精品解析：天津市南开区翔宇中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

2026-2027学年度八年级第一学期学情调查（一）数学学科 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（    ） A. 3，5，8 B. 1，2，3 C. 4，5，7 D. 2，2，5 3. 如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 4. 如图，在人字梯的中间一般会设计一拉杆，这样做的原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 两直线平行，同位角相等 5. 下列条件中一定能判定的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如图，是的高的图形是（ ） A. B.     C.     D.     7. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A. ∠A﹣∠B＝∠C B. ∠A＝9°，∠B＝81° C. ∠A＝2∠B＝3∠C D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：7 8. 如图所示，为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 若的边长分别为，，，它的三个内角度数分别为，，，且，则一定是（ ） A. 等腰或直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 11. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．点的运动速度为，当与全等时，的值是（ ） A. 2 B. 2或 C. 2或 D. 无数个可能结果 12. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，作于，于，点在上，，则下列结论中正确的个数为（ ） ①平分；②；③若，则，④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 如图，在中，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为， ，则_______． 14. 如图，在中，，则边上的中线的取值范围是_______． 15. 如图，中，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于和，再分别以点、为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，于，，则的面积为_________． 16. 如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是__________． 17. 如图，在中，，，，，是边上的动点（不与点重合），将沿所在的直线翻折，得到，连接，，当和在异侧时，面积的最大值是_________ 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上，请用无刻度直尺画出符合要求的点和线段，并简要说明它们的位置是如何找到的（注意规范作法语言）． （1）在图1中，作出的高； （2）在图2中，在边上找到点，使得； （3）在图3中，在的内部找一点，使得． 19. 如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 如图，在中，是角平分线，是高，，，，垂足为F． （1）求的度数； （2）求的度数． 21. 已知的三边，，． （1）化简：； （2）如图，，，分别是的高，中线，若，，， ①求的面积； ②若于点，则的长是_______． 22. 综合探究 （1）特例探究：如图①，，射线在这个角的内部，点，在的边，上，且，于点，于点．求证． （2）归纳应用：如图②，在中，，，点在边上，，点，在线段上，． ①求证． ②若的面积为15，直接写出与的面积之和． 23. 阅读下列材料： 阳阳同学遇到这样一个问题：如图，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点． 求证：． 阳阳发现，连接，有，即．由，可得． 他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：． 请回答： （1）请补全阳阳同学证明猜想的过程： 证明：连接， ∵______， ∴____________． ∵，∴． （2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题： 在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点． 如图，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程． 若点在如图所示的位置，利用图探究得此时、、、之间的数量关系并写出推理过程． 24. 如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点C． （1）求证：； （2）如图2，，求证：； （3）如图3，延长交y轴于点，点N为x轴上一点，，求的度数（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度八年级第一学期学情调查（一）数学学科 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由这一性质即可求解． 【详解】解：由于三角形具有稳定性， 故选：C． 2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（    ） A. 3，5，8 B. 1，2，3 C. 4，5，7 D. 2，2，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案． 【详解】解：A．， 不能构成三角形，故此选项不符合题意； B．， 不能构成三角形，故此选项不符合题意； C．， 能构成三角形，故此选项符合题意； D．， 不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 【答案】A 【解析】 【分析】由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和 中， ， ∴． 4. 如图，在人字梯的中间一般会设计一拉杆，这样做的原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，直线的性质，线段的性质，平行线的性质，关键是掌握三角形的稳定性．由三角形具有稳定性，即可得到答案． 【详解】解：在人字梯的中间一般会设计一拉杆，可以使人字梯稳定， 这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性． 故选：B． 5. 下列条件中一定能判定的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定三角形全等的几种方法是解决本题的关键，在做此题时可画出图形，根据图形进行判断，切记判定方法的条件里必须有边． 根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：如图： A． 没有边的参与，不能判定，故本选项错误； B． 根据不能判定，故本选项错误； C． 由，，不能得到，对应顶点不相符；故本选项错误； D． 根据能判定，故本选项正确； 故选D． 6. 如图，是的高的图形是（ ） A. B.     C.     D.     【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段． 根据三角形高的定义求解即可． 【详解】解：是的高的图形是：    故选：D． 7. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A. ∠A﹣∠B＝∠C B. ∠A＝9°，∠B＝81° C. ∠A＝2∠B＝3∠C D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：7 【答案】C 【解析】 【分析】依据三角形内角和定理，求得三角形的最大角是否等于90°，进而得出结论． 【详解】A、∵∠A−∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B＋∠C＝90°， ∴该三角形是直角三角形； B、∵∠A＝9°，∠B＝81°， ∴∠C＝90°， ∴该三角形是直角三角形； C、∵∠A＝2∠B＝3∠C， ∴∠A＝180°×＞90°， ∴该三角形是钝角三角形； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：7， ∴∠C＝180°×＝90°， ∴该三角形是直角三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键是灵活利用三角形内角和定理进行计算． 8. 如图所示，为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ . 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 9. 如图，在中，点在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，根据三角形内角和定理得到，则，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 10. 若的边长分别为，，，它的三个内角度数分别为，，，且，则一定是（ ） A. 等腰或直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由乘积为0的性质得两因式至少一个为0，分情况结合三角形相关性质判断形状． 【详解】解：∵， ∴或； 当时， ∵， ∴ ， ∴，为直角三角形； 当时，，为等腰三角形； 综上，一定是等腰或直角三角形． 11. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．点的运动速度为，当与全等时，的值是（ ） A. 2 B. 2或 C. 2或 D. 无数个可能结果 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况：当时，当时，结合全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴运动时间，， 此时； 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间， 此时； 综上所述，x的值为2或． 12. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，作于，于，点在上，，则下列结论中正确的个数为（ ） ①平分；②；③若，则，④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，由角平分线的性质可得，可得平分；故①正确；由面积公式可判断②，由“”可证，可得，由“”可证，可得，由线段的和差关系可得，故④正确，由角平分线的性质可求；故③正确． 【详解】解：过D作于H， ∵、的角平分线、交于点D，于E，于F， ∴，， ∴， ∴平分；故①正确； ∵，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴正确的结论是①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 如图，在中，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为， ，则_______． 【答案】##14度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质等；由折叠性质得，，由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解：由折叠得，， ， ； 故答案为：． 14. 如图，在中，，则边上的中线的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，由“”可证和全等，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于和，再分别以点、为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，于，，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹判断为的角平分线，利用角平分线的性质得出点到的距离等于，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【详解】解：如图，过点作于点， 由作图痕迹可知，是的角平分线． 平分，，， ． ， ． ． 16. 如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 【详解】解：由折叠知，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，，，是边上的动点（不与点重合），将沿所在的直线翻折，得到，连接，，当和在异侧时，面积的最大值是_________ 【答案】 【解析】 【分析】由折叠性质可知，底边长度为，它的面积大小取决于点到的垂线段长度；底边固定，垂线段越长面积越大．结合、在异侧的条件，由垂线段相关性质可得：当、垂足、三点共线，且垂足在与之间时，到的垂线段最长，由此求出垂线段的最大值，即可算出面积最大值． 【详解】解：过点作，垂足为． ，，，， ， ． 由折叠可得 ． 过点作于点，就是点到直线的距离，记为． ，底边不变，越大，面积越大． 连接， 在中，点和点在直线的异侧， 线段与直线相交，设交点为， ， ， ， ， ， ， 当且仅当点与点重合，且点与点重合时，两个不等式同时取等号， 即、、三点共线，且在与之间，此时取得最大值， ． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上，请用无刻度直尺画出符合要求的点和线段，并简要说明它们的位置是如何找到的（注意规范作法语言）． （1）在图1中，作出的高； （2）在图2中，在边上找到点，使得； （3）在图3中，在的内部找一点，使得． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用“垂直于两条平行线中的一条则必垂直于另一条直线”，即可完成作图； （2）构造，利用等腰三角形的性质即可完成作图； （3）作出的重心即可． 【小问1详解】 解：取格点E、F，连接，则，取格点M，连接交于D， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即为所作的高； 作图略； 【小问2详解】 解：取格点E，连接，则是等腰直角三角形，取格点M、N，连接交于点F，连接并延长交于点D，则； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴平分， ∴， 即满足条件； 作图略； 【小问3详解】 解：取格点，连接交于点，连接；取网格的垂直线与的交点K，连接交于点P，则由作法知，点P为的重心，从而， ∵四边形为矩形， ∴为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 此时点P满足题意； 作图略． 19. 如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴ 20. 如图，在中，是角平分线，是高，，，，垂足为F． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线等知识．熟练掌握角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∵是角平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 已知的三边，，． （1）化简：； （2）如图，，，分别是的高，中线，若，，， ①求的面积； ②若于点，则的长是_______． 【答案】（1） （2）①12；②3 【解析】 【分析】（1）利用三角形三边的不等关系及绝对值的性质即可求解； （2）①利用面积关系求出的长，即可求解； ②利用中线平分三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：①， ∴， ∵是的中线， ∴ ②∵， ∴； 22. 综合探究 （1）特例探究：如图①，，射线在这个角的内部，点，在的边，上，且，于点，于点．求证． （2）归纳应用：如图②，在中，，，点在边上，，点，在线段上，． ①求证． ②若的面积为15，直接写出与的面积之和． 【答案】（1）证明：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴； ∵，且， ∴， 又∵， ∴； ②5 【解析】 【分析】（1）证明，，再利用即可证明； （2）①先证明，再证明，据此利用即可证明；②根据全等三角形的性质得到，则可证明，证明，得到，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②解：由（2）①得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 阅读下列材料： 阳阳同学遇到这样一个问题：如图，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点． 求证：． 阳阳发现，连接，有，即．由，可得． 他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：． 请回答： （1）请补全阳阳同学证明猜想的过程： 证明：连接， ∵______， ∴____________． ∵，∴． （2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题： 在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点． 如图，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程． 若点在如图所示的位置，利用图探究得此时、、、之间的数量关系并写出推理过程． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵, ∴， （2） ． 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ． 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（）根据图，结合阅读材料填写即可； （）连接，根据 得到，即可可得结论； 连接，根据，得到，同理可得结论； 本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线运用类比方法构建三个三角形是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 24. 如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点C． （1）求证：； （2）如图2，，求证：； （3）如图3，延长交y轴于点，点N为x轴上一点，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明：过A作于N，过B作于M，则， ， ， 在和中， ， ， ， （2） 证明：在x轴正半轴上截取，连接，则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）的度数为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定；倍长中线法构全等； （1）过A作于N，过B作于M，根据即可证明，再由全等三角形的性质证明即可． （2）在x轴正半轴上截取，连接，则，先证，由全等三角形的性质和同角的补角相等可证，再证，得，进而可证； （3）过A作轴于P，轴于T，交x轴于Q，先证，可得，再证，可得，进而可得，再由互余关系求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 过A作轴于P，轴于T，交x轴于Q， ， ， 轴， ， 轴， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $