6.1用树状图或表格求概率同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

6.1用树状图或表格求概率 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．现有一个可以自由转动的转盘，被等分成4个扇形，颜色如图所示．自由转动该转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一个质地均匀的转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数字（若指针正好指向分界线，则重新转一次），转动转盘两次，则两次转动转盘指针指向的数字之积为负数的概率是（   ）      A． B． C． D． 3．某校数学组策划了“解密风云”、“连数成画”和“函数追击”三个挑战游戏，如果甲和乙每人随机选择参加其中一个游戏，则他们恰好选择不同游戏的概率是（   ） A． B． C． D． 4．某便利店设有扫码、刷卡、刷脸三种支付方式，两名顾客各自随机选择一种方式支付，则两人支付方式完全相同的概率是（） A． B． C． D． 5．在常温常压下，酚酞遇酸性或中性溶液时呈无色，遇碱性溶液时变为红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：A．盐酸（呈酸性），B．硝酸钾溶液（呈中性），C．氢氧化钠溶液（呈碱性），D．氢氧化钾溶液（呈碱性）．“理小团”同学任取一种溶液滴入酚酞溶液进行检测，则结果恰好变为红色的概率是（   ） A． B． C． D． 6．甲，乙，丙，丁四个同学玩传球游戏，每个同学按如图中箭头方向随机传球，若经过两次传球，球在丙手中的概率为，则下列符合条件的树状图是（    ） A． B． C． D． 7．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（    ） A． B． C． D． 8．小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 9．元旦联欢会上，有一个开盲盒的游戏：电脑屏幕上出现两个一模一样的盲盒，参加游戏的同学随机点开其中一个．打开其中一个，会获得奖品，打开另一个，会获得表演节目的机会．李明、王曼、张峰三名同学参加这个游戏，刚好有两人会表演节目的概率是（　　） A． B． C． D． 10．一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在右图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在黑色方格中的概率是（    ）    A． B． C． D． 11．如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图是化学元素周期表中原子序数为1，8，11，12的四种元素，分别为氢（H），氧（O），钠（），镁（）．从中随机一次性选取两种元素，已知钠和镁为金属元素，氢和氧为非金属元素，则这两种元素恰好都是非金属元素的概率为_____． 14．一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 15．小明先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则抛掷结果第一次反面向上、第二次正面向上的概率是______ 16．河南是中原文化的发源地之一，拥有丰富的自然和人文旅游资源，现有三张正面分别印有龙门石窟、殷墟遗址、登封“天地之中”历史建筑群的卡片，它们除正面内容不同外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，抽取的卡片是“龙门石窟”和“殷墟遗址”的概率为______． 17．如图，一只蚂蚁在正方形内爬行，点是对角线的交点，，，分别交线段，于，，若蚂蚁在正方形内随机停留，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_________． 三、解答题 18．“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫，本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表： 接种地点 疫苗种类 医院 A 新冠病毒灭活疫苗 B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞） 社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗 D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞） 若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等（提示：用A、B、C、D表示选取结果） （1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率； （2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率． 19．某大学为了解大学生对中国共产党党史识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动，现从一二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格：40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息． 大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25 大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如下图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 大一 a b 43 m 大二 39.5 44 c n 请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题： （1）上表中a＝__________，b＝__________，c＝__________，m＝__________，n__________；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）； （2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人； （3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率． 20．将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒子中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接） 21．新角度·概率、几何结合 如图（1），线段和相交于点C，连接．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明成立的概率是_________； (2)若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算． 22．大运河是悠久的历史之河、奔流的发展之河、清秀的生态之河、融通的开放之河，以运河为媒，促进交流互鉴，2025年10月16日在大运河原点城市扬州举行了世界运河城市论坛．从A、B、C三名志愿者中随机选取两名分别担任馆内、馆外礼仪工作． (1)A被分配担任馆内礼仪工作的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法求A、B两名志愿者都被选中的概率． 23．有人说：“投掷两枚普通的正方体骰子，掷得两个‘’的概率应是的一半，也就是．”请用画树状图或列表的方法说明为什么这一说法是错误的． 24．某校对九年级学生对足球联赛“川超”情况做了抽样调查，将结果分为四个等级：非常了解；比较了解；基本了解；不了解．请根据下列两幅统计图中的信息解答下列问题： (1)这次参与调查的学生有____________人，的圆心角是____________度； (2)若该校九年级共有名学生，估计九年级学生中“基本了解”川超情况的学生有多少人？ (3)某班调查学生中等级有2名男生2名女生．现打算从这4名学生中任意抽取2名进行电话问答，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到两个男生的概率． 《6.1用树状图或表格求概率》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C A A D A C C 题号 11 12 答案 A C 1．A 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：落在红色区域的概率， 故选：A． 2．A 【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数，找出两次分别转出的数字之积为负数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 1 正 正 正 负 2 正 正 正 负 3 正 正 正 负 负 负 负 正 一共有16种等可能结果，两次转出数字之积为负数的有6种， 故这两次转出数字之积为负数的概率为：． 故选A． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 3．D 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，他们恰好选择不同游戏的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“解密风云”、“连数成画”和“函数追击”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，他们恰好选择不同游戏的结果有6种， ∴小红和小丽恰好选择不同游戏的概率为， 故选：D． 4．C 【分析】先用树状图求出所有等可能的结果，再找出两人支付方式完全相同的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有种支付方式，两名顾客各自独立选择支付方式， 画树状图如下， 一共有9种等可能结果，其中两人支付方式完全相同的情况共有种， ∴所求概率． 5．A 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟记列举法求概率及概率公式是解题的关键．任取一种溶液有4种等可能情况，酚酞变红需取到碱性溶液（C或D），共2种情况，因此概率为． 【详解】解：∵总溶液数4种，任取1种，有4种等可能结果， ∵酚酞变红仅当取碱性溶液（C或D），共2种， ∴概率为． 故选：A． 6．A 【分析】先确定第一次传球的起始人，再根据规则列出所有可能的传球路径，最后计算球在丙手中的概率． 【详解】解：根据图中规则可知：甲只能传给乙或丁，乙只能传给丙或丁，丙只能传给甲，丁只能传给乙或丙； A项：从树状图可知，共有4种等可能情况，其中符合题意的有甲—丁—丙，甲—乙—丙，共2种，概率为，符合题意； B项：从树状图可知，共有3种等可能情况，而非4种，其中球在丙手中的有乙—丁—丙，共1种，概率为，不符合题意； C项：由于丙只能传给甲，两次传球的等可能结果共有2种，但第2次都未到丙手中，不符合题意； D项：从树状图可知，共有3种等可能情况，而非4种，其中球在丙手中的有丁—乙—丙，共1种，概率为，不符合题意． 7．D 【分析】本题考查了几何概率，依据阴影部分的圆心角与整个圆的圆周角的比值解答即可得解． 【详解】解：∵阴影部分占36°， ∴阴影部分占整个圆面积的：， ∴该顾客获奖的概率为． 故选：D． 8．A 【详解】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的意义，概率公式是解题的关键．用空白区域的面积除以总面积即可． 解：由题意可知，空白区域的面积和阴影部分的面积相同， ∴小明掷在空白区域的概率是． 故选：A． 9．C 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及刚好有两人会表演节目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将会获得奖品的盲盒记为A，会获得表演节目的机会的盲盒记为B， 画树状图如下： 由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中刚好有两人会表演节目的结果有：（A，B，B），（B，B，A），（B，A，B），共3种结果， ∴刚好有两人会表演节目的概率为． 故选：C． 10．C 【分析】确定黑色方格的面积在整个方格中占的比例，根据这个比例即可求出小鸟停在黑色方格中的概率． 【详解】解：图上共有个方格，黑色方格为个， 小鸟最终停在黑色方格上的概率是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了几何概率，用到的知识点为概率相应的面积与总面积之比，掌握几何概率的公式是解决问题的关键． 11．A 【分析】本题主要考查了用列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出从口进入且从口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表 出口入口 由列表可知，共有种等可能的结果． 其中从口进入，从口离开的结果只有种，即． 所以． 故选：A． 12．C 【分析】本题主要考查了几何概率，用阴影区域的块数除以总数即可求得答案． 【详解】解：阴影部分的面积为4，总面积为9，飞镖击中阴影部分的概率， 故选：C． 13． 【分析】利用列表法列出所有等可能的结果数，从中找出两种元素恰好都是非金属元素的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 氢 氧 钠 镁 氢 （氢，氧） （氢，钠） （氢，镁） 氧 （氧，氢） （氧，钠） （氧，镁） 钠 （钠，氢） （钠，氧） （钠，镁） 镁 （镁，氢） （镁，氧） （镁，钠） 由表可知，共有种等可能的结果，其中这两种元素恰好都是非金属元素的结果有种，即（氢，氧）和（氧，氢）， 所以这两种元素恰好都是非金属元素的概率为． 14． 【详解】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 即蚂蚁停在阴影部分的概率为． 15． 【分析】本题考查了概率的计算，正确列举符合条件的等可能性结果是解答本题的关键． 根据题意列举符合条件的等可能性结果，再利用概率的计算公式计算即可． 【详解】根据题意得：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，共有4种等可能性结果，即正正，正反，反正，反反，其中结果为第一次反面向上、第二次正面向上的只有1种， 所以第一次是反面朝上，第二次正面朝上的概率为， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了列举法求概率，根据题意列出所有的可能情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：设龙门石窟、殷墟遗址、登封“天地之中”历史建筑群三张卡片分别为、、， 随机抽取两张的情况有、、共3种，其中抽到的情况有1种， 所以概率为， 故答案为：． 17． 【分析】先证明，得出，求出，再由几何概率计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为． 18．（1）；（2） 【分析】（1）利用概率公式直接计算即可； （2）先列表求解所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，从而利用概率公式进行计算即可. 【详解】解：（1）由概率的含义可得： 居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率是 （2）列表如下： 由表中信息可得一共有种等可能的结果数，属于同种疫苗的结果数有： ，，，，，，，共 种， 所以居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为： 【点睛】本题考查的是随机事件的概率，利用列表法或画树状图求解概率，掌握列表的方法与画树状图的方法是解题的关键. 19．（1），，，，， 从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到65%高于一年级的55%， 所以估计二年级学生的优秀率高， 所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好； （2）1000人； （3） 【分析】（1）首先整理数据，根据中位数，众数，平均数，优秀率的意义求解即可求出a,b,c,m,n；再根据两个年级的优秀率即可判断哪个年级掌握党史知识较好； （2）先求出样本的合格率，由样本的合格率估计总体的合格率，用合格率乘以总人数即可估计出总体的合格人数，即可得出结论； （3）首先确定一年级满分人数和二年级满分人数，按照题目要求用列举出所有可能，即可求出概率． 【详解】解：（1）将大一年级20名同学成绩整理如下表： 成绩 25 30 37 39 43 49 50 人数 1 2 4 2 5 4 2 平均数 ， 众数为出现次数最多的数据，由表可知，众数为43， 中位数：排序后，第10和第11个数据为42和43，故中位数为； 大一年级的优秀率为：， 大二年级的优秀率为：， 所以，，，， （2）∵样本合格率为：， ∴估计总体的合格率大约为， ∴估计参加测试的两个年级合格学生约为：人 ∴估计超过了1000人； （3）一年级满分有2人，设为A，B，二年级满分有3人，设为1，2，3 则从这5人中选取2人的所有情况为： ，，，，，，，12，13，23， 共有10种等可能情况，两人在同一年级的情况有4种， ∴可求得两人在同一年级的概率为：． 【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数的意义、由样本估计总体、列举法求概率，掌握中位数、平均数、众数、由样本估计总体、列举法求概率的计算方法是解题关键． 20． 【分析】本题主要考查了用树状图法求概率以及轴对称图形的概念，熟练掌握树状图法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键．通过画树状图列出所有摸取两个盒子的可能结果，再从中找出拼成轴对称图形的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中拼成的图形是轴对称图形的结果有A和C，C和A共2种， 所以（拼成的图形是轴对称图形）． 21．(1) (2)摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率． 【分析】（1）根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，利用概率公式即可求解； （2）补全树状图，共有12个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，即可得求出概率． 【详解】（1）解：∵，， ∴当抽中时，由能判断，①符合题意； 当抽中时，由能判断，②符合题意； 当抽中时，由不能判断，④不符合题意； ∴共有三种等可能结果，其中能证明成立的情况有2种 能证明概率是， 故答案为：； （2）解：补全树状图，如图， ∵， ∴当抽中①，②，不能判断； 当抽中①，③，能判断； 当抽中①，④，能判断； 当抽中②，①，不能判断； 当抽中②，③，能判断； 当抽中②，④，能判断； 当抽中③，①，能判断； 当抽中③，②，能判断； 当抽中③，④，不能判断； 当抽中④，①，能判断； 当抽中④，②，能判断； 当抽中④，③，不能判断； 共有12个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明成立的结果有8个， ∴摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定以及用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 22．(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式，即可求解； （2）根据列表法求得共有6种等可能结果，其中A、B两名志愿者都被选中的有种，再根据概率公式，即可求解． 【详解】（1）解：从A、B、C三名志愿者中随机选取两名分别担任馆内、馆外礼仪工作，从3人中任选1人，A被分配担任馆内礼仪工作的概率为； （2）解：列表如下， 共有6种等可能结果，其中A、B两名志愿者都被选中的有种， ∴A、B两名志愿者都被选中的概率为 23． 由树状图可知共有种机会均等的结果，其中掷得两个“”的结果只有一种，所以掷得两个“”的概率为，而不是，所以题中的说法是错误的． 【分析】通过列表列举投掷两枚骰子的所有等可能结果，统计两个均为“”的结果数，计算正确概率后与对比即可． 【详解】详解见答案． 24．(1)200人；108 (2)400人 (3) 【分析】本题考查了树状图、概率、扇形统计图和条形统计图： （1）根据等级的人数和所占百分比求出调查的学生数，再用总人数减去其他等级的人数求出的人数，根据的人数和总人数得到圆心角度数； （2）用总人数乘以“基本了解”川超情况的学生所占百分比； （3）根据题意列出等可能情况，找出符合条件的情况，根据概率公式即可． 【详解】（1）解：参与调查的学生有（人）， 的圆心角：． 故答案为：；． （2）解：（人）． 答：九年级学生中“基本了解”川超情况的学生有400人． （3）解：如图所示， 由图可知，总共有种等可能结果，抽到两个男生的情况有种， ． 学科网（北京）股份有限公司 $