精品解析：天津市第七中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试卷

2026-2027八年级阶段检测 一、选择题（共36分，每小题3分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 若如图所示的两个三角形全等，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是尺规作图作一个角等于已知角的示意图，该作法是依据全等三角形的判定定理（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则（ ）． A. B. C. D. 9. 如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高所在直线的交点处 D. 三边的垂直平分线的交点处 10. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，．以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于D，E两点，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，若，，则的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 12. 如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共18分，每小题3分） 13. 的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 14. 如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 15. 如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 16. 如图，将沿折叠，使点落在点处． 嘉嘉认为此题与，的关系为： 淇淇认为此题与，的关系为： 老师说她俩的答案都有错误，同学们，你们认为与，的关系是______． 17. 如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为___________． 18. 如图，已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②若，两点同时到达点，则； ③若，，，则与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的是__________． 三、解答题（共46分） 19. 一个等腰三角形的两边长分别为，，求其周长． 20. 如图，是的角平分线，为延长线上一点，于点．若，，求的度数． 21. 如图，在中，D是上一点，过点C作，连接交于点E，．求证：． 22. 如图：已知，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，在和中，，，． （1）求证：； （2）求证：． 24. 已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且．过点作，垂足为． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系 25. 按要求完成下列各题： （1）在中，，，直线经过点，于，于． ①当直线绕点旋转到图1的位置时，若，，求长． ②当直线绕点旋转到图2的位置时，猜想，，的数量关系，并说明理由． （2）如图3，将两个三角板叠放在一起，在中，，，中，，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027八年级阶段检测 一、选择题（共36分，每小题3分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的高是三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线、顶点到垂足之间的线段．根据三角形的高的定义逐项分析判断即可解答． 【详解】解：若线段是的高，则过点B，且垂直，垂足为D， D选项中线段表示中边上的高． A、 B、C选项中线段不能表示任何边上的高． 3. 若如图所示的两个三角形全等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应角相等，进行求解即可. 【详解】解：∵两个三角形全等，且的两条邻边分别为， ∴. 4. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案． 【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键． 5. 如图是尺规作图作一个角等于已知角的示意图，该作法是依据全等三角形的判定定理（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用作图的基本原理，得到线段的关系证明即可． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴． 故选：B． 6. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形三边关系、直角三角形斜边最长的性质排除不能构成三角形的选项，再判断剩余选项的三角形是否唯一． 【详解】解：A、若，，，如下图， ∵， ∴为斜边，，符合直角三角形三边关系， 由勾股定理得， 三边长度确定，三角形形状大小唯一，故能唯一画出，本选项符合题意； B、若，，， ∵不是与的夹角，为两边及其中一边的对角， ∴不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； C、若，，， ∵，不满足三角形三边关系， ∴不能构成三角形，本选项不符合题意； D、 若，，， ∵， ∴为斜边，，与斜边最长矛盾， ∴不能构成三角形，本选项不符合题意． 7. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断． 【详解】解：A、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C，则，解得，不能确定△ABC为直角三角形，该选项不符合题意； B、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=2∠C，即3∠C=180°，解得∠C=60°，不能确定△ABC为直角三角形，该选项不符合题意； C、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A-∠B=30°，则2∠B+∠C=150°，不能确定△ABC为直角三角形，该选项不符合题意； D、∠A+∠B+∠C=180°，而，则，解得∠A= 30° ，则∠B=60°，∠C=90°，能确定△ABC为直角三角形，该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形的定义和三角形的内角和定理．需理解直角三角形是有一个角为90°的三角形，这个角也是这个三角形中最大的角． 8. 如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据方向角的定义，求出、，再根据三角形的内角和定理求出结果即可． 【详解】解：由方向角的定义可知， ，， ． 故选：D． 9. 如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高所在直线的交点处 D. 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【解析】 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 10. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据是线段的垂直平分线，可得，然后根据的周长是，以及，求出的长为多少即可． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， 的周长是， ， ， ， ， 又， ． 11. 如图，在中，．以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于D，E两点，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，若，，则的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴． 12. 如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，倍长至点，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：倍长至点，连接，则， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题（共18分，每小题3分） 13. 的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 【答案】 等腰 【解析】 【分析】题目主要考查乘法的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握是解题关键． 根据乘积为零的性质，至少有一个因子为零，从而得到至少有两边相等，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴或或，即或或， ∴至少有两边相等，是等腰三角形， 故答案为：等腰． 14. 如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 【答案】（或或或） 【解析】 【分析】先由题意确定已知条件，再根据全等的判定条件进行解答． 【详解】解：， ， 即． 又， 可添加的条件有： （1）添加， 在和中 ； （2）添加， 在和中 ； （3）添加， 则， 由（1）可知； （4）添加， 则， 由（2）可知． 15. 如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，线段的长度最小，此时为斜边上的高，利用等积法即可求解. 【详解】解：，，，， 根据垂线段最短可知，当时，线段的长度最小， ∴， ， 解得：，  线段的最小值是. 16. 如图，将沿折叠，使点落在点处． 嘉嘉认为此题与，的关系为： 淇淇认为此题与，的关系为： 老师说她俩的答案都有错误，同学们，你们认为与，的关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，由折叠可得，进而由三角形外角性质可得，再根据三角形外角性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，由折叠可得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， 故答案为：． 17. 如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与中线有关的三角形面积的计算． 由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案． 【详解】解：是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②若，两点同时到达点，则； ③若，，，则与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的是__________． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】①根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，、，，然后得到与不全等，进而证明出，即可判断③；根据题意分两种情况∶ 和，然后根据全等三角形的性质列出方程求解即可判断④． 【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为t秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为t， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②错误； ③如图所示， 当时，点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴和不全等 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴与不垂直，故③错误； ④当时， ∴，即；，即， ∴； 当时， ∴，即；，即， ∴， ∴若与全等，则或．故④正确， 综上所述，正确的选项为①④． 三、解答题（共46分） 19. 一个等腰三角形的两边长分别为，，求其周长． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形边长的不确定性分情况讨论，结合三角形三边关系排除不能构成三角形的情况，计算符合条件的周长.  【详解】解：等腰三角形的两边长为和，分两种情况讨论： 当腰长为时，三边长为，，， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，三边长为，，， ∵， ∴能构成三角形，周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为. 20. 如图，是的角平分线，为延长线上一点，于点．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，利用三角形外角性质得出，根据，利用直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在中，D是上一点，过点C作，连接交于点E，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，． 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，以及平行线的性质，先利用平行线的性质得出，，再利用证明即可． 【详解】略 22. 如图：已知，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明： 又， ， 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定， （1）根据证明三角形全等即可； （2）由两三角形全等，可得，再由三角形的外角性质即可解答． 【小问1详解】 【小问2详解】 解： ， 又， ． 23. 如图，在和中，，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用证明，得出，根据角的和差关系即可得出； （2）根据全等三角形的性质得出，利用证明，得出，根据线段的和差关系即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且．过点作，垂足为． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系 【答案】（1） 证明：如图1，过点C作于点F， ∴． ∵点是平分线上一点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形全等的判定和性质，补角的性质，正确作出辅助线是解题关键． （1）过点C作于点F，由角平分线的性质定理可得出，再根据补角的性质可得出，即易证，得出； （2）过点C作于点F，分别证明， ，得出，．再结合，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，过点C作于点F， ∴． ∵点是平分线上一点， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 25. 按要求完成下列各题： （1）在中，，，直线经过点，于，于． ①当直线绕点旋转到图1的位置时，若，，求长． ②当直线绕点旋转到图2的位置时，猜想，，的数量关系，并说明理由． （2）如图3，将两个三角板叠放在一起，在中，，，中，，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，连接，求的面积． 【答案】（1）①5 ②解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）①首先证明，利用“”证明即可；由全等三角形的性质可得，据此求解即可；②首先证明，利用“”证明，进而可得，即可证明结论． （2）过点C作，交延长线于点于G，证明，求得，利用面积公式进而求解． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②略； 【小问2详解】 解：如图3，过点C作，交延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $