专题06 统计与概率（学考真题汇编，浙江专用）2027年高中数学

专题06 统计与概率 3类高频考点 目 录 ✅考点一 用样本估计总体、样本特征 ✅考点二 古典概型的概率 ✅考点三 事件的关系及概率的计算 考点一 用样本估计总体、样本特征（共7题） 1．（2025·浙江·学业水平考试）已知一组样本数据为“2，2，3，5，6，7，8”，该样本数据的中位数是（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由中位数定义求解. 【详解】样本数据共7个，由中位数定义可知，从小到大，选择第4个数为作为中位数，即5. 故选：B 2．（2023·浙江·学业水平考试）（多选）给定数6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则这组数据的（    ） A．中位数为5 B．方差为 C．平均数为5 D．85%分位数为8 【答案】ACD 【分析】将数据从小到大排列，再求出平均数、中位数、方差及第分位数. 【详解】将数6，4，3，6，3，8，8，3，1，8按小到大的顺序排列为： 1,3,3,3,4,6,6,8,8,8则这组数据的中位数为，故A正确； 平均数为：，故C正确； 则方差为，故B错误； 因为，所以第分位数是从小到大第9个数字为，故D正确， 故选：ACD 3．（2025·浙江·学业水平考试）某校抽取了100名学生的体育考试的分数，某同学用频率分布直方图表示出来（如图所示），则可以得出分数在区间的人数为________． 【答案】25 【分析】由频率分布直方图可得x，据此可得答案. 【详解】由图，则. 从而分数在区间的人数为. 故答案为： 4．（2024·浙江·学业水平考试）对某小区抽取100户居民的用电量进行调查，得到如下数据    (1)求的值； (2)已知该小区的居民有800户，则用电量在150以下的有多少户； (3)求第50百分位数． 【答案】(1) (2)200 (3)200 【分析】（1）根据频率和为1列式求解即可； （2）先求用电量在150以下的频率，进而可得结果； （3）根据题意结合百分位数的定义运算求解. 【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得. （2）由题意可知：用电量在150以下的频率为， 所以用电量在150以下的有户. （3）因为，所以第50百分位数为200. 5．（2023·浙江·学业水平考试）人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用． 某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表． ”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． (1)求图中的值并且估计该用户红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）； (2)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 【答案】(1)，估计该用户红灯等待时间的第60百分位数约为82.1 (2)7次 【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解，先确认频率分布直方图中频率为0.6的位置，再结合百分位数定义求解即可. （2）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解. 【详解】（1）因为各组频率之和为1，组距为10， 所以， 解得. 因为，， 所以第60百分位数位于第三组中， 设第60百分位数为x，则， 解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为82.1. （2）由题红灯等待时间低于85秒的频率为， 故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次. 6．（2026·浙江·学业水平考试）某样本的频率分布直方图中，数据为连续分组区间． (1)求直方图中参数a的值； (2)估计样本数据的中位数； (3)估计样本数据的平均数． 【答案】(1) (2) 中位数为 (3) 平均数为 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1列方程求解即可. （2）判断中位数所在区间，列方程求解即可. （3）根据用频率分布直方图估计样本数据的平均数公式求解即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，得 ， 化简得，解得. （2）第一组频率， 前两组累计频率， 故中位数在区间内. 设中位数为，则， 解得. （3）各组中点依次为3,7,11,15,19,23， 对应频率依次为， 因此平均数为 . 7．（2022·浙江·学业水平考试）在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，画出频率分布直方图如图所示. (1)求第三组的频率； (2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数. 【答案】(1) (2)平均值为，第25百分位数为 【分析】（1）利用频率分布直方图求解； （2）利用平均数和第25百分位数的定义求解. 【详解】（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为. （2）平均值， 因为，， 所以第25百分位数为. 考点二 古典概型的概率（共5题） 1．（2026·浙江·学业水平考试）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标注数字），则向上一面点数为1的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛掷一次时，这六个数字中的任何一个朝上的可能性都是相等的， 因此，总共有6种等可能的结果， 所以所求概率为. 2．（2022·浙江·学业水平考试）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型直接求得即可. 【详解】5个大小质地完全相同的球，黄球有3个，则随机摸出1个球，有5种方法，摸到黄球有3种方法， 所以摸到黄球的概率为. 故选：C. 3．（2024·浙江·学业水平考试）6个球中，2红4黄，求随机摸到一个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，6个球中，2红4黄， 根据古典摡型的概率计算公式，可得随机摸到一个红球的概率为. 故选：B. 4．（2023·浙江·学业水平考试）从集合中任取两个数，则这两个数的和不小于的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从集合中任取两个数所有可能结果有、、、 、、、、、、共个， 其中满足两个数的和不小于的有、、、、、、、共个， 所以这两个数的和不小于的概率. 故选：C 5．（2023·浙江·学业水平考试）一个袋中有6个大小形状完全相同的小球，其中黄色球有4个，红色球有2个，现在从中取出2个小球，则2个小球恰好一个红色一个黄色的概率为__________. 【答案】 【分析】根据组合数公式及古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意将个黄色球看做不一样，个红色球也看做不一样， 从中取个球一共有种取法， 其中恰好一个红色一个黄色的有种取法，所以概率. 故答案为： 考点三 事件的关系及概率的计算（共5题） 1．（2026·浙江·学业水平考试）某人独立射箭2次，设事件A为“至多有1次射中”，则事件A的对立事件是（   ） A．恰有1次射中 B．两次都未射中 C．至多有1次射中 D．两次都射中 【答案】D 【分析】根据对立事件的定义，明确事件包含的所有射中情况，求其补集即可得到对立事件. 【详解】独立射箭次时，射中次数的所有可能取值为，，， 对应三类基本事件：两次都未射中、恰有1次射中、两次都射中， 事件“至多有1次射中”包含“两次都未射中”和“恰有1次射中”两类基本事件， 故事件的对立事件为“两次都射中”. 2．（2024·浙江·学业水平考试）（多选）是两个随机事件，则（    ） A． B．若，则 C．若互为独立事件，则 D．若互为对立事件，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式，以及对立事件的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，例如：抛掷一枚骰子，事件“点数为偶数点”，事件“点数为4点” 可得，则，所以A不正确； 对于B中，若，可得，所以B正确； 对于C中，若互为独立事件，根据独立事件的概率乘法公式，可得，所以C正确； 对于D中，若互为对立事件，根据对立事件的概念，可得，所以D正确. 故选：BCD. 3．（2023·浙江·学业水平考试）已知，是相互独立事件，，，则_____________． 【答案】 【分析】根据相互独立事件的概率公式计算即可. 【详解】因为，是相互独立事件， 所以. 故答案为： 4．（2025·浙江·学业水平考试）甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为0.5，乙破译密码成功的概率为0.6，且两者结果相互独立，请回答下列问题： (1)求甲和乙同时成功破译密码的概率； (2)求密码被成功破译的概率． 【答案】(1)0.3 (2)0.8 【分析】（1）由独立乘法公式即可求解； （2）由独立乘法公式、对立概率公式即可求解. 【详解】（1）设甲破译成功为事件A，设乙破译成功为事件B， 两人都破译成功则为； （2）密码未被破译成功的概率， 所以密码被破译成功的概率为. 5．（2023·浙江·学业水平考试）浙江某公司有甲乙两个研发小组，它们开发一种芯片需要两道工序，第一道工序成功的概率分别为和.第二道工序成功的概率分别为和.根据生产需要现安排甲小组开发芯片A，乙小组开发芯片B，假设甲、乙两个小组的开发相互独立. (1)求两种芯片都开发成功的概率； (2)政府为了提高该公司研发的积极性，决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元，求该公司获得政府奖励的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算甲乙小组研发成功的概率，再根据相互独立事件同时发生的概率求解； （2）根据对立事件，计算甲乙小组同时研发不成功的概率，即可得解. 【详解】（1）甲小组研发芯片A成功的概率为 ，乙小组研发芯片B成功的概率为， 由于甲、乙两个小组的开发相互独立, 所以两种芯片开发都成功的概率. （2）该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功， 根据对立事件可知获奖的概率： . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 统计与概率 3类高频考点 目 录 ✅考点一 用样本估计总体、样本特征 ✅考点二 古典概型的概率 ✅考点三 事件的关系及概率的计算 考点一 用样本估计总体、样本特征（共7题） 1．B 2．ACD 3．25 4．【答案】(1) (2)200 (3)200 【分析】（1）根据频率和为1列式求解即可； （2）先求用电量在150以下的频率，进而可得结果； （3）根据题意结合百分位数的定义运算求解. 【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得. （2）由题意可知：用电量在150以下的频率为， 所以用电量在150以下的有户. （3）因为，所以第50百分位数为200. 5．【答案】(1)，估计该用户红灯等待时间的第60百分位数约为82.1 (2)7次 【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解，先确认频率分布直方图中频率为0.6的位置，再结合百分位数定义求解即可. （2）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解. 【详解】（1）因为各组频率之和为1，组距为10， 所以， 解得. 因为，， 所以中位数位于第三组中， 设中位数为x，则， 解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为82.1. （2）由题红灯等待时间低于85秒的频率为， 故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次. 6．【答案】(1) (2) 中位数为 (3) 平均数为 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1列方程求解即可. （2）判断中位数所在区间，列方程求解即可. （3）根据用频率分布直方图估计样本数据的平均数公式求解即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，得 ， 化简得，解得. （2）第一组频率， 前两组累计频率， 故第60百分位数在区间内. 设第60百分位数为，则， 解得. （3）各组中点依次为3,7,11,15,19,23， 对应频率依次为， 因此平均数为 . 7．【答案】(1) (2)平均值为，第25百分位数为 【分析】（1）利用频率分布直方图求解； （2）利用平均数和第25百分位数的定义求解. 【详解】（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为. （2）平均值， 因为，， 所以第25百分位数为. 考点二 古典概型的概率（共5题） 1．D 2．C 3．B 4．C 5． 考点三 事件的关系及概率的计算（共5题） 1．D 2．BCD 3． 4．【答案】(1)0.3 (2)0.8 【分析】（1）由独立乘法公式即可求解； （2）由独立乘法公式、对立概率公式即可求解. 【详解】（1）设甲破译成功为事件A，设乙破译成功为事件B， 两人都破译成功则为； （2）密码未被破译成功的概率， 所以密码被破译成功的概率为. 5．【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算甲乙小组研发成功的概率，再根据相互独立事件同时发生的概率求解； （2）根据对立事件，计算甲乙小组同时研发不成功的概率，即可得解. 【详解】（1）甲小组研发芯片A成功的概率为 ，乙小组研发芯片B成功的概率为， 由于甲、乙两个小组的开发相互独立, 所以两种芯片开发都成功的概率. （2）该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功， 根据对立事件可知获奖的概率： . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 统计与概率 3类高频考点 目 录 ✅考点一 用样本估计总体、样本特征 ✅考点二 古典概型的概率 ✅考点三 事件的关系及概率的计算 考点一 用样本估计总体、样本特征（共7题） 1．（2025·浙江·学业水平考试）已知一组样本数据为“2，2，3，5，6，7，8”，该样本数据的中位数是（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 2．（2023·浙江·学业水平考试）（多选）给定数6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则这组数据的（    ） A．中位数为5 B．方差为 C．平均数为5 D．85%分位数为8 3．（2025·浙江·学业水平考试）某校抽取了100名学生的体育考试的分数，某同学用频率分布直方图表示出来（如图所示），则可以得出分数在区间的人数为________． 4．（2024·浙江·学业水平考试）对某小区抽取100户居民的用电量进行调查，得到如下数据    (1)求的值； (2)已知该小区的居民有800户，则用电量在150以下的有多少户； (3)求第50百分位数． 5．（2023·浙江·学业水平考试）人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用． 某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表． ”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． (1)求图中的值并且估计该用户红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）； (2)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 6．（2026·浙江·学业水平考试）某样本的频率分布直方图中，数据为连续分组区间． (1)求直方图中参数a的值； (2)估计样本数据的中位数； (3)估计样本数据的平均数． 7．（2022·浙江·学业水平考试）在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，画出频率分布直方图如图所示. (1)求第三组的频率； (2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数. 考点二 古典概型的概率（共5题） 1．（2026·浙江·学业水平考试）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标注数字），则向上一面点数为1的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江·学业水平考试）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·学业水平考试）6个球中，2红4黄，求随机摸到一个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江·学业水平考试）从集合中任取两个数，则这两个数的和不小于的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·浙江·学业水平考试）一个袋中有6个大小形状完全相同的小球，其中黄色球有4个，红色球有2个，现在从中取出2个小球，则2个小球恰好一个红色一个黄色的概率为__________. 考点三 事件的关系及概率的计算（共5题） 1．（2026·浙江·学业水平考试）某人独立射箭2次，设事件A为“至多有1次射中”，则事件A的对立事件是（   ） A．恰有1次射中 B．两次都未射中 C．至多有1次射中 D．两次都射中 2．（2024·浙江·学业水平考试）（多选）是两个随机事件，则（    ） A． B．若，则 C．若互为独立事件，则 D．若互为对立事件，则 3．（2023·浙江·学业水平考试）已知，是相互独立事件，，，则_____________． 4．（2025·浙江·学业水平考试）甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为0.5，乙破译密码成功的概率为0.6，且两者结果相互独立，请回答下列问题： (1)求甲和乙同时成功破译密码的概率； (2)求密码被成功破译的概率． 5．（2023·浙江·学业水平考试）浙江某公司有甲乙两个研发小组，它们开发一种芯片需要两道工序，第一道工序成功的概率分别为和.第二道工序成功的概率分别为和.根据生产需要现安排甲小组开发芯片A，乙小组开发芯片B，假设甲、乙两个小组的开发相互独立. (1)求两种芯片都开发成功的概率； (2)政府为了提高该公司研发的积极性，决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元，求该公司获得政府奖励的概率. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $