6.1～6.2 用树状图或表格求概率 用频率估计概率 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

初中数学同步周练　|　北师大版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第六章 概率的进一步认识（6.1～6.2） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2026•深圳三模）·【A】如图，转盘甲与转盘乙中黑、白部分的面积均相等．用力转动转盘甲和转盘乙，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为P甲，P乙，则下列关系正确的是（　　） A．P甲＞P乙 B．P甲＜P乙 C．P甲＝P乙 D．无法确定P甲，P乙的大小 2．（2025•温江区校级模拟）·【A】一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026•南山区二模）·【A】一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　） A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色 4．（2025秋•南关区校级期末）·【A】某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下的统计表，符合这一结果的试验最有可能是（　　） 试验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．抛一枚硬币，正面向上 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），向上的面点数为5 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取1球，取到红球 5．（2025秋•天台县期末）·【B】在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（　　） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 6．【C】小华做了一个试验：从反扣在桌面上牌面数字分别为6和8的牌中，抽出一张再放回去算一次试验，如果小华做了三次试验，那么所有的不同结果为（　　） A．3种 B．4种 C．8种 D．9种 二．填空题（共6小题） 7．（2026•罗湖区校级竞赛）·【A】小明在一个均匀的正方体骰子的每个面上都任意写一个正整数，然后再随意地投掷这样的两个骰子，若朝上的两个面内的数的和为偶数的概率最小是P，那么180P＝_______ ． 8．（2026•安徽模拟）·【A】如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是__________________ ． 9．（2025秋•安宁区校级月考）·【A】做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 0.512 0.517 0.519 0.521 0.520 ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 _______ ． 10．【A】下列说法中，合理的有 ________ （填序号）． （1）买彩票中奖是随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%； （2）抛掷1枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，则抛掷这枚硬币10次，一定有5次正面朝上； （3）抛掷1枚质地均匀的骰子，骰子落地后出现6点的概率是，但有可能一人连续2次掷得6点； （4）小明在10次抛图钉的试验中发现只有3次钉尖朝上，据此他说钉尖朝上的概率大约是30%． 11．（2026•大新县二模）·【B】一个不透明的袋中装有4个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出两个球（一次摸出两个），两个球都是红球的概率为，则摸出的两个球颜色不同的概率为__________________ ． 12．（2026•温江区校级模拟）·【C】从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，则使关于x的分式方程：的解是负数，且关于x的一次函数y＝（m﹣3）x﹣4的图象不经过第一象限的概率为__________________ ． 三．解答题（共8小题） 13．（2024春•单元）·【A】某种玉米种子在相同条件下的发芽试验结果如下表： （1）计算并完成表格； （2）请估计，当n很大时，频率将接近 ________ ； （3）这种玉米种子的发芽概率的估计值是多少？请简要说明理由． 每批粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 14．【A】从一大批水稻种子中抽取若干粒，在同一条件下进行发芽试验，结果如表： 种子粒数n 100 500 1000 2000 3000 5000 发芽种子粒数m 89 460 920 1811 2713 4512 发芽频率 （1）计算各批种子的发芽频率；（结果精确到0.001） （2）画出发芽频率的折线统计图； （3）根据频率的稳定性，估计水稻种子发芽的概率．（结果精确到0.01） 15．（2026春•同步）·【B】研究女婴出生率，对人口统计很重要．统计学家克拉梅（H．Cramer，1893﹣1985）得到瑞典1935年的婴儿出生数据如下： 时间范围 前2月 前4月 前6月 前8月 前10月 全年 出生婴儿数/人 14237 30004 45505 60483 74589 88273 出生女婴数/人 6944 14521 21961 29178 36060 42591 女婴出生的频率 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ （1）填写表中的空格． （2）画出女婴出生频率的折线图． （3）你认为女婴的出生频率稳定吗？由此可以估计女婴出生的概率吗？ 16．（2024秋•金凤区校级期中）·【B】在一个不透明的箱子里装有若干张无奖卡，现将20张有奖卡放入箱子（所有卡片形状、大小、材质均相同）．搅匀后从中随机摸出一张卡，记下是否有奖，再将它放回箱子中，不断重复此过程，获得如下频数表： 摸卡的次数n 20 50 80 120 200 300 摸到有奖卡的次数m 3 5 9 11 21 31 摸到有奖卡的频率 0.150 0.100 0.113 0.092 0.105 0.103 （1）若从箱子里随机摸一张卡，估计有奖的概率为 ________ ．（精确到0.1） （2）请估算出箱子里无奖卡的数量． （3）A，B两位同学各抽得一张有奖卡，两人均获得一张文艺演出的入场券，如图所示，他们各要在编号为①②③的三个座位上选一个坐下，请求出A，B坐到相邻座位的概率．（画树状图或列表分析问题） 17．（2024春•单元）·【B】某射手在相同条件下进行射击，结果如表所示． 　射击次数 10 50 100 200 500 击中靶心的次数　 8 43 93 176 456 击中靶心的频率　 ________ _________ _________ _________ __________ （1）填写表中击中靶心的频率； （2）估计该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少（精确到0.1）？ 18．（2025秋•鲤城区校级期末）·【C】汽车行驶中的刹车距离是重要的研究指标，经大量实验和数据分析，发现汽车在平坦路面的刹车距离y（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间都存在着某种同类型的函数关系．某汽车公司共设计了三种型号A，B，C的新型汽车，为了确定y与x之间的函数关系类型，该公司先测试了C的刹车性能： 车速x（km/h） 0 30 45 60 90 105 120 150 刹车距离y（m） 0 7.8 13.05 19.2 34.2 43.05 52.8 75 （1）请根据表中提供的数据，在坐标系中描出（x，y），顺次连接各点，并判断刹车距离与行驶速度的函数关系类型，并写出这种函数关系的一般表达式（表达式的系数按x的降幂排列用有序数组（a，b，c）进行表示，这个数组称为刹车系数）； （2）根据上面的判断，该公司将A和B两种车型的y与x的函数关系的刹车系数近似表示分别是和，其中0≤x≤200，b≥1．为了估计a的值，公司综合考虑各种路面情况，选择了六种有代表性的路面进行刹车试验，具体的数据如表三： 路面 路面一 路面二 路面三 路面四 路面五 路面六 车速（kmn/h） 100 100 100 100 100 100 刹车距离（m） 26.5 27.2 27.5 27.5 29.2 30.1 ①依据上述数据，合理估计a的值，并求A款型号汽车的“刹车距离”为5.2m时所对应的车速； ②当40≤x≤150时，是否存在实数b，使得在相同的车速下型号B汽车的“刹车距离”始终比型号A汽车的“刹车距离”小？若存在，求出相应的b的取值范围；若不存在，请说明理由． 19．（2025•广陵区一模）·【C】某种电子产品共4件，其中有正品和次品．已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为． （1）该批产品有正品_____ 件； （2）如果从中任意取出2件，利用列表或树状图求取出2件都是正品的概率． 20．（2024•沭阳县模拟）·【C】某班级准备召开主题班会，现从由3名男生和2名女生所组成的班委中，随机选取产生主持人． （1）若选取一人担任主持人，则恰好是女生担任主持人的概率为__________________ ； （2）若选取两人担任主持人，求两名主持人恰好为一男一女的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出求解过程） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D B D D C 1．（2026•深圳三模）·【A】如图，转盘甲与转盘乙中黑、白部分的面积均相等．用力转动转盘甲和转盘乙，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为P甲，P乙，则下列关系正确的是（　　） A．P甲＞P乙 B．P甲＜P乙 C．P甲＝P乙 D．无法确定P甲，P乙的大小 【答案】C 【解答】解：转盘甲，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为； 转盘乙，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为． 因此转盘甲和转盘乙中转盘的指针停在白色区域的概率均为． 故选：C． 2．（2025•温江区校级模拟）·【A】一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：设袋子中白球的个数为x个， 则， 解得x＝4， 经检验得x＝4是原方程的解， ∴估计袋中白球的个数是4个． 故选：D． 3．（2026•南山区二模）·【A】一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　） A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色 【答案】B 【解答】解：观察统计图可知，该球的频率稳定在0.20左右，所以抽到该球的概率为0.20， ∵抽到白球的概率为：0.45， 抽到黑球的概率为：0.3， 抽到红球的概率为：0.2， 抽到黄球的概率为：0.05， ∴该球的颜色最有可能是红色． 故选：B． 4．（2025秋•南关区校级期末）·【A】某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下的统计表，符合这一结果的试验最有可能是（　　） 试验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．抛一枚硬币，正面向上 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），向上的面点数为5 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取1球，取到红球 【答案】D 【解答】解：A、抛一枚质地均匀的硬币，出现的是反面的概率为：0.5，不符合题意；B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合题意；C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是5的概率为：0.17，不符合题意； D、在一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取1球，取到红球的概率为：0.33，符合题意． 故选：D． 5．（2025秋•天台县期末）·【B】在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（　　） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 【答案】D 【解答】解：按照小陈的说法，小陈摸到红球的概率＝前三人都没摸到红球的概率和其他人概率相同，并非最小，故小陈的说法错误； 如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大．他混淆了条件概率与无条件概率．小陈的无条件概率是，和其他人一样，并非最大，故小林的说法错误； .小王的说法“不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是•因为球除颜色外完全相同，每个位置摸到红球的概率都是，与摸球顺序无关，故小王的说法正确； 小丁的说法“先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的，•计算可得四人摸到红球的概率均为，规则公平，故小丁的说法正确， 故选：D． 6．【C】小华做了一个试验：从反扣在桌面上牌面数字分别为6和8的牌中，抽出一张再放回去算一次试验，如果小华做了三次试验，那么所有的不同结果为（　　） A．3种 B．4种 C．8种 D．9种 【答案】C 【解答】解：用树状图表示所有可能出现的情况， 因此共有8种可能的情况． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2026•罗湖区校级竞赛）·【A】小明在一个均匀的正方体骰子的每个面上都任意写一个正整数，然后再随意地投掷这样的两个骰子，若朝上的两个面内的数的和为偶数的概率最小是P，那么180P＝　90　 ． 【答案】90． 【解答】解：由题意，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 共有36种情况，朝上的两个面内的数的和为偶数的情况共有18种， ∴P（朝上的两个面内的数的和为偶数）． ∴18090． 故答案为：90． 8．（2026•安徽模拟）·【A】如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是　　 ． 【答案】． 【解答】解：列表 出口入口 B C E A （A，B） （A，C） （A，E） D （D，B） （D，C） （D，E） 由列表可知，共有6种等可能的结果． 其中从A口进入，从E口离开的结果只有1种，即（A，E）． 所以． 故答案为：． 9．（2025秋•安宁区校级月考）·【A】做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 0.512 0.517 0.519 0.521 0.520 ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 　②③　 ． 【答案】②③． 【解答】解：当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，“正面向上”的概率不一定就是0.512，推断不合理，故①不符合题意， 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，所以可以估计“正面向上”的概率是0.520，推断合理，故②符合题意， 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，推断合理，故③符合题意， 故答案为：②③． 10．【A】下列说法中，合理的有 　（3）　 （填序号）． （1）买彩票中奖是随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%； （2）抛掷1枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，则抛掷这枚硬币10次，一定有5次正面朝上； （3）抛掷1枚质地均匀的骰子，骰子落地后出现6点的概率是，但有可能一人连续2次掷得6点； （4）小明在10次抛图钉的试验中发现只有3次钉尖朝上，据此他说钉尖朝上的概率大约是30%． 【答案】（3）． 【解答】解：（1）买彩票中奖是随机事件，但是中奖可能性很小，此选项错误； （2）抛掷1枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，则抛掷这枚硬币10次，不一定有5次正面朝上；故此选项错误； （3）抛掷1枚普通的正方体骰子，骰子落地后出现6的频率是，但有可能一人连续2次掷得都是6点，此选项正确； （4）小明在10次抛图钉的试验中只发现了3次钉尖朝上，据此他说钉尖朝上的概率大约是30%，由于实验次数较少，故此选项错误． 故答案为：（3）． 11．（2026•大新县二模）·【B】一个不透明的袋中装有4个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出两个球（一次摸出两个），两个球都是红球的概率为，则摸出的两个球颜色不同的概率为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，∵从袋中随机摸出两个球（一次摸出两个），两个球都是红球的概率为，且两个球都是红球的有4×3＝12种情况， ∴一共有种等可能情况， ∵一次摸出两个，且7×6＝42， ∴袋子中共有7个球， ∴蓝球有3个， 列表如下： 红1 红2 红3 红4 蓝1 蓝2 蓝3 红1 （红2，红1） （红3，红1） （红4，红1） （蓝1，红1） （蓝2，红1） （蓝3，红1） 红2 （红1，红2） （红3，红2） （红4，红2） （蓝1，红2） （蓝2，红2） （蓝3，红2） 红3 （红1，红3） （红2，红3） （红4，红3） （蓝1，红3） （蓝2，红3） （蓝3，红3） 红4 （红1，红4） （红2，红4） （红3，红4） （蓝1，红4） （蓝2，红4） （蓝3，红4） 蓝1 （红1，蓝1） （红2，蓝1） （红3，蓝1） （红4，蓝1） （蓝2，蓝1） （蓝3，蓝1） 蓝2 （红1，蓝2） （红2，蓝2） （红3，蓝2） （红4，蓝2） （蓝1，蓝2） （蓝3，蓝2） 蓝3 （红1，蓝3） （红2，蓝3） （红3，蓝3） （红4，蓝3） （蓝1，蓝3） （蓝2，蓝3） 一共有42种等可能结果，其中摸出的两个球颜色不同的有24种， ∴摸出的两个球颜色不同的概率为． 12．（2026•温江区校级模拟）·【C】从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，则使关于x的分式方程：的解是负数，且关于x的一次函数y＝（m﹣3）x﹣4的图象不经过第一象限的概率为　　 ． 【答案】 【解答】解：解分式方程得：x＝﹣m﹣3， ∵方程的解为负数， ∴﹣m﹣3＜0且﹣m﹣3≠﹣1， 解得：m＞﹣3且m≠﹣2， 又∵一次函数y＝（m﹣3）x﹣4的图象不经过第一象限， ∴m﹣3＜0， ∴m＜3， 则﹣3＜m＜3且m≠﹣2， 在﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中符合﹣3＜m＜3且m≠﹣2的有﹣1，0，1，2这4个数， ∴使分式方程的解为负数且一次函数图象不过第一象限的概率为， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 13．（2024春•单元）·【A】某种玉米种子在相同条件下的发芽试验结果如下表： （1）计算并完成表格； （2）请估计，当n很大时，频率将接近 　0.7　 ； （3）这种玉米种子的发芽概率的估计值是多少？请简要说明理由． 每批粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 【答案】（1）详见解答部分； （2）0.7； （3）这种玉米种子的发芽概率的估计值是0.7． （2）8批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.7，所以估计当n很大时，频率将接近0.6； （3）这种玉米种子的发芽概率的估计值是0.7，因为在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率． 【解答】解：（1）完成表格如下： 每批粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70 0.70 （2）估计，当n很大时，频率将接近0.7， 故答案为：0.7； （3）这种玉米种子的发芽概率的估计值是0.7， 在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率． 14．【A】从一大批水稻种子中抽取若干粒，在同一条件下进行发芽试验，结果如表： 种子粒数n 100 500 1000 2000 3000 5000 发芽种子粒数m 89 460 920 1811 2713 4512 发芽频率 （1）计算各批种子的发芽频率；（结果精确到0.001） （2）画出发芽频率的折线统计图； （3）根据频率的稳定性，估计水稻种子发芽的概率．（结果精确到0.01） 【答案】（1）0.890，0.920，0.920，0.906，0.904，0.902； （2）； （3）估计水稻种子发芽的概率是0.90． （2）以横纵为种子粒数，纵轴为发芽频率即可画出折线统计图． （3）观察表格中的数据即可解决问题．进而以频率即可估算概率． 【解答】解：（1）分别求出每组数据的商得， 89÷100＝0.890，460÷500＝0.920，920÷1000＝0.920，1811÷2000≈0.906，2713÷3000≈0.904，4512÷5000≈0.902． 故答案为：0.890，0.920，0.920，0.906，0.904，0.902； （2）发芽频率的折线统计图如图所示， （3）由题意，结合（2）可得，这些频率在常数0.90附近摆动， ∴估计水稻种子发芽的概率是0.90． 15．（2026春•同步）·【B】研究女婴出生率，对人口统计很重要．统计学家克拉梅（H．Cramer，1893﹣1985）得到瑞典1935年的婴儿出生数据如下： 时间范围 前2月 前4月 前6月 前8月 前10月 全年 出生婴儿数/人 14237 30004 45505 60483 74589 88273 出生女婴数/人 6944 14521 21961 29178 36060 42591 女婴出生的频率 　0.4877　 　0.4840　 　0.4826　 　0.4824　 　0.4834　 　0.4825　 （1）填写表中的空格． （2）画出女婴出生频率的折线图． （3）你认为女婴的出生频率稳定吗？由此可以估计女婴出生的概率吗？ 【答案】（1）0.4877，0.4840，0.4826，0.4824，0.4834，0.4825； （2）由题意，结合（1）作图如下： ； （3）女婴出生的频率稳定，随着统计样本数量不断增加，频率在0.482附近小幅波动．根据频率与概率的关系：当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，可以用这个稳定的频率估计女婴出生的概率，估计概率约为0.4825． （2）依据题意，结合（1）可以作图得解； （3）依据题意可得，女婴出生的频率稳定，随着统计样本数量不断增加，频率在0.482附近小幅波动，结合数据可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，根据频率公式：频率， ∴前2月：， 前4月：， 前6月：， 前8月：， 前10月：， 全年：． 故答案为：0.4877，0.4840，0.4826，0.4824，0.4834，0.4825； （2）由题意，结合（1）作图如下： ； （3）女婴出生的频率稳定，随着统计样本数量不断增加，频率在0.482附近小幅波动．根据频率与概率的关系：当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，可以用这个稳定的频率估计女婴出生的概率，估计概率约为0.4825． 16．（2024秋•金凤区校级期中）·【B】在一个不透明的箱子里装有若干张无奖卡，现将20张有奖卡放入箱子（所有卡片形状、大小、材质均相同）．搅匀后从中随机摸出一张卡，记下是否有奖，再将它放回箱子中，不断重复此过程，获得如下频数表： 摸卡的次数n 20 50 80 120 200 300 摸到有奖卡的次数m 3 5 9 11 21 31 摸到有奖卡的频率 0.150 0.100 0.113 0.092 0.105 0.103 （1）若从箱子里随机摸一张卡，估计有奖的概率为 　0.1　 ．（精确到0.1） （2）请估算出箱子里无奖卡的数量． （3）A，B两位同学各抽得一张有奖卡，两人均获得一张文艺演出的入场券，如图所示，他们各要在编号为①②③的三个座位上选一个坐下，请求出A，B坐到相邻座位的概率．（画树状图或列表分析问题） 【答案】（1）0.1；（2）180；（3）． （2）依据题意，设箱子里无奖卡的数量为x，进而列方程计算可以得解； （3）依据题意，列出表格进行分析后即可得解． 【解答】解：（1）由题意，根据用频率估计概率进行判断， ∴估计有奖的概率为0.1． 故答案为：0.1． （2）由题意，设箱子里无奖卡的数量为x， ∴0.1． ∴x＝180． 检验：把x＝180代入m+20＝200≠0，且左边＝右边， ∴x＝180，符合题意． （3）由题意，可列表如下， 1 2 3 1 / （1，2） （1，3） 2 （2，1） / （2，3） 3 （3，1） （3，2） / ∴两人座位相邻有4种等可能情形． ∴A，B坐到相邻座位的概率． 17．（2024春•单元）·【B】某射手在相同条件下进行射击，结果如表所示． 　射击次数 10 50 100 200 500 击中靶心的次数　 8 43 93 176 456 击中靶心的频率　 　0.8　 　0.86　 　0.93　 　0.88　 　0.912　 （1）填写表中击中靶心的频率； （2）估计该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少（精确到0.1）？ 【答案】（1）0.8，0.86，0.93，0.88，0.912． （2）0.9． （2）根据所有的频率计算出平均的概率． 【解答】解：（1）根据表中数据，依次计算为：0.8，0.86，0.93，0.88，0.912； 故答案为：0.8，0.86，0.93，0.88，0.912． （2）观察表格中击中靶心的频率，发现：击中靶心的频率在0.9上下波动，并且随着射击次数的增多，击中靶心的次数稳定在0.9．也可以通过计算求出：（0.8+0.86+0.93+0.88+0.912）0.9． 18．（2025秋•鲤城区校级期末）·【C】汽车行驶中的刹车距离是重要的研究指标，经大量实验和数据分析，发现汽车在平坦路面的刹车距离y（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间都存在着某种同类型的函数关系．某汽车公司共设计了三种型号A，B，C的新型汽车，为了确定y与x之间的函数关系类型，该公司先测试了C的刹车性能： 车速x（km/h） 0 30 45 60 90 105 120 150 刹车距离y（m） 0 7.8 13.05 19.2 34.2 43.05 52.8 75 （1）请根据表中提供的数据，在坐标系中描出（x，y），顺次连接各点，并判断刹车距离与行驶速度的函数关系类型，并写出这种函数关系的一般表达式（表达式的系数按x的降幂排列用有序数组（a，b，c）进行表示，这个数组称为刹车系数）； （2）根据上面的判断，该公司将A和B两种车型的y与x的函数关系的刹车系数近似表示分别是和，其中0≤x≤200，b≥1．为了估计a的值，公司综合考虑各种路面情况，选择了六种有代表性的路面进行刹车试验，具体的数据如表三： 路面 路面一 路面二 路面三 路面四 路面五 路面六 车速（kmn/h） 100 100 100 100 100 100 刹车距离（m） 26.5 27.2 27.5 27.5 29.2 30.1 ①依据上述数据，合理估计a的值，并求A款型号汽车的“刹车距离”为5.2m时所对应的车速； ②当40≤x≤150时，是否存在实数b，使得在相同的车速下型号B汽车的“刹车距离”始终比型号A汽车的“刹车距离”小？若存在，求出相应的b的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），二次函数关系，y＝0.002x2+0.2x，刹车系数为（0.002，0.2，0）； （2）①a的值是，车速40km/h； ②存在，b的取值范围是1≤b＜5． （2）①理解题意，把（100，28）代入求出，得出，令，解得x1＝40x2＝﹣52（不符合题意，舍去），即可作答； ②当x2＝0时，y2＝0，得c＝0，则由题意得，整理得对称轴为直线x＝10b﹣30，结合40≤x≤150，进行分类讨论，即可作答． 【解答】解：（1）由题意，根据表格数据可以作图如下， 观察函数图象，得出刹车距离与行驶速度的函数关系为二次函数关系， ∴设y＝ax2+bx+c（a≠0）把（0，0），（60，19.2），（90，34.2）代入得y＝ax2+bx+c， ∴． ∴， ∴y＝0.002x2+0.2x，刹车系数为（0.002，0.2，0）； （2）①由表格得，（26.5+27.2+27.5+27.5+29.2+30.1）÷6＝28m， 把（100，28）代入， ∴28＝10000a+3． ∴． ∴， 令， ∴x1＝40，x2＝﹣52（不符合题意，舍去）． 答：a的值是，车速为40km/h； ②存在，理由： 当x2＝0时，y2＝0， ∴c＝0， ∴， 由题意得，， ∴， ∵40≤x≤150， ∴分情况讨论如下： 当10b﹣30≥150时，即b≥18，故x＝150时，，解得，舍去； 当10b﹣30≤40时，即b≤7，故x＝40时，解得b＜5； 当40＜10b﹣30＜150时，即7＜b＜18时，故x＝10b﹣30时，舍去； 答：b的取值范围是1≤b＜5． 19．（2025•广陵区一模）·【C】某种电子产品共4件，其中有正品和次品．已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为． （1）该批产品有正品　3　 件； （2）如果从中任意取出2件，利用列表或树状图求取出2件都是正品的概率． 【答案】见试题解答内容 （2）根据题意画出树状图或列表，然后求得所有等可能的结果与取出2件都是正品的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：该批产品中有次品有：41（件）， 则该批产品有正品有：4﹣1＝3（件）． 故答案为：3； （2）根据题意画树状图如下： 或将4件电子产品记为正品1、正品2、正品3、次品，列表分析如下： 正品1 正品2 正品3 次品 正品1 （正1，正2） （正1，正3） （正1，次品） 正品2 （正2，正1） （正2，正3） （正2，次品） 正品3 （正3，正1） （正3，正2） （正3，次品） 次品 （次品，正1） （次品，正2） （次品，正3） 结果共有12种情况，且各种情况都是等可能的，其中两次取出的都是正品共6种， ∴P（两件都是正品）． 20．（2024•沭阳县模拟）·【C】某班级准备召开主题班会，现从由3名男生和2名女生所组成的班委中，随机选取产生主持人． （1）若选取一人担任主持人，则恰好是女生担任主持人的概率为　　 ； （2）若选取两人担任主持人，求两名主持人恰好为一男一女的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出求解过程） 【答案】见试题解答内容 （2）画出树形图 展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）若选取一人担任主持人，则恰好是女生担任主持人的概率为； 故答案为； （2）画出树形图 为： 共有20种等可能的结果数，其中恰好为一男一女的结果数为12， 所以P（主持人恰好为一男一女）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $