第08讲 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第08讲 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性 第08讲 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解单调性的定义，会用定义法判断并证明函数的单调性，会求复合函数的单调区间； 2．掌握单调性的应用：比较大小、解抽象不等式、求参数范围； 3．理解奇偶性，会判断并应用奇偶性求参数、求函数值； 4．会用周期性与奇偶性联合求值，会处理简单的对称性问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 单调性的判断与证明 选择题、解答题 第4~8题、第17~19题 中偏难 复合函数"同增异减"，先定定义域 由单调性求参数范围 选择题、填空题 第6~8题、第13题 中偏难 二次看轴；分段函数三查（含衔接） 利用单调性比较大小与解不等式 选择题 第6~8题 中偏难 偶函数换 ，增函数直接脱 二次函数在闭区间上的最值 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 按"轴在左/内/右"三类讨论 奇偶性与周期性联合求值 选择题、填空题 第6~8题、第14题 中偏难 先缩周期，再用奇偶性翻正 命题规律分析 函数的性质是函数一章的"核心考点"，新高考几乎每年必考：单调性常与比较大小、解不等式、求参数结合，多落在第 4~8 题；奇偶性多与周期性、单调性联合，压在第 6~8 题或第 13~14 题；小题多选常在第 9~11 题考"性质综合判断"。本讲面向 90~120 分学生，在基础之上把难度上抬：单调性引入复合函数"同增异减"与分段函数衔接条件，奇偶性升级为"求参数 + 解不等式"，再把周期与奇偶联合的求值题练到第 14 题档。培优得分策略是抓住三句主干——单调比大小"化到同一函数"、奇偶求值"负号别丢"、周期求值"先缩后翻"，同时守好三个高频陷阱：单调区间不能用并集符号、奇函数在原点有定义则函数值为零、由 得到的周期是 不是 。 考点1 函数的单调性与最值 知识点1 单调性的定义与判定方法 在区间 上， 时恒有 则递增；恒有 则递减。 定义法三步：取值（任取 ）→ 作差变形（因式分解或通分）→ 定号；复合函数单调性遵循"同增异减"，但必须先确定定义域。 【易错清单】 1．多个单调区间之间只能用"和"或逗号连接，绝不能用并集符号； 2．求复合函数单调区间前必须先解出定义域，只在定义域内讨论； 3．分段函数在 上单调，还要满足段与段衔接处的条件。 知识点2 函数的最大（小）值 若存在 ，使对任意 都有 ，则 为最大值（最小值同理）。 二次函数在闭区间上的最值，按对称轴与区间的位置分"轴在左、轴在内、轴在右"三类讨论。 【易错清单】 1．不讨论对称轴位置，直接把顶点值当成最值； 2．用基本不等式求最值时忘记验证等号能否取到； 3．闭区间求最值只算了一个端点。 考点2 函数的奇偶性与周期性 知识点3 奇偶性的定义与判定 对定义域内任意 ， 则为奇函数， 则为偶函数。 判定前提是定义域关于原点对称；奇函数若在 处有定义，则必有 。 【易错清单】 1．忽略"定义域关于原点对称"这一前提就直接算 ； 2．把奇偶性的式子记混：奇函数是 ； 3．偶函数在 处不一定有定义，更不能断言 。 知识点4 周期性与常用结论 若存在非零常数 ，使对定义域内任意 都有 ，则 为 的一个周期。 或 的周期为 ； 的周期也为 。 【易错清单】 1．把 （这是对称关系）误当成周期条件； 2．周期是 却记成 ，导致求值整体错位； 3．用奇偶性把 化为 时忘记添负号。 【题型1 单调性的判断与证明（含复合函数）】 【例1】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】用定义证明函数 在 上单调递增。 【变式1-3】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 由单调性求参数范围】 【例2】已知函数 是 上的增函数，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 利用单调性比较大小与解不等式】 【例3】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增。若 ，则满足 的 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知 是定义在 上的增函数，且 ，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知 是定义在 上的奇函数且单调递增，，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 二次函数在闭区间上的最值（含参讨论）】 【例4】已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的解析式。 【变式4-1】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式4-3】已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的解析式。 【题型5 函数奇偶性的判断与应用】 【例5】已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】下列函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知函数 是偶函数，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 奇偶性与周期性联合求值】 【例6】已知 是定义在 上的奇函数，且 。当 时，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则 的一个周期为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】已知 是定义在 上的偶函数，周期为 。当 时，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知 是定义在 上的奇函数，周期为 ，且 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知 是定义在 上的增函数，且 ，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）下列函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，且在 上单调递增。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且 。当 时，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于函数单调性与奇偶性的说法中，正确的是（　　） A．增函数与增函数的和仍是增函数　B．多个单调区间之间可以用并集符号连接　C．奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同　D．偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反 10．（★★）已知函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴为 　B． 的最小值为 　C． 在 上单调递增　D． 11．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，则下列说法正确的是（　　） A． 在 上单调递减　B． 在 上单调递增　C．若 ，则不等式 的解集为 　D．若 ，则 对一切实数 成立 12．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 都有 ，则下列说法正确的是（　　） A． 的一个周期为 　B．　C． 的图象关于直线 对称　D．若 ，则 三、填空题 13．（★★）函数 的单调递增区间是____________。 14．（★★）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 15．（★★★）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减。若 ，则实数 的取值范围是____________。 16．（★★★）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 在 上单调递增，，则不等式 在 上的解集是____________。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 的单调区间； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 18．（★★）判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3) 。 19．（★★）已知函数 （）。 (1) 判断 在 上的单调性，并说明理由； (2) 求 在区间 上的值域。 20．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，当 时，。 (1) 求 与 ； (2) 求 的解析式，并求 的值域。 21．（★★★）已知函数 （）。 (1) 判断 的奇偶性； (2) 判断 在 上的单调性，并求 在 上的值域。 22．（★★★）已知函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 23．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，。 (1) 判断 在 上的单调性并说明理由； (2) 解不等式 ； (3) 若对任意 都有 恒成立，求实数 的取值范围。 24．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 都有 。 (1) 求 的值，并证明 是 的一个周期； (2) 若当 时，，求 与 的值； (3) 在 (2) 的条件下，求 在 上的解析式。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第08讲 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性 第08讲 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解单调性的定义，会用定义法判断并证明函数的单调性，会求复合函数的单调区间； 2．掌握单调性的应用：比较大小、解抽象不等式、求参数范围； 3．理解奇偶性，会判断并应用奇偶性求参数、求函数值； 4．会用周期性与奇偶性联合求值，会处理简单的对称性问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 单调性的判断与证明 选择题、解答题 第4~8题、第17~19题 中偏难 复合函数"同增异减"，先定定义域 由单调性求参数范围 选择题、填空题 第6~8题、第13题 中偏难 二次看轴；分段函数三查（含衔接） 利用单调性比较大小与解不等式 选择题 第6~8题 中偏难 偶函数换 ，增函数直接脱 二次函数在闭区间上的最值 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 按"轴在左/内/右"三类讨论 奇偶性与周期性联合求值 选择题、填空题 第6~8题、第14题 中偏难 先缩周期，再用奇偶性翻正 命题规律分析 函数的性质是函数一章的"核心考点"，新高考几乎每年必考：单调性常与比较大小、解不等式、求参数结合，多落在第 4~8 题；奇偶性多与周期性、单调性联合，压在第 6~8 题或第 13~14 题；小题多选常在第 9~11 题考"性质综合判断"。本讲面向 90~120 分学生，在基础之上把难度上抬：单调性引入复合函数"同增异减"与分段函数衔接条件，奇偶性升级为"求参数 + 解不等式"，再把周期与奇偶联合的求值题练到第 14 题档。培优得分策略是抓住三句主干——单调比大小"化到同一函数"、奇偶求值"负号别丢"、周期求值"先缩后翻"，同时守好三个高频陷阱：单调区间不能用并集符号、奇函数在原点有定义则函数值为零、由 得到的周期是 不是 。 考点1 函数的单调性与最值 知识点1 单调性的定义与判定方法 在区间 上， 时恒有 则递增；恒有 则递减。 定义法三步：取值（任取 ）→ 作差变形（因式分解或通分）→ 定号；复合函数单调性遵循"同增异减"，但必须先确定定义域。 【易错清单】 1．多个单调区间之间只能用"和"或逗号连接，绝不能用并集符号； 2．求复合函数单调区间前必须先解出定义域，只在定义域内讨论； 3．分段函数在 上单调，还要满足段与段衔接处的条件。 知识点2 函数的最大（小）值 若存在 ，使对任意 都有 ，则 为最大值（最小值同理）。 二次函数在闭区间上的最值，按对称轴与区间的位置分"轴在左、轴在内、轴在右"三类讨论。 【易错清单】 1．不讨论对称轴位置，直接把顶点值当成最值； 2．用基本不等式求最值时忘记验证等号能否取到； 3．闭区间求最值只算了一个端点。 考点2 函数的奇偶性与周期性 知识点3 奇偶性的定义与判定 对定义域内任意 ， 则为奇函数， 则为偶函数。 判定前提是定义域关于原点对称；奇函数若在 处有定义，则必有 。 【易错清单】 1．忽略"定义域关于原点对称"这一前提就直接算 ； 2．把奇偶性的式子记混：奇函数是 ； 3．偶函数在 处不一定有定义，更不能断言 。 知识点4 周期性与常用结论 若存在非零常数 ，使对定义域内任意 都有 ，则 为 的一个周期。 或 的周期为 ； 的周期也为 。 【易错清单】 1．把 （这是对称关系）误当成周期条件； 2．周期是 却记成 ，导致求值整体错位； 3．用奇偶性把 化为 时忘记添负号。 【题型1 单调性的判断与证明（含复合函数）】 【例1】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】复合函数"同增异减"：先求定义域，再判断内层函数的增减区间。 【解答过程】由 得 ，即定义域为 。 内层 在 上递增、在 上递减；外层 在 上递增。 由"同增异减"， 递增需内层 递增且落在定义域内，故递增区间为 。故选B。 【多解·巧解】也可以列表法：在定义域 上分别取 与 计算 值，与对称轴 的位置对照，即可判断每段的增减。关键是先求定义域——离开定义域谈单调区间，答案会把 这段无定义的区域也算进来。 【易错提醒】忽略定义域会误选 A： 时根号内为负，函数无意义。复合函数求单调区间，第一条永远是"先求定义域"。 【变式1-1】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】外层根式递增，故 的增减性与内层 一致。 【解答过程】由 得定义域为 。 内层 在 上递减，外层 递增，由"同增异减"知 在 上递减。故选A。 【变式1-2】用定义证明函数 在 上单调递增。 【答案】在 上单调递增。 【解题思路】定义法三步：取值、作差变形、定号。 【解答过程】任取 ，则 。 因为 ，所以 ，即 ，故 ；又 。 所以 ，即 ，故 在 上单调递增。 【变式1-3】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再由外层递增得 的增减性与内层一致。 【解答过程】由 得 ，即定义域为 。 内层 在 上递增，外层递增，故 的递增区间为 。故选A。 【题型2 由单调性求参数范围】 【例2】已知函数 是 上的增函数，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】分段函数在 上递增需"三查"：左段递增、右段递增、衔接处左段右端值不大于右段起点值。 【解答过程】① 左段 递增，需 ，即 ； ② 右段 递增，需 ； ③ 衔接处要求 从左趋近 时的函数值不超过 ，即 ，得 ，解得 。 取交集得 。故选B。 【多解·巧解】把"衔接"理解成图象上两段在分界点处"右段不低于左段"：左段在 处的高度 必须不超过右段起点 。三查中第三查最易漏，也是命题人习惯设的坑。 【易错提醒】只解前两查会误选 C（漏掉 ）；只解左段与衔接会误选 D。分段函数在 上单调，三查缺一不可，其中衔接处的不等号方向要特别小心。 【变式2-1】已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】开口向上的二次函数在对称轴左侧递减，只需对称轴不在区间内部。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上，单调递减区间为 。 要使 落在递减区间内，需 。故选B。 【变式2-2】已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先分离常数，再由分母在区间上的正负判断。 【解答过程】分离常数：。 当 时， 且随 增大而增大，所以 随 增大而减小，要使 递减，需 ，即 。故选A。 【变式2-3】已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】开口向下的二次函数在对称轴右侧递减。 【解答过程】，对称轴 ，开口向下，单调递减区间为 。 要使 落在其中，需 ，即 。故选A。 【题型3 利用单调性比较大小与解不等式】 【例3】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增。若 ，则满足 的 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】偶函数把 化为 ，再借助单调性"脱 "。 【解答过程】因为 是偶函数，所以 ，原不等式化为 。 又 在 上单调递增，所以 ，即 ，解得 。故选A。 【多解·巧解】遇到"偶函数 + 正半轴单调"，一律把自变量换成 ，就能把两侧的自变量统一到同一单调区间，问题随即变成普通绝对值不等式。若改用" 在 上递减"分段讨论，也能得到同样结果，但换 一步到位、不易漏解。 【易错提醒】直接由 求解，会丢掉 取负的一半解。偶函数不等式必须换 （或分两侧讨论），不能只算一侧。 【变式3-1】已知 是定义在 上的增函数，且 ，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】增函数可直接"脱 "，注意 的定义域。 【解答过程】由 且 递增得 。 解得 ，故解集为 。故选A。 【变式3-2】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】偶函数换 后脱 。 【解答过程】由 ，原不等式化为 。又 在 上递增，所以 ，解得 。故选A。 【变式3-3】已知 是定义在 上的奇函数且单调递增，，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用奇偶性把 化成函数值，再脱 。 【解答过程】因为 是奇函数，所以 。 原不等式化为 ，又 递增，所以 ，解得 。故选A。 【题型4 二次函数在闭区间上的最值（含参讨论）】 【例4】已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的解析式。 【答案】 【解题思路】配方定轴后，按对称轴与区间 的位置分三类讨论。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上。 ① 当 时， 在 上递增，最小值 ； ② 当 时，对称轴落在区间内，最小值 ； ③ 当 时， 在 上递减，最小值 。 综上，。 【多解·巧解】含参二次最值先画"轴与区间的三种位置草图"：轴在左、轴在内、轴在右。分界的临界值是 与 （轴恰落在区间端点），建议统一写成 、、，可保证不重不漏。 【易错提醒】分类讨论后必须写"综上"，并把结论整理成关于 的分段函数；若把临界点 、 归错类别，会导致结论在端点处出现空档或重叠。 【变式4-1】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】最大值在顶点取得，说明对称轴必须落在区间内。 【解答过程】，最大值 在 处取得。要使其为区间 上的最大值，需 ，即 。故选A。 【变式4-2】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】A 【解题思路】分三类讨论最小值位置，解出后逐一回代检验是否落在所设类内。 【解答过程】，对称轴 。 ① 当 时，最小值 ，解得 ，不满足 ，舍去； ② 当 时，最小值 ，解得 ，满足； ③ 当 时，最小值 ，解得 ，不满足 ，舍去。 综上 。故选A。 【变式4-3】已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的解析式。 【答案】 【解题思路】区间本身含参，仍按"轴在区间左／内／右"讨论对称轴 与 的位置。 【解答过程】，对称轴 。 ① 当 （即 ）时，区间在轴左侧， 递增，最小值 ； ② 当 （即 ）时，轴在区间内，最小值 ； ③ 当 （即 ）时，区间在轴右侧， 递减，最小值 。 故 。 【题型5 函数奇偶性的判断与应用】 【例5】已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用奇偶性移项化为 ，再由单调性脱 ，最后与定义域取交。 【解答过程】因为 是奇函数，所以 。 又 在 上递减，且为奇函数，故 在 上递减，于是 ，解得 。 由定义域得 且 ，即 且 ，取交得 。 综上 ，即 。故选A。 【多解·巧解】两步不能少：先用奇偶性把两项搬到 的同侧，再用单调性"脱 "，最后必须补上定义域约束。若 在 上递减，由奇函数性质知它在 上也递减，故整体在 上递减，脱 时不等号方向不变。 【易错提醒】忘记定义域约束会得到 （误选 B）； 与 都必须落在 内，本类题的"隐藏条件"就在这里。 【变式5-1】下列函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先筛奇偶性，再在留下的选项中判断单调性。 【解答过程】A中 是奇函数，但在 上递减； B中 是奇函数且在 上递增，符合； C中 是偶函数； D中 是奇函数但在 上递减。故选B。 【变式5-2】已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先判断奇偶性，再先求正自变量的函数值。 【解答过程】，故 是奇函数。 ，所以 。故选A。 【变式5-3】已知函数 是偶函数，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 恒成立比较系数。 【解答过程】由 ，令 得 。 整理得 ，对任意 恒成立，故 ，即 。故选A。 【题型6 奇偶性与周期性联合求值】 【例6】已知 是定义在 上的奇函数，且 。当 时，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】"先缩后翻"：用周期性把大数缩到已知区间附近，再用奇偶性把自变量化为非负。 【解答过程】因为周期 ，而 ，所以 。 又 为奇函数，所以 ；而 ，故 。故选A。 【多解·巧解】求大自变量函数值固定两步：先用周期把 减到 内，再用奇偶性把负数翻成非负数，最后代入已知解析式。本题若先缩到 ，还落在 之外（已知区间是 ），需再缩一次到 再翻。 【易错提醒】 的余数容易算错：，余数是 而不是 。取余时务必用"被除数 = 商 × 除数 + 余数"核对，余数写错会让整个求值偏移一个周期。 【变式6-1】已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则 的一个周期为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】"代两次"推出周期：把条件中的 再换成 。 【解答过程】由 ，把 换成 得 ，所以 的一个周期为 。故选C。 【变式6-2】已知 是定义在 上的偶函数，周期为 。当 时，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用周期把 缩到 内再代入。 【解答过程】因为周期为 ，所以 。 因为 ，所以 。故选B。 【变式6-3】已知 是定义在 上的奇函数，周期为 ，且 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】两个求值都用"先缩周期、再翻奇偶"处理。 【解答过程】，而 ，所以 ； 。 所以 。故选C。 一、单选题 1．（★★）函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】配方定轴，开口向下时对称轴左侧递增。 【解答过程】，对称轴 ，开口向下，所以单调递增区间为 。故选A。 2．（★★）已知 是定义在 上的增函数，且 ，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】增函数可直接脱 。 【解答过程】由 且 递增得 ，即 。故选A。 3．（★★）下列函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先筛奇偶性，再筛单调性。 【解答过程】A是奇函数但在 上递减；C是偶函数；D是奇函数但在 上递减；B是奇函数且在 上递增。故选B。 4．（★★）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】奇函数满足 。 【解答过程】。故选B。 5．（★★）已知函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】最小值 在顶点取得，最大值 在端点取得，用两条件反推 。 【解答过程】，对称轴 。最小值 在 处取得，故需 ，即 ；最大值 在 处取得，故需 ，解得 。 取交集得 。故选A。 6．（★★★）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】偶函数把 换成 ，再由递减脱 （不等号反向），得到含绝对值的不等式。 【解答过程】偶函数满足 ，原不等式化为 。 又 在 上递减，所以 ，即 或 ， 解得 或 ，即 。故选B。 7．（★★★）已知定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，且在 上单调递增。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】图象关于 对称时，函数值大小由自变量到 的距离决定；结合在 上递增，距离越小函数值越小。 【解答过程】由对称性 知， 等价于 到 的距离小于 到 的距离， 即 ，解得 ， 即 。故选A。 8．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且 。当 时，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】"先缩周期、再用奇偶、最后回代关系"：由 得周期 ，把 缩到 内再求值。 【解答过程】由 得 ，故周期 。 所以 。 又 为奇函数，故 。 而 ， 故 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列关于函数单调性与奇偶性的说法中，正确的是（　　） A．增函数与增函数的和仍是增函数　B．多个单调区间之间可以用并集符号连接　C．奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同　D．偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反 【答案】ACD 【解题思路】逐项对照单调性的性质与书写规范判断。 【解答过程】A正确；B错误，多个单调区间之间只能用"和"或逗号连接；C正确，奇函数在对称区间上单调性相同；D正确，偶函数在对称区间上单调性相反。故选ACD。 10．（★★）已知函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴为 　B． 的最小值为 　C． 在 上单调递增　D． 【答案】ABD 【解题思路】配方后逐项核对对称轴、最值与函数值。 【解答过程】。对称轴为 ，A正确；最小值为 ，B正确；因为对称轴 落在 内部， 在 上不单调，C错误；，D正确。故选ABD。 11．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，则下列说法正确的是（　　） A． 在 上单调递减　B． 在 上单调递增　C．若 ，则不等式 的解集为 　D．若 ，则 对一切实数 成立 【答案】BCD 【解题思路】综合奇函数的性质与单调性的对称性，对每个选项独立判断，注意由"半轴递增"推出"全轴递增"。 【解答过程】A中奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，故 在 上递增而非递减，A错误； B中由 A 知 在 与 上都递增，且 衔接，故 在 上递增，B正确； C中 ，由 在 上递增知 的解集为 ，C正确； D中 在 上递增，而 ，故 对一切 成立，D正确。故选BCD。 12．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 都有 ，则下列说法正确的是（　　） A． 的一个周期为 　B．　C． 的图象关于直线 对称　D．若 ，则 【答案】ABC 【解题思路】先由条件推出周期与对称性，再逐项验证：数值型选项注意先缩周期、再用奇偶与对称。 【解答过程】A中由 得 ，周期为 ，正确； B中 ，故 ，又 ，得 ，正确； C中由 及奇偶性，，即图象关于直线 对称，正确； D中 ，不等于 ，错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）函数 的单调递增区间是____________。 【答案】 【解题思路】配方定轴，开口向下时对称轴左侧递增。 【解答过程】，对称轴 ，开口向下，故单调递增区间为 。 14．（★★）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】开口向上的二次函数在对称轴右侧递增，只需对称轴不超过 。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上，要使 在 上递增，需 ，即 。 15．（★★★）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减。若 ，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】偶函数换 ，递减脱 得 ；自变量还要落在定义域 内。 【解答过程】由偶函数与递减性， 等价于 ， 平方得 ，即 ，解得 。 又自变量要落在定义域内： 且 ，解得 。 与 取交集，得 。 16．（★★★）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 在 上单调递增，，则不等式 在 上的解集是____________。 【答案】 【解题思路】先用周期把 上的图象拆成 的平移，再由奇偶定出 的走势，最后解 。 【解答过程】周期为 ，且 为奇函数，故 ，，。 在 上：由 上递增及奇偶性知 递增，且 、，故当且仅当 时 。 由周期 ， 的解为 （ 为整数），即 。 故在 上 的解集为 。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 的单调区间； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 【答案】(1) 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； (2) 最大值为 ，最小值为 。 【解题思路】配方定轴，据此写出单调区间；再比较顶点与端点的函数值求最值。 【解答过程】(1) ，对称轴 ，开口向上，所以单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 (2) 对称轴 落在 内，所以最小值 ；端点 ，，所以最大值 。 【多解·巧解】由配方结果 可直接读出最小值 与对称轴 ；最大值只需比较两端点 与 ，不必再算顶点。 【易错提醒】(1) 中两个单调区间之间必须用"和"（或逗号）连接，绝不能用并集符号 ；此外 处的函数值 同时属于两个单调区间，通常写成闭端点。 18．（★★）判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3) 。 【答案】(1) 奇函数； (2) 奇函数； (3) 偶函数。 【解题思路】先确认定义域关于原点对称，再比较 与 。 【解答过程】三个函数的定义域都是 ，关于原点对称。 (1) ，是奇函数。 (2) ，是奇函数。 (3) ，是偶函数。 【多解·巧解】判断奇偶性有固定的"三步"：先看定义域是否关于原点对称，再算 并化简，最后与 比较（相等为偶、互为相反数为奇）。第一步先做，能直接否掉一批"非奇非偶"的选项。 【易错提醒】第 (2) 题容易因分母含 而误判为偶函数——分母是偶函数不代表整个分式是偶函数，分子 是奇函数，奇 ÷ 偶仍是奇。 19．（★★）已知函数 （）。 (1) 判断 在 上的单调性，并说明理由； (2) 求 在区间 上的值域。 【答案】(1) 单调递增； (2) 值域为 。 【解题思路】分离常数把函数化为 ，再借助分母判断单调性。 【解答过程】(1) 分离常数：。当 时， 且随 增大而增大，所以 随 增大而减小，从而 随 增大而增大，即 在 上单调递增。 (2) 由 在 上递增，最小值 ，最大值 ，故值域为 。 【多解·巧解】(1) 也可用定义法：任取 ，，故递增。分式型函数判断单调性，分离常数或作差都能走通，前者更快。 【易错提醒】(2) 中已确认递增，值域就是 ；若把单调性判断错，值域端点会整体颠倒。另注意"分离常数"时常数是 ，不要写成 前面挂错符号。 20．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，当 时，。 (1) 求 与 ； (2) 求 的解析式，并求 的值域。 【答案】(1) ，； (2) ，值域为 。 【解题思路】(1) 直接用奇函数性质；(2) 设 则 ，用 求负半轴解析式，再分段求值域取并集。 【解答过程】(1) ；由奇函数得 。 (2) 设 ，则 ，， 所以 。故 。 当 时，，值域为 ； 当 时，，且当 充分小时可任意小，值域为 。 取并集得 。 【多解·巧解】(2) 求"一段已知、另一半未知"的奇（偶）函数解析式，通用做法是设负求正：设 落在未知段，用 落入已知段，再由 （或 ）反推。写解析式时注意两段的范围要在分界点处衔接。 【易错提醒】(2) 中负半轴的 容易算错符号：，取相反数才得 ；分段写解析式时不要漏写 的范围，否则它就不满足"函数"的定义。 21．（★★★）已知函数 （）。 (1) 判断 的奇偶性； (2) 判断 在 上的单调性，并求 在 上的值域。 【答案】(1) 奇函数； (2) 在 上单调递增，值域为 。 【解题思路】(1) 比较 与 ；(2) 用定义法作差判断单调性，再由单调性把值域化为端点函数值。 【解答过程】(1) 定义域为 ，关于原点对称。 且 ，故 是奇函数。 (2) 任取 ，则 。 因为 ，所以 ，，，故 ， 即 ，所以 在 上单调递增。 由递增性， 在 上的最小值为 ，最大值为 ， 故值域为 。 【多解·巧解】(2) 判断完单调性后，求值域只需代入端点： 在 上递增，最小值在 处、最大值在 处。对勾函数 是高频模型，记住它在 上递减、在 上递增，最小值为 ，可加快后续判断。 【易错提醒】(1) 判断奇偶性前必须先写定义域关于原点对称；(2) 作差变形时通分要谨慎， 整理成 后，判断符号的关键是 的正负，这正是""这一条件的作用。 22．（★★★）已知函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 【答案】 【解题思路】分段函数在 上递增的"三查"：左段递增、右段递增、衔接处左段右端值不超过右段起点值，三条同时满足。 【解答过程】① 左段 递增，需 ，即 ； ② 右段 在 上递增，恒成立； ③ 衔接处要求左段右端值不大于右段起点值，即 ， 得 ，即 。取交集得 。 【多解·巧解】含参分段函数的分界处是"必查点"：把左段在分界点的取值与右段起点值比较，得到关于 的不等式。三条条件要取交集，不要只列前两条就下结论。 【易错提醒】漏掉第三查会得到 ，范围被放大；若把衔接处的不等号方向写反，会得到 ，与 取交后答案全错。另外左段是开区间 ，分界点 由右段定义，取等判断要看清楚。 23．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，。 (1) 判断 在 上的单调性并说明理由； (2) 解不等式 ； (3) 若对任意 都有 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】(1) 在 上单调递增； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 奇函数在对称区间上单调性相同；(2) 把 化为 后脱 ；(3) 恒成立转化为最值： 即 对 恒成立。 【解答过程】(1) 因为 是奇函数且在 上递增，所以它在 上也递增， 又 使两段在原点处衔接，故 在 上单调递增。(2) 因为 ，所以 ，原不等式化为 。 由 在 上递增得 ，即解集为 。 (3) 由 及 在 上递增，得 ，即 对一切 成立。 要使 恒成立，只需 ，而 在 上的最大值为 ，故 。 【多解·巧解】第(3)问是"恒成立"型问题：先用单调性把不等式化成关于 的简单不等式，再分离参数，转化为"参数大于某式的最大值"。这类题的关键是先脱 、后分离参数。 【易错提醒】(2) 中 必须写成 才能脱 ，不能直接对 用单调性；(3) 中分离参数后要判断是"大于最大值"还是"小于最小值"，本题 对一切 成立，应取 的最大值，得到 ，误取最小值会得到 的错误范围。 24．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 都有 。 (1) 求 的值，并证明 是 的一个周期； (2) 若当 时，，求 与 的值； (3) 在 (2) 的条件下，求 在 上的解析式。 【答案】(1) ； (2) ，； (3) （）。 【解题思路】(1) 奇函数在原点有定义则 ，"代两次"得周期 ；(2) 用周期把自变量缩到 或 再求值；(3) 设 ，把 平移回已知段求解析式。 【解答过程】(1) 因为 是奇函数且 在定义域内，所以 ，得 。 又 ，故 是 的一个周期。 (2) 由周期 ，； ，故 。 (3) 设 ，则 ，从而 。 由 ，且 为负，故 ， 所以 ，即 （）。 【多解·巧解】由 求周期要"代两次"：。求某段未知解析式的通用思路是把该段平移到已知段，再用周期关系与奇偶性把函数值"翻"回来。 【易错提醒】(2) 中 缩到 后必须用奇偶性化为 才能代入 上的解析式；(3) 中设 后要用 把 移到负半轴，再借奇偶性回到 ，两次"翻正负"别漏掉任何一次。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $