第10～11章 整式的加减及乘除 期中复习压轴题讲义 2026 -2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

第10~11章 整式的加减及乘除 期中复习压轴题讲义 2026 沪教版（五四制）数学七年级上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 ·熟练掌握整式加减乘除运算法则，能准确计算混合运算 ·掌握乘法公式：平方差、完全平方公式，能正用逆用变形用 ·理解幂的运算性质，会用整体代入法求代数式的值 ·能解决数形结合与几何面积恒等式问题，会用两种方法算面积 ·掌握新定义、规律探究类压轴题解法，能从特例归纳一般式 🍗 知识梳理 ✅️ 1.整式加减乘除与乘法公式 合并同类项：系数相加，字母和字母指数不变 去括号：括号前是+不变号，是-全变号 单项式乘多项式：用单项式乘每一项再相加 多项式乘多项式：用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，注意符号和项数 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，中间项是2倍乘积 乘法公式逆用：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2±2ab+b2=(a±b)2 概念辨析例题：计算(2x+3)(2x-3)-(x-1)2，并求x=2时的值。 解析：原式=4x2-9-(x2-2x+1)=3x2+2x-10，x=2时=12+4-10=6 ✅️ 2.幂的运算与整体代入 同底数幂相乘：am·an=am+n，底数不变指数相加 同底数幂相除：am÷an=am-n，a≠0 幂的乘方：(am)n=amn，底数不变指数相乘 积的乘方：(ab)n=anbn，每个因式分别乘方 整体代入：把(x-2024)、a+b等看作一个整体，不要展开 配方变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，(x-y)2=(x+y)2-4xy 概念辨析例题：已知x+y=3，xy=1，求x2+y2和(x-y)2。 解析：x2+y2=(x+y)2-2xy=9-2=7；(x-y)2=(x+y)2-4xy=9-4=5 ✅️ 3.数形结合与几何面积恒等式 用两种不同方法计算同一图形面积，结果相等得恒等式 平方差几何意义：边长a的大正方形剪去边长b的小正方形，剩余面积=a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方几何意义：边长(a+b)的正方形分成a2、b2和两个ab长方形 阴影面积问题：用整式表示各部分面积，再化简 拼图问题：注意重叠部分和空白部分的边长关系 概念辨析例题：用四个长x宽y的长方形拼成大正方形，中间小正方形边长？ 解析：大正方形边长x+y，面积(x+y)2；四个长方形面积4xy；中间小正方形面积=(x+y)2-4xy=(x-y)2，边长|x-y| ✅️ 4.新定义与规律探究 新定义题：先仔细读例子，按给定规则代入计算，不要凭经验 规律探究：多算前3个特例，找递推关系，归纳一般式 杨辉三角：(a+b)n展开式系数对应杨辉三角第n+1行 对数新运算：an=b记为logab=n，注意底数范围 数表/图形规律：关注序号与对应数值的关系 概念辨析例题：定义a*b=a2-b，求3*(2*1)，并猜想a*b=b*a是否成立。 解析：2*1=4-1=3，3*3=9-3=6；a*b=a2-b，b*a=b2-a，一般不相等 🧀 知识总结表 公式/法则 表达式 注意事项 平方差 (a+b)(a-b)=a2-b2 一同一反才可用 完全平方和 (a+b)2=a2+2ab+b2 中间项2ab别漏2 完全平方差 (a-b)2=a2-2ab+b2 中间项负，b2正 同底数幂乘 am·an=am+n 底数不变指数加 幂的乘方 (am)n=amn 指数相乘 📩 核心考点 【考点1】乘法公式与几何面积（第1-11题） ·平方差正用逆用 ·完全平方公式 ·面积恒等式推导 ·阴影面积用整式表示 ·拼图问题注意重叠边长 1．（2025秋•宝山区校级期中）用边长分别为a，b（a＞b）的两种正方形A和B，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为S1，S2，下列关于S1，S2的大小关系表述正确的是（　　） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1≥S2 D．S1＝S2 2．（2025秋•宝山区校级期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． （1）请利用图①求阴影部分的面积所得的恒等式解决如下问题：若（a+b）2＝5，a﹣b＝1，求ab的值； （2）正方形ABCD、正方形AEFG如图②所示方式摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，请直接写出图中阴影部分的面积； （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； （4）已知a+b＝3，ab＝1，利用（3）中的恒等式求的值． 3．（2025秋•浦东新区校级期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． [问题探究] 探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2的结果． [结论] （1）（a+b+c）2＝____________________ ； [应用结论] （2）因式分解：a2+b2+c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝_____________ ； （3）已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝12，分别求ab+bc+ac与a2b2+b2c2+a2c2的值． 4．（2025秋•青浦区校级期中）如图，用四个完全一样的长、宽分别为x、y的长方形纸片围成一个大正方形ABCD，中间是空的小正方形EFGH．若AB＝a，EF＝b，判断以下关系式： ①x+y＝a；②x﹣y＝b；③a2﹣b2＝2xy；④x2﹣y2＝ab；⑤x2+y2， 其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2025秋•青浦区校级期中）现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）． （1）思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为（a+b）2； 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含a、b的代数式表示为：______________ ； 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含a、b、c的代数式表示为：___________ ； 结合结论②和结论③，可以得到等式：_____________ ． （2）应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S1、S2、S3，且S1+S2+S3＝30，求S2的值． （3）延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中a＝3，b＝4，c＝5，求图中阴影部分的面积之和． 6．（2025秋•崇明区校级期中）图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为（2a+b）的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为a和的正方形，中间处是边长为（b﹣a）的正方形，图3阴影部分是由四块边长为a的正方形和一块边长为b的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为________ ． 7．（2025秋•崇明区校级期中）【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是____________________ ； （2）根据（1）中的等量关系解决问题：若，求（x﹣y）2的值； 【知识迁移】 类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式； （3）根据图③，写出一个代数恒等式：____________________ ； （4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求a3+b3的值． 8．（2025秋•闵行区校级期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和18，则图②所示的大正方形的面积为 _______ ． 【考点2】幂的运算与整体代入（第12-16题） ·幂四条性质 ·整体代入不展开 ·配方变形x2+y2 ·换元法简化计算 9．（2025秋•浦东新区校级期中）已知3a＝4，3b＝10，3c＝16． （1）求3a+b的值； （2）求32a﹣c的值． 10．（2025秋•浦东新区校级期中）设a＝x﹣2023，b＝x﹣2025，c＝x﹣2024．若a2+b2＝34，则c2的值是_______ ． 11．（2025秋•闵行区校级期中）已知（x﹣2025）2﹣16＝36﹣（2027﹣x）2，则（x﹣2026）2的值是（　　） A．24 B．25 C．26 D．27 12．（2025秋•上海校级期中）设2m＝3，2n＝6，2p＝12，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（　　） A．m+p＝2n B．m+n＝2p C．n2﹣mp＝2 D．p+n＝2m 【考点3】新定义与规律探究（第17-31题） ·新定义按例子代入 ·多算前3个找规律 ·杨辉三角系数 ·对数新运算 ·数表规律看序号 13．（2025秋•宝山区校级期中）观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1； 计算：（﹣2）2020+（﹣2）2019+（﹣2）2018+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1＝____________________ ． 14．（2025秋•宝山区校级期中）在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为5＝22+12；再如： M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“智慧数”． （1）请你再写一个小于10的（5除外）“智慧数”_____ ，并判断29是否为“智慧数”_____ （填“是”或者“否”）； （2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值． 15．（2025秋•青浦区校级期中）自行车的链条由一个个小的链节组成，如图，每个链节的长度为2.5cm，链节与链节之间交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．则n个链节依次连在一起的长度是 _______________cm． 16．（2025秋•青浦区校级期中）【问题】n条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 【探究】一个平面被n条直线分割，给出的图例如下： 直线条数 新直线被分成的份数 原平面被分成的份数 增加的平面份数 新平面被分成的份数 1 1 1 1 A（1）＝2 2 2 A（1）＝2 2 A（2）＝4 3 3 A（2）＝4 3 A（3）＝7 4 A（3）＝7 A（4） … … … … … n A（n﹣1） A（n） （1）填空：A（4）＝_______ ． （2）计算：A（2）﹣A（1），A（3）﹣A（2），A（4）﹣A（3），…，A（n）﹣A（n﹣1），这（n﹣1）组差，再把这（n﹣1）组差相加可得：A（n）﹣A（1）＝____________________ （用含n的式子表示），进而得到A（n）＝____________________ ．（结果写成最简形式） （3）应用：一个正方体蛋糕切11刀（不移动蛋糕的位置，且只能竖着切），被分成的块数至多为_______ 块． 17．（2025秋•崇明区校级期中）对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）． 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： （1）因式分解：a2﹣6a+8； （2）若2x2+4xy+3y2﹣6y+9＝0，求xy的值． 18．（2025秋•闵行区校级期中）若整数a不可以表示成两个不同的整数的平方之差，我们称a这样的数为“孤立数”，例如：2不可以表示为两个不同整数的平方之差，则2为“孤立数”；16可以表示为16＝52﹣32，则16不为“孤立数”．那么绝对值小于100的整数中共有_______ 个“孤立数” 19．（2025秋•闵行区校级期中）观察以下等式： 第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2， 第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2， 第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2， 第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2， … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：____________________ ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 20．（2025秋•闵行区校级期中）阅读材料：如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： （a+b）0＝1，它只有一项，系数为1： （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1； （a+b）2＝a2+2ab+b2它有三项，系数分别为1，2，1； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定（a+b）n的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． （1）应用规律： ①直接写出（a+b）4的展开式，（a+b）4＝____________________ ； ②先化简，再求值：（y﹣1）6+（y+1）6，其中y2＝2． （2）杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5和a6＝8，…该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即an+2＝an+1+an，若Tn＝a1+a2+a3+⋯+an且T2025＝k，则a2027的值为________ （用k表示）． 21．（2025秋•普陀区校级期中）如果一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，10＝32+12，那么10是“完全数”．再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“完全数”． （1）请你再写一个小于10的“完全数”：_____________ ； （2）请判断x2﹣4x+8（x是整数）是否是“完全数”，并说明理由； （3）已知S＝x2+4y2+2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； （4）如果整数m，n都是“完全数”，试说明：m•n也是“完全数”． 22．（2025秋•上海校级期中）如图，动点P从到原点距离为8的点M处向原点方向跳动，第一次跳到OM的中点M1处，第二次从点M1跳到OM1的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M3处，如此不断跳动下去，第2025次跳动后，该动点到原点O的距离为____________________ ． 23．（2025秋•虹口区期中）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d），我们规定：（a，b）□（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）□（3，4）＝12+42﹣2×3＝11． （1）若（x，kx）□（y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值； （2）若2x+y＝10，且（3x+y，2x2+3y2）□（3，x﹣3y）＝84，求xy的值； （3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG，若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积． 24．（2025秋•上海校级期中）定义：整式A乘以整式B，得到整式C，如果整式C的项数正好比整式A的项数多1，那么我们称整式B是整式A的“相邻增项式”． （1）如果A＝x﹣2，B＝2x+5，判断B是否是A的“相邻增项式”，并说明理由； （2）已知A＝x﹣3，B＝x2+2mx+n都是关于x的整式且m、n均为不等于0的有理数． ①填空：当n＝1时，如果B是A的“相邻增项式”，那么m的值为 ____________________ ； ②设D＝B（A+2），E＝B﹣A﹣n，如果关于x的整式D中不含x的二次项，且整式E是整式D的“相邻增项式”，求n的值． 【考点4】整式应用（第32-34题） ·列整式表示实际量 ·通道宽度问题 ·周长面积代数式 25．（2025秋•宝山区校级期中）如图，某体育公园有一块长为110米，宽为90米的长方形运动场地．场地中间有两块运动区域，分别记作①号和②号区域．阴影部分为人行通道，两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等．已知①号区域的形状是正方形，边长为a米，②号区域的形状是长方形． （1）当a＝80时，人行通道的宽度为 _____ 米；②号区域的周长 ________ 米； （2）求②号区域的周长（用含a的代数式表示）． 26．（2025秋•崇明区校级期中）如图，一条街道旁有A，B，C三幢居民楼，A，B两幢楼之间相距200米，B，C两幢楼之间相距400米．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表： 楼号 A B C 大桶水数/桶 55 50 38 该经销商计划在这条街道上的某一处设置大桶水供应点，若要使得这三幢楼内的居民取水（每次取一桶水）所走路程之和最小，选择的地点应在（　　） A．B楼与C楼之间 B．A楼与B楼之间 C．B楼 D．A楼 📊课后巩固 🍬复习建议 ·乘法公式先看结构，套用前看清符号，中间项别漏2 ·整体代入别硬算，把(x-2024)等当整体，用配方变形 ·面积题用两种方法算同一图形列等式，注意重叠部分 ·新定义题先读懂例子再套规则，不要凭经验 ·规律题多算前3个找递推关系，再验证一般式 【作业1】（2025秋•杨浦区期中）1261年，我国南宋数学家杨辉（13世纪）在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”中蕴含了许多数字的规律，按照它的构造规则可知：从左边数第3条斜线的第m个数是____________________ ．（用含m的代数式表示） 【作业2】（2025秋•杨浦区期中）如图，线段BC长度为a，在线段BC上截取线段CJ＝b，再延长BC至M，使CM＝b，（a＞b＞0），分别作正方形ABCD、正方形BMFN和正方形PBJO． （1）分别计算图中长方形PBMQ和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式____________________ ； （2）如果已知图中正方形BMFN、正方形PBJO的面积分别是7和3，计算长方形KJME的面积； （3）分别联结AG、AJ、QG、QJ，如果已知正方形BMFN的面积是S1，正方形KOHD的面积是S2，用含S1、S2的代数式表示四边形AJQG的面积． 【作业3】（2025秋•徐汇区校级期中）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（　　） A．a户最长 B．b户最长 C．c户最长 D．三户一样长 【作业4】（2025秋•徐汇区校级期中）长方形纸片中的数学问题： 有一组兴趣小组的学生在积极探究长方形纸片中（对边相等）的数学问题．通过折纸或者裁纸，进行了如下的探究： 【探究一】： 如图1，将一张长方形纸片EFMN（其中EF＝3，EN＝4）沿虚线FH翻折，点E正好落在对角线FN上点P处，联结PH，已知FN＝5，求EH的长． 【探究二】： 如图，为了将一张长方形纸片EFMN（其中，MN＝EF＝a，EN＝FM＝b）拼接成新的图形（其中，b＞a），我们进行如下的操作： ①先将纸片沿虚线FH剪开（图2）； ②然后将直角梯形部分沿所剪的方向向下平移一段距离，并将直角梯形沿虚线剪开（图3）； ③再将剪得的四边形部分沿第一次所剪的方向向上平移（图4）； ④得到新的图形ABCDEF（图5） （1）新图形ABCDEF的面积为_______ ，线段EH（图3）和线段BC（图4）有怎样的数量关系：__________ ． （2）在图5中延长AB交DE于点G，如果AF＝a，四边形BCDG是一个长方形，其中BC＝2m、CD＝m． i）用两个不同的代数式表示线段AB的长； ii）如果，求a与b之间的数量关系． 【作业5】（2025秋•虹口区期中）如图，长为a，宽为b的大长方形被分割为6块，除阴影A外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为1，那么阴影A的周长是（　　） A．2b+a+4 B．3b+4 C．2b+6 D．2b+3a 【作业6】（2025秋•虹口区期中）规定：如果两数a、b满足am＝b，则记为（a，b）＝m．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用该规定来说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m×3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．如果（3，m+17）＝4，（27，2m）＝n，那么（3，________ ）＝3n． 【作业7】（2025秋•虹口区期中）【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如图①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是_______ ． 【模型迁移】 （2）图②是显示部分式子的幻方，用含b的式子表示a． （3）图③是显示部分式子的幻方，求x的值． 【作业8】（2025秋•徐汇区期中）式子2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，则log381＝4，同理log327＝3，log33＝1．由此可以得到下列式子：log381＝log327+log33，根据以上的信息及运算关系，若log3（x+12）+log3x＝2log3（x+2），则x＝ __________________ ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10~11章 整式的加减及乘除 期中复习压轴题讲义 2026 沪教版（五四制）数学七年级上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 ·熟练掌握整式加减乘除运算法则，能准确计算混合运算 ·掌握乘法公式：平方差、完全平方公式，能正用逆用变形用 ·理解幂的运算性质，会用整体代入法求代数式的值 ·能解决数形结合与几何面积恒等式问题，会用两种方法算面积 ·掌握新定义、规律探究类压轴题解法，能从特例归纳一般式 🍗 知识梳理 ✅️ 1.整式加减乘除与乘法公式 合并同类项：系数相加，字母和字母指数不变 去括号：括号前是+不变号，是-全变号 单项式乘多项式：用单项式乘每一项再相加 多项式乘多项式：用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，注意符号和项数 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，中间项是2倍乘积 乘法公式逆用：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2±2ab+b2=(a±b)2 概念辨析例题：计算(2x+3)(2x-3)-(x-1)2，并求x=2时的值。 解析：原式=4x2-9-(x2-2x+1)=3x2+2x-10，x=2时=12+4-10=6 ✅️ 2.幂的运算与整体代入 同底数幂相乘：am·an=am+n，底数不变指数相加 同底数幂相除：am÷an=am-n，a≠0 幂的乘方：(am)n=amn，底数不变指数相乘 积的乘方：(ab)n=anbn，每个因式分别乘方 整体代入：把(x-2024)、a+b等看作一个整体，不要展开 配方变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，(x-y)2=(x+y)2-4xy 概念辨析例题：已知x+y=3，xy=1，求x2+y2和(x-y)2。 解析：x2+y2=(x+y)2-2xy=9-2=7；(x-y)2=(x+y)2-4xy=9-4=5 ✅️ 3.数形结合与几何面积恒等式 用两种不同方法计算同一图形面积，结果相等得恒等式 平方差几何意义：边长a的大正方形剪去边长b的小正方形，剩余面积=a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方几何意义：边长(a+b)的正方形分成a2、b2和两个ab长方形 阴影面积问题：用整式表示各部分面积，再化简 拼图问题：注意重叠部分和空白部分的边长关系 概念辨析例题：用四个长x宽y的长方形拼成大正方形，中间小正方形边长？ 解析：大正方形边长x+y，面积(x+y)2；四个长方形面积4xy；中间小正方形面积=(x+y)2-4xy=(x-y)2，边长|x-y| ✅️ 4.新定义与规律探究 新定义题：先仔细读例子，按给定规则代入计算，不要凭经验 规律探究：多算前3个特例，找递推关系，归纳一般式 杨辉三角：(a+b)n展开式系数对应杨辉三角第n+1行 对数新运算：an=b记为logab=n，注意底数范围 数表/图形规律：关注序号与对应数值的关系 概念辨析例题：定义a*b=a2-b，求3*(2*1)，并猜想a*b=b*a是否成立。 解析：2*1=4-1=3，3*3=9-3=6；a*b=a2-b，b*a=b2-a，一般不相等 🧀 知识总结表 公式/法则 表达式 注意事项 平方差 (a+b)(a-b)=a2-b2 一同一反才可用 完全平方和 (a+b)2=a2+2ab+b2 中间项2ab别漏2 完全平方差 (a-b)2=a2-2ab+b2 中间项负，b2正 同底数幂乘 am·an=am+n 底数不变指数加 幂的乘方 (am)n=amn 指数相乘 📩 核心考点 【考点1】乘法公式与几何面积（第1-11题） ·平方差正用逆用 ·完全平方公式 ·面积恒等式推导 ·阴影面积用整式表示 ·拼图问题注意重叠边长 1．（2025秋•宝山区校级期中）用边长分别为a，b（a＞b）的两种正方形A和B，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为S1，S2，下列关于S1，S2的大小关系表述正确的是（　　） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1≥S2 D．S1＝S2 【分析】用作差法即可． 【解答】解：由S2﹣S1＝[3a（a+2b）﹣3a2﹣4b2]﹣[（a+2b）（a+b）﹣a2﹣3b2]＝3ab﹣3b2＝3b（a﹣b）， ∵a＞b，a＞0 ∴3a（a﹣b）＞0 ∴S2＞S1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了列代数式，解题关键是正确作差． 2．（2025秋•宝山区校级期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． （1）请利用图①求阴影部分的面积所得的恒等式解决如下问题：若（a+b）2＝5，a﹣b＝1，求ab的值； （2）正方形ABCD、正方形AEFG如图②所示方式摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，请直接写出图中阴影部分的面积； （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； （4）已知a+b＝3，ab＝1，利用（3）中的恒等式求的值． 【分析】（1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形ABCD和AEFG都是正方形，设BC＝AB＝DC＝x，AE＝AG＝EF＝y，根据S阴影＝S△DFC+S△EBF，即可求解； （3）根据题意可得，正方体体积表示为（a+b）3或a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，即可求解； （4）根据a+b＝3，ab＝1，结合（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3即可求解． 【解答】解：（1）由图1可知，大正方形面积为（a+b）2或（a﹣b）2﹣4ab， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ∴5＝1+4ab， ∴ab＝1 （2）由图可知，∵四边形ABCD和AEFG都是正方形， ∴BC＝AB＝DC＝x， AE＝AG＝EF＝y， BE＝2， ∴x﹣y＝BE＝2，又x2+y2＝34， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4， ∴xy＝15， S阴影＝S△DFC+S△EBF ＝x+y， （x+y）2＝x2+y2+2xy＝34+30＝64， ∵x+y＞0， ∴x+y＝8， 即阴影部分的面积为8； （3）由图3得，正方体体积表示为（a+b）3， 也可以表示为a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3， ∴（a+b）3＝a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3， 即a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2； （4）∵a+b＝3，ab＝1， 由（3）得a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2， ＝（a+b）3﹣3ab（a+b） ＝27﹣3×1×3 ＝18， ∴． 【点评】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键． 3．（2025秋•浦东新区校级期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． [问题探究] 探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2的结果． [结论] （1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； [应用结论] （2）因式分解：a2+b2+c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝（a+b﹣c）2； （3）已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝12，分别求ab+bc+ac与a2b2+b2c2+a2c2的值． 【分析】（1）仿照题意可得大正方形的面积等于九个图形的面积之和，据此可得答案； （2）根据（1）可得（a+b﹣c）2＝a2+b2+c2+2ab﹣2ac﹣2bc，据此可得答案； （3）根据（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可求出ab+bc+ac＝﹣6，再根据（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2ab2c+2a2bc+2abc2可得a2b2+b2c2+a2c2的值． 【解答】解：（1）大正方形的边长是（a+b+c），它是由三个小正方形和六个长方形组成的， ∴大正方形的面积等于这九个图形的面积之和， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； 故答案为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）由（1）得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b﹣c）2＝a2+b2+（﹣c）2+2ab+2a•（﹣c）+2b•（﹣c）， ∴（a+b﹣c）2＝a2+b2+c2+2ab﹣2ac﹣2bc， ∴a2+b2+c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝（a+b﹣c）2； 故答案为：（a+b﹣c）2； （3）∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝12，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ∴2（ab+bc+ac）＝0﹣12＝﹣12， ∴ab+bc+ac＝﹣6， ∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2ab2c+2a2bc+2abc2， ∴a2b2+b2c2+a2c2＝（ab+bc+ac）2﹣2ab2c﹣2abc2﹣2a2bc ∴a2b2+b2c2+a2c2＝（ab+bc+ac）2﹣2abc（a+b+c） ＝（﹣6）2﹣2abc×0 ＝36． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键． 4．（2025秋•青浦区校级期中）如图，用四个完全一样的长、宽分别为x、y的长方形纸片围成一个大正方形ABCD，中间是空的小正方形EFGH．若AB＝a，EF＝b，判断以下关系式： ①x+y＝a；②x﹣y＝b；③a2﹣b2＝2xy；④x2﹣y2＝ab；⑤x2+y2， 其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】利用大正方形的边长＝长方形的长+长方形的宽，小正方形的边长＝长方形的长﹣长方形的宽，大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个长方形的面积，完全平方公式x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，进而判定即可． 【解答】解：由图形可得：①大正方形的边长＝长方形的长+长方形的宽，故x+y＝a正确； ②小正方形的边长＝长方形的长﹣长方形的宽，故x﹣y＝b正确； ③大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个长方形的面积，故a2﹣b2＝4xy错误； ④根据①知x+y＝a，根据②知x﹣y＝b，则x2﹣y2＝ab，正确； ⑤x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝a2﹣2，正确． 所以正确的个数为4． 故选：C． 【点评】本题考查了图形的面积、整式的混合运算以及因式分解的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力． 5．（2025秋•青浦区校级期中）现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）． （1）思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为（a+b）2； 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含a、b的代数式表示为：a2+b2+2ab； 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含a、b、c的代数式表示为：c2+2ab； 结合结论②和结论③，可以得到等式：a2+b2＝c2． （2）应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S1、S2、S3，且S1+S2+S3＝30，求S2的值． （3）延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中a＝3，b＝4，c＝5，求图中阴影部分的面积之和． 【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积，根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解； （2）根据结论a2+b2＝c2求出S1+S3＝S2，然后进行计算即可得解； （3）根据结论S1+S3＝S2求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解． 【解答】解：（1）图2大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积， ∴图2面积为：； 图3大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积， ∴图3面积可表示为：； ∴a2+b2+2ab＝c2+2ab， ∴a2+b2＝c2， ∴结合结论②和结论③，可以得到等式a2+b2＝c2； 故答案为：a2+b2+2ab，c2+2ab，a2+b2＝c2； （2）， ∴， ∵S1+S2+S3＝30， ∴2S2＝30， 解得S2＝15； （3）由（2）可知：S1+S3＝S2， ∴阴影部分面积和为：， ∵a＝3，b＝4， ∴阴影部分面积和为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 6．（2025秋•崇明区校级期中）图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为（2a+b）的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为a和的正方形，中间处是边长为（b﹣a）的正方形，图3阴影部分是由四块边长为a的正方形和一块边长为b的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为100． 【分析】利用完全平方公式计算． 【解答】解：∵图2阴影部分的面积， （2a+b）2﹣（b﹣a）2﹣4（a2）＝60， ab＝10， 图3阴影部分的面积， 4a2+b2＝60， ∴4ab＝40，4a2+b2＝60，两等式相加得， 4a2+4ab+b2＝60+40， （2a+b）2＝100， ∴未裁剪前大正方形红布的面积为100． 故答案为：100． 【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式． 7．（2025秋•崇明区校级期中）【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）根据（1）中的等量关系解决问题：若，求（x﹣y）2的值； 【知识迁移】 类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式； （3）根据图③，写出一个代数恒等式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求a3+b3的值． 【分析】（1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积； （2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解； （3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式； （4）利用上题得出的关系式，进行变换，最终求出答案． 【解答】解：（1）根据题意可知，大正方形的面积为：（a+b）2， 小正方形的面积为：（a﹣b）2， 又∵大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab． 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）由题（1）知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， ∵x+y＝6，， ∴； （3）根据题意得：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3． 故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）， 当a+b＝3，ab＝1时， a3+b3＝33﹣3×1×3＝18． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键． 8．（2025秋•闵行区校级期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和18，则图②所示的大正方形的面积为40． 【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由面积得a2﹣b2﹣2b（a﹣b）＝4，（a+b）2﹣a2﹣b2＝18，整理得a2﹣2ab+b2＝4，2ab＝18，进而得a2+b2＝22，即可求解． 【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图①得：a2﹣b2﹣2b（a﹣b）＝4， ∴a2﹣2ab+b2＝4， 由图②得：（a+b）2﹣a2﹣b2＝18， ∴2ab＝18， ∴a2+b2＝22， ∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 ＝18+22 ＝40， 故答案为：40． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，掌握a2+b2、ab、a±b三者之间的关系是解题的关键． 【考点2】幂的运算与整体代入（第12-16题） ·幂四条性质 ·整体代入不展开 ·配方变形x2+y2 ·换元法简化计算 9．（2025秋•浦东新区校级期中）已知3a＝4，3b＝10，3c＝16． （1）求3a+b的值； （2）求32a﹣c的值． 【分析】（1）利用同底数幂乘法法则计算即可； （2）利用同底数幂除法法则，幂的乘方与积的乘方法则计算即可． 【解答】解：（1）∵3a＝4，3b＝10， ∴3a+b ＝3a•3b ＝4×10 ＝40； （2）∵3a＝4，3c＝16， ∴32a﹣c ＝（3a）2÷3c ＝42÷16 ＝1． 【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 10．（2025秋•浦东新区校级期中）设a＝x﹣2023，b＝x﹣2025，c＝x﹣2024．若a2+b2＝34，则c2的值是16． 【分析】由题意，设c＝t，则a＝t+1，b＝t﹣1，根据已知a2+b2＝34，可得（t+1）2+（t﹣1）2＝34，整理，得t2＝16，即c2＝16，即可得出答案． 【解答】解：设c＝t，则a＝t+1，b＝t﹣1， ∵a2+b2＝34， ∴（t+1）2+（t﹣1）2＝34， ∴（t2+2t+1）+（t2﹣2t+1）＝34， ∴t2+2t+1+t2﹣2t+1＝34， ∴2t2+2＝34， ∴2t2＝32， ∴t2＝16， ∵c＝t， ∴c2＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 11．（2025秋•闵行区校级期中）已知（x﹣2025）2﹣16＝36﹣（2027﹣x）2，则（x﹣2026）2的值是（　　） A．24 B．25 C．26 D．27 【分析】通过引入中间变量y＝x﹣2026，将原方程转化为关于y的方程，简化后直接求解． 【解答】解：由题意可得： ∴（x﹣2025）2﹣16＝36﹣（x﹣2027）2． 设y＝x﹣2026，则x﹣2025＝y+1，x﹣2027＝y﹣1， 代入得：（y+1）2﹣16＝36﹣（y﹣1）2， 展开：左边y2+2y+1﹣16＝y2+2y﹣15， 右边36﹣（y2﹣2y+1）＝36﹣y2+2y﹣1＝﹣y2+2y+35， ∴y2+2y﹣15＝﹣y2+2y+35， 移项得：y2+2y﹣15+y2﹣2y﹣35＝0， 即2y2﹣50＝0， ∴2y2＝50，y2＝25， ∵y＝x﹣2026， ∴（x﹣2026）2＝25． 故选：B． 【点评】本题主要考查了整式混合运算，结合完全平方公式计算是解题的关键． 12．（2025秋•上海校级期中）设2m＝3，2n＝6，2p＝12，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（　　） A．m+p＝2n B．m+n＝2p C．n2﹣mp＝2 D．p+n＝2m 【分析】根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得m+p＝2n，m+n≠2p，n＝m+1，p＝m+2，再进一步分析即可． 【解答】解：A、∵2m＝3，2n＝6，2p＝12， ∴2m+p＝2m•2p＝3×12＝36＝62＝（2n）2＝22n， ∴m+p＝2n，选项关系正确，符合题意； B、∵2m＝3，2n＝6，2p＝12， ∴2m+n＝2m•2n＝3×6＝18，22p＝（2p）2＝122＝144， ∴2m+n≠22p， ∴m+n≠2p，选项关系错误，不符合题意； C、∵2m＝3，2n＝6，2p＝12， ∴2m+1＝2×2m＝2×3＝6＝2n，2m+2＝2m×22＝3×4＝12＝2p， ∴n＝m+1，p＝m+2， ∴n2﹣mp＝（1+m）2﹣m（2+m）＝1+2m+m2﹣2m﹣m2＝1，选项关系错误，不符合题意； D、∵2m＝3，2n＝6，2p＝12， ∴2m+1＝2×2m＝2×3＝6＝2n，2m+2＝2m×22＝3×4＝12＝2p， ∴n＝m+1，p＝m+2， ∴p+n＝2m+3，选项关系错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是关键． 【考点3】新定义与规律探究（第17-31题） ·新定义按例子代入 ·多算前3个找规律 ·杨辉三角系数 ·对数新运算 ·数表规律看序号 13．（2025秋•宝山区校级期中）观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1； 计算：（﹣2）2020+（﹣2）2019+（﹣2）2018+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1＝． 【分析】观察所给等式，发现（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1，将x＝﹣2和n＝2020代入求解即可． 【解答】解：观察发现（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1）＝xn+1﹣1， ∴（x﹣1）（x2020+x2019+x2018+…+x3+x2+x+1）＝x2021﹣1， 当x＝﹣2时，（﹣2﹣1）×[（﹣2）2020+（﹣2）2019+（﹣2）2018+……+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1]＝（﹣2）2021﹣1， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，发现规律是关键． 14．（2025秋•宝山区校级期中）在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为5＝22+12；再如： M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“智慧数”． （1）请你再写一个小于10的（5除外）“智慧数”8，并判断29是否为“智慧数”是（填“是”或者“否”）； （2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值． 【分析】（1）根据新定义“智慧数”，仿照示例，可得到结果； （2）把S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数）化为＝（x+2）2+4（y）2+k﹣13，从而得到结果． 【解答】解：（1）∵8＝22+22， ∴8是“智慧数”， ∵29＝4+25＝22+52， ∴29是“智慧数”， 故答案为：8，是； （2）∵x2+4x+4＝（x+2）2，y2﹣3y（x）2， ∴S＝x2+4y2+4x﹣12y+k ＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9+k﹣13 ＝（x+2）2+4（y）2+k﹣13， ∵S为“智慧数”， ∴k﹣13＝0， ∴k＝13． 【点评】本题考查了新定义“智慧数”的应用，读懂题意，熟练应用新定义是解题的关键． 15．（2025秋•青浦区校级期中）自行车的链条由一个个小的链节组成，如图，每个链节的长度为2.5cm，链节与链节之间交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．则n个链节依次连在一起的长度是（1.7n+0.8）cm． 【分析】根据图形，可以发现连节长度的变化特点，从而可以写出n个链节依次连在一起的长度，进而问题可求解． 【解答】解：0.8+（2.5﹣0.8）n＝（1.7n+0.8）cm， 故答案为：（1.7n+0.8）． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 16．（2025秋•青浦区校级期中）【问题】n条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 【探究】一个平面被n条直线分割，给出的图例如下： 直线条数 新直线被分成的份数 原平面被分成的份数 增加的平面份数 新平面被分成的份数 1 1 1 1 A（1）＝2 2 2 A（1）＝2 2 A（2）＝4 3 3 A（2）＝4 3 A（3）＝7 4 A（3）＝7 A（4） … … … … … n A（n﹣1） A（n） （1）填空：A（4）＝11． （2）计算：A（2）﹣A（1），A（3）﹣A（2），A（4）﹣A（3），…，A（n）﹣A（n﹣1），这（n﹣1）组差，再把这（n﹣1）组差相加可得：A（n）﹣A（1）＝（用含n的式子表示），进而得到A（n）＝．（结果写成最简形式） （3）应用：一个正方体蛋糕切11刀（不移动蛋糕的位置，且只能竖着切），被分成的块数至多为67块． 【分析】（1）根据平面内有1条直线、2条直线、3条直线时平面被分成的个数总结出规律，根据规律得到A（4）的值； （2）根据题目中提供的思路得到：A（2）﹣A（1）＝2，A（3）﹣A（2）＝3，A（4）﹣A（3）＝4，…，A（n）﹣A（n﹣1）＝n，然后把这（n﹣1）组差相加可得：A（2）﹣A（1）+A（3）﹣A（2）+A（4）﹣A（3）+…+A（n）﹣A（n﹣1）＝2+3+4+…+n，从而得到A（n）﹣A（1）＝2+3+4+…+n，计算可得结果； （3）把n＝11代入A（n）的表达式中求出A（n）的值即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可知：平面内有1条直线时，平面被分成2个部分， 平面内有2条直线时，平面最多被分成4个部分，增加了2个部分， 平面内有3条直线时，平面最多被分成7个部分，增加了3个部分， 根据规律可知：当平面内有4条直线时，所分部分最多时，将增加4个部分，即平面最多被分成7+4＝11个部分， ∴A（4）＝11； 故答案为：11； （2）由（1）可知，A（2）﹣A（1）＝2，A（3）﹣A（2）＝3，A（4）﹣A（3）＝4，…，A（n）﹣A（n﹣1）＝n， ∴A（2）﹣A（1）+A（3）﹣A（2）+A（4）﹣A（3）+…+A（n）﹣A（n﹣1）＝2+3+4+…+n， ∴A（n）﹣A（1）＝2+3+4+…+n， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；； （3）当n＝11时，， ∴一个正方体蛋糕切11刀，被分成的块数至多为67块． 故答案为：67． 【点评】本题考查规律型：图形的变化类，截一个几何体，列代数式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．（2025秋•崇明区校级期中）对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）． 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： （1）因式分解：a2﹣6a+8； （2）若2x2+4xy+3y2﹣6y+9＝0，求xy的值． 【分析】（1）仿照阅读材料解答即可； （2）先配方求出x，y的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1）a2﹣6a+8 ＝a2﹣6a+9﹣1 ＝（a﹣3）2﹣1 ＝（a﹣3+1）（a﹣3﹣1） ＝（a﹣2）（a﹣4）； （2）∵2x2+4xy+3y2﹣6y+9＝0， ∴2x2+4xy+2y2+y2﹣6y+9＝0， ∴2（x+y）2+（y﹣3）2＝0， ∴x+y＝0，y﹣3＝0， ∴x＝﹣3，y＝3， ∴xy＝（﹣3）3＝﹣27． 【点评】本题考查配方法的应用，解题的关键是掌握完全平方公式． 18．（2025秋•闵行区校级期中）若整数a不可以表示成两个不同的整数的平方之差，我们称a这样的数为“孤立数”，例如：2不可以表示为两个不同整数的平方之差，则2为“孤立数”；16可以表示为16＝52﹣32，则16不为“孤立数”．那么绝对值小于100的整数中共有50个“孤立数” 【分析】根据孤立数的定义，整数a不能表示为两个不同整数的平方之差，通过分析，整数a是孤立数当且仅当a＝4k+2（k为整数），绝对值小于100的整数中共有50个孤立数． 【解答】解：根据题意，a为孤立数当且仅当a＝4k+2（k为整数）， 绝对值小于100的整数中，要满足a＝4k+2（k为整数），k最小可取﹣25，最大可取24， 故满足条件的孤立数共有50个． 故答案为：50． 【点评】本题主要考查数字类的规律探索，解此题的关键在于准确找到题中所给规律，再根据规律进行归纳总结． 19．（2025秋•闵行区校级期中）观察以下等式： 第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2， 第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2， 第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2， 第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2， … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2， 第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2， 第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2， 第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2， 第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2， 故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2； （2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2， 证明：左边＝4n2+4n+1， 右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2 ＝4n2+4n+1， ∴左边＝右边． ∴等式成立． 【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． 20．（2025秋•闵行区校级期中）阅读材料：如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： （a+b）0＝1，它只有一项，系数为1： （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1； （a+b）2＝a2+2ab+b2它有三项，系数分别为1，2，1； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定（a+b）n的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． （1）应用规律： ①直接写出（a+b）4的展开式，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； ②先化简，再求值：（y﹣1）6+（y+1）6，其中y2＝2． （2）杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5和a6＝8，…该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即an+2＝an+1+an，若Tn＝a1+a2+a3+⋯+an且T2025＝k，则a2027的值为k+1（用k表示）． 【分析】（1）①先根据杨辉三角得出（a+b）4的展开式的系数，可得展开式；②先展开（y﹣1）6+（y+1）6，再合并，最后代入求值即可． （2）根据an+2＝an+1+an，可得a2027＝a2025+a2026，结合Tn＝a1+a2+a3+⋯+an，可得T2025＝a1+a2+a3+⋯+a2025＝k，可得a1+a2+a3+⋯+a2025+a2＝k+a2＝k+1，进一步求解即可． 【解答】解：（1）①（a+b）4的展开式有五项，系数分别为1，4，6，4，1， ∴（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； ②（y﹣1）6+（y+1）6 ＝y6+6y5×（﹣1）+15y4×（﹣1）2+20y3×（﹣1）3+15y2×（﹣1）4+6y×（﹣1）5+（﹣1）6+y6+6y5×1+15y4×12+20y3×13+15y2×14+6y×15+16 ＝2y6+30y4+30y2+2， ∵y2＝2， 原式＝2×（y2）3+30×（y2）2+30y2+2 ＝2×8+30×4+30×2+2 ＝198． （2）∵an+2＝an+1+an， ∴a2027＝a2025+a2026， ∵Tn＝a1+a2+a3+⋯+an， ∴T2025＝a1+a2+a3+⋯+a2025＝k， ∴a1+a2+a3+⋯+a2025+a2＝k+a2＝k+1， ∴a2027＝a2025+a2026 ＝a2025+a2024+a2023+…+a2+a1+a2＝k+1． 故答案为：k+1． 【点评】本题考查了整式乘法的应用、有理数的乘方，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题的关键． 21．（2025秋•普陀区校级期中）如果一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，10＝32+12，那么10是“完全数”．再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“完全数”． （1）请你再写一个小于10的“完全数”：8（答案不唯一）； （2）请判断x2﹣4x+8（x是整数）是否是“完全数”，并说明理由； （3）已知S＝x2+4y2+2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； （4）如果整数m，n都是“完全数”，试说明：m•n也是“完全数”． 【分析】（1）根据“完全数”的定义即可解答； （2）根据“完全数”的定义即可解答； （3）利用完全平方公式将S配成“完全数”，即可解答； （4）设m＝a2+b2，n＝c2+d2（a，b，c，d为整数），再证明mn＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2即可． 【解答】（1）解：∵8＝22+22， ∴8是完全数， 故答案为：8（答案不唯一）； （2）解：是，理由如下： ∵x2﹣4x+8＝x2﹣4x+4+4＝（x﹣2）2+22， ∴x2﹣4x+8（x是整数）是“完全数”； （3）解：k＝10时，S为“完全数”，理由如下： S＝x2+4y2+2x﹣12y+k ＝x2+2x+1+（4y2﹣12y+9）+k﹣10 ＝（x+1）2+（2y﹣3）2+k﹣10， ∵x、y是整数， ∴x+1，2y﹣3也是整数， 当k﹣10＝0，即k＝10，S是完美数； （4）证明：设m＝a2+b2，n＝c2+d2（a，b，c，d为整数）， ∴mn＝（a2+b2）（c2+d2） ＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 ＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd﹣2abcd ＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2， ∵a、b、c、d是整数， ∴ac，bd，ad，bc都是整数， ∴mn是完全数． 【点评】本题考查新定义，因式分解的应用，掌握“完全数”的定义是解题的关键． 22．（2025秋•上海校级期中）如图，动点P从到原点距离为8的点M处向原点方向跳动，第一次跳到OM的中点M1处，第二次从点M1跳到OM1的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M3处，如此不断跳动下去，第2025次跳动后，该动点到原点O的距离为． 【分析】分析每次跳动后质点与原点的距离，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知，点M所对应的数到原点的距离是8个单位， 根据质点的跳动方式， 则第一次跳动后，该质点到原点的距离是：； 第二次跳动后，该质点到原点的距离是：； 第三次跳动后，该质点到原点的距离是：； … ∴． ∴第2025次跳动后，该质点到原点的距离是． 故答案为：． 【点评】本题考查图形的变化规律，能根据质点的跳动方式得出每跳一次，质点与原点的距离是上一次距原点距离的一半是解题的关键． 23．（2025秋•虹口区期中）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d），我们规定：（a，b）□（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）□（3，4）＝12+42﹣2×3＝11． （1）若（x，kx）□（y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值； （2）若2x+y＝10，且（3x+y，2x2+3y2）□（3，x﹣3y）＝84，求xy的值； （3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG，若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）由题目中的规定可知（x，kx）□（y，﹣y）＝x2﹣kxy+y2，根据完全平方公式的特征确定答案即可； （2）根据题目中的规定求出（3x+y，2x2+3y2）□（3，x﹣3y）＝84等号左边部分，可得4x2+y2＝84，再借助完全平方公式，将2x+y＝10代入求解即可； （3）根据三角形面积公式将阴影部分的面积表示出来，得到含2x+y，xy的整式，再代入求值即可． 【解答】解：（1）根据题意，可得（x，kx）□（y，﹣y）＝x2+（﹣y）2﹣kx•y＝x2﹣kxy+y2， ∵（x，kx）□（y，﹣y）是一个完全平方式， ∴﹣kxy＝±2xy， 解得k＝±2； （2）根据题意，可得（3x+y，2x2+3y2）□（3，x﹣3y） ＝（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2） ＝（9x2+6xy+y2）+（x2﹣6xy+9y2）﹣（6x2+9y2） ＝4x2+y2 ＝84， ∵2x+y＝10， ∴（2x+y）2＝4x2+4xy+y2＝100， ∴4xy＝100﹣84＝16， ∴xy＝4； （3）由（2）可知，2x+y＝10，xy＝4， ∵四边形ABCD和四边形CEFG均为长方形， ∴CD＝AB＝2x，BC＝AD＝8x，CG＝EF＝4y，CE＝FG＝y， ∴DE＝2x﹣y，BG＝8x﹣4y， ∴阴影部分的面积为 S＝S△BCD﹣S△BFG﹣S△DEF﹣S△CEG ＝8x2﹣4xy+2y2﹣4xy+2y2﹣2y2 ＝8x2﹣8xy+2y2 ＝2（2x+y）2﹣16xy ＝2×102﹣16×4 ＝136． 【点评】本题主要考查了整式混合运算、完全平方公式的应用、代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题关键． 24．（2025秋•上海校级期中）定义：整式A乘以整式B，得到整式C，如果整式C的项数正好比整式A的项数多1，那么我们称整式B是整式A的“相邻增项式”． （1）如果A＝x﹣2，B＝2x+5，判断B是否是A的“相邻增项式”，并说明理由； （2）已知A＝x﹣3，B＝x2+2mx+n都是关于x的整式且m、n均为不等于0的有理数． ①填空：当n＝1时，如果B是A的“相邻增项式”，那么m的值为或； ②设D＝B（A+2），E＝B﹣A﹣n，如果关于x的整式D中不含x的二次项，且整式E是整式D的“相邻增项式”，求n的值． 【分析】（1）根据“相邻增项式”的定义，即可判断； （2）①当n＝1时，先整理出AB的代数式，再根据已知条件，即可得出答案； ②先求出m的值，再代入，接着根据条件即可得出n的值． 【解答】解：（1）B是否是A的“相邻增项式”，理由如下： AB＝（x﹣2）（2x+5） ＝2x2+x﹣10， ∵AB的项数是3，而A的项数是2， ∴B是否是A的“相邻增项式”． （2）①当n＝1时， AB＝（x﹣3）（x2+2mx+1） ＝x3+（2m﹣3）x2+（1﹣6m）x﹣3， ∵当n＝1时，如果B是A的“相邻增项式”， ∴1﹣6m＝0或2m﹣3＝0， ∴m或m． 故答案为：或． ②D＝（x2+2mx+n）（x﹣3+2） ＝x3+（2m﹣1）x2+（n﹣2m）x﹣n， ∵关于x的整式D中不含x的二次项， ∴2m﹣1＝0， ∴m， ∴D＝x3+（n﹣1）x﹣n， ∴E＝B﹣A﹣n＝x2+x+n﹣x+3﹣n ＝x2+3， ∴ED＝（x2+3）[x3+（n﹣1）x﹣n] ＝x5+（n+2）x3﹣nx2+3（n﹣1）x﹣3n， ∴当n＝1时，D为关于x的二项式，而DE为四项式（舍去）， 当n≠1且n≠0时，D为关于x的三项式， ∵整式E是整式D的“相邻增项式”， ∴n＝﹣2， 综上所述，n＝﹣2． 【点评】本题主要考查整式的加减，理解题意是解题的关键． 【考点4】整式应用（第32-34题） ·列整式表示实际量 ·通道宽度问题 ·周长面积代数式 25．（2025秋•宝山区校级期中）如图，某体育公园有一块长为110米，宽为90米的长方形运动场地．场地中间有两块运动区域，分别记作①号和②号区域．阴影部分为人行通道，两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等．已知①号区域的形状是正方形，边长为a米，②号区域的形状是长方形． （1）当a＝80时，人行通道的宽度为5米；②号区域的周长190米； （2）求②号区域的周长（用含a的代数式表示）． 【分析】（1）利用长方形与正方形的性质，利用大长方形的宽减去正方形的边长即得到两条人行通道的宽度，即可求出人行通道的宽度；再用周长公式求出②号区域的周长． （2）利用（1）中的方法求得人行通道的宽度，利用图中数据求得②号区域的宽，再利用正方形的周长公式解答即可． 【解答】解：（1）当a＝80时， 人行通道的宽度为：（90﹣80）÷2＝5（米）， ②号区域的周长：2×（110﹣80﹣5×3+80）＝190（米）， 故答案为：5；190． （2）由题意得：人行通道的宽度为：（90﹣a）÷2， ②号区域的长与①号区域的长相同， ∵两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等， ∴②号区域的宽为：110﹣a﹣3（0.5a﹣25）米， ∴②号区域的周长＝2（a+0.5a﹣25）＝（3a﹣50）米． 【点评】本题主要考查了列代数式，代数式求值，熟练掌握长方形与正方形的性质是解题的关键． 26．（2025秋•崇明区校级期中）如图，一条街道旁有A，B，C三幢居民楼，A，B两幢楼之间相距200米，B，C两幢楼之间相距400米．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表： 楼号 A B C 大桶水数/桶 55 50 38 该经销商计划在这条街道上的某一处设置大桶水供应点，若要使得这三幢楼内的居民取水（每次取一桶水）所走路程之和最小，选择的地点应在（　　） A．B楼与C楼之间 B．A楼与B楼之间 C．B楼 D．A楼 【分析】分类讨论设置大桶水供应点分别在①A楼，②B楼，③C楼，④A楼和B楼之间，⑤B楼和C楼之间．比较大小即可． 【解答】解：已知AB＝200，BC＝400，AC＝600． ①设置大桶水供应点在A楼， 55×0+50×AB+38×AC＝0+50×200+38×600＝32800． ②设置大桶水供应点在B楼， 55×AB+50×0+38×BC＝55×200+0+38×400＝26200． ③设置大桶水供应点在C楼， 55×AC+50×BC+38×0＝55×600+50×400+0＝53000． ④设置大桶水供应点在A楼和B楼之间的点D，BD＞0， 55×AD+50×BD+38×CD＝55×（200﹣BD）+50×BD+38×（BD+BC）＝26200+33BD＞26200． ⑤设置大桶水供应点在B楼和C楼之间的点E，BE＞0， 55×AE+50×BE+38×CE＝55×（200+BE）+50×BE+38×（400﹣BE）＝26200+67BE＞26200． 所以设置大桶水供应点在B楼，所走路程之和最小为26200×2＝52400． 故选：C． 【点评】本题考查了两点的距离，最短路径路径问题．关键是分类讨论比较出所走路程和的最小值． 📊课后巩固 🍬复习建议 ·乘法公式先看结构，套用前看清符号，中间项别漏2 ·整体代入别硬算，把(x-2024)等当整体，用配方变形 ·面积题用两种方法算同一图形列等式，注意重叠部分 ·新定义题先读懂例子再套规则，不要凭经验 ·规律题多算前3个找递推关系，再验证一般式 【作业1】（2025秋•杨浦区期中）1261年，我国南宋数学家杨辉（13世纪）在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”中蕴含了许多数字的规律，按照它的构造规则可知：从左边数第3条斜线的第m个数是．（用含m的代数式表示） 【分析】观察第3条斜线上的数为从1开始的连续的整数的和，进行求解即可． 【解答】解：由题意和图可知： 从左边数第3条斜线的第1个数是：1； 从左边数第3条斜线的第2个数是：1+2＝3； 从左边数第3条斜线的第3个数是：1+2+3＝6； 从左边数第3条斜线的第4个数是：1+2+3+4＝10； 依次类推： 从左边数第3条斜线的第m个数是：； 故答案为：． 【点评】本题考查数字类规律探究，正确找出规律是解题的关键． 【作业2】（2025秋•杨浦区期中）如图，线段BC长度为a，在线段BC上截取线段CJ＝b，再延长BC至M，使CM＝b，（a＞b＞0），分别作正方形ABCD、正方形BMFN和正方形PBJO． （1）分别计算图中长方形PBMQ和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）如果已知图中正方形BMFN、正方形PBJO的面积分别是7和3，计算长方形KJME的面积； （3）分别联结AG、AJ、QG、QJ，如果已知正方形BMFN的面积是S1，正方形KOHD的面积是S2，用含S1、S2的代数式表示四边形AJQG的面积． 【分析】（1）根据题意可以得到（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）由题意得（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，计算得到ab＝1，据此求解即可； （3）根据四边形AJQG的面积等于中间小正方形的面积和四个直角三角形面积和，据此求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，长方形PBMQ的面积＝（a+b）（a﹣b）， 阴影部分图形的面积＝a2﹣b2， ∴可以发现一个乘法公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）∵正方形BMFN、正方形PBJO的面积分别是7和3， ∴（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4， 整理得，4ab＝4，即ab＝1， 长方形KJME的面积＝a•2b＝2ab＝2； （3）∵正方形BMFN的面积是S1，正方形KOHD的面积是S2， ∴，， ∴四边形AJQG的面积 ． 【点评】本题考查了整式运算的应用，掌握整式的运算是解题的关键． 【作业3】（2025秋•徐汇区校级期中）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（　　） A．a户最长 B．b户最长 C．c户最长 D．三户一样长 【分析】可理解为将最左边一组电线向右、向上平移所得，由平移的性质即可得出结论． 【解答】解：∵a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列， ∴将a向右、向上平移即可得到b、c， ∵图形的平移是全等的，即不改变图形大小和形状， ∴三户一样长． 故选：D． 【点评】本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解答此题的关键． 【作业4】（2025秋•徐汇区校级期中）长方形纸片中的数学问题： 有一组兴趣小组的学生在积极探究长方形纸片中（对边相等）的数学问题．通过折纸或者裁纸，进行了如下的探究： 【探究一】： 如图1，将一张长方形纸片EFMN（其中EF＝3，EN＝4）沿虚线FH翻折，点E正好落在对角线FN上点P处，联结PH，已知FN＝5，求EH的长． 【探究二】： 如图，为了将一张长方形纸片EFMN（其中，MN＝EF＝a，EN＝FM＝b）拼接成新的图形（其中，b＞a），我们进行如下的操作： ①先将纸片沿虚线FH剪开（图2）； ②然后将直角梯形部分沿所剪的方向向下平移一段距离，并将直角梯形沿虚线剪开（图3）； ③再将剪得的四边形部分沿第一次所剪的方向向上平移（图4）； ④得到新的图形ABCDEF（图5） （1）新图形ABCDEF的面积为ab，线段EH（图3）和线段BC（图4）有怎样的数量关系：BC＝EH． （2）在图5中延长AB交DE于点G，如果AF＝a，四边形BCDG是一个长方形，其中BC＝2m、CD＝m． i）用两个不同的代数式表示线段AB的长； ii）如果，求a与b之间的数量关系． 【分析】【探究一】：设EH＝PH＝x，则NH＝4﹣x，再结合长方形的性质与勾股定理计算即可； 【探究二】：（1）如图，补全图形，记FH与CB的交点为Q，MN与CQ的交点为B'，延长AB交EN于G，延长FA，DC交于点J，连接JG，标注D'，H'，根据平移与长方形的性质可得：B'在JG上，由长方形的中心对称的性质可得：四边形CDNB'的面积＝四边形ABB'M的面积，进一步可得答案； （2）i）如图，表示BC＝DG＝2m，CD＝BG＝m，AF＝GE＝b，MN＝AG＝a，可得AB＝AG﹣BG＝a﹣m，AM＝BB'＝GN＝MF﹣AF＝b﹣a，B'C＝BC﹣BB'＝2m﹣b+a，利用四边形CDNB'的面积＝四边形ABB'M的面积，可得； ii）由i）得：，结合，进一步可得结论． 【解答】解：【探究一】：∵将一张长方形纸片EFMN（其中EF＝3，EN＝4）沿虚线FH翻折，点E正好落在对角线FN上点P处，连接PH，FN＝5， ∴∠FEN＝90°，FE＝FP＝3，EH＝PH，∠FPH＝∠FEH＝90°， ∴PN＝FN﹣FP＝2，∠NPH＝90°， 设EH＝PH＝x，则NH＝4﹣x， ∴（4﹣x）2＝x2+22， 解得：， ∴； 【探究二】：（1）如图，补全图形， 记FH与CB的交点为Q，MN与CQ的交点为B'，延长AB交EN于G，延长FA，DC交于点J，连接JG，标注D'，H′， 根据平移与长方形的性质可得：B'在JG上， 由长方形的中心对称的性质可得：四边形CDNB'的面积＝四边形ABB'M的面积， ∴新图形ABCDEF的面积为长方形EFMN的面积＝ab． 由平移可得：DH＝AF， ∵AF+BC＝DH+EH＝DE， ∴BC＝EH， ∴线段EH（图2）和线段BC（图3）有的数量关系为：BC＝EH． 故答案为：ab；BC＝EH； （2）i）如图， ∵AF＝a，BC＝2m、CD＝m，四边形BCDG是一个长方形， ∴BC＝DG＝2m，CD＝BG＝m，AF＝GE＝b，MN＝AG＝a， ∴AB＝AG﹣BG＝a﹣m，AM＝BB'＝GN＝MF﹣AF＝b﹣a， ∴B'C＝BC﹣BB'＝2m﹣b+a， ∵四边形CDNB'的面积＝四边形ABB'M的面积， ∴m•（2m﹣b+a）＝AB•（b﹣a）， ∴， 综上所述：AB＝a﹣m或； ii）由i）得：， ∴2m2﹣bm+am＝（a﹣m）（b﹣a）， ∵， ∴， 整理得：． 【点评】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，平移的性质，勾股定理的应用，整式的乘法运算．熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 【作业5】（2025秋•虹口区期中）如图，长为a，宽为b的大长方形被分割为6块，除阴影A外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为1，那么阴影A的周长是（　　） A．2b+a+4 B．3b+4 C．2b+6 D．2b+3a 【分析】根据图形，可以用含b的代数式表示出阴影A的周长． 【解答】解：设小长方形的宽为x， 由图可得，阴影A的周长为：[a+（b﹣x）]×2 ＝（a+b﹣x）×2 ＝2a+2b﹣2x， ∵a＝3+x， ∴2a+2b﹣2x ＝2（3+x）+2b﹣2x ＝6+2x+2b﹣2x ＝6+2b， 即阴影A的周长为6+2b， 故选：C． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【作业6】（2025秋•虹口区期中）规定：如果两数a、b满足am＝b，则记为（a，b）＝m．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用该规定来说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m×3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．如果（3，m+17）＝4，（27，2m）＝n，那么（3，128）＝3n． 【分析】由题意可得34＝m+17，解得m＝64，再由27n＝33n＝128，结合规定即可求解． 【解答】解：∵（3，m+17）＝4，（27，2m）＝n， ∴34＝m+17， ∴m+17＝81， 解得：m＝64， ∵（27，2m）＝n， ∴27n＝2m， ∴27n＝33n＝2×64＝128， ∴（3，128）＝3n， 即如果（3，m+17）＝4，（27，2m）＝n，那么（3，128）＝3n． 故答案为：128． 【点评】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，弄懂定义是解题的关键． 【作业7】（2025秋•虹口区期中）【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如图①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是15． 【模型迁移】 （2）图②是显示部分式子的幻方，用含b的式子表示a． （3）图③是显示部分式子的幻方，求x的值． 【分析】（1）先求出这几个数的和，再把它平均分成3份，求出每份即可； （2）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于a，b的等式，并把a用含b的式子表示即可； （3）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于m的等式，求出m2﹣3m＝5，再列出含有x和m的等式，求出x即可． 【解答】解：（1）由题意得：（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3＝15， ∴这个和是15， 故答案为：15； （2）由题意得：3b﹣2b＝2a+5b b＝2a+5b， 2a＝﹣4b， a＝﹣2b； （3）由题意得： m2﹣m+3+2m2+3m﹣3＝2m2+3m+2m+5， 3m2+2m＝2m2+5m+5， m2﹣3m＝5， ∴（﹣3m2+4m+x）+（2m2+3m）＝（m2﹣m+3）+（2m+5）， x﹣m2+7m＝m2+m+8， x＝m2+m2+m+8﹣7m， ＝2m2﹣6m+8 ＝2（m2﹣3m）+8 ＝2×5+8 ＝10+8 ＝18． 【点评】本题主要考查了有理数的加法和列代数式，解题关键是理解幻方中每行、每列及对角线上的数字和都相等． 【作业8】（2025秋•徐汇区期中）式子2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，则log381＝4，同理log327＝3，log33＝1．由此可以得到下列式子：log381＝log327+log33，根据以上的信息及运算关系，若log3（x+12）+log3x＝2log3（x+2），则x＝． 【分析】设a＝log3（x+12），b＝log3x，c＝log3（x+2），则3a＝x+1，3b＝x，3c＝x+2，再根据同底数幂的乘法及新定义得到（x+12），x和（x+2）的关系，求解即可． 【解答】解：设log3（x+12）＝a，log3x＝b，log3（x+2）＝c， ∵log3（x+12）+log3x＝2log3（x+2）， 即a+b＝2c，3a＝x+12，3b＝x，3c＝x+2， ∴3a+b＝3a×3b＝x（x+12），32c＝3c×3c＝（x+2）•（x+2）＝（x+2）2， ∴a+b＝log3x（x+12），， ∴， ∴x（x+12）＝（x+2）2， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $