定义求出、的值，再根据进一步确定、的值，然后分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是4或12； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是4或12． 14．（25-26七年级上·安徽·期中）已知，且． (1)若，求x的值．并直接写出所有符合条件的正整数y的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)；正整数y的值可以是1，2，3，4 (2)7或 【分析】本题主要考查绝对值的意义及代数式的值，熟练掌握绝对值的意义及代数式的值是解题的关键； （1）由题意易得，，结合条件，则有，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后根据可进行求解． 【详解】（1）解：因为，所以， 又因为，所以x为非负数，所以， 此时且y是正整数，所以为非负整数， 所以正整数y的值可以是1，2，3，4； （2）解：由题可知，所以， 因为， 所以当时，，此时； 当时，，此时； 所以的值为7或． 15．（25-26七年级上·广东东莞·期中）已知：，． (1)若，，求的值； (2)若，定义一种运算：，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，倒数，相反数以及绝对值、求代数式的值，熟练掌握有理数运算法则是解本题的关键． （1）利用绝对值的代数意义求出与的值，代入代数式计算即可求值； （2）把的值代入定义的算式中即可求解； （3）根据，可得，得出或，再代入代数式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ； （3）解：∵， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或． 16．（25-26六年级上·山东淄博·期中）（1）若，且．求的值； （2）若．求的值． 【答案】（1）29或21；（2） 【分析】本题考查的是绝对值，正确理解绝对值的定义、绝对值的非负性是解题的关键． （1）根据绝对值的定义求出、，根据绝对值的性质确定、的值，代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性分别求出、，代入计算得到答案． 【详解】解：（1），， ，， ， ， ，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为29或21； （2），，， ，， ，， ． 17．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义和性质，代数式求值，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由绝对值的意义可得，，，进而可得，或，，代入代数式即可求解； （2）由可得，即得或，得到，或，，代入代数式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或； （2）解：∵，，， ∴， ∴或， ∴，或，， ∴或， ∴的值或． 题型4绝对值的化简（不含字母，纯数字型）（共3小题） 【模型】数字型绝对值化简模型→只看绝对值里面数字正负，去掉绝对值符号 【步骤】①判断绝对值内数字正负；②按法则去绝对值；③算出最终数值 【易错】多层绝对值化简时，从外向内计算，运算顺序出错 18．（26-27七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 19．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 20．（25-26七年级上·全国·期中）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了绝对值的性质以及有理数的四则运算，掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的性质“负数的绝对值是它的相反数”，然后根据绝对值的结果进行加法运算即可求解； （2）根据绝对值的性质“负数的绝对值是它的相反数”，然后根据绝对值的结果进行减法运算即可求解； （3）根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”，将带分数化为假分数，然后根据绝对值的结果进行乘法运算即可求解； （4）根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”，然后根据绝对值的结果进行除法运算即可求解； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 提升·进阶突破 题型5利用绝对值比较两个数的大小（共4小题） 【模型】负数比大小模型→两个负数，绝对值大的反而小 【步骤】①分别求出两个负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③绝对值大的原负数更小 【易错】直接认为绝对值大，原数就更大，和正数比较大小规则搞混 21．（26-27七年级上·福建泉州·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合数轴可得，，再逐一判断即可． 【详解】解：结合数轴可得，， 所以，，，． 22．（26-27七年级·浙江·期中）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴． 23．（25-26七年级上·福建福州·期中）是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，求一个数的绝对值，求一个数的相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 利用绝对值和相反数求出各值，然后在数轴上表示出各点，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：由数轴可得， 在数轴上表示出如下： ∴， 故选：B． 24．（25-26七年级上·山西忻州·期中）数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，根据题意把，，表示在数轴上，进而根据数轴比较大小，即可求解． 【详解】解：如图所示，把，，表示在数轴上， ∴ 故选：B． 题型6根据|a|=0，利用绝对值非负性求值（共6小题） 【模型】根据|a|=0,利用绝对值非负性求值 【步骤】①由|a|=0得到a=0；②把a=0代入所求代数式计算 【易错】认为|a|=0时a可以是正数或者负数 25．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）已知，求代数式的值． 【答案】2 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，根据非负数的性质计算得出，，代入所求代数式计算即可得出结果，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 26．（25-26七年级上·全国·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性可得，，，从而求出、、的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：，，，且， ，，， ，，， ． 27．（25-26七年级上·四川广元·期中）已知：，与互为相反数，求代数式值：． 【答案】2或 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，相反数，代数式求值，掌握非负数的相反数为零是解题的关键． 根据题意确定出a，b，c的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：， ， 与互为相反数， ∴， 且， 解得：， 当时，， 当时，， 当、、时：原式， 当、、时：原式， 所以代数式的值为或2． 28．（25-26七年级上·四川达州·期中）已知有理数x、y满足，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值的非负性、代数式求值，先根据绝对值的非负性求得x、y值，再代值求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得， ∴． 29．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）绝对值非负性的基本含义，用数学语言表示就是：对于任意有理数，都有． (1)若，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方数、绝对值的非负性，熟知绝对值的非负性是解题的关键．（1）根据绝对值的非负性可得和，据此求出x、y的值，再代值计算即可得到答案； （2）可证明，那么可得，则，由平方数和绝对值的非负性求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵且， ∴且，即和， 解得，， ∴． （2）解：∵， ∴． 已知， ∴， 简化得． 又∵且， ∴且，即和， 解得， ∴． 30．（25-26七年级上·广东汕头·期中）数a、b是，1，，4，这5个数中的一个，其中a是相反数最大的数，b是绝对值最小的数． (1)填空：，； (2)若，求的值． 【答案】(1)，1 (2)3 【分析】本题考查了相反数、绝对值、代数式求值，解题的关键是掌握以上知识点． （1）计算各数的相反数和绝对值，确定为相反数最大的数，为绝对值最小的数； （2）利用绝对值的非负性求出和的值，然后代入表达式计算． 【详解】（1）解：数，1，，4，的相反数分别为5，，3，，2， 其中最大点相反数为5， ∴； 绝对值分别为5，1，3，4，2，其中最小的绝对值为1， ∴． （2）解：由，且，， ∴，， 代入，， 得，， ∴，． ∴． 题型7结合数轴，判断字母大小并化简含绝对值式子（共4小题） 【模型】数轴判号去绝对值化简模型→数轴右大左小，先判定绝对值内部代数式正负，再依据绝对值法则去符号化简 【步骤】【步骤】①观察数轴，确定a、b的位置，判断正负以及相互大小；②判断绝对值里面式子(如a-b、a+b)结果是正还是负，③内部为正，直接去掉绝对值；内部为负，去掉绝对值后整体添加负号，记得带上括号；④去括号、合并同类项，完成化简 【易错】判断a+b、a-b这类组合式子的正负出错；去绝对值变号时只改变第一项符号，后面项忘记变号；化简结束忘记合并同类项 31．（26-27七年级上·四川德阳·期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：___________0；___________0；___________0；（填“>”“<”或“=”） (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据点在数轴上的位置，判断式子的符号即可； （2）根据绝对值的意义，结合（1）中式子的符号，化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，； （2）解：由（1）可知：，，， ∴． 32．（26-27七年级上·河南新乡·期中）如图所示． (1)填空：______0；______0；______0；______0．（填>、<或＝） (2)化简：． 【答案】(1)>；<；>；> (2) 【分析】首先根据数轴上点的位置确定的大小关系，以此作为判断四个式子正负的突破口，数轴上右边的数总大于左边的数． （1）如果被减数大于减数，那么差为正，反之差为负，据此判断每个式子和0的大小关系． （2）根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合（1）中得到的正负性去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：从数轴可得数的大小关系：，据此判断： ：比大，大数减小数结果为正，因此； ：是负数，负数减2仍为负数，因此； ：是正数，是负数，正数减负数等价于正数加正数，结果为正，因此； ：比2小，大数减小数结果为正，因此． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴原式 ． 33．（26-27七年级上·全国·期中）有理数在数轴上的对应点分别为，其位置如图所示． (1)比较的大小； (2)试去掉绝对值符号并合并同类项：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先从数轴读出信息：，离原点距离大于离原点的距离，即，是的相反数，为正数，根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （2）第一步先判断绝对值内部代数式的正负，第二步去掉绝对值，再去括号、合并同类项，最后化简得到结果． 【详解】（1）解：由图可知，且，所以； （2）解：由题意得， 所以原式 ． 34．（26-27七年级上·陕西西安·期中）数轴上，有理数在数轴上对应点如图： (1)a_______0；b______0；c______0；（填“”、“”或“”） (2)______0；______0；______0；（填“”、“”或“”） (3)化简：． 【答案】(1)，， (2)，， (3) 【分析】（1）根据数轴可得答案； （2）根据数轴可得，且，据此逐一判断即可； （3）根据（1）（2）先化简绝对值，再利用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可得； （2）解：由数轴可得，且， ∴； （3）解：由（1）（2）得，， ∴ ． 35．（26-27七年级上·北京通州·期中）有理数、、在数轴上的位置如图所示． (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据数轴得到且，利用有理数加法法则判断，利用有理数减法法则判断． （2）根据数轴上的大小关系判断、、的正负，去掉绝对值符号，再去括号合并同类项化简，最后得到结果． 【详解】（1）解：由数轴可知：，且． ， ． ， ． （2）解：， ，． ， ． ， ，． 原式 ． 拔高·压轴破难 题型8多个非负数相加等于0（∣a∣+∣b∣=0）求值（共3小题） 【模型】非负和为0模型→几个非负数相加等于0，则每一项都单独等于0 【步骤】①绝对值具有非负性：|a|≥0，|b|≥0；②和为0，推出|a|=0，|b|=0；③求出a=0，b=0；④代入代数式求值 【易错】只让其中一个式子等于0，另一个不为0；不知道绝对值属于非负数 36．（25-26七年级上·四川达州·期中）若，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键；根据绝对值的非负性，求出a、b、c的值，然后问题可求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为，，， 所以得,，， 所以，，， 因此； 故答案为2． 37．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）若，且__________． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值非负性，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据非负数的性质，绝对值和平方均非负，它们的和为零则每个部分均为零，分别求出x，m． 【详解】解：由，得； 由，得； 代入，得，即． 因此． 故答案为：1． 38．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知x，y为有理数，且，则的值为__________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0． 39．（25-26九年级下·湖南株洲·自主招生）已知，且，则___________． 【答案】或 【分析】根据得出，即，代入，得，，解得或，从而求得或，即可代入计算求解． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：或， ∴当时，， ∴ 当时，， ∴， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值意义，非负数的性质，代数式求值．熟练掌握绝对值和偶次方的非负性是解题的关键． 题型9分类讨论化简型绝对值（零点分段基础）（共6小题） 【模型】零点分段基础模型→找到零点，分三段讨论 【步骤】①找零点：令，得零点；②分情况：；③每种情况判断内部正负，去掉绝对值化简 【易错】漏掉零点的情况；分类讨论时分界点重复或者遗漏 40．（26-27七年级上·山东青岛·期中）如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上1和4两点之间的距离是_________，数轴上2和的两点之间的距离是_________． (2)数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为_________，的几何意义是_________． (3)求出当时的值． (4)若，则能取到的最大值是__________． (5)求的最小值，并直接写出此时x可取哪些整数值． 【答案】(1)3；5 (2)；数轴上表示x和的两点之间的距离 (3)4或 (4) (5)最小值为7，x可取的整数值为、、、0、1、2、3、4 【分析】数轴上两点间距离公式的应用及绝对值的几何意义： （1）距离计算：直接利用公式计算数轴上两点间的距离； （2）距离计算：直接利用公式计算数轴上两点间的距离；几何意义：理解表示数轴上x与a两点间的距离； （3）方程求解：利用绝对值的定义或几何意义（距离为定值）求解x； （4）最值问题：对于，分析点x到2的距离与到的距离之差，结合数轴位置确定x的范围； （5）对于，利用“两点之间线段最短”原理，确定当x位于4和之间时和最小． 【详解】（1）解：根据数轴上两点间距离公式，数轴上1和4两点之间的距离为；数轴上2和两点之间的距离为． （2）数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为； 因为，所以的几何意义是数轴上表示x和的两点之间的距离． （3）由可知，数轴上表示x的点到的距离为7． 分两种情况讨论： 当x在的右侧时，，解得； 当x在的左侧时，，解得． 综上所述，x的值为4或． （4）表示数轴上点x到2的距离与点x到的距离之差． 因为2与之间的距离为，若，说明点x到2的距离比到的距离大3． 结合数轴可知，当点x在的左侧（包括）时，满足条件，即，所以x能取到的最大值是． （5）表示数轴上点x到的距离与点x到的距离之和． 根据“两点之间，线段最短”，当点x位于和4之间（包括端点）时，距离之和最小，最小值为与4之间的距离，即； 此时x的取值范围是，在此范围内的整数有、、、0、1、2、3、4． 41．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）阅读材料： 的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数与数的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离． 根据材料的说法，试求： (1)使成立的的值； (2)若为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个代数式的最大值及此时的值；如果没有，请说明理由； (3)若为有理数，则有最　　　　　值（填“大”或“小”），其值为　　　　　． 【答案】(1)或2025 (2)有最大值3，此时x的值为2，理由如下： 因为， 所以当时，取得最大值， 所以令，解得， 所以代数式的最大值为3，此时x的值为2； (3)小，2 【分析】（1）根据绝对值的几何意义求解； （2）根据绝对值的非负性求解； （3）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：表示数轴上数与数1的对应点之间的距离为2024， ∴或2025； （2）略 （3）解：∵表示数轴上数与数1和数3的对应点之间的距离之和， ∴当时，有最小值，即1和3之间的距离，即2． 42．（25-26七年级上·陕西西安·期中）【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）或6.5；（3）①3；，，0，1；②有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对值的几何意义是解题的关键； （1）根据题意可知可看作是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为，然后问题可求解； （2）同理（1）可求； （3）根据绝对值的几何意义及数轴上两点距离可进行求解①②． 【详解】解：（1）由可知：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为， ∴或， 解得：或， 故答案为或； （2）由可知：数轴上表示数x的点到表示数和3的点之间的距离之和为12， ∵， 当数轴上表示数x的点在表示数的左侧时，则有：， 解得：； 当数轴上表示数x的点在表示数3的右侧时，则有：， 解得：； 故答案为或6.5； （3）①由可知：数轴上表示数x的点到表示数和1的点之间的距离之和， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数和1的点之间取得最小值，此时x可以取的整数有，，0，1； 故答案为3；，，0，1； ②由可变形为， ∴同理①可知：当数轴上表示数x的点在表示数和4的点之间取得最小值， ∴最小值为； 由可知：数轴上表示数x的点到表示数和5的点之间的距离之差， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数5的右侧时，取得最大值，最大值为7； 答：有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 43．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）阅读材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．例如：数轴上表示3和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为．数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． (2)若x表示一个有理数，且，直接写出满足条件的所有整数x． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，理解绝对值的意义是解题关键． （1）由题意得数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为．根据，即可得到数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． （2）根据（1）结论得到表示在数轴上找一个点，使它到点的距离之和为5，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为． ， 所以数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． 故答案为：，； （2）解：如图所示， 因为表示数轴上表示x和的两点之间的距离，表示数轴上表示x和3的两点之间的距离， 所以表示在数轴上找一个点，使它到点的距离之和为5， 所以满足条件的所有整数为． 44．（25-26六年级上·山东威海·期中）我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，表示数轴上数与数对应点之间的距离．例如：表示3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是； (2)数轴上点表示的数为，点表示的数为，则两点之间的距离可以表示为；若，则； (3)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有个； 【答案】(1) (2)；或 (3)4 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，有理数的运算，理解题意，并灵活运用所学知识解决有关数轴上两点之间距离问题是解答的关键． （1）根据两点之间的距离公式求解即可； （2）用两点之间的距离公式表示即可； （3）先求出的取值范围，然后得出整数的值即可； 【详解】（1）解：根据题意，； 故答案为：5； （2）解：根据题意，数轴上表示和的两点，之间的距离是； 若， 则， 或． 故答案为：；2或； （3）解：根据题意得：表示数轴上表示数的点到表示数和数1的点的距离之和， 当时，这个距离之和最小，最小值为， 当时，， 满足条件的所有整数为，，0，1． 故答案为：4． 45．（25-26七年级上·河南郑州·期中）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______． (2)若代数式的最小值是3，则______． (3)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． ③当有最小值是______． 【答案】(1)①4；②，1或 (2)或1 (3)①1；②5；③4 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）①数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：4； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， 当，即， 所以或， 解得或， 故答案为：1或； （2）若代数式的最小值是3， 即， 所以或， 解得或， 故答案为：或1； （3）①当有最小值是， 故答案为：1； ②当时，有最小值，最小值为， 故答案为：5； ③当时，有最小值，最小值为， 故答案为：4． 题型10利用绝对值几何意义求两点距离、最值（共5小题） 【模型】绝对值几何最值模型→表示数轴上x到a的距离 【步骤】①把、翻译成数轴上点之间距离；②分析动点x在数轴上位置；③找到距离和最小/最大的位置，算出最值 【易错】分不清是x到a的距离，写成x到原点距离；求最值时判断位置错误 46．（2026七年级上·全国·专题练习）若，则满足条件的整数有_____个． 【答案】8 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式和绝对值的几何意义可得，当时，，据此解答即可． 【详解】解：表示数的点和表示数的点之间的距离为， 且根据绝对值的几何意义可得，当时，， ∴整数的取值范围为， ∴满足条件的整数有，，，，，，，，共个． 47．（2022七年级上·福建宁德·期中）当______时，的最小值是______． 【答案】 【分析】表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果． 【详解】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 48．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 49．（25-26七年级上·河南·期中）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则______． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 50．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若，且，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的性质，数轴上两点距离公式，正确求出b的值是解题的关键．先根据题意得到，再结合已知条件求出，则． 【详解】解：由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 题型11绝对值与动点结合综合压轴题（共5小题） 【模型】数轴动点+绝对值综合模型→动点用含t代数式表示，距离用绝对值表达 【步骤】①设时间t，写出动点对应的数；②两点距离写成绝对值形式；③根据题意列方程；④分类讨论去掉绝对值，解方程，检验t范围 【易错】动点移动方向考虑不全；去掉绝对值时分类讨论漏解；忽略t的取值范围 51．（26-27七年级上·山西太原·期中）综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且，则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 (1)如图1，若点表示的数是，点表示的数是6，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________． 【深入探究】 (2)如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 (3)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，，点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)2，10， 12 (2)不变；10 (3) 【分析】（1）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （2）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （3）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． 【详解】（1）解： 点表示的数是，点与点表示的数互为相反数， 表示的数是． 表示的数是6， ， ， ， ，（舍去，与重合） 表示的数是． ． （2）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是，， ， ， ， ，（舍去，与重合） ． 不管怎么变化，为固定值，且是10． （3）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是， ， ， ，（舍去，与重合） ． 52．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）如图，已知数轴上有A、B、C三点，点O为原点，点A、B在原点的右侧，点C在原点的左侧，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足，． (1)_______，_______，_______（直接写出答案）； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t（）；当t为何值时，点P、Q刚好相距10个单位长度? (3)在（2）的条件下，若点M从点A以每秒6个单位长度的速度向左与P、Q同时运动，当点M与点P或点Q相遇时，则立即改变运动方向，以原来的速度向相反方向运动，当P、Q相遇时，三个点均停止运动，求点M运动的总路程． 【答案】(1)5，8， (2)9或19秒 (3)84 【分析】（1）根据绝对值和平方数的非负性可以得解； （2）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，则，即可求解； （3）当P、Q相遇时，，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵，点C在原点的左侧， ∴． （2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， ∵点P、Q相距10个单位长度， ∴， 解得，， ∴当t为9或19秒时，点P、Q刚好相距10个单位长度． （3）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， ∴当P、Q相遇时，， 解得， ∴点M运动的总路程为． 53．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知： b是最小的正整数， 且a、b满足， 请回答问题∶ (1)请直接写出a、b的值，_______，_____； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A 与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点 C分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动． ①经过2秒后，点A 与点 C之间的距离 ． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值、 【答案】(1) (2)①； ②不变，理由如下： ∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动， ∴经过t秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着时间t的变化而改变． 【分析】本题考查最小正整数定义，绝对值和完全平方非负性，数轴上两点间距离，数轴上动点问题等． （1）根据题意可得，利用绝对值和完全平方非负性可知，； （2）①经过2秒后，可知点A 表示的数为，点C表示的数为，继而可求出本题答案；②经过t秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为，继而可得，，继而得到，继而可知不会随着时间t的变化而改变． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：①∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以3个单位长度的速度向右运动， ∵点A现在表示的数为，点C现在表示的数为， ∴经过2秒后，可知点A 表示的数为，点C表示的数为， ∴， 故答案为：14； ② 略 54．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 1/12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $