专题08 椭圆的焦点三角形问题（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08椭圆的焦点三角形问题 题型归纳 题型一椭圆的定义与焦半径 题型二焦点三角形的面积 题型三焦点三角形中的角与向量 题型四焦点弦与离心率 题型五用定义转化求最值 题型专练 题型一：椭圆的定义与焦半径 1.设椭圆C: 94 =1的上、下焦点分别为F1,F2,C上的点P满足PF1=2,则PF2=() A.1 B.3 C.4 D.5 2.已知椭国号+苦1的华台分别5与.P为同上一点：侧△PF,5的质长年干() A.5 B.10 C.3 D.6 3.已知精C:兰+关-1a>h>0的东，有焦点分别为R,F,离心率e且过点M2,3引.则 1 △MF1F2的周长为() A.8 B.10 C.12 D.14 4.脑圆兰+y=1口>1的左，右焦点分别为F1,F,经过F,的直线交椭圆于A,B两点，若△ABF的周 长为8，则该椭圆的焦半径范围为() A.1,3 B.3-1,V3+1 c.2-3,2+3 D.1,3 116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.已知F,F,分别为椭圆C:兰+士1(a>4到的左、右焦点，点M在C上，且△FMF,的周长为 ‘a216 16,则△F1MF2面积的最大值为() A.6 B.12 C.16 D.24 6.已知椭圆方程为2 +兰=1a>b>0,椭圆上的点到左焦点的距离最大值为3，最小值为1，则椭圆的 a b2 短轴长是() A.3 B.2 c.2V2 D.2V3 7.已知P,F分别是稀圆C:兰+兰-1o>b>0的左、右焦点，点P在c上，且△PP,F)周长为8，则 a b2 a的取值范围为() A.1,4 B.2,4 c.1,4 D.2,4 题型二：焦点三角形的面积 1,已知点P为椭圆C:兰+片=1上的一点，焦点为P.F,2r,PF:=号则△PF,的面积是( 49 ) A.3V3 ®g c.92-V3 D.42-3 M是椭圆X+y=1上的二点，E,E为焦点，∠FMF,6,则△MFF的面积为Q A.9阳 B.162+3 c.162-V3 D.16 3.已知箱圆C:￥+y'=1的左、右焦点分别为F,下，点P在椭圆C上，且∠F,PF,=90°，则 4 △PF1F2的面积为() B.1 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.3 D.2 4.设F1,F2是椭圆 +兰=1的两个焦点，P是精圆上的点，且PF,PF,=4:3,则△EPP的面 4924 积为 5.已知椭圆C 64+5=1的左右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点，若3PF1=5PF,则△PF,F2 的面积为 6.已知箱题C:士+兰=1，下，F为图C的左，右焦点，点P为椭圆C上在第一象限内的一点，且 43 3 △FPF2的面积为)，则∠FPF2的角平分线所在的直线方程为() A.2x-2y+1=0 B.4x-2y-1=0 C.8x-2y-5=0 D.3x-2y=0 7.已知椭圆 父+兰1的左、右焦点分别为P,F,点P在稀圆上且在x轴上方.，若△PFF,的面 2516 积为12，则直线PF2的斜率为 题型三：焦点三角形中的角与向量 1.设F,F为椭圆C:+二=1的两个焦，点点P在C上，若P克P克，=0，则PFPE.=( 94 ) A.4 B.8 C.16 D.20 2.己知F1、F2是椭圆C: +广=1的左右焦点，点P是稀圆上一点且满足人F,PP,号：则 1612 PF=() A.2 B.3 C.4 D.5 包知E,F是椭圆C:+片1a>b>0的两个焦点，点M在C上，且MFMF∈l9,16. 椭圆C的离心率是() 1 3 A.4 B.4 3/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 C.4 D.4 4,已知椭圆式+y 94 =1的焦点为F,F2,第一象限的点P为椭圆上的动点，当△F1PF2为直角三角形时， 点P的横坐标是 t 5.椭圆E + =1的左、右焦点分别为F1,F2,g上在第二象限的点P,使△PBF,为等腰三角形， 167 则点P的坐标为 6.已知椭圆C:兰+若=1的左、右焦点分别为51，F,P是C上在第二象限内的一点，且 1612 PF2-PF=2,则直线PF2的斜率为() A 8.-3 4 C.4 D.3 7.己知椭圆C: 丈+之=I的左、右焦点分别是R,F,点P在椭圆C上，且△PEP,的面积为6、则 1612 川PFl-PF2l=() A.1 B.2 C.3 D.4 题型四：焦点弦与离心率 1. 已知椭圆C:1 +二=1a>b>0l的左、右焦点分别为F,F2,直线y=kxk≠0交椭圆C于M,N 两点，且MN=F,F2,若四边形MFNF2的面积为16，则b=() A.2 B.2V2 C.4 D.4V2 2,已知椭网C:士+ 号=1的左、右焦点分别为F,R,上限点为A.过上且垂直于AF的直线与C交于 2 D,E两点，则△ADE的周长为() 416 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.8 C.12 D.8/2 3. 知随圆C:名+1Q>b>0的左、右焦点分别为P,P,过桥直线与椭圆相交P,Q面 若QF2⊥PF2,且3QF2=4PF2,则椭圆的离心率为() V3 B.3 5 C.5 D.2 皮，F是椭圆十片0<6<2的左、石焦点，过上的直线交椭圆于A,B俩点 AF2+BF2最大值为6，则椭圆的离心率为( ) 2 B.2 c.5-1 3 2 0.2 5设栖圆C:名+1a>6>0的左，有焦点分别为P.F.0%坐稀原点，过上的直线与C交力 B两点，且lAF,=2|F2BL,F1A⊥AB,则C的离心率为() 3 5 A.2 6.3 3 c. 2 D.2 6已知直线yBx与随因C。+专交手么B两点，P是椭的石焦点，AF1B吹，划椭因的盛 心率e的值为() 2V3 3-1 A. B. 3 2 516 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.2 D.3-1 7.己知椭圆C: X+少=1a>b>0l的左、右焦点分别为F,F2,过F1的直线交C于P,Q两点，若 9b2 △PQF2为等边三角形，则C的焦距为 题型五：用定义转化求最值 1.己知F2为椭圆 +兰=1的右焦点，M为椭圆上的动点，设点A 1 7 43 则MA+MF2的最小 值为() A.2 B.2 C.0 D.6 2.己知点F1是椭圆C: +上=1的左焦点，P是箱圆上的动点，A(1,1为定点，则PA+PF的最 84 大值是 3.已知实数m,n满足n=21-四， 5 则m2+n-1+m-1}+n的最小值是 4.己知椭圆C: +Y=1,且A0,1,B-1,1,若点P是C上动点，则PA+PB的最大值为 54 5.已知躺因C:兰+号=1的左、右焦点分别为R.F2,M为椭圆C上任意一点，N为圆E: 32 x-5+y-3=4上任意一点，则MN)-MF的最小值为() A.3+23 B.3-2V3 c.5-2V3 D.2+2V3 6.已知F为椭圆C:上+兰=1的上焦点，M是椭圆C上一点，N为圆E:x-3+y=1止一点，则 43 MN+MF的最大值为() A.V10-1 B.1+V10 c.3+10 D.5+10 7.已知椭圆C:X+y m m-4 =1m>4的右焦点为F,点A-2,2为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P, 使得PA+PF=8,则m的取值范围为 616可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08椭圆的焦点三角形问题 题型归纳 题型一椭圆的定义与焦半径 题型二焦点三角形的面积 题型三焦点三角形中的角与向量 题型四焦点弦与离心率 题型五用定义转化求最值 题型专练 题型一：椭圆的定义与焦半径 1.C 2.B 3.C 4.c 5.B 6.D 7.B 题型二：焦点三角形的面积 1.B 2.C 3.B 4.24 5.15V3 6.B 题型三：焦点三角形中的角与向量 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.B 2.c 3.C 46或3 5.(- 8V35 3’3 6.B 7.B 题型四：焦点弦与离心率 1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.D 7.23 题型五：用定义转化求最值 1.A 2.5V2 3.2V5-/2 4.3V5 5.B 6.D 7.(6+25,251 2/2 专题08 椭圆的焦点三角形问题 题型一 椭圆的定义与焦半径 题型二 焦点三角形的面积 题型三 焦点三角形中的角与向量 题型四 焦点弦与离心率 题型五 用定义转化求最值 题型一：椭圆的定义与焦半径 1．设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由椭圆，得半长轴长． 因为在椭圆上，所以． 又，所以． 2．已知椭圆的焦点分别为与，为椭圆上一点，则的周长等于（　　） A．5 B．10 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求出，进而可求解. 【解析】由椭圆方程可知，如图： 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为. 3．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先求，进而利用椭圆的定义即可求解. 【解析】由，所以，所以， 所以椭圆的方程为：，又过点， 所以，解得，即， 所以， 又， 所以的周长为：. 4．椭圆的左､右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则该椭圆的焦半径范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用椭圆定义得出，又，得出焦半径范围即可. 【解析】由题意及椭圆的定义可知， 即，又， . 则椭圆焦半径范围为. 5．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（　　） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【解析】的周长为16， 所以有， 化简得. 由椭圆方程可知，，代入， 解得，， 设椭圆的短半轴长为，则， 所以，当点为椭圆上下顶点时，面积最大，最大值为. 6．已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为3，最小值为1，则椭圆的短轴长是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，结合求解即可. 【解析】由题意可得：， 解得：， 所以，则， 所以椭圆的短轴长是， 故选：D 7．已知,分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且周长为8，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用椭圆定义表示三角形周长，再结合椭圆的基本参数关系列等式，最后求出不等式的解即可. 【解析】由题知，的周长为， 因为点P在椭圆C上，所以，且， 所以，化简得，即， 又因为椭圆定义要求， 且也等价于， 代入，得， 先解，得， 再解，得，即， 综上，的取值范围是. 故选：B. 题型二：焦点三角形的面积 1．已知点P为椭圆C：上的一点，焦点为，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理、面积公式即可求解. 【解析】由题可得，所以， 设，由椭圆的定义得， 所以， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以. 故选：B. 2．设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（　　） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理，求，再代入三角形面积公式，即可求解. 【解析】为椭圆上的一点，，为焦点，， ，，可得，即，， 设，，则有，，， ，． 的面积． 故选：C． 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及勾股定理求出，代入面积公式求解即可. 【解析】由题意知，，. 因为，所以. 又，即， 所以. 所以. 4．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为______. 【答案】 【分析】由椭圆的定义有，结合可得，，又，则三角形面积可求. 【解析】由椭圆，有. 由椭圆的定义有，又， 所以，，又. 在中，， 所以为直角三角形， 的面积为 . 5．已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【分析】先利用已知条件和椭圆定义求出，与，然后利用余弦定理求出，再求出，再利用三角形面积公式求解. 【解析】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. . 故答案为： 6．已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【解析】如图，由可得椭圆的半焦距，则， 　　 于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即. 7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____. 【答案】 【分析】通过三角形面积确定坐标，再由斜率公式即可求解 【解析】由椭圆方程 ，得 ，， 因此 ，即 ， 所以，右焦点 ， 设 ，在轴上方故 ， 的面积： ， 解得：， 将 代入椭圆方程： ， 即 故直线​的斜率： .​ 题型三：焦点三角形中的角与向量 1．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（　　） A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】B 【分析】由条件得到，设，结合椭圆的定义及勾股定理即可求解. 【解析】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则且， 得到，所以. 故选：B 2．已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则 （　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题知，进而在焦点三角形中结合余弦定理得，进一步计算可知即可得答案. 【解析】由椭圆的方程得， 由椭圆的定义知：，则 故在中，因为， 故根据余弦定理知：， 即，解得， 所以 所以，即， 所以. 故选：C 3．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则椭圆的离心率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，以及基本不等式和二次函数的性质，求得的值，利用离心率的计算公式，即可求解. 【解析】由题意，点为椭圆上的一点， 由椭圆的定义，可得， 因为，当且仅当时，等号成立， 又，所以，可得， 因为，可得， 则，其中， 当或时，， 又，所以，可得，则， 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 4．已知椭圆的焦点为F1，F2，第一象限的点为椭圆上的动点，当为直角三角形时，点的横坐标是_________ . 【答案】或 【分析】分类讨论与两种情况，利用圆的性质可得点的轨迹方程，联立椭圆方程解之即可解. 【解析】因为椭圆，所以，则，不妨设，如图， 因为为椭圆上的动点，所以， 又因为为直角三角形，点在第一象限， 所以当时，易知，即点的横坐标是； 当时，由圆的性质可知，点落在以为直径的圆在第一象限的弧上，此时圆心为，半径为， 故点的轨迹方程为， 联立，解得或（舍去），即点的横坐标是； 综上：点的横坐标是或； 故答案为：或. . 5．椭圆的左、右焦点分别为，，E上在第二象限的点P，使为等腰三角形，则点P的坐标为______． 【答案】． 【分析】设，，，，由或，及在椭圆上列方程组求解． 【解析】由已知，，即，， 因为在第二象限，所以，设，，， 若，则，解得(的正值舍去)，即， 若，由，消去得，或，均不合题意． 综上，点坐标为． 故答案为：． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和条件求解焦半径，再结合几何关系，即可求解. 【解析】由条件可知，，得，，且 所以，且， 设直线的倾斜角为，则， 所以直线的斜率为. 故选：B 7．已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，且的面积为6，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先设点，再应用面积公式及点在椭圆上列式计算，最后应用两点间距离公式求解. 【解析】由椭圆的对称性不妨设点在第一象限，则． 由题意可得，则． 因为的面积为6，所以，解得． 因为点在椭圆上，所以，解得， 则， 故． 故选：B. 题型四：焦点弦与离心率 1．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线交椭圆C于M，N两点，且，若四边形的面积为16，则（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由椭圆的对称性以及得四边形是矩形，然后利用勾股定理和椭圆的定义进而求解结论． 【解析】因为直线过原点，根据椭圆的对称性得M，N两点关于原点对称， 又，且被点O平分，所以四边形为矩形， 对角线长为2c，即，且， 所以， 即， 而矩形的面积为，得， 故选：B. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A．4 B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】由垂直平分线性质得，，再根据椭圆的定义求解即可. 【解析】因为为线段的垂直平分线， 所以，根据对称性有：，， 所以的周长等于的周长， 所以，利用椭圆的定义，的周长为 ． 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由椭圆的定义及，结合勾股定理求参数m，进而由余弦定理构造椭圆基本量的齐次方程求离心率. 【解析】 设，椭圆的焦距为，则， 由，有，解得或（舍）， 故，，且， 在中，由余弦定理可得， 所以，故，. 4．设，是椭圆 的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 根据椭圆的定义，， 所以，当最小时，最大， 又当轴，即为椭圆通径时，最小，为， 此时，所以，所以， 所以，. 5．设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用椭圆的定义表示出、，结合的直角条件，通过勾股定理求出与的关系；再在中用勾股定理建立与的等式，进而推导离心率. 【解析】设，由得，因此. 根据椭圆的定义，， ， 由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理， 得，展开并化简： 因，两边除以得， 由此可得，， 又因为共线，且，所以，即为直角三角形， 由勾股定理，得， 得，所以，因此离心率. 6．已知直线与椭圆交于A，B两点，F是椭圆的右焦点，，则椭圆的离心率e的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知易得，且为等边三角形，进而得，，利用齐次方程求离心率. 【解析】设椭圆的左焦点为，连接， 由题设，根据对称性及椭圆的定义知，且， 　　 又，且，则，即为等边三角形， 所以，则， 综上，，可得. 故选：D 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于，两点，若为等边三角形，则的焦距为___________ 【答案】 【分析】由题意得，进而得，再由椭圆的定义得，进而求解. 【解析】由为等边三角形，所以，根据对称性可知，， 又，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 题型五：用定义转化求最值 1．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（　　） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【解析】由椭圆方程可知， 且焦点在x轴上，则， 　　 因为，可知点在椭圆内， 又因为，即， 则， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立， 所以的最小值为2． 故选：A． 2．已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】根据椭圆定义可知，取得最大值时，即最大，根据三角不等式即可解出﹒ 【解析】根据椭圆的定义：， 取得最大值时，即最大. 由题意知， 如图所示：， 当，，共线，即为的延长线与椭圆的交点时取等号，所以的最大值为﹒ 故答案为： 　　 3．已知实数m，n满足，则的最小值是______. 【答案】 【分析】根据已知条件确定目标式的几何意义，然后根据椭圆的知识，画图求取最小值即可. 【解析】，则， 要求的目标式， 可以视为上半个椭圆上的点到点和到的距离之和. 又点恰好是椭圆的右焦点，设左焦点为， 则，，， 当且仅当三点共线时取得等号，此时点P是直线AF与椭圆在第一象限内的交点. 故答案为：. 　　 4．已知椭圆，且，，若点是上动点，则的最大值为______． 【答案】 【分析】计算判断点为椭圆的上焦点，作下焦点为，利用椭圆的定义将待求式化成，结合图形可得当且仅当三点共线且点在之间时取得最大值. 【解析】如图，由可得其半焦距为，即点为椭圆的上焦点，取下焦点为， 因为，所以点在椭圆内， 连接，则，则， 由图知，当且仅当三点共线且点在之间时等号成立， 故， 即的最大值为. 故答案为：. 5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆的定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案. 【解析】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点， 故， 　　 故， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 所以 ， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 而， 故的最小值为， 故选：B. 6．已知为椭圆的上焦点，是椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的下焦点为，结合椭圆的定义有，进而可得，注意等号成立条件，即可得答案. 【解析】圆的圆心为，半径，设椭圆的下焦点为， 如图，由椭圆的定义知，所以， 所以， 当且仅当，，三点共线，且点在线段的延长线上时取等号， 因为，，所以，故， 故选：D 7．已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点.若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为______. 【答案】（，25] 【分析】设椭圆的左焦点为，根据椭圆的定义得出，求出的范围，并结合点为椭圆内一点即可. 【解析】设椭圆的左焦点为， 因，则， 则椭圆的左焦点，右焦点， 由椭圆的定义可知，， 则， 因，所以，等号成立时三点共线， 因椭圆上存在一点，使得， 所以，得， 因点为椭圆内一点，则，，得， 故的取值范围为（，25]. 故答案为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $