专题07 椭圆的定义、标准方程及性质的应用（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07椭圆的定义、标准方程及性质的应用 题型归纳 题型一椭圆的定义与轨迹方程 题型二椭圆方程的参数范围 题型三椭圆标准方程的求解 题型四椭圆的几何性质 题型五椭圆的高心率 题型六椭圆中的最值与范围 题型专练 题型一：椭圆的定义与轨迹方程 1.如果点Mx,y在运动过程中，总满足关系式√x+(y-3+√X2+(y+3=10,那么点M的轨迹是 () A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段 2.如果点Mx,y在运动过程中，总满足关系式x+y-3?+x2+y+3P=10,则M的轨迹方程为( 25161 A 8.16+25-1 c云61 D.1625 3.平面内动点P(x,y)满足方程(x+12+y+(x-1+y2=43,则动点P的轨迹方程为() 益1 X+=1 1211 +=1 c.2*3 4.一动圆M与圆C1:x2+y2+4x=0外切，同时与圆C2:x2+y2-4x-60=0内切，则动圆圆心M的轨迹 方程为() 117 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.x2 951 D. +=1 2521 5.己知圆C:x+3P+y=64,A3,0,P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于 点Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为() x2+y2 =1 6436 X+y=1 C.167 0: 又+1 6428 6.已知动点P(x,y)满足2(x-12+y2=x-4,则点P的轨迹是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 7.在平面直角坐标系xOy中，已知A,B分别为x轴和y轴上的点，点P在线段AB的延长线上，且AP= 3AB=3.当A,B运动时，记点P的轨迹为曲线C,则C的离心率是() 、V13 A.3 B.3 5 V13 c.3 D. 2 题型二：椭圆方程的参数范围 1.若方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是() m-12-m 3 A.m<2 B.m>2 c.1<m<2 3 D.m> x2 +y2 2.若方程8-mm-4 1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 3.若方程少 十是=1表示一个焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范国为《） m+13-m A.0,2 B.-1,3 c.0,1U1,2 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.1,3 4.若椭圆C:mx+y=1的焦点在y轴上，则m的取值范围是 5.若方程。心十 6-mm-4 =1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是 6,若方超。5+行表示椭圆C,则下面结论正确的呢（了 A.k∈1,9 B.椭圆C的焦距为2V2 C.若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈1,5) D.若椭圆C的焦点在y轴上，则k∈1,5 7.1<m<7”是“方程7-mm六7 =1表示的曲线为椭圆”的条件. 题型三：椭圆标准方程的求解 1.焦点坐标为0，-4,0,4，且长轴长等于12的椭圆方程为() +=1 A. 3620 B. +=1 2036 +=1 C.3616 +-1 D.1636 2,已知椭圆过点P2,-92和点Q二1,14 则此时椭圆的标准方程为 3.与椭圆方程 X+=1有相同焦点， 2016 且过点 22 的椭圆方程为 4.过点3，-5。且与椭圆兰+。=1有相同焦点的粘圆的标准方程为】 259 5.焦点在x轴上的椭圆经过P-4,0,Q2,3,则下列说法正确的是() A.长轴为4 B.短轴为2 C.焦距为2V3 3 D.离心率e= 6.已知四点A1,.B1,1,c01.D1,2 3 3 中恰有三点在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为 7与椭圆之+ 2516 =1有公共焦点的椭圆是( 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C. D. 题型四：椭圆的几何性质 1.椭圆+式-1的焦点坐标是（) 3620 A.-4,0,4,0 B.0,-4,0,4 c.-3,0,3,0 D.0,-3,0,3 己知椭圆C:父+立1a>0的二个焦点是(1,0，则a=(广 a 4 A.3 B.3 C.5 D.V5 3.已知椭圆、 *2 m-1 3-m =1的长轴长是短轴长的2倍，则m=() 。号 7.13 8.14 c.5或5 D.5或5 4.己知稀圆、 +一y=1的长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（） m-13-m 1 13 A. B.5 8.14 713 C.5或5 D.5或5 5.已知椭圆mx2+y=1的焦点在y轴上，且其短轴长等于焦距，则m=() 2 A.2 B.2 c.V2 D.2 x2 +y2 6.己知椭圆C:14-2mm-4 =1的焦距为4，则实数m=（ 14.20 22 A.3或3 B.3 c号 D.号或3 1422 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.已知稀题C:兰+=1a>b>0的左，右焦点分别为F,F,上.下顶点分别为B,B,且 F1F2=B,B2=2,直线y=x与椭圆交于P,Q两点，则四边形PBQF2的周长为() A.2 B.22 C.4 D.4V/2 题型五：椭圆的离心率 1 1.己知椭圆E:x2+my=1的离心率为2 则m的值为() 1 B.2或2 3 1 C.4 D.2 2.已知椭圆其+ m12 =1的焦距等于4，则其离心率的值为() 1 3 A.2或3 B.2 13 3 C.3或3 D.3 3.焦点在x轴上的椭圆 x+y 94+k 三1的离心率为 ,则实数k的值为 4.若椭圆C的焦距是短轴长的2倍，则椭圆C的离心率是() V6 A.3 B.3 3 2 C.2 0.2 5.已知椭圆C的焦点在x轴上，焦距为4，且经过点P2,3,则C的离心率为() 1 3 A.4 B.4 3 0.2 6。已知箱圆士+y=1的离心率为m,则椭园的一个焦点的坐标可以为() m A. 2,0 B.-V2,0 2 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0,2 D.0,V2 7.己知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1-3,0,F23,0,离心率分别为e1,e2,点P为椭圆C1 与双曲线C在第一象限的公共点，且∠F,PF,子若e,=3,则椭圆C1的方程为（） +y=1 A.g6 X+y=1 B.63 义+上=1 C.129 4+y2=1 D. 题型六：椭圆中的最值与范围 b+c 1.若c是椭圆。+云-1(a>b>0的半焦距，则 的取值范围是() a A.0,2 B.1,2 C.0,2 D.1,2 2.己知椭圆C:, V6 4-1λ-6 6=1(10<<14)的离心率为3，F为C的一个焦点，P为C上一动点，则 PF的最大值为() A.3 B.5 c.3+V5 D.2+V6 3.设椭圆C:头+-1的左、右焦点分别为R,F,过原点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A,B两点， 2516 则四边形F1AF2B的面积的最大值为() A.20 B.24 C.18 D.28 4.已知椭圆E:父+y F言+长1(Q>b>0的左、右焦点分别为，F,直线x-ty=0与稀圆B交于4，B两 点若四边形AF1BF2面积的最大值为8，则a的最小值为() A.2 B.2 c.2V2 D.4 P为盟C名+上点，精图C名y的四个蓝为A,B,CD,自 PA+PB+PC+PD=16,则() 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A点P必在精圆 +y2 5i61上 B,点P必在椭圆X+ 16151k C点P必在椭圆日+。三1小 D.点P必在椭题兰+名=1止 98 改P是桶圆M:苓+y上的任一点，BR为圆N:X+y-y=0的任一条直径，则PE·P下的最 为 717可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07椭圆的定义、标准方程及性质的应用 题型归纳 题型一椭圆的定义与轨迹方程 题型二椭圆方程的参数范围 题型三椭圆标准方程的求解 题型四椭圆的几何性质 题型五椭圆的离心率 题型六椭圆中的最值与范围 题型专练 题型一：椭圆的定义与轨迹方程 1.A 2.B 3.B 4.C 5.c 6.B 7.C 题型二：椭圆方程的参数范围 1.A 2.6<m<8 3.D 4.1,+00 5.4,5 6.c 7.必要不充分 题型三：椭圆标准方程的求解 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.B +1 2. 84 3. =1 106 4. y x 204-1 5.D +y=1 6.4 7.C 题型四：椭圆的几何性质 1.B 2.D 3.C 4.D 5.D 6.C 7.D 题型五：椭圆的离心率 1.A 2.A 3.1 4.B 5.C 6.C 7.A 题型六：椭圆中的最值与范围 1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 213 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 64 3/3面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07椭圆的定义、标准方程及性质的应用 题型归纳 题型一椭圆的定义与轨迹方程 题型二椭圆方程的参数范围 题型三椭圆标准方程的求解 题型四椭圆的几何性质 题型五椭圆的高心率 题型六椭圆中的最值与范围 题型专练 题型一：椭圆的定义与轨迹方程 1.如果点Mx,y在运动过程中，总满足关系式√x+(y-3+√X2+(y+3=10,那么点M的轨迹是 () A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段 【答案】A 【分析】由√x+(y-3P+x+(y+3=10的意义及椭圆的定义即可求解 【解析】由点Mx,y满足x2+(y-3+x2+(y+32=10可知， 动点Mx,y到定点F10,3,F20,-3的距离之和为10， 即MF+MF2=10,且MF+MF2>FF2, 根据椭圆的定义可知动点M的轨迹是椭圆， 故选：A 2.如果点Mx,y在运动过程中，总满足关系式x2+y-3P+√x2+y+3P=10,则M的轨迹方程为( A茶+ X+y=1 2516 B.1625 1/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x_y .16251 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【解析】关系式√x+y-3+√x2+y+3=10表示点Mx,y到两个定点F10,3和F210,-3的距 离之和，符合椭圆的定义 则2a=10,a=5,又c=3,所以b=Va2-c2=4, +y 以点M的轨迹方程为6公 故选：B 3.平面内动点P(x,y)满足方程(x+1P+y2+(x-1?+y=4/3,则动点P的轨迹方程为() A.*2 X+y=1 B.1211 D.32 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【解析】由题意，点P到两点-1,0,1,0的距离之和为4V3>2, 所以P点的轨迹是以-1,0,1,0为焦点的椭圆， 且a=2V3,c=1,b2=a2-c2=12-1=11, X+y=1 所以点P的轨迹方程为2立 故选：B 4.一动圆M与圆C1:x+y+4x=0外切，同时与圆C2:x2+y2-4x-60=0内切，则动圆圆心M的轨迹 方程为( -y=1 A.95 B. =1 95 C.2521 0.25+271 【答案】C 【分析】将两圆方程化成标准方程，求出两圆的圆心和半径：然后根据动圆M与圆C1外切，与圆C2内 切，得到MC+MC2=r1+r2>C1C2,由此可判断圆心M的轨迹为椭圆：求出长半轴长和短半轴 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长即可得到动圆圆心M的轨迹方程」 【解析】依题意，C1:x+2+y2=4,圆心为C,-2,01,半径为r1=2,C2:x-22+y2=64,圆心为 C22,0,半径为r2=8: 设Mx,y,动圆M的半径为r,因为动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，所以 MC1)=r1+r,MC2)=r2-r,MCI+MC2)=r+r2=10>CC2)=4; 所以圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点，长轴长2a=10,焦距2c=4的椭圆： 议5，C=2,所以椭圆的短羊抽长b2L,所以动圆周心M的机迹方程为+光片 故选：C 5.已知圆C:x+3+y=64,A3,0,P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于 点Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为() 2 64361 c号1 X+=1 0.6428 【答案】C 【分析】直接由题意可得：QC+|QA=|QC+|QP|=CP=8>|CA=6,符合椭圆定义，且得 到长半轴和半焦距，再由b2=a2-c2求得b2,则点Q的轨迹方程可求 【解析】圆C:x+3+y2=64的圆心坐标为C(-3,0),半径为8. 依题意知：|QC+|QA=|QC|+|QP|=|CP|=8>|CA=6, ,∴.点Q的轨迹是以A,C为焦点的椭圆， 国Q4,93.b。7,所求点Q的轨迹方程为务6+ 6.己知动点P(x,y)满足2(x-1P+y=x-4,则点P的轨迹是（) A.圆 B.椭圆 3/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.双曲线 D.抛物线 【答案】B 【分析】化简给定方程，再由方程特征确定轨迹， 【解析】由2(x-12+y2=x-4两边平方得4[(x-12+y2]=(x-42, 整理得4x2-8x+4+4y=x2-8x+16,即3x+4y2=12, 国此点P的轨迹方程是￥+兰1，所以P的轨迹为椭回 故选：B 7.在平面直角坐标系xOy中，已知A,B分别为x轴和y轴上的点，点P在线段AB的延长线上，且AP= 3AB=3.当A,B运动时，记点P的轨迹为曲线C,则C的离心率是() 13 A.3 B.3 .5 c.3 V13 D.2 【答案】C 【分析】根据已知条件得到向量AP=3AB,然后用坐标表示出来，根据线段的长度即可求得点P的轨 迹方程，进而求出离心率 【解析】设A(t,0),B(0,s,P(x,y),由题意可得AP=3AB, 又3AB=(-3t,3s),AP=(x-t,y),所以U,即U 因为A=1,所以7行1.代入化可得：含名-口 X+义=1 即点P的轨迹方程：4+9 由方程可知P的轨迹为椭圆，其中a=3,b=2,c=V5 所以离心率为e=S=5 a 3 故选：C 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：椭圆方程的参数范围 1.若方程 m-12-m 二=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是() 心 A2m<2 B.m>2 c.1<m<2 D.m>3 2 【答案】A m-1>0 【解析】由题意可得， 2-m>0 2m2 m-1>2-m 2.若方程 t_y =1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 -mm-4 【答案】6<m<8 【解析】因为方程 x+y 8-mm-4 =1表示焦点在y轴上的椭圆，则心， 解得6<m<8 3.若方程少+ =1表示一个焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为() m+13-m A.0,2 B.-1,3 c.0,1U1,2 D.1,3 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【解折】因为方程千+1表示一个能点在y维上的椭圆， m+13-m 所以心，解得m∈1,3】 4.若椭圆C:mx+y=1的焦点在y轴上，则m的取值范围是 【答案】1，+o 【分析】由条件结合椭圆方程的特征列不等式求的范围即可. 【解析】由椭圆方程的特征可知m>0, 5/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 义+y=1 所以方程mx2+y=1,可化为1 m 因为C的焦点在y轴上，所以0<<1， m 所以m>1, 故m的取值范围是1，+oo. 5.若方程。 2+y =1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是 6-mm-4 【答案】4,5 6-m>0 【解析】因为方程 6-mm-4 =1表示焦点在x轴上的椭圆，所以m-4>0 6-m>m-4 解得4<m<5. +2 y 6.若方程g-kk-1 =1表示椭圆C,则下面结论正确的是() A.k∈1,9 B.椭圆C的焦距为2V2 C.若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈1,5 D.若椭圆C的焦点在y轴上，则k∈1,5) 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和性质计算即可 【解析】因方程表示椭圆，则有9-k>0,k-1>0,且9-k≠k-1,即k∈1,5U5,9,A错误： 焦点在x轴上时，9-k>k-1>0,解得k∈1,5，c正确： 焦点在y轴上时，k-1>9-k>0,解得k∈(5,9)，D错误： 焦点在x轴上时，则c2=9-k-k-1=10-2k,焦点在y轴上时，c2=k-1-9-k=2k-10,B错 误。 x'+y 7.“1<m<7”是“方程7产mm一1表示的曲线为椭圆”的—条件， 【答案】必要不充分 【分析】由充分、必要性的定义，结合圆锥曲线的性质判断题设条件的推出关系，即可确定答案. 【解析】当m=4时表示圆，当1<m<7且m≠4时表示椭圆，充分性不成立： 7-m>0 当7大士y=为椭圆，则m-1>0，可得1<m<7宜m≠4，必要性成立 7-m≠m-1 6/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综L。1<m<7”是方程，m占=1表示的曲线为精图”的必美不充分条件 X 故答案为：必要不充分 题型三：椭圆标准方程的求解 1.焦点坐标为0，-4,0,4，且长轴长等于12的椭圆方程为() A. x+y=1 B.- +y=1 3620 2036 x+=1 C.3616 +y=1 D.1636 【答案】B 【分析】设椭圈方程为后+方=1(a>b>0),易得c、a,再结合d=+c,即可求解 +6-1(a>b>0,由题可得：c=4,2a=12,即a=6 y2 x 【解析】设椭圆方程为 x+y=1 根据d2=b2+c2解得：b2=20,所以椭圆方程为20+36 2.已知椭圆过点P2-2和点Q-L,14 则此时椭圆的标准方程为 【答案】 1 【解析】设所求椭圆的方程为Ax+By=1(A>0,B>0,A≠B). 1 A= 将两点2，-2 914 4A+2B=1 的坐标代入，得A+14B=1 解得 4 B= 所以所求椭圆的标准方程为8+4 3.与椭圆方程+=1有相同焦点，且过 5 3 2016 2, 2 的椭圆方程为 【答案】106 【鲜析】由题意可股所求精圆的标准方程为0十+。+久久>一16， 7/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 椭圆过点 3-2 25 9 将=2y= 2代入方程得4 4 20+万16+7=1' 解得入=-10或入=- 35 2 (舍去)， 故所求椭圆的标准方程为10+ -=1. +x2 4:过点（只3，一5，且与椭圆+q=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 【分析】根据题中条件，得到所求椭圆焦点在y轴上，设出它的标准方程，由题中条件，列出方程组求 解，即可得出结果。 【】方法定义次)指若号-1期在刘0，-4.0,4.c=4 * 由椭圆的定义知， 2a=(3-0)2+(-5+42+(3-02+(-V5-42, 解得a=2V5. 由c2=a2-b2可得b2=4,所以所求椭圆的标准方程为 故答案为： y. -=1 204 方法二：（待定系数法） 因为所求椭圆与椭圆关+名=1的焦点相同。 259 所以其焦点在y轴上，且c2=25-9=16①. 设它的标准方程为后+存=1(a>b>0)。 因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16. 又点(3-5)在所求稀园上，所-5+3-1@. a2 5+3=1 则a6 8/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由02餐b=4,Q=20,所以所求椭圆的标准方程为20+4三1 故答案为： y.x 204 =1 5.焦点在x轴上的椭圆经过P-4,0,Q2,V3,则下列说法正确的是() A.长轴为4 B.短轴为2 C.焦距为2V3 3 D.离心率e= 2 【答案】D 提折1我腿国的方程为后+长-1阳>0，h-0 -402=1 a2 61 因为椭圆过点P4,0,Q2,V3,代 a2 =1得 22 3 解得a=4,b=2, .=1 a 6 所以椭圆的长轴长为2a=8,椭圆的短轴长为2b=4,故A和B错误： 因为c2=a2-b2=42-22=12,所以c=23,所以椭圆的焦距为2c=4V3,故C错误： c 23 3 椭圆的离心率e=二 2,故D正确。 V3 6.已知四点A 3 ,B1,1,C10,1,D-1, ]中恰有三点在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为 【答案】 +y2=1 4 【分析】分析可得B1,1不在椭圆E上，A,C,D在椭圆E上，设椭圆方程为 +少=1，将A,C代入 m n m=4 椭圆可得 n=1 求出椭圆方程 【解析】因椭圆E为标准方程，其图像关于坐标轴对称， 3 点A(1,2 3 与点D(-1,之关于y轴对称，又恰有三点在椭圆上， 可知A,D两点必在椭圆上， 若点B(1,1)也在椭圆上，设椭圆方程为2 9/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则将A,B坐标代入稀圆标准方程各+发可可得，此方程组无解，故点8不在桶圆凸 因此，在椭圆上的三点为A,C,D 设椭圆方程为一 +上=1，将A,C代入椭圆可得， m n 1+3=1 m 4n m=4 1-1 解得n=1 所以椭圆方程为4十y2=1 枚答案为菩+y-1 7与桶圆关+ 2516 =1有公共焦点的椭圆是() 》 B. 3020-1 D. y+X=1 2130 【答案】C 【解析】椭圆5公、 =1,a2=25,b2=16,c2=25-16=9,c=3,焦点在y轴上. 选项A、B和D的焦点在x轴上，不符合题意，排除. 选项c:精网+务-1,0=30.6=21，-30-21=9，G=3,售友在y箱上，行合慰意，所以 3021 选C 题型四：椭圆的几何性质 五.椭圆父+X=1的焦点坐标是() 3620 A.-4,0,4,0 B.0,-4,0,4 c.-3,0,3,0 D.0,-3,0,3 【答案】B 【解析】由题可知焦点在y轴上，且a=36,b2=20,所以c2=a2-b2=16, 10/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以c=4,所以桶圆茶+六-1的焦点坐标是0，-4,0,4 3620 2.已知椭圆C:X+上1a>0的一个焦点是1,0，则a=( a24 A.3 B.3 C.5 D.5 【答案】D 【解折1因为椭调C:兰+兰=1(a>0)的一个焦点是1,0。 a24 所以焦点在x轴上，则b2=4,c=1, 所以a2=b2+c2=5,则a=5 3.已知椭圆X+ m-13-m =1的长轴长是短轴长的2倍，则m=() 7 8 A.5 B. 713 814 C.5或5 D.5或5 【答案】c m-1>3-m>0 【解析】①当椭圆的焦点在x轴上时， (m-1=43-m 解得m=13 : 3-m>m-1>0 ②当椭圆的焦点在y轴上时， 4m-1=3-m解得m= 713 所以m=5或亏 4.己知椭圆 =1的长轴长是短轴长的2倍，则m的值为() m-13-m A.3 13 B.5 814 7.13 C.5或5 D.5或5 【答案】D 【分析】根据椭圆的几何性质，利用已知条件得出a=4b,再区分焦点x轴、y轴两类讨论求m. 【解析】由题意知，a=2b,则有a=4b2, 11/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当焦点在x轴时， |a=m-1>0 b2=3-m>0 则m-1=43-m,解得m=13 :符合， d=3-m>0 7 当焦点在y轴时， 6=m-1>0,则3-m=4m-1.解得m=弓：符合， 713 综上可得，m的值为或5 5.已知椭圆mx2+y=1的焦点在y轴上，且其短轴长等于焦距，则m=() V2 A.2 .2 c.2 D.2 【答案】D 【分析】根据椭圆的几何性质结合焦点在y轴上求出a,b,C,再利用短轴长等于焦距构造方程，解方程 求m 【解析】，椭圆mx2+y2=1的焦点在y轴上， 1 ∴.a=1,b= c=a2-b=m-1 Ym m 其短轴长等于焦距， ∴.2士=27 m-1 解得m=2,故D正确. m m 故选：D, 6.已知椭圆C 14-2mm41的焦距为4，则实数m=() 14.20 22 A.3或3 B.3 14 14.22 C.3 D.3或3 【答案】C 【分析】分为椭圆的焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情形，分别根据椭圆中Q,b,C所具有的性质列出 关于m的方程，解出即可 14-2m>m-4>0 【解析】当椭圆C的焦点在x轴上时， 14-2m-(m-4)=4 解得m二14 3 m-4>14-2m>0 当椭圆C的焦点在y轴上时， m-4-(14-2m)=4无解， 12120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以m=14 故选：C. 7. 已知椭圆C:父+y 1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2,且 F1F2=B,B2=2,直线y=x与椭圆交于P,Q两点，则四边形PBQF2的周长为() A.2 B.2V2 C.4 D.4V2 【答案】D 【解析】设椭圆半焦距为c,则2b=2c=2,即b=c=1,a=Vb2+c2=V2 连接PF1,F1Q,由P,Q关于原点对称，F1,F2关于原点对称， 6 P/x B2 得四边形PFQF2为平行四边形，PF1=QF2, 则QF2+PF2=PF1+PF2=2a=22,而点B10,1与点F21,0关于直线y=x对称， 因此PB1=|PF2,1QB=|QF,PB1+QB=QF2+PF2=22, 所以四边形PB1QF2的周长为4V2 题型五：椭圆的离心率 1.己知椭圆E:x2+my2=1的离心率为2， 则m的值为() 43 A3或 B.2或2 3 1 C.4 D.2 【答案】A 【分析】将椭圆化为标准方程，进而分类讨论椭圆焦点位置，再结合离心率求解. 13120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】原方程整理得工十上1，m>0且m1, m 当焦点在x轴上，则a=1,b2=1 m,满足1> m,即m>1 由离心*e月用e2=-01-1 a a2 1m子解得m=首符合条件 当焦点在y上，则t六分-1，满足六1，即0cmc1 m -1 同理e2-a-b2_m 1 3 1=1-m=4解得m=子符合条件 m 2.已知椭圆+y m12 =1的焦距等于4，则其离心率的值为() 1.3 A.2或3 B.2 13 3 C.3或3 D.3 【答案】A 【分析】根据给定条件，按椭圆焦点位置分类求出离心率 【解折1精圆士+芳=1的焦距2c=4,即c=2, m12 当焦点在x轴上时，其短半轴长b=2V3, _1 则长半轴长a=Vb2+c2=4,离心率e=二 2: 当焦点在)轴上时，其长半销长a-23,则离心率c=S=3 a 3 1V3 所以椭圆的离心率为2或3 2 焦点在x轴上的椭圆义+y一三1的离心率为，则实数k的 94+k 【答案】1 【分析】根据给定条件确定椭圆长短半轴长，再利用椭圆离心率计算公式列式计算得解. 【解析】因椭圆X+)一=1的焦点在x轴上，其长半轴长为@，短半轴长为b,半焦距为C,离心率为 94+k 14/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e, 于是得a=9,b=4+k,e= 子因此有：e2=-0-B-5k4 aa29号解得k=1, 所以实数k的值为1. 故答案为：1 4.若椭圆C的焦距是短轴长的V2倍，则椭圆C的离心率是() A 6 B.3 93 2 C.2 0.2 【答案】B 【解析】由题意可得c=2b,得到a=b+c=2C,即e=S-6 a 3 5.已知椭圆C的焦点在x轴上，焦距为4，且经过点P2,3,则C的离心率为() 3 B. 4 c 3 D.2 【答案】C 【解析】设椭圆方程为。+合1(a>b>0),且a2-B=c2=4, a4+9 点P2,3在椭圆上，代入得。+。1，将b2=a-4代入， 4. 9=1, 得aa-4 即4a2-4+9a2=a2a2-4 即a4-17a2+16=0 即a2-1a2-16=0 得a2=1或a2=16, 由于a>c=2, 故a=16,a=4, 离心率e=S=2、1 a42 15120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.已知椭圆X+y=1的离心率为m,则椭圆的一个焦点的坐标可以为() 2 A. ,0 B.-V2,0 2 c.0,2 D.0,V2 【答案】c 【解析】因为椭圆离心率范围为0,1，可得0<Vm<1,即0<m<1, 当0<m<1,椭圆焦点在y轴上时， +y=1可得a=1,b=m,则c=5a-6=7-m, m 所以离心率e= m=9m,解得m=号》 1 此时c= 所以稀圆两个焦点为0,2 。2 2, 2 0,2 7.已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1-3,0,F23,0,离心率分别为e1,e2,点P为椭圆C1 与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF,=号，若e,=3,则椭圆C1的方程为《) A1 8.+=1 96 63 足+=1 C.129 0.4+y=1 【答案】A 【分析】结合椭圆双曲线的定义及焦点三角形的相关知识可得. 【解析】由题意知椭圆C1与双曲线C2的共焦点F1-3,0,F2V3,0, 所以C=c2=3, 因为双曲线C2的离心率e2=3, 所以a,=2=1,b,-G--2,所以双曲线C,的方程为X- e, 31 如图： 16120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据双曲线的定义知PF1)-PF2=2a2=2 由余弦定理|F1F2}=PF}+PF2P-2PF1PF,cos∠F1PF2, 得12=PF2+PF2}-PFPF2,又因PF-PF2=2, 得|PF2=2,PF=4 根据椭圆的定义知：PF1+PF2=2a1=6,所以a1=3, 6=匠-G6,商以mC的方程为号+若-1 故选：A 题型六：椭圆中的最值与范围 b+c 2者c是椭脑+名Q>6>0的半焦瓶，则。的取值范国是( A.0,2 B.1,2 c.0,2 o.1,2 【答案】B b+c2 【分析】根据椭圆中a,b,C的关系，结合基本不等式先求 b+c 的取值范围，再求 的取值范围。 a 【解析】因为a=b2+c2,且a,b,c∈R, 所以 606c2+2红2电 a a 2 2bc 当且仅当b=C时，等号成立 且a2=b2+c2→6+c>1 a 故1<b+cs2 a 故选：B 17120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.己知椭圆C: -=1(10<1<14)的离心率 14-1λ-6 3°，F为C的一个焦点，P为C上一动点，则 PF的最大值为() A.3 B.5 c.3+5 D.2+V6 【答案】D 2λ-20_2 【分析】由题知椭圆C的焦点在y轴上且入-63进而得a=6,b=2,c=4, IP FImax=a+c=2+6 【解析】解：设椭圆C的半焦距为cc>0》 .10<1<14,∴.0<14-<4<入-6，故焦点在y轴上. V6 c2=1-6-14-=21-20,离心率为3， .2λ-20_2 ·λ-6 3,解得入=12 ∴.a2=6,b2=2,c2=4 ∴根据椭圆的性质可知Flma=a+c=2+V6. 故选：D 3.设精圆C:头+-1的左、有焦点分别为5，F,过原点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A,B两点， 2516 则四边形F1AF2B的面积的最大值为() A.20 B.24 C.18 D.28 【答案】B 【分析】根据己知求出Q,b,c的值，根据对称性可得SE,AF,B=2S△AF,E,=6yo,当A,B为短轴顶点， 即可得到面积的最大值， 【解析】 ○ 18120 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由已知可得，a=5,b=4,所以c=a2-b2=3, 根据椭圆的对称性可得，A,B点关于原点对称，设AX,yo,B-Xo,一y】 且SArB=2SaAF=2×E,F,=6y 当yo)最大时，面积最大，则此时A,B为短轴项点，(Sr,AF,Bmax=6yomx=24. 故选：B. 4.已知椭圆E: 花+1Q>b>0的左、右焦点分别为上1，F2,直线xy=0与椭圆B交于A小正 点.若四边形AF1BF2面积的最大值为8，则a的最小值为() A.2 B.2 c.2V2 D.4 【答案】C 【分析】当直线与x轴垂直，即t=0时，四边形AF1BF的面积最大，由面积公式及基本不等式求解即 可 【解析】设椭圆E的半焦距为c.直线x-ty=O过原点， 。即t=0时，四边形AFBF2的面积最大，此时S 所以bc=4, 所以a2=b2+c2≥2bc=8,当且仅当b=c时等号成立. 故a≥22 故选：C P为椭圆C:X6+光1上一点，椭圆C。+y=1的四个顶点为A,B,C,1 |PA+PB+PC+PD=16,则() A.点P必在椭圆 +=1上 1516 B、点P必在稀 16161上 C.点P必在椭圆 +=1 89 D.点P必在椭圆 +=1上 98 【答案】A 【分析】借助椭圆定义计算即可得 【解析】不妨设A,B,C,D分别为椭圆C2的左、右、上、下四个顶点： 则A-3,0,B3,0,C0,1,D0,-1 19120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 椭圆C1:文+之三1的焦点坐标为±3,0，且P为椭圆C1止 则|PA+PB=2×4=8,故PC+PD=8, 即点P到C0,1,D0,-1的距离之和为8， 故点P必在以C0,1,D0,-1为焦点，且长轴长为8的椭圆上， 足+ 即点P必在椭圆5+16 =1上 故选：A 6.设P是椭圆M:号+y=1上的任一点，那为圆N:X2+y2-y=0的任一条直径，则P克-P的最大值 2 为 【答案】4 分析)】设点Px,y,侧则X=2-2y且=1yL,计算得出P它·p下中y++是，利用二次 数的基本性质可求得PE·PF的最大值 【】题议以-字国心刘o,牛轻长时 设点Px,y,则x2=2-2y2且-1≤y≤1， PE-PN+NE,PF-PN+NF-PN-NE, 所u所-所=成+-wt=P-父-月 2-2ryy2=*是 所以，当y=- ,酝·P下取最大伯：句P心-P序号 故答案为：呈 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值： 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、 函数的单调性或三角函数的有界性等求最值， 20120