微专题03 圆锥曲线的综合应用（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题03 圆锥曲线的综合应用 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 1 题型二　中点弦与点差法 3 题型三　弦长与面积问题 6 题型四　定点问题 9 题型五　定值问题 11 题型六　最值、范围与探索性问题 13 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 ：联立方程 消元（注意二次项系数是否为 ） 由判别式 判断交点个数 韦达定理桥梁。 ：①消元后二次项系数含参数时，（一次方程，恰一解）与 （相切）是两类不同情形；②斜率不存在的直线单独代入检验；③点在曲线内部（外部）时交点个数的判断更直接。 ：与双曲线只有一个公共点不一定是相切，还可能是平行于渐近线；过原点直线与两支交点个数由斜率与渐近线斜率比较决定。 【例题精讲】 1．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A． 时相切， 时相交 B．恒相切 C．恒相离 D． 无关，恒相交于两点 2．直线 与椭圆 的公共点个数为（　　） A． B． C． D．不能确定 3．直线 与抛物线 的公共点个数为（　　） A． B． C． D． 4．直线 与双曲线 的位置关系是（　　） A．相切于点 B．相交于两点 C．相离 D．平行于渐近线 5．过点 的直线与椭圆 的公共点个数为（　　） A． B． C． D． 或 6．若直线 与双曲线 恰有一个公共点，则 A． 或 B． C． D． 7．直线 与椭圆 有两个不同公共点，则 的取值范围是＿＿＿＿． 8．直线 与抛物线 的公共点个数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．直线 与椭圆 的公共点个数为（　　） A． B． C． D．不能确定 2．过点 的直线与椭圆 的公共点个数（　　） A．可能为 、 或 B．恒为 C．恒为 D．恒为 3．直线 与双曲线 有两个公共点，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． 或 D． 4．直线 与抛物线 相切，则 A． B． C． D． 5．直线 与双曲线 交于左、右两支上各一点，则 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 6．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相切于点 B．相交于两点 C．相离 D．无法确定 7．直线 与椭圆 恰有一个公共点，则 ． 8．直线 与抛物线 有两个不同公共点，则 的取值范围是＿＿＿＿． 9．直线 与椭圆 相切，则 ． 10．直线 （）与双曲线 的公共点个数为＿＿＿＿． 【巩固练习】 1．直线 与椭圆 的公共点个数为（　　） A． B． C． D．不能确定 2．直线 与双曲线 恰有一个公共点，则 A． 或 B． C． D． 3．直线 与抛物线 交于两点，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 4．直线 与椭圆 交于 、 两点，则弦 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 5．直线 与双曲线 有两个不同公共点，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 或 6．过抛物线 的焦点 的直线被抛物线截得的弦长的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．直线 与椭圆 恰有一个公共点，则 ． 8．直线 与抛物线 交于 、 两点，则 、 两点的横坐标之和为＿＿＿＿． 9．直线 与抛物线 只有一个公共点，则 ． 10．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 题型二　中点弦与点差法 ：设弦端点 、，分别代入曲线方程后相减，用中点 与斜率 表示：椭圆 ，双曲线 ，抛物线 有 。 ：求出直线后必须回验 （等价于中点在曲线内部），否则会得到不存在的弦。 ：椭圆中斜率为定值 的弦的中点轨迹在直线 上（过中心的直线）。 【例题精讲】 1．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 2．直线 与椭圆 交于 、 两点，则弦 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 4．过点 作椭圆 的弦 ，使 恰为 的中点，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 6．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 7．椭圆 中，斜率为 的弦的中点轨迹方程为＿＿＿＿． 8．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为＿＿＿＿． 【变式训练】 1．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 2．直线 与椭圆 交于 、 两点，弦 的中点横坐标为 ，则 A． B． C． D． 3．椭圆 中，斜率为 的弦的中点轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 4．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 6．椭圆 以点 为中点的弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 7．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为＿＿＿＿． 8．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为＿＿＿＿． 9．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 10．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为＿＿＿＿． 【巩固练习】 1．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 2．直线 与椭圆 交于 、 两点，则弦 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．椭圆 中，斜率为 的弦的中点轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 4．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 5．直线 与抛物线 交于 、 两点（），则弦 的中点的纵坐标为（　　） A．（与 无关） B． C． D． 6．椭圆 被点 平分的弦长为（　　） A． B． C． D． 7．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为＿＿＿＿． 8．椭圆 中，斜率为 的弦的中点轨迹方程为＿＿＿＿． 9．椭圆 被点 平分的弦所在直线与弦长分别为（　　） A．， B．， C．， D．不存在这样的弦 10．抛物线 以点 为中点的弦长为＿＿＿＿． 题型三　弦长与面积问题 ：，配合韦达定理整体代入；垂直于轴的弦直接用坐标差。 ：抛物线 ，，最短为通径 ；椭圆、双曲线过焦点的弦最短也是通径 。 ：常用 底（弦长） 高（点到直线距离）；抛物线中可用 （过焦点时）。 【例题精讲】 1．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 2．直线 与抛物线 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 3．直线 与双曲线 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 4．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 5．过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．直线 与椭圆 交于 、 两点， 为原点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 7．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 8．直线 与抛物线 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 【变式训练】 1．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 2．过抛物线 （）的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 4．直线 与双曲线 的位置关系是（　　） A．相离 B．相交于两点 C．相切 D．平行于渐近线 5．直线 与抛物线 交于 、 两点， 为原点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 6．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 7．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 8．过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 ＿＿＿＿． 9．直线 与抛物线 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 10．直线 与抛物线 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 【巩固练习】 1．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 2．直线 与抛物线 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 3．直线 与椭圆 交于 、 两点， 为原点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 4．直线 与双曲线 的公共点个数为（　　） A． B． C． D． 5．过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，， 为原点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 6．过椭圆 的右焦点 的弦中，最短弦长为（　　） A． B． C． D． 7．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 8．直线 与抛物线 交于 、 两点，且 ，则 ． 9．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 10．直线 与双曲线 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 题型四　定点问题 ：设直线 ，联立后用韦达定理表示题设条件（如 、斜率之积等），得到 与 的关系，再代回直线方程分离参数，观察恒过定点。 ：①椭圆中 （双曲线中 ） 弦 过中心；②抛物线 中 直线过 ；③ 型恒过 ， 型恒过 。 ：直线恒过定点后，仍需检验定点使 （或说明特殊情况）；设直线为 可避免讨论斜率不存在。 【例题精讲】 1．已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点。若以 为直径的圆经过原点（即 ），求证：直线 过定点，并求出定点坐标。 2．已知抛物线 ，直线 （）与抛物线交于 、 两点，且 。求证：直线 过定点。 3．对任意抛物线 （），若直线 与其交于 、 两点且 ，则直线 恒过定点（　　） A． B． C． D． 4．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则 ． 5．动直线 （）恒过定点（　　） A． B． C． D． 6．动直线 （）恒过定点（　　） A． B． C． D． 7．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则直线 恒过定点＿＿＿＿． 8．双曲线 与直线 交于 、 两点，若 ，则直线 恒过定点＿＿＿＿． 【变式训练】 1．已知椭圆 ，直线 （）与椭圆交于 、 两点，且 。求证：直线 与定圆相切，并求出该定圆的方程。 2．已知抛物线 ，直线 （）与抛物线交于 、 两点，且 。求证：直线 过定点。 3．动直线 （）恒过定点（　　） A． B． C． D． 4．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则直线 恒过定点＿＿＿＿． 5．抛物线 （）与直线 交于 、 两点，若 ，则直线 恒过定点（　　） A． B． C． D． 6．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则 A． B． C． D． 7．动直线 （）恒过定点＿＿＿＿． 8．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则直线 恒过定点＿＿＿＿． 9．抛物线 与直线 （）交于 、 两点，则 A． B． C． D． 10．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则 ． 【巩固练习】 1．已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点，若 ，求 的值。 2．已知抛物线 ，直线 （）与抛物线交于 、 两点，且 。求证：直线 过定点。 3．动直线 （）恒过定点（　　） A． B． C． D． 4．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则直线 恒过定点＿＿＿＿． 5．直线 与双曲线 交于左、右两支上各一点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 6．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则 A． B． C． D． 7．抛物线 与直线 （）交于 、 两点，且 ，则直线 恒过定点＿＿＿＿． 8．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则 ． 9．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则 A． B． C． D． 10．动直线 （）恒过定点＿＿＿＿． 题型五　定值问题 ：将目标量用韦达定理表示，化简后与参数无关即为定值；先算特殊情况猜出定值，再作一般性证明是高效策略。 ：①顶点斜率积：椭圆中 ，双曲线中 ；②抛物线焦点弦 ；③ 时抛物线中 ；④椭圆焦点三角形面积 。 ：定值证明要写全一般情形，不能只验证特例；目标量含参数时用韦达定理整体消元。 【例题精讲】 1．已知抛物线 ，过焦点 的直线交抛物线于 、 两点。求证： 为定值。 2．已知椭圆 ，、 为其左、右顶点， 为椭圆上异于 、 的任意一点。求证： 为定值。 3． 是双曲线 上异于顶点的任意一点，、 为其左、右顶点，则 A． B． C． D． 4．抛物线 的焦点弦 的长为 ，则 ． 5．椭圆 的通径长为（　　） A． B． C． D． 6．双曲线 的通径长为（　　） A． B． C． D． 7．椭圆 上一点 ，、 为焦点，则 的最大值为＿＿＿＿． 8．、 是抛物线 上两点， 为原点，若 ，则 ． 【变式训练】 1．已知椭圆 ，、 为左、右顶点， 为椭圆上异于顶点的任意一点。求证： 为定值。 2．已知抛物线 ，过焦点 的直线交抛物线于 、 两点。求证： 为定值。 3．椭圆 的通径长为（　　） A． B． C． D． 4．双曲线 的通径长为＿＿＿＿． 5． 是椭圆 上异于短轴端点的任意一点，、 为短轴两端点，则 A． B． C． D． 6． 是双曲线 上异于顶点的任意一点，、 为顶点，则 A． B． C． D． 7．椭圆 上一点 ，、 为焦点，则 的最大值为＿＿＿＿． 8．、 是抛物线 上两点， 为原点，若 ，则 ． 9．椭圆 中，过焦点 的弦 ，则 面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 10．椭圆 上一点 ，、 为焦点，则 的最小值为＿＿＿＿． 【巩固练习】 1．已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点，且 。求证：原点 到直线 的距离为定值。 2．已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点，且 。求证：原点 到直线 的距离为定值。 3．椭圆 的通径长为（　　） A． B． C． D． 4． 是双曲线 上异于顶点的任意一点，、 为顶点，则 ． 5．抛物线 的焦点弦 的长为 ，则 A． B． C． D． 6．椭圆 上一点 ，、 为焦点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7． 是椭圆 上异于短轴端点的任意一点，、 为短轴两端点，则 ． 8． 是双曲线 上异于顶点的任意一点，、 为顶点，则 ． 9．、 是抛物线 （）上两点， 为原点，若 ，则 A． B． C． D． 10．椭圆 中，直线 与椭圆交于 、 两点且 ，则原点 到直线 的距离为＿＿＿＿． 题型六　最值、范围与探索性问题 ：椭圆上点设 ，抛物线上点设 ，把最值化为三角函数或二次函数最值。 ：点到直线距离用参数化后形如 ，借辅助角公式求最值；注意绝对值内符号的恒定性。 ： 定点（或准线）转化——点在曲线内用 光线法，点在曲线外用三角形不等式 。 ：存在性先假设存在，转化为方程（组）有解；常用焦半径范围 、（直角焦点三角形存在性）等判据快速否定。 【例题精讲】 1．椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．椭圆 上的点到点 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．抛物线 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．直线 与双曲线 交于左、右两支上各一点，则 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 5． 是椭圆 内一点， 为椭圆上任意一点， 为右焦点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．椭圆 上（　　）的点 使 （、 为焦点） A．不存在 B．存在且有两个 C．存在且有一个 D．存在且有无穷多个 7．抛物线 上一点 到焦点 与到点 的距离之和的最小值为＿＿＿＿． 8．椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为＿＿＿＿． 【变式训练】 1．椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．椭圆 上的点到点 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 3． 是椭圆 内一点， 为椭圆上任意一点， 为左焦点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．直线 与双曲线 交于左、右两支上各一点，则 满足（　　） A． B． C． D． 5．抛物线 上的点到焦点 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 6． 是椭圆 内一点， 为椭圆上任意一点， 为左焦点，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为＿＿＿＿． 8．双曲线 右支上的点 到右焦点 的距离的最小值为＿＿＿＿． 9．椭圆 上（　　）的点 使 A．不存在 B．存在 C．仅短轴端点使成立 D．仅长轴端点使成立 10．抛物线 上的点到直线 的距离的最小值为＿＿＿＿． 【巩固练习】 1．椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．双曲线 右支上的点 到右焦点的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 3． 是椭圆 外一点， 为椭圆上任意一点， 为左焦点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．直线 与椭圆 有两个不同公共点，则 满足（　　） A． B． C． D． 5． 在抛物线 开口内侧， 为抛物线上任意一点，则 （ 为焦点）的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．椭圆 上（　　）的点 使 （、 为焦点） A．不存在 B．存在且有两个 C．存在且有一个 D．存在且有无穷多个 7．椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为＿＿＿＿． 8．椭圆 上的点到点 的距离的最小值为＿＿＿＿． 9．抛物线 上（　　）关于直线 对称的两点 A．不存在 B．存在一对 C．存在两对 D．存在无穷多对 10．椭圆 上一点 ， 为右焦点， 为椭圆外一点，则 的最小值为＿＿＿＿． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的综合应用 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 1 题型二　中点弦与点差法 6 题型三　弦长与面积问题 12 题型四　定点问题 18 题型五　定值问题 24 题型六　最值、范围与探索性问题 30 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 ：联立方程 消元（注意二次项系数是否为 ） 由判别式 判断交点个数 韦达定理桥梁。 ：①消元后二次项系数含参数时，（一次方程，恰一解）与 （相切）是两类不同情形；②斜率不存在的直线单独代入检验；③点在曲线内部（外部）时交点个数的判断更直接。 ：与双曲线只有一个公共点不一定是相切，还可能是平行于渐近线；过原点直线与两支交点个数由斜率与渐近线斜率比较决定。 【例题精讲】 1．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A． 时相切， 时相交 B．恒相切 C．恒相离 D． 无关，恒相交于两点 【答案】A 【详解】联立：，即 。 恒为一根（直线恒过椭圆上的点 ）； 时两根重合，相切； 时另一根 ，相交于两点，选 A。 2．直线 与椭圆 的公共点个数为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】联立得 ，，有两个公共点，选 A。 3．直线 与抛物线 的公共点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ，无实根，公共点个数为 ，选 A。 注意：直线与抛物线的位置关系不能只看 与斜率，代入消元后逐一判断。 4．直线 与双曲线 的位置关系是（　　） A．相切于点 B．相交于两点 C．相离 D．平行于渐近线 【答案】A 【详解】代入：，整理得 ，即 ，唯一公共点 ，相切，选 A。 5．过点 的直线与椭圆 的公共点个数为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】A 【详解】，点在椭圆内部，过内部点的直线与椭圆恒有 个公共点，选 A。 结论：点在圆锥曲线内部时，任意直线（含斜率不存在情形）与曲线恒有两个交点。 6．若直线 与双曲线 恰有一个公共点，则 A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】联立：。 时 ，（相切）。 ，即 时方程为一次方程，恰一解（平行于渐近线），选 A。 易错点：与双曲线只有一个公共点 ≠ 相切，还可能是平行于渐近线。 7．直线 与椭圆 有两个不同公共点，则 的取值范围是＿＿＿＿． 【答案】 【详解】联立：，即 。 ，，所以 。 8．直线 与抛物线 的公共点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ，得 ，无实数解。 也可用 表示 ：，代入 得 ，即 ，。 两种途径一致：公共点个数为 ，选 A。 【变式训练】 1．直线 与椭圆 的公共点个数为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】代入：，即 ，两根 与 ，两个公共点，选 A。 2．过点 的直线与椭圆 的公共点个数（　　） A．可能为 、 或 B．恒为 C．恒为 D．恒为 【答案】A 【详解】，点在椭圆外部：直线与椭圆可相离、相切或相交，选 A。 3．直线 与双曲线 有两个公共点，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． 或 D． 【答案】A 【详解】：需 且 ，即 。 所以 且 ，选 A。 4．直线 与抛物线 相切，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ，，，选 A。 5．直线 与双曲线 交于左、右两支上各一点，则 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 【答案】A 【详解】渐近线斜率为 。过原点的直线与两支各交一点需 （斜率小于渐近线斜率），选 A。 6．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相切于点 B．相交于两点 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】 代入：，，唯一公共点 ，即右顶点处相切，选 A。 斜率不存在的直线要单独代入检验，不能只联立 。 7．直线 与椭圆 恰有一个公共点，则 ． 【答案】 【详解】代入：，。 ，。 8．直线 与抛物线 有两个不同公共点，则 的取值范围是＿＿＿＿． 【答案】 【详解】代入：，即 ，，。 9．直线 与椭圆 相切，则 ． 【答案】 【详解】代入：，即 。 ，，。 10．直线 （）与双曲线 的公共点个数为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】 的斜率 大于渐近线斜率 ，直线只与共轭区域相交，与双曲线无公共点。 代数验证：，，无实根，公共点个数为 。 【巩固练习】 1．直线 与椭圆 的公共点个数为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】代入：，即 ，，两个公共点，选 A。 2．直线 与双曲线 恰有一个公共点，则 A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】：，（相切）。 ，（平行于渐近线），选 A。 3．直线 与抛物线 交于两点，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 【答案】A 【详解】： 时直线 与抛物线只有 个公共点。 时 ，。 所以 且 ，选 A。 4．直线 与椭圆 交于 、 两点，则弦 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ，两根 与 。 中点横坐标 ，纵坐标 ，选 A。 5．直线 与双曲线 有两个不同公共点，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】代入：，整理 ，，，选 A。 6．过抛物线 的焦点 的直线被抛物线截得的弦长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点弦最短为通径长 ，选 A。 7．直线 与椭圆 恰有一个公共点，则 ． 【答案】 【详解】代入：，即 。 ，，。 8．直线 与抛物线 交于 、 两点，则 、 两点的横坐标之和为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】代入：，即 ，由韦达定理 。 9．直线 与抛物线 只有一个公共点，则 ． 【答案】 或 【详解】： 时 ，唯一公共点。 时 ，（相切）。 所以 或 （与抛物线只有一个公共点不一定是相切）。 10．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 【答案】 【详解】代入：，即 ，。 ，。 题型二　中点弦与点差法 ：设弦端点 、，分别代入曲线方程后相减，用中点 与斜率 表示：椭圆 ，双曲线 ，抛物线 有 。 ：求出直线后必须回验 （等价于中点在曲线内部），否则会得到不存在的弦。 ：椭圆中斜率为定值 的弦的中点轨迹在直线 上（过中心的直线）。 【例题精讲】 1．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点差法公式：，选 A。 检验：中点 满足 ，在椭圆内部，弦存在。 2．直线 与椭圆 交于 、 两点，则弦 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ，两根 与 。 中点横坐标 ，纵坐标 ，选 A。 3．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点差法（双曲线）：，选 A。 注意：双曲线的点差法斜率公式为正号（与椭圆相反）。 4．过点 作椭圆 的弦 ，使 恰为 的中点，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，直线 ，即 ，选 A。 点差法求得直线后，必须回验 （本题中点在椭圆内，显然成立）。 5．抛物线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点差：，。 ，选 A。 抛物线中点弦斜率公式：（ 为中点纵坐标）。 6．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，选 A。 检验：，中点在椭圆内部，弦存在。 7．椭圆 中，斜率为 的弦的中点轨迹方程为＿＿＿＿． 【答案】（椭圆内部一段） 【详解】设中点 ，，得 。 所以中点轨迹为直线 在椭圆内部的一段。 8．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】。 回验：直线 与双曲线联立有实解，弦存在。 【变式训练】 1．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，选 A。 2．直线 与椭圆 交于 、 两点，弦 的中点横坐标为 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 。 ，中点横坐标 ，，选 A。 3．椭圆 中，斜率为 的弦的中点轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，轨迹为 （椭圆内部一段），选 A。 4．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，选 A。 5．抛物线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，选 A。（，。） 6．椭圆 以点 为中点的弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，选 A。 7．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】。 8．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】。 回验：直线 与双曲线联立得 ，，弦存在。 9．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，选 A。 10．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】。 回验：直线 与双曲线联立得 ，，弦存在。 【巩固练习】 1．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，选 A。 2．直线 与椭圆 交于 、 两点，则弦 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ，。 中点横坐标 ，纵坐标 ，选 A。 3．椭圆 中，斜率为 的弦的中点轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，选 A。 4．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，选 A。 回验：直线 与双曲线联立得 ，，弦存在。 5．直线 与抛物线 交于 、 两点（），则弦 的中点的纵坐标为（　　） A．（与 无关） B． C． D． 【答案】A 【详解】以 为主元：，代入 ：，即 。 恒成立，中点纵坐标 ，与 无关，选 A。 6．椭圆 被点 平分的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，直线 。代入：，即 。 两根 与 ，交点 、，弦长 ，选 A。 7．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】。 回验：直线 与双曲线联立得 ，，弦存在。 8．椭圆 中，斜率为 的弦的中点轨迹方程为＿＿＿＿． 【答案】（椭圆内部一段） 【详解】，，轨迹为 在椭圆内部的一段。 9．椭圆 被点 平分的弦所在直线与弦长分别为（　　） A．， B．， C．， D．不存在这样的弦 【答案】D 【详解】点差法形式上可算出 ，但必须先检验： 的纵坐标 ，在椭圆外部。 椭圆上任意弦的中点必在椭圆内部，故以 为中点的弦不存在，选 D。 教训：点差法求出斜率后必须先检验中点是否在曲线内部（或回验 ），否则会得到虚假结果。 10．抛物线 以点 为中点的弦长为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】，弦所在直线 。代入 ：， 或 。 交点 、，弦长 。 题型三　弦长与面积问题 ：，配合韦达定理整体代入；垂直于轴的弦直接用坐标差。 ：抛物线 ，，最短为通径 ；椭圆、双曲线过焦点的弦最短也是通径 。 ：常用 底（弦长） 高（点到直线距离）；抛物线中可用 （过焦点时）。 【例题精讲】 1．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入得 ， 与 ，。 ，选 A。 2．直线 与抛物线 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ， 与 ，。 ，选 A。 3．直线 与双曲线 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ，两根 与 ，差 。 ，选 A。 4．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 代入：，。 ，选 A。 5．过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，焦点弦性质 ，。 ，选 A。 6．直线 与椭圆 交于 、 两点， 为原点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由例题一 ，原点到直线 的距离 。 ，选 A。 7．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 【答案】 【详解】代入：，，。 。 8．直线 与抛物线 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 【答案】 【详解】代入：，即 ，（）。 。 【变式训练】 1．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 代入：，，，选 A。 垂直于 轴的弦直接用纵坐标之差，不必套弦长公式。 2．过抛物线 （）的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，选 A。 另解：焦点弦 ，，相加即 。 3．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ，两根 与 ，差 。 ，选 A。 4．直线 与双曲线 的位置关系是（　　） A．相离 B．相交于两点 C．相切 D．平行于渐近线 【答案】A 【详解】代入：，两边乘 ：，即 。 ，无公共点，相离，选 A。 几何解释：直线恒在两支之间的区域一侧穿过（ 的最大值为 ），够不到双曲线。 5．直线 与抛物线 交于 、 两点， 为原点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ，，。 ，原点到直线 距离 。 ，选 A。 6．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 代入：，，，选 A。 7．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 【答案】 【详解】代入：，即 ，两根 与 ，差 。 。 8．过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 ＿＿＿＿． 【答案】 【详解】，；，。 。 9．直线 与抛物线 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 【答案】 【详解】代入：，即 ，整理得 。 ，。 。 10．直线 与抛物线 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 【答案】 【详解】 代入：，，。 【巩固练习】 1．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ，，。 ，选 A。 2．直线 与抛物线 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ，，。 ，选 A。 3．直线 与椭圆 交于 、 两点， 为原点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ，。 ，。 原点到直线 的距离 。 ，选 A。 4．直线 与双曲线 的公共点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】渐近线斜率为 ，直线斜率恰等于渐近线斜率，且截距 （不经过原点），直线平行于渐近线。 平行于渐近线的直线与双曲线恰有一个公共点，选 A。 5．过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，， 为原点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，。 符号：、 在焦点两侧，。 ，。 ，选 A。 6．过椭圆 的右焦点 的弦中，最短弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过焦点的弦最短为通径长 ，选 A。 7．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 【答案】 【详解】代入：，即 。 。 。 8．直线 与抛物线 交于 、 两点，且 ，则 ． 【答案】 【详解】代入：，即 。 ，，。 ，，。 9．直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 ，。 ， 或 ，。 ，选 A。 10．直线 与双曲线 交于 、 两点，则 ＿＿＿＿． 【答案】 【详解】 代入：，，，。 题型四　定点问题 ：设直线 ，联立后用韦达定理表示题设条件（如 、斜率之积等），得到 与 的关系，再代回直线方程分离参数，观察恒过定点。 ：①椭圆中 （双曲线中 ） 弦 过中心；②抛物线 中 直线过 ；③ 型恒过 ， 型恒过 。 ：直线恒过定点后，仍需检验定点使 （或说明特殊情况）；设直线为 可避免讨论斜率不存在。 【例题精讲】 1．已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点。若以 为直径的圆经过原点（即 ），求证：直线 过定点，并求出定点坐标。 【答案】直线 过定点 【详解】联立：，即 。，。 。 ，得 ，。 直线为 或 ，均过定点 。 注：定点与参数无关即可；也可直接看出 恒过 ，垂直条件只是筛选 的值。 2．已知抛物线 ，直线 （）与抛物线交于 、 两点，且 。求证：直线 过定点。 【答案】直线 过定点 【详解】以 为主元：，代入 ：。，。，即 。（否则 过原点， 不合或重合），故 ，。所以直线 恒过定点 。 3．对任意抛物线 （），若直线 与其交于 、 两点且 ，则直线 恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】一般结论： 时直线恒过点 ，选 A。 记忆：（）对应定点 ，与一般结论一致。 4．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则 ． 【答案】 【详解】联立：，两根 与 。 对应点 ，另一点 ，。 ，，。 5．动直线 （）恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，与 无关需 ，此时 ，定点 ，选 A。 6．动直线 （）恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 中令 ，得 与 无关，定点 ，选 A。 技巧： 形式恒过 ； 形式恒过 。 7．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则直线 恒过定点＿＿＿＿． 【答案】 【详解】结论：椭圆中 （即 ）的充要条件是弦 过椭圆中心 。 所以直线 恒过定点 。 8．双曲线 与直线 交于 、 两点，若 ，则直线 恒过定点＿＿＿＿． 【答案】 【详解】结论：双曲线中 的充要条件是弦 过中心（原点）。 与椭圆的差别仅在符号：椭圆是 ，双曲线是 。 【变式训练】 1．已知椭圆 ，直线 （）与椭圆交于 、 两点，且 。求证：直线 与定圆相切，并求出该定圆的方程。 【答案】定圆为 【详解】联立：。 ，（同例题一方法）。 ，即 。 原点到直线 的距离 ，为定值。 所以 与定圆 相切。 2．已知抛物线 ，直线 （）与抛物线交于 、 两点，且 。求证：直线 过定点。 【答案】直线 过定点 【详解】代入：，即 ，。 。 ，，故 。 恒过定点 。 3．动直线 （）恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】整理：。令 且 ，解得 ，。 定点 ，选 A。 4．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则直线 恒过定点＿＿＿＿． 【答案】 【详解】 是弦过中心的充要条件，定点 。 5．抛物线 （）与直线 交于 、 两点，若 ，则直线 恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 （）。代入 ：，。 。 ，得 。 ，恒过定点 ，选 A。 6．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由变式一同法：，，选 A。 7．动直线 （）恒过定点＿＿＿＿． 【答案】 【详解】，令 ，，定点 。 8．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则直线 恒过定点＿＿＿＿． 【答案】 【详解】 说明 、 关于原点对称（弦 关于中心对称）。 所以直线 恒过椭圆中心 。 9．抛物线 与直线 （）交于 、 两点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 过定点 ，即 的情形（例题二结论）。 所以 ，选 A。 10．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则 ． 【答案】 【详解】（代入 ）。 【巩固练习】 1．已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点，若 ，求 的值。 【答案】 【详解】联立：，，。 。 ，，。 检验：，，成立。 2．已知抛物线 ，直线 （）与抛物线交于 、 两点，且 。求证：直线 过定点。 【答案】直线 过定点 【详解】以 为主元：，，。 ，得 。 ，恒过定点 。 3．动直线 （）恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令 ，，定点 ，选 A。 4．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则直线 恒过定点＿＿＿＿． 【答案】 【详解】 是弦过中心的充要条件，定点 。 5．直线 与双曲线 交于左、右两支上各一点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【详解】，。 两支各一点即 ，需 ，，选 A。 6．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，。 ，，，选 A。 7．抛物线 与直线 （）交于 、 两点，且 ，则直线 恒过定点＿＿＿＿． 【答案】 【详解】一般结论： 中 时直线恒过 。 ，定点 （即 ）。 8．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则 ． 【答案】 【详解】，。 9．椭圆 与直线 交于 、 两点，若 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立：，，。 。 ，，选 A。 10．动直线 （）恒过定点＿＿＿＿． 【答案】 【详解】，令 ，，定点 。 题型五　定值问题 ：将目标量用韦达定理表示，化简后与参数无关即为定值；先算特殊情况猜出定值，再作一般性证明是高效策略。 ：①顶点斜率积：椭圆中 ，双曲线中 ；②抛物线焦点弦 ；③ 时抛物线中 ；④椭圆焦点三角形面积 。 ：定值证明要写全一般情形，不能只验证特例；目标量含参数时用韦达定理整体消元。 【例题精讲】 1．已知抛物线 ，过焦点 的直线交抛物线于 、 两点。求证： 为定值。 【答案】定值为 【详解】，，（焦半径即到准线距离）。焦点弦性质：。，定值。一般结论：。 2．已知椭圆 ，、 为其左、右顶点， 为椭圆上异于 、 的任意一点。求证： 为定值。 【答案】定值为 【详解】设 ，，。。 在椭圆上：。 所以 ，定值。 3． 是双曲线 上异于顶点的任意一点，、 为其左、右顶点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 在双曲线上：。 所以乘积 ，选 A。 结论：双曲线中 （正号，与椭圆相反）。 4．抛物线 的焦点弦 的长为 ，则 ． 【答案】 【详解】焦点弦定值：（与弦长无关）。 5．椭圆 的通径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】通径长 ，选 A。 6．双曲线 的通径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线通径长同为 ，选 A。 7．椭圆 上一点 ，、 为焦点，则 的最大值为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】 为定值，。 当 为短轴端点（两焦半径相等）时取等，最大值 。 8．、 是抛物线 上两点， 为原点，若 ，则 ． 【答案】 【详解】设 ，。 ：，即 ，。 。 一般结论： 中 时 。 【变式训练】 1．已知椭圆 ，、 为左、右顶点， 为椭圆上异于顶点的任意一点。求证： 为定值。 【答案】定值为 【详解】，。 乘积 ，定值。 2．已知抛物线 ，过焦点 的直线交抛物线于 、 两点。求证： 为定值。 【答案】定值为 【详解】，由结论 。 验证：，，。 3．椭圆 的通径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，选 A。 4．双曲线 的通径长为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】。 5． 是椭圆 上异于短轴端点的任意一点，、 为短轴两端点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 ，，乘积 ，选 A。 结论：椭圆中 对任一对对称点（长轴端点或短轴端点）的斜率之积均为 （长轴端点情形为 ，短轴端点情形如本题同为 ）。 6． 是双曲线 上异于顶点的任意一点，、 为顶点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，选 A。 7．椭圆 上一点 ，、 为焦点，则 的最大值为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】，积的最大值为 。 8．、 是抛物线 上两点， 为原点，若 ，则 ． 【答案】 【详解】（）。 9．椭圆 中，过焦点 的弦 ，则 面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 最大为通径两端点的纵坐标差 。 所以 ，选 A。 10．椭圆 上一点 ，、 为焦点，则 的最小值为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】积 ，在顶点处（一焦半径最短）取得最小值 。 【巩固练习】 1．已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点，且 。求证：原点 到直线 的距离为定值。 【答案】定值为 【详解】联立：。 ，即 。 原点到 的距离 ，定值。 2．已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点，且 。求证：原点 到直线 的距离为定值。 【答案】定值为 【详解】联立：。，。 ，定值。 3．椭圆 的通径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，选 A。 4． 是双曲线 上异于顶点的任意一点，、 为顶点，则 ． 【答案】 【详解】。 5．抛物线 的焦点弦 的长为 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，与弦长无关，选 A。 6．椭圆 上一点 ，、 为焦点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最小值 ，选 A。 7． 是椭圆 上异于短轴端点的任意一点，、 为短轴两端点，则 ． 【答案】 【详解】，，，乘积 。 8． 是双曲线 上异于顶点的任意一点，、 为顶点，则 ． 【答案】 【详解】。 9．、 是抛物线 （）上两点， 为原点，若 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（由 与 ），，选 A。 10．椭圆 中，直线 与椭圆交于 、 两点且 ，则原点 到直线 的距离为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】联立：，，。 。 题型六　最值、范围与探索性问题 ：椭圆上点设 ，抛物线上点设 ，把最值化为三角函数或二次函数最值。 ：点到直线距离用参数化后形如 ，借辅助角公式求最值；注意绝对值内符号的恒定性。 ： 定点（或准线）转化——点在曲线内用 光线法，点在曲线外用三角形不等式 。 ：存在性先假设存在，转化为方程（组）有解；常用焦半径范围 、（直角焦点三角形存在性）等判据快速否定。 【例题精讲】 1．椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，。 恒成立，最大值 ，选 A。 2．椭圆 上的点到点 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，。 当 时取最小值 ，，选 A。 ，取到；注意 在椭圆内时二次函数顶点有效。 3．抛物线 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，。 当 时最小，，选 A。 4．直线 与双曲线 交于左、右两支上各一点，则 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 【答案】A 【详解】代入：，即 。 两支各一点需 ，即 ，，选 A。 5． 是椭圆 内一点， 为椭圆上任意一点， 为右焦点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。 ，最小值 ，选 A。 这是「椭圆焦点光线」问题的标准处理：把两焦半径之和转化为 一段距离。 6．椭圆 上（　　）的点 使 （、 为焦点） A．不存在 B．存在且有两个 C．存在且有一个 D．存在且有无穷多个 【答案】A 【详解】若存在，，，。 的范围是 ，，不在范围内，不存在，选 A。 方法：焦半径的取值范围 是判断存在性的有力工具。 7．抛物线 上一点 到焦点 与到点 的距离之和的最小值为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】 等于 到准线 的距离。 到准线的距离 到准线的距离 。 当 在线段对应的水平位置（ 对应点 ）时取等，最小值 。 8．椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】设 ，。 最小值 （此时椭圆在直线左下方）。 【变式训练】 1．椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，。 最大值 ，选 A。 2．椭圆 上的点到点 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，。 当 时最小，（即上顶点 处），选 A。 3． 是椭圆 内一点， 为椭圆上任意一点， 为左焦点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。 ，，最小值 ，选 A。 4．直线 与双曲线 交于左、右两支上各一点，则 满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 需 ，即 ，选 A。 5．抛物线 上的点到焦点 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最小焦半径 （顶点处），选 A。 6． 是椭圆 内一点， 为椭圆上任意一点， 为左焦点，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（三角形两边差小于第三边）。 ，，最大值 （ 在 延长线上时取等），选 A。 7．椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】。 恒成立，最小值 。 8．双曲线 右支上的点 到右焦点 的距离的最小值为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】右支上 （右顶点处取得最小值）。 9．椭圆 上（　　）的点 使 A．不存在 B．存在 C．仅短轴端点使成立 D．仅长轴端点使成立 【答案】A 【详解】 存在的充要条件是 （即 ）。 本题 ，，，不存在，选 A。 10．抛物线 上的点到直线 的距离的最小值为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】设 ，。 当 时最小，。 【巩固练习】 1．椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，。 ，绝对值内恒为负，最小距离 ，选 A。 2．双曲线 右支上的点 到右焦点的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。右支上到右焦点的最小距离为 （右顶点处取得），选 A。 3． 是椭圆 外一点， 为椭圆上任意一点， 为左焦点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由椭圆定义 （ 为右焦点）。 。 ，最小值 ，选 A。 4．直线 与椭圆 有两个不同公共点，则 满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入：，两根 与 。 时两根不同（两个公共点）； 时 与椭圆相切于 。 所以 ，选 A。 陷阱： 判别失效于缺常数项的方程，需逐根分析。 5． 在抛物线 开口内侧， 为抛物线上任意一点，则 （ 为焦点）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 到准线 的距离， 到准线的距离 ，选 A。 6．椭圆 上（　　）的点 使 （、 为焦点） A．不存在 B．存在且有两个 C．存在且有一个 D．存在且有无穷多个 【答案】A 【详解】若存在：，。 的范围为 ，，不存在，选 A。 7．椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】设 ，。 ，最大距离 。 8．椭圆 上的点到点 的距离的最小值为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】，当 时最小，。 即下顶点 到 的距离。 9．抛物线 上（　　）关于直线 对称的两点 A．不存在 B．存在一对 C．存在两对 D．存在无穷多对 【答案】A 【详解】假设存在，则对称两点的连线（弦）斜率为 ，且弦中点在对称轴 上。 设弦 ，代入 ：，弦存在需 ，即 。 弦中点横坐标 。 中点在 上要求纵坐标等于横坐标：由弦方程 ，即 ，，与 矛盾。 所以不存在这样的两点，选 A。（抛物线 上不存在关于 对称的两点，经典结论。） 10．椭圆 上一点 ， 为右焦点， 为椭圆外一点，则 的最小值为＿＿＿＿． 【答案】 【详解】 在椭圆外、 在椭圆内，线段 与椭圆必有交点 。 由三角形不等式，对椭圆上任意点 ：。 当 取交点 时取等，最小值 。 技巧：点在曲线外时直接用三角形不等式（连线型），不必用焦半径转化。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $