重难专题06 椭圆（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题06 椭圆 常考题型·精准突破 考点一 ：椭圆概念及定义应用 题型1 椭圆的概念及定义应用（重） 题型2 方程为椭圆满足的条件（高频） 考点二：椭圆的焦点三角形 题型1 椭圆焦点三角形的应用（高频） 考点三：椭圆的方程 题型1 求椭圆的标准方程（高频） 题型2 椭圆的轨迹方程（难） 考点四：椭圆的最值问题 题型1 坐标法（参数方程）求椭圆的最值（难） 题型2 几何法求椭圆最值（高频） 考点五：椭圆离心率 题型1 求椭圆离心率（高频） 题型2 求椭圆的离心率取值范围（难） 考点六：直线与椭圆的位置关系 题型1 直线与椭圆的关系求参或弦长（难） 题型2 椭圆的中点弦问题（难） 题型3 椭圆的焦点弦 考点三：椭圆的定点、定值和最值 题型1 椭圆的定点、定值和最值（难、高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 椭圆概念及定义应用 题型1 椭圆的概念及定义应用 1．（多选）下列说法中正确的是（   ） A．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 2．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知点，满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 4．已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 5．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D． 6．已知椭圆的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为____________． 题型2 方程为椭圆满足的条件 8．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．命题，命题方程表示椭圆，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知曲线C：，下列说法正确的是（   ） A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 11．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 12．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 椭圆的焦点三角形 题型1 椭圆焦点三角形的应用 13．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 14．在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．存在点使得 C．满足的点有且只有4个 D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为 15．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 16．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 17．（多选）已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则的面积为 18．（多选）已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在4个点，使得 D．的最小值为 19．已知为椭圆上一点，分别为左、右焦点．若，则________，________． 考点三 椭圆的方程 题型1 求椭圆的标准方程 20．设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 21．已知为坐标原点，椭圆的焦距为，点在椭圆上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 22．已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 23．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 24．已知椭圆C的焦点为、，若C上存在点P满足：，且（O为坐标原点），则C的方程为（    ） A． B． C． D． 题型2 椭圆的轨迹方程 25．已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 26．已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 27．（多选）在直角坐标系中，点为动点，，记的轨迹为为的上顶点，则（    ） A．的方程为 B． C． D． 28．已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 29．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 考点四 椭圆的最值问题 题型1 坐标法（参数方程）求椭圆的最值 30．已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 31．已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（    ） A． B．13 C． D． 33．已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 题型2 几何法求椭圆最值 34．已知点P在椭圆上，，，则的最大值是（   ） A．4 B． C． D．6 35．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 36．已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 38．设实数满足的最小值为_____. 考点五 椭圆离心率 题型1 求椭圆离心率 39．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 40．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 41．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 42．设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 43．已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 44．已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于两点，若，点M到直线l的距离为，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 45．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 46．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 47．设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 题型2 求椭圆的离心率取值范围 48．椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 49．已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．设椭圆的左､右焦点分别为，且点与抛物线的焦点重合，点在的外部，点是上的动点，满足恒成立，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（） A． B． C． D． 52．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点六 直线与椭圆的位置关系 题型1 直线与椭圆的关系求参或弦长 53．直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 54．椭圆，直线与椭圆交于两点，则（   ） A． B．中点轨迹为 C．若，则 D．最大值为 55．已知直线与椭圆交于，两点，以弦为直径的圆恰好过原点，此时直线的方程为（  ） A． B． C．或 D． 56．已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 57．已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 58．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型2 椭圆的中点弦问题 59．已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 60．已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 61．已知椭圆：，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 62．若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则C的短轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 63．（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为为上一动点，过点的直线与交于两点，且为的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．点不可能在以为直径的圆内 B．若，则 C．直线的方程为 D．存在点，使得四边形为平行四边形 题型3 椭圆的焦点弦问题 64．（多选）已知椭圆，、分别为的左、右焦点，、为上两个动点，则（    ） A．若，则的周长为 B．若，直线过点，且线段的中点为，则的短轴长为 C．若，，且，则的离心率为 D．若为的下顶点，，则的离心率的取值范围是 65．已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 66．已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则_______；若，则_______． 67．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则______． 考点七 椭圆的定点、定值和最值 题型1 椭圆的定点、定值和最值 68．已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆交于两点，点不在上，直线，的斜率分别为，．若， （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为点．当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 69．已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为1． (1)求椭圆的离心率； (2)过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，． （ⅰ）证明直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 70．已知椭圆过点，离心率为. (1)求的标准方程； (2)设，，不垂直于轴的直线交于，两点（，，不共线），且. （i）判断直线是否过定点? 若是，求出定点；若不是，请说明理由； （ii）设与的面积分别为，求的最大值. 71．已知椭圆的离心率，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 72．已知椭圆的一个焦点为，短轴长是． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与轴交于点，过点的直线与椭圆交于，两点． （i）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：； （ii）过点作直线的垂线交直线于点，求面积的最小值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知锐角α满足，椭圆，的离心率分别为，．若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知点满足方程，，设点的轨迹为曲线，过原点的直线与曲线交于，两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左右焦点分别为，，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，的重心为G，内心为I，且有（为实数），斜率为1的直线经过，且与圆相切，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 二、多选题 6．设，为椭圆：（）的两个焦点，为的上顶点，点在上，以下选项正确的有（ ） A．若，则 B．若，则的最大值为2 C．若存在点满足，则的离心率的取值范围是 D．若任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 7．已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 8．已知椭圆C：()的左、右焦点分别为，，离心率，P是C上一动点，且的周长为6，直线l与C交于A，B两点(异于点P)，则下列说法正确的有(   ) A．若点P到直线的距离为3，则 B．若的中点M的坐标为，则直线l的方程为 C．若A，B关于原点对称，直线，的斜率分别为，，则 D．记的中点为N，则点N的轨迹方程为 三、填空题 9．如图，已知椭圆的左、右焦点分别是，，点与椭圆的焦点不重合，分别延长，到点，，使得，，是椭圆上一点，延长到点，使得，则______．    10．椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 11．已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，．若上存在一点，使得，且的内切圆半径，则的离心率_________． 13．设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 四、解答题 14．过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为0的动直线与相交于，两点，的中点为， （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）求面积的最大值． 15．已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 椭圆 常考题型·精准突破 考点一 椭圆概念及定义应用 题型1 椭圆的概念及定义应用 1．【答案】AD 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】 题型2 方程为椭圆满足的条件 8．【答案】C 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】C 考点二 椭圆的焦点三角形 题型1 椭圆焦点三角形的应用 13．【答案】C 14．【答案】C 15．【答案】D 16．【答案】BCD 17．【答案】BC 18．【答案】ABD 19．【答案】 / / 考点三 椭圆的方程 题型1 求椭圆的标准方程 20．【答案】B 21．【答案】A 22．【答案】C 23．【答案】D 24．【答案】B 题型2 椭圆的轨迹方程 25．【答案】C 26．【答案】D 27．【答案】BD 28．【答案】B 29．【答案】 考点四 椭圆的最值问题 题型1 坐标法（参数方程）求椭圆的最值 30． 【答案】A 31．【答案】A 32．【答案】C 33．【答案】C 题型2 几何法求椭圆最值 34．【答案】C 35．【答案】C 36．【答案】B 37．【答案】BD 38．【答案】 考点五 椭圆离心率 题型1 求椭圆离心率 39．【答案】C 40．【答案】C 41．【答案】A 42．【答案】D 43．【答案】C 44．【答案】D 45．【答案】A 46．【答案】D 47．【答案】B 题型2 求椭圆的离心率取值范围 48．【答案】D 49．【答案】B 50．【答案】D 51．【答案】C 52．【答案】A 考点六 直线与椭圆的位置关系 题型1 直线与椭圆的关系求参或弦长 53．【答案】A 54.【答案】A 55．【答案】C 56．【答案】B 57．【答案】C 58．【答案】B 题型2 椭圆的中点弦问题 59．【答案】 60．【答案】A 61．【答案】B 62．【答案】C 63．【答案】ACD 题型3 椭圆的焦点弦 64．【答案】ACD 65．【答案】/ 66．【答案】 67．【答案】3 考点七 椭圆的定点、定值和最值 题型1 椭圆的定点、定值和最值 68．【答案】(1) (2)（i）证明：由（1）得：, 当直线的斜率不存在时，易知直线，的斜率同号，不合题意； 所以直线的斜率存在，设直线． 联立，消去得：． 则，化简得：． 设，，由韦达定理得：，． 因为，则． 代入，，得：． 展开整理得：， 将韦达定理代入，化简得：． 解得（舍去，直线过点）或． 故直线方程为，恒过定点． （ii） 69．【答案】(1) (2)（ⅰ）由（1）．设，，设切线的方程为， 联立整理得， 由，得， 因为在椭圆上，所以，则，则， 所以过与相切的直线方程为，即的方程为， 同理的方程为， 又因为，都经过点，所以， 显然，在直线上，即直线方程为，所以直线过定点. （ⅱ） 70．【答案】(1)(2)（i）直线过定点，定点为；（ii） 71．【答案】(1)(2)（i）由（1）知，所以右焦点， 设过点的直线方程为（），交椭圆于， 将直线方程代入椭圆方程， 得，化简得， 由判别式，得 ， 根据韦达定理， 直线的斜率分别为， 因为， 所以， 分子为，所以为定值； （ii） 72．【答案】(1)(2)（i）解法一：当直线与轴不重合时， 设直线的方程为，， 由得， 恒成立， ，， 所以， ， ， 当直线与轴重合时，显然，所以， 综上所述． 解法二：当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 由得， 恒成立， ，， 所以， ， ， 当直线与轴垂直时，显然，所以， 综上所述． （ii） 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 二、多选题 6．【答案】ABD 7．【答案】ABD 8．【答案】AB 三、填空题 9．【答案】12 10．【答案】6 11．【答案】 12．【答案】/ 13．【答案】 四、解答题 14．【答案】(1) (2)（i）由题可设，，． 联立，消去整理得， ，即， 所以，， 所以，则， 又为的中点，故， 所以直线的斜率， 显然，所以直线的斜率为， 故直线与的斜率之积为（定值）． （ii） 15．【答案】(1) (2)（ⅰ）由已知，设过的直线方程为， 设，，， 联立，化简得， 由韦达定理得，； 直线的斜率，故 ， 根据对称性可知直线恒过定点位于轴上， 令，并代入，， 化简得， 因此直线恒过轴上的定点； （ⅱ） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 椭圆 常考题型·精准突破 考点一 ：椭圆概念及定义应用 题型1 椭圆的概念及定义应用（重） 题型2 方程为椭圆满足的条件（高频） 考点二：椭圆的焦点三角形 题型1 椭圆焦点三角形的应用（高频） 考点三：椭圆的方程 题型1 求椭圆的标准方程（高频） 题型2 椭圆的轨迹方程（难） 考点四：椭圆的最值问题 题型1 坐标法（参数方程）求椭圆的最值（难） 题型2 几何法求椭圆最值（高频） 考点五：椭圆离心率 题型1 求椭圆离心率（高频） 题型2 求椭圆的离心率取值范围（难） 考点六：直线与椭圆的位置关系 题型1 直线与椭圆的关系求参或弦长（难） 题型2 椭圆的中点弦问题（难） 题型3 椭圆的焦点弦 考点三：椭圆的定点、定值和最值 题型1 椭圆的定点、定值和最值（难、高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 椭圆概念及定义应用 题型1 椭圆的概念及定义应用 1．下列说法中正确的是（   ） A．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义逐项分析点的轨迹. 【详解】待求轨迹的点记为， A：因为，所以的轨迹是线段，故正确； B：因为，此时的轨迹不存在，故错误； C：因为，所以的轨迹是线段的垂直平分线，故错误； D：因为，所以， 所以的轨迹是以为焦点的椭圆，故正确； 故选：AD. 2．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 3．已知点，满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【分析】令，，则，再分、且两种情况讨论，结合椭圆的定义即可得解. 【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立， 又， 即， 令，，则，， 即， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当且时，，此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆． 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D． 4．已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义结合条件即得. 【详解】椭圆，，，， 设，，则， ，， ， ， ，即． 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】首先根据椭圆的性质和三角形顶点的坐标得出三角形边的关系，然后利用正弦定理将三角函数的比值转化为边的比值进行计算. 【详解】在中，顶点，，所以的长度为. 因为顶点在椭圆上，所以. 根据正弦定理：. 则. 故选：A. 6．已知椭圆的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记椭圆的左焦点为，连接，利用中位线的性质求出，再利用椭圆的定义可求得. 【详解】记椭圆的左焦点为，连接， 又点是线段的中点，为的中点，所以， 又，所以， 在椭圆中，， 又点是上的一点，所以，所以． 故选：A． 7．已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为____________． 【答案】 【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，，依题意可得为等边三角形，从而得到直线过，再根据线段垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，， 依题意可得长半轴长，半焦距，且， 所以为等边三角形，则直线过， 所以 ，即的周长为. 故答案为： 题型2 方程为椭圆满足的条件 8．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆， 故，所以，即. 9．命题，命题方程表示椭圆，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求出命题的方程表示椭圆时的取值范围，再根据充分、必要条件的概念和判断规则进行分析判断． 【详解】，即， 方程表示椭圆等价于，解得. 当命题成立时，若，则命题不成立，不满足充分性； 当命题成立时，必满足，则命题成立，即，满足必要性； 是的必要不充分条件，故C正确． 故选：C． 10．已知曲线C：，下列说法正确的是（   ） A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 【答案】C 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义及标准方程判断即可. 【详解】选项A：由可得，. 因为，所以，所以椭圆焦点在轴上，A错误. 选项B：若，则方程可化为，则圆的半径为，B错误. 选项C：若，则和异号，符合双曲线的标准形式，C正确. 选项D：若，方程可化为，当时，，表示两条平行于轴的直线；当时，此时无实数解；故D错误. 故选：C. 11．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构特点求得范围，再结合基本不等式即可求解. 【详解】根据题意可得，解得. 令， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为5. 12．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 考点二 椭圆的焦点三角形 题型1 椭圆焦点三角形的应用 13．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 14．在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．存在点使得 C．满足的点有且只有4个 D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为 【答案】C 【分析】首先根据椭圆方程求，再根据椭圆的定义和性质，即可判断选项. 【详解】椭圆中，△F1PF2的周长，故A错误； 当∠F1PF2最大时此时P在椭圆短轴的端点，此时三角形为等腰三角形边长分别为2、2、此时，故B错误； 时，，由椭圆的对称性可知存在4个点，故C正确； 如果线段PF1的中点在y轴上时，设的中点为，此时是的中位线，轴，△F1PF2的面积，故D错误. 故选：C． 15．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得. ，， 则 . 16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】求出给定椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断即可. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，    对于A：的周长为，A错误； 对于B：设，，则，B正确； 对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交， 当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确； 对于D：，，D正确. 故选：BCD 17．已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则的面积为 【答案】BC 【分析】对于选项A，根据椭圆标准方程的要求，即可判断； 对于选项B，椭圆的焦点在轴上，根据椭圆的定义即可判断； 对于选项C，先求出椭圆方程，再结合椭圆的定义和性质，即可求解的周长； 对于选项D，先求出椭圆方程，结合椭圆的定义和性质，以及余弦定理，即可求解. 【详解】对于A选项，因为方程表示椭圆，所以且，故A错误； 对于B选项，椭圆的焦点在轴上，则，即， 又为椭圆上的点，根据椭圆定义，可得，故B正确； 对于C选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 所以周长为，根据椭圆的定义及性质， 可得，，所以周长为，故C正确； 对于D选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 根据椭圆的定义及性质，可得，， 又，在中，根据余弦定理可得， ， 即， 所以， 解得，与矛盾， 所以不存在，故D错误. 故选：BC 18．已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在4个点，使得 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的定义和几何性质，结合三角形周长计算判断A；根据椭圆的定义和余弦定理，结合三角形面积公式计算判断B；根据椭圆几何性质可以判断C；根据椭圆的定义和常数代换法求得式子的最值判断D. 【详解】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点， 则，，， 所以的周长为，A正确. 对于B，若，根据余弦定理可得 ， 可得，解得， 则的面积为，B正确. 对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大， 此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误. 对于D，因为， 所以 当且仅当，即时取等号， 的最小值是，D正确. 故选：ABD. 19．已知为椭圆上一点，分别为左、右焦点．若，则________，________． 【答案】 / / 【分析】解法1：依托椭圆定义与余弦定理处理焦点三角形，结合向量中线性质可同步求解夹角与点到原点的距离；解法2：坐标法的核心是将几何条件代数化，代入椭圆方程消元后即可解出点的坐标特征量；解法3：焦半径公式能直接建立横坐标与焦点距离的关系，是简化椭圆焦点类运算的常用技巧. 【详解】解法1：在中，由及余弦定理，得． ， ， 则． 解法2：设点的坐标为，不妨令，由题知， 则，将代入得，同理可得． 所以，解得，则，所以． 解法3：设，由椭圆方程得，离心率，由第二定义以及焦半径公式可得， 可得，所以． 考点三 椭圆的方程 题型1 求椭圆的标准方程 20．设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 21．已知为坐标原点，椭圆的焦距为，点在椭圆上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义可得，在、中分别利用正弦定理即可求出，从而得到，利用诱导公式求出，再在利用余弦定理表示出，即可求出，从而得解. 【详解】因为焦距为，即， 因为，又，所以，， 在中由正弦定理，即， 在中由正弦定理，即， 因为，所以， 所以，又，所以， 又，所以， 所以， 在中， 解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆的方程为. 故选：A    【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理推导出，从而得到，再在中利用余弦定理求出. 22．已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【详解】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 23．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由已知条件和椭圆定义表示出，，，由勾股定理求得与的关系，结合平行四边形的面积为12，求得答案. 【详解】如图，由，得， 由，得三点共线，连接，设， 则，，， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，化简得， 所以，即， 因为以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以， ，即，得， 所以，即的方程为. 24．已知椭圆C的焦点为、，若C上存在点P满足：，且（O为坐标原点），则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，设，在中，求得，再在中，利用余弦定理求出，进而可得出答案. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则， 由椭圆的定义可得， 因为，所以， 设，则， 在中，， 则， 在中，由余弦定理得， 即， 化简得， 所以，所以， 所以C的方程为. 故选：B.    【点睛】关键点点睛：根据题意把几何关系转化为数量关系是解决本题的关键. 题型2 椭圆的轨迹方程 25．已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的坐标为，直接利用斜率公式表示出关于，的方程，化简即得结论． 【详解】设，因为 由已知，可得， 化简整理可得， 所以动点的轨迹方程为． 26．已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，即，所以动点P的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点P的轨迹方程． 【详解】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 又∵圆C的方程为，半径， ∴，∴，即， ∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为，则，， ∴，，， ∴动点P的轨迹方程为. 故选：D 27．在直角坐标系中，点为动点，，记的轨迹为为的上顶点，则（    ） A．的方程为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】先求出轨迹方程判断A，根据距离公式可判断B，根据反例判断C，根据二次函数的性质判断D. 【详解】设（），由斜率公式得，， 所以，整理得（，）. 因为轨迹不包含，两点， 所以的方程不能写成的形式，A 错误； 由的方程知其上顶点为，所以，B 正确； 当 时，与重合. 直线 的斜率分别为 ， 则，而为三角形内角，故. 而​，C错误； ， 因为 在椭圆 上，所以 ， 故， 而或，所以即，D 正确. 28．已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 29．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 【答案】 【详解】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 设，则， 因为，所以，所以. 考点四 椭圆的最值问题 题型1 坐标法（参数方程）求椭圆的最值 30．已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用换元法，设，然后由两点间距离公式计算，结合二次函数和余弦函数的性质求得最小值． 【详解】设，则 ， 所以时，． 31．已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围. 【详解】设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为， 令， 要存在点使得，则的最大值必须大于， 由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于， 其对称轴必须在的右侧， 所以，解得， 故选：A 32．已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（    ） A． B．13 C． D． 【答案】C 【分析】设出点的坐标，再利用数量积的运算律及坐标表示，列出函数关系并求出最小值. 【详解】设椭圆上的点，而， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 33．已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 题型2 几何法求椭圆最值 34．已知点P在椭圆上，，，则的最大值是（   ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，将转换成到另一焦点的距离，再利用线段长度的临界位置进行求解. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为F，射线交椭圆于点C，射线交椭圆于点D， 则，等号在点P，D重合时取到． ，等号在点P，C重合时取到． 因而的最大值是，最小值是． 35．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 36．已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】椭圆的左焦点为，求出椭圆的两个焦点的坐标，根据椭圆定义得，结合得，根据几何关系求出的范围，从而可得到一个不等式组，进行求解可得m的一个范围；再根据A在椭圆内可得m的另外一个范围；综合两个范围即可得到答案． 【详解】设椭圆的左焦点为， 因，则，则，则，， 由椭圆的定义可知，，∴， ∴，∴， ∵， ∴，当三点共线时，等号成立， ∵椭圆上存在一点，使得， ∴，解得， 又∵点为椭圆内一点， ∴，解得或， 综上可得的取值范围为， 故选：B． 37．（多选）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 【答案】BD 【分析】确定，为C的两个焦点，由椭圆的定义结合圆外一点到圆的最值求解即可. 【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点， 由椭圆的定义知，，如图， 由Q为圆M上的动点，得，即， 则， 即，故的最小值为7，最大值为9. 38．设实数满足的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据题意，利用椭圆的定义，即可求代数式的最小值，得到答案. 【详解】设，则在椭圆上， 因为， 设，则为椭圆的右焦点， 如图所示，设椭圆的左焦点为， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 而，故的最小值为. 故答案为：. 考点五 椭圆离心率 题型1 求椭圆离心率 39．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由椭圆的定义及，结合勾股定理求参数m，进而由余弦定理构造椭圆基本量的齐次方程求离心率. 【详解】 设，椭圆的焦距为，则， 由，有，解得或（舍）， 故，，且， 在中，由余弦定理可得， 所以，故，. 40．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用椭圆的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可得出，再利用正弦定理得出，结合可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】设，，则① ， 在中，由及余弦定理可得，即② ， ①② 得，所以， 又， 又，因为，所以， 解得，故椭圆的离心率为. 41．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积之间的关系，结合椭圆的定义、椭圆离心率的公式进行求解即可. 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，， 在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 42．设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，在和中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 43．已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 44．已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于两点，若，点M到直线l的距离为，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用对称性构建平行四边形并结合椭圆的定义求出，接着利用点到直线的距离公式求出，最后代入离心率公式得出最终结果. 【详解】设椭圆E的左焦点为，连接， 因为直线过原点，所以其与椭圆的交点关于原点对称， 且焦点也关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 所以， ，所以，解得， 因为点M到直线l的距离为，不妨设， 则点M到直线l的距离为，解得， 所以， 故椭圆E的离心率为. 45．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率之积为，得出，再由直线的斜率为4，结合椭圆的定义，得，从而，再由，建立关于的等式求解. 【详解】因为直线的斜率之积为， 所以， 由直线的斜率为4，可知，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 46．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 47．设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 根据椭圆的定义，， 所以，当最小时，最大， 又当轴，即为椭圆通径时，最小，为， 此时，所以，所以， 所以，. 题型2 求椭圆的离心率取值范围 48．椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左顶点为,根据右焦点F在AP的垂直平分线上，知，得到，列出关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】设椭圆的左顶点为. 由题意，即以F为圆心，为半径画圆与椭圆有交点P，如图．只需 即即 两边除以得即 得，又， ． 49．已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义和题设等式求出焦半径，再结合椭圆中焦半径的范围，求解不等式即得离心率范围.． 【详解】由椭圆的定义，得， 又，联立解得， 因， 即 ,解得, 则离心率， 又，所以． 50．设椭圆的左､右焦点分别为，且点与抛物线的焦点重合，点在的外部，点是上的动点，满足恒成立，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的焦点为，所以的右焦点，左焦点， 因为点在的外部，所以，可得， 则的离心率， 因为点是上的动点，所以， 故恒成立可转换为恒成立， ，当且仅当点为射线与在第四象限的交点时取等号， 所以，故， 因此的离心率的取值范围是. 51．已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在中由正弦定理得外接圆半径，再用三角形面积两种表达式联立求出内切圆半径，把代入化简，约去sin得到含的等式，再利用椭圆焦半径乘积的取值范围构造不等式，转化为离心率的关系式，由二次式恒成立只需解右侧不等式，最终求得椭圆离心率范围为. 【详解】设，则，所以， 又， 所以，代入条件得， 设， 因为， 所以， 即，又，所以且， 所以． 52．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，易得为锐角，且；由正弦定理可得，进而求得；结合余弦函数性质得到；利用几何关系及二倍角公式求得，代入求得；结合可求得，即可求解. 【详解】记椭圆的上顶点为，，由，得，所以为锐角， 中，由正弦定理，知，所以， 易知，所以，且， 又， 所以，解得或（舍去）. 又，故，所以， 综上，椭圆的离心率的取值范围是. 考点六 直线与椭圆的位置关系 题型1 直线与椭圆的关系求参或弦长 53．直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】直线恒过定点，直线与椭圆恒有交点等价于定点在椭圆内部或椭圆上，将点代入椭圆不等式求出，再结合椭圆标准方程要求分母不相等，补充，得到取值范围． 【详解】直线恒过，要直线与椭圆总有交点， 所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，解得， 又椭圆中，所以且． 54．椭圆，直线与椭圆交于两点，则（   ） A． B．中点轨迹为 C．若，则 D．最大值为 【答案】A 【详解】设，由可得， 故且， 故，故A正确. 又， 故中点的坐标为，故中点轨迹为， 其中，故B错误. 因为，故，故， 整理得，所以， 解得，故C错误. ，当且仅当时等号成立， 故，故D错误. 55．已知直线与椭圆交于，两点，以弦为直径的圆恰好过原点，此时直线的方程为（  ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】联立直线和椭圆方程，利用韦达定理以及得出的值，进而得出直线的方程． 【详解】由，得 设，则①，② 由题意可知，所以，即 因为在直线l上，所以 所以，即③ 将①②代入③中，得，解得 所以直线l的方程为或. 56．已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. 57．已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论. 【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 由椭圆的定义可得，， 所以的周长为， 又，所以，当且仅当在线段上时取等号， 所以当直线过点时，的周长最大， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，消可得，所以或， 所以， 所以当的周长最大时，， 故选：C.    58．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 题型2 椭圆的中点弦问题 59．已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 【答案】 【分析】根据直线斜率和中点坐标公式，利用点差法可得，再结合的关系可得，进而求解即可. 【详解】设，有， 两式相减得，则， 即， 又因为弦的中点坐标为，直线的斜率为， 所以，则，即， 则，即，则，所以. 60．已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用点差法，设弦两端点坐标代入椭圆方程作差，利用中点坐标求出弦所在直线斜率，再用点斜式写出直线方程并化简． 【详解】设以为中点的弦为，，， ①，②， ①②得， 化简得， 因为，， 所以弦所在直线的斜率， 所以弦所在直线方程为，即． 61．已知椭圆：，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，的坐标，利用点差法及直线斜率、中点，得到与的关系，结合得到与的关系，代入离心率公式求解即可. 【详解】设，，则，，. 因为点，在椭圆上，所以，. 所以， 所以，即. 又，所以. 又椭圆的离心率，所以. 62．若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则C的短轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用点差法，求出的值，即可求得椭圆C的短轴长. 【详解】设，，则，， 两式相减得，即， 因为线段AB的中点为，所以，，又， 代入，解得，则有，所以椭圆C的短轴长为． 故选：C. 63．已知椭圆的左､右焦点分别为为上一动点，过点的直线与交于两点，且为的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．点不可能在以为直径的圆内 B．若，则 C．直线的方程为 D．存在点，使得四边形为平行四边形 【答案】ACD 【分析】求出以为直径的圆的方程，再由点在椭圆上可得点不可能在圆内，A正确，由椭圆定义可得解得,再利用余弦定理计算可得B错误，利用点差法代入点的坐标求出，可知C正确，分别求出弦长，再根据平行四边形性质可得出存在点满足，且，可得D正确. 【详解】对于A，由题意知，所以， 以为直径的圆的方程为, 又在椭圆上，满足，即， 代入圆的方程左边，当且仅当时取等号， 所以点不可能在以为直径的圆内，A正确， 对于B，易知，又，解得, 又,则,B错误， 对于C，设，因为是的中点，所以， 由，两式相减得 代入得， 变形得,则直线的方程为，即,C正确， 对于D，联立，整理可得, 可得，所以， 假设存在点，使得四边形为平行四边形，可知， 即直线方程为，代入椭圆方程可得， 因此， 即可知，且，因此四边形为平行四边形，即D正确. 故选：ACD 题型3 椭圆的焦点弦问题 64．已知椭圆，、分别为的左、右焦点，、为上两个动点，则（    ） A．若，则的周长为 B．若，直线过点，且线段的中点为，则的短轴长为 C．若，，且，则的离心率为 D．若为的下顶点，，则的离心率的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用椭圆的定义可判断A选项；利用点差法可判断B选项；利用余弦定理结合椭圆的离心率公式可判断C选项；利用平面内两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则直线过点， 所以的周长为，A对； 对于B选项，设点、， 若直线轴，则线段的中点在轴上，不符合题意，所以直线的斜率存在， 由题意可得，可得， 由作差得， 所以，即，即， 又因为直线过点和，所以， 因为，所以，且，解得，， 故该椭圆的短轴长为，B错； 对于C选项，因为，不妨设，则，所以， 故，所以， 由余弦定理可得， 由余弦定理可得， 所以，故该椭圆的离心率为，C对； 对于D选项，设点，则，易知点， 因为 ，当且仅当时，等号成立， 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 当时，函数在处取最大值，所以，即，即， 故，故该椭圆的离心率为，又因为，故， 因此椭圆的离心率的取值范围是，D对. 故选：ACD 65．已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 【答案】/ 【分析】分别讨论直线的斜率是否为0，结合椭圆的焦半径公式求解即可. 【详解】当直线与轴重合时，与中一个为，另一个为， 所以． 当直线不与轴重合时，设直线的倾斜角为，则， 不妨设在轴上方，则， 所以．综上，．    66．已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则_______；若，则_______． 【答案】 【分析】求出F坐标，写出直线l的方程，联立直线l方程和椭圆方程，解出A和B的坐标，利用弦长公式或两点间距离公式即可计算，本题也可利用其特殊的几何关系简化计算． 【详解】， ∵， ∴过F且倾斜角为的直线l过椭圆的上顶点，当时，如图： ， 直线l的方程为， 由得，解得， ， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 67．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则______． 【答案】3 【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果. 【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. 考点七 椭圆的定点、定值和最值 题型1 椭圆的定点、定值和最值 68．已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆交于两点，点不在上，直线，的斜率分别为，．若， （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为点．当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 【答案】(1) (2)（i）证明：由（1）得：, 当直线的斜率不存在时，易知直线，的斜率同号，不合题意； 所以直线的斜率存在，设直线． 联立，消去得：． 则，化简得：． 设，，由韦达定理得：，． 因为，则． 代入，，得：． 展开整理得：， 将韦达定理代入，化简得：． 解得（舍去，直线过点）或． 故直线方程为，恒过定点． （ii） 【分析】（1）由短轴长得，离心率，结合求出，得标准方程； （2）（ⅰ）设，联立椭圆得韦达定理，由代入化简，得，解得，故直线恒过定点； （ⅱ）中固定，面积最大等价于到距离最大，即为椭圆左右顶点，由 求斜率，得的斜率为. 【详解】（1）由离心率，得．又短轴长为，故． 由，代入得：，故． 所以椭圆的标准方程：． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，直线可写为 点到直线的垂足为． 当时，在轴上显然不合，则． 由于，直线的方程为 与联立，得所以 因为，且在轴上，所以 由得 当且仅当时取等号． 因此，当面积取得最大值时，直线的斜率为 69．已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为1． (1)求椭圆的离心率； (2)过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，． （ⅰ）证明直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）由（1）．设，，设切线的方程为， 联立整理得， 由，得， 因为在椭圆上，所以，则，则， 所以过与相切的直线方程为，即的方程为， 同理的方程为， 又因为，都经过点，所以， 显然，在直线上，即直线方程为，所以直线过定点. （ⅱ） 【分析】（1）利用椭圆通径公式求出基本量，计算离心率； （2）（i）借助切点处切线方程，利用点在两条切线上，得到切点弦的直线方程，证明直线过定点； （ii）将三角形面积表达为参数t的函数，通过换元，结合对勾函数性质求解面积的最大值. 【详解】（1）此椭圆，过焦点垂直于轴的弦即通径， 长为，得，，故． （2）（i）略 （ii）联立直线与椭圆方程得． ，. ， 设，原式 ， 所以当即，点，切线，关于轴对称时， 取最大值为． 【点睛】本题重点考查椭圆切点弦（极线）模型，利用切点切线方程快速写出切点弦直线，是简化运算的关键.定点问题需整理直线方程分离参数；面积借助根与系数的关系表示，换元后利用对勾函数求最值.注意换元后变量的取值范围，避免最值误判. 70．已知椭圆过点，离心率为. (1)求的标准方程； (2)设，，不垂直于轴的直线交于，两点（，，不共线），且. （i）判断直线是否过定点? 若是，求出定点；若不是，请说明理由； （ii）设与的面积分别为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）直线过定点，定点为；（ii） 【分析】1）根据椭圆的顶点和离心率列式求，即可得椭圆标准方程； （2）（i）设直线，，，且，与椭圆方程联立可得韦达定理，由题意可得，结合韦达定理可得，即可得定点；（ii）利用韦达定理可得，换元结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）由题意可设直线，，，且， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 可得，， 因为，则，即， 可得，整理可得， 即，且，可得，解得， 满足，符合题意， 所以直线过定点. （ii）由（i）可知：，， 则， 可得，， 则， 令，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为. 71．已知椭圆的离心率，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）由（1）知，所以右焦点， 设过点的直线方程为（），交椭圆于， 将直线方程代入椭圆方程， 得，化简得， 由判别式，得 ， 根据韦达定理， 直线的斜率分别为， 因为， 所以， 分子为，所以为定值； （ii） 【分析】（1）根据离心率可得的关系，将点代入椭圆方程，结合求出即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）由（1）可知右焦点，设直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示交点的坐标关系，再计算斜率和，即可得证； （ii）三角形面积可以表示为，其中，利用韦达定理将用表示，通过换元求最值. 【详解】（1）由离心率，得， 所以，即， 将点代入椭圆方程，得， 将代入上式，得， 从而， 所以椭圆 的标准方程为. （2）（i）略； （ii）由于 在轴上，，直线过点，如图所示， 的面积为， ， 令，则，，， 由基本不等式，当且仅当（即）时取等号， 此时， 所以面积的最大值为. 72．已知椭圆的一个焦点为，短轴长是． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与轴交于点，过点的直线与椭圆交于，两点． （i）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：； （ii）过点作直线的垂线交直线于点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）解法一：当直线与轴不重合时， 设直线的方程为，， 由得， 恒成立， ，， 所以， ， ， 当直线与轴重合时，显然，所以， 综上所述． 解法二：当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 由得， 恒成立， ，， 所以， ， ， 当直线与轴垂直时，显然，所以， 综上所述． （ii） 【分析】（1）由焦点得到，由短轴长得到，利用椭圆的性质得到，进而求出椭圆方程； （2）（i）方法一：设直线的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理代入计算得出；方法二：分直线斜率存在和不存在两种情况，联立椭圆方程，利用韦达定理代入计算得出；（ii）方法一：由弦长公式求出，由垂直关系结合求出点，进而得出，由面积公式整理得出关于的函数，通过换元法求出面积最小值；方法二：分直线斜率存在和不存在两种情况求出，进而求出有最小值，利用面积公式求出面积最小值． 【详解】（1）由题意得，，所以 则椭圆的标准方程是． （2）（i）略 （ii）解法一： ， 直线，则， ， ， 令，则， 则， 在单调递增且， 在单调递增， 当，即时有最小值； 解法二：当直线的斜率存在时， ， 令，则因此， 令则于是， 函数，显然单调递增，所以， 当直线的斜率不存在时，可得，，此时， 综上所述，当直线的斜率不存在时有最小值， 又因为当直线的斜率不存在时与重合有最小值， 此时， 所以的最小值为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知锐角α满足，椭圆，的离心率分别为，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的离心率结合标准方程得出，再应用两角和正切计算求解. 【详解】由，得，解得， 所以，即， 解得或． 因为为锐角，所以，故． 2．已知点满足方程，，设点的轨迹为曲线，过原点的直线与曲线交于，两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，即到两定点距离之和为8， 是椭圆，其中，，， 椭圆方程为， 已知过原点的直线与曲线交于，两点，则，关于原点对称， ， 已知，则，， 因为，则， 位于椭圆上，则，解得， 故． 3．椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，设， 则·， 所以椭圆的离心率=. 4．已知椭圆的左右焦点分别为，，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，的重心为G，内心为I，且有（为实数），斜率为1的直线经过，且与圆相切，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，表达出的纵坐标为，结合椭圆定义可用两种方法表达出的面积，从而得到方程，求出，根据直线和圆的位置关系得到方程，求出，进而得到，得到椭圆方程 【详解】由题意得，设，， 因为的重心为G，所以， 因为，则，所以的纵坐标为， 又因为，， 所以， 因为为的内心，所以为的内切圆的半径， 则， 故，所以，即， 斜率为1的直线经过，故直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以，解得， 所以，， 故椭圆的方程为. 5．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． 二、多选题 6．设，为椭圆：（）的两个焦点，为的上顶点，点在上，以下选项正确的有（ ） A．若，则 B．若，则的最大值为2 C．若存在点满足，则的离心率的取值范围是 D．若任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 【答案】ABD 【详解】选项A，当时，，可知，所以A正确； 选项B，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，即在上下两个顶点时，取得最大值为2，所以B正确； 选项C，因为，所以即，椭圆上点对焦点的最大张角在短轴顶点处，故需， 可知，所以， 即，得，所以，离心率， 由可知，所以C错误， 选项D，设，则，，是开口向下的二次函数，对称轴， 若，对称轴，函数在单调递减，在处取得最大值，，满足； 若，对称轴，最大值在对称轴处取得，， 令，则，不满足条件， 所以，，即，所以D正确. 7．已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 【答案】ABD 【分析】A选项，利用焦点三角形边长关系可得的周长；B选项，当直线垂直于轴时，可以将横坐标代入椭圆方程，得到纵坐标，从而得到；C选项，利用，，可得，，分别在和中，计算，可得，从而得到离心率；D选项假设存在满足条件的点，可求得即可. 【详解】对于选项A，的周长，故A正确； 对于选项B，当直线垂直于轴时，将代入，得，，故B正确； 对于选项C，，，， ，，，，. 在中， 在中，，得， ，，故C错误； 对于选项D，假设存在满足条件的点，过点向圆引两条切线，设切点为和， 因为，，，， 所以四边形为正方形，所以. 所以当时，椭圆上存在点满足题意，故D正确． 8．已知椭圆C：()的左、右焦点分别为，，离心率，P是C上一动点，且的周长为6，直线l与C交于A，B两点(异于点P)，则下列说法正确的有(   ) A．若点P到直线的距离为3，则 B．若的中点M的坐标为，则直线l的方程为 C．若A，B关于原点对称，直线，的斜率分别为，，则 D．记的中点为N，则点N的轨迹方程为 【答案】AB 【分析】先根据已知条件求出椭圆方程，再分别利用椭圆的第二定义、点差法(对称点)、中点坐标代入法逐一验证选项. 【详解】由离心率及的周长为6，得，， 解得，，，椭圆方程为. 对于选项A，椭圆右准线为，由点到直线的距离为3，得的横坐标为1. 将代入椭圆方程，得，即. 所以，故A正确. 对于选项B，设，，代入椭圆方程得，， 两式相减得. 由中点，得，，代入得直线斜率， 故直线方程为，即，故B正确. 对于选项C，设，，则，斜率， ，故.由椭圆方程得，， 代入化简得，故C错误. 对于选项D，设，而，则， 代入椭圆方程得，整理得，故D错误. 三、填空题 9．如图，已知椭圆的左、右焦点分别是，，点与椭圆的焦点不重合，分别延长，到点，，使得，，是椭圆上一点，延长到点，使得，则______．    【答案】12 【分析】利用椭圆的第一定义和三角形中的相似比，将转化为椭圆上的点到两焦点的距离之和． 【详解】如图，连接，，    因为，即，得， 所以，又，，故，， 所以. 故答案为：12 10．椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 【答案】6 【分析】先根据离心率以及得到的倍数关系，然后化简椭圆方程并联立直线与椭圆方程，利用韦达定理形式结合弦长公式表示出，由此求解出的值. 【详解】因为，所以，所以，， 所以椭圆方程为，设， 联立直线与椭圆方程得，消去y得， 所以， 由，得， 由弦长公式得：， 所以解得，满足，所以. 11．已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______． 【答案】 【分析】先根据直线经过左焦点，求出，再根据椭圆定义结合的周长为8，求出，进而求出椭圆的标准方程；联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，根据弦长公式即可求出弦长. 【详解】设左焦点为，又直线经过左焦点，则， 因为的周长为8，由椭圆定义可得，所以，又， 所以，因此椭圆标准方程为，设， 联立方程，化简得，则， 根据弦长公式可得. 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，．若上存在一点，使得，且的内切圆半径，则的离心率_________． 【答案】/ 【分析】设，根据条件，利用椭圆的定义得到，进而可得，再利用，可得，即可求解. 【详解】设，则①，因为，则②， 由①②可得， 又的内切圆半径，则， 所以，得到，又， 所以，整理得到， 所以或（舍），则的离心率. 13．设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意，点在椭圆上可得，则，求出的取值范围后即可得解. 【详解】P为椭圆的下顶点，四边形为平行四边形， 在y轴上，，且M，N关于x轴对称， 因为的倾斜角，所以点在第一象限， 可设点， 由点在椭圆上可得，解得， 直线的倾斜角， ，即， 但，，即. 四、解答题 14．过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为0的动直线与相交于，两点，的中点为， （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）由题可设，，． 联立，消去整理得， ，即， 所以，， 所以，则， 又为的中点，故， 所以直线的斜率， 显然，所以直线的斜率为， 故直线与的斜率之积为（定值）． （ii） 【分析】（1）先设，，得到的坐标，再根据向量的线性运算即可得到动点的轨迹的方程； （2）（i）先设出，，，再联立的方程，从而得到关于的一元二次方程，再根据得到的取值范围，再根据韦达定理得到点的坐标，从而得到直线的斜率和直线的斜率为，进而求积即可证明；（ii）结合（i）及求出，再根据点到直线的距离公式即可得到点到直线的距离，从而根据三角形的面积公式及基本不等式即可求出面积的最大值． 【详解】（1）设，，则， 所以，， 又，所以， 即，解得， 又点在圆上，所以， 故动点的轨迹的方程为． （2）（i）略 （ii）由（i）可知， 又点到直线的距离， 所以， 令，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，符合题意． 故面积的最大值为． 15．已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）由已知，设过的直线方程为， 设，，， 联立，化简得， 由韦达定理得，； 直线的斜率，故 ， 根据对称性可知直线恒过定点位于轴上， 令，并代入，， 化简得， 因此直线恒过轴上的定点； （ⅱ） 【分析】（1）根据焦距和离心率联立方程组求解即可； （2）（ⅰ）设出直线方程和点坐标，根据对称性可知恒过定点位于轴，再令，结合韦达定理即可求出点坐标； （ⅱ）根据题意列出面积表达式，再结合韦达定理即可求出，从而求出直线方程. 【详解】（1）由已知，焦距为，得； 离心率，代入，得； 由，得， 因此椭圆的标准方程为； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）由可知， 的面积； 的面积； 由题意，得，结合，可知， 将代入韦达定理得， 化简得 解得，即， 因此直线的方程为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $