期中培优：三角形的内角5种高频考点专项训练-2026-2027学年人教版八年级数学上册

期中培优：三角形的内角4种高频考点专项训练 期中培优：三角形的内角4种高频考点专项训练 考点目录 三角形内角和定理的证明 三角形内角和定理的应用 与平行线有关的三角形内角和问题 与角平分线有关的三角形内角和问题 三角形折叠中的角度问题 考点一 三角形内角和定理的证明 例1．（26-27八年级上·广东惠州·阶段检测）数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． (1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； (2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； 【答案】(1)证明：如图，过点A作， 则，．(两直线平行，内错角相等） ∵点，，在同一条直线上， ∴．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． (2)∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ． 【分析】（1）如图，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为． （2）根据平行线的性质，将三个内角转化为，根据平角的定义，即可得证； 【详解】（1）证明：略． （2）推理说明：略． 例2．（26-27八年级上·山东日照·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)【探究学习】：小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． (2)【迁移应用1】：健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中，若，，请直接写出的度数为_______． (3)【迁移应用2】：如图3为北斗七星的位置图，将其抽象为图4，北斗七星分别标注为，，，，，，，将，，，，，，，顺次首尾连接．假设，，三点共线，恰好经过点，且，，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ，， ， ， 即三角形的内角和为； (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质及平角等于180度证明即可； （2）作，可得，从而，然后根据求解即可； （3）过点作，证明，可得，，，结合，，整理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 变式1．（25-26七年级下·河北张家口·期末）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来拼成一个平角来度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为，，．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ____________．（________________________________________________） __________（________________________________________________） 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 【答案】(1)；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 (2)解：∵， ∴，， ∵，，共线， ∴， ∴． 【分析】（1）利用拼接得到等角，由内错角相等证两直线平行，再根据两直线平行得同旁内角互补，从而推导出三角形的内角和； （2）由平行线性质实现角的等量代换，结合平角定义，证明三角形内角和为． 【详解】（1）解：由操作可知，， ∵内错角相等，两直线平行， ∴， ∴第一个空答案为，对应的依据为：内错角相等，两直线平行， ∵两直线平行，同旁内角互补， ∴， ∴第二个空答案为，对应的依据为：两直线平行，同旁内角互补； （2）略． 变式2．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）    【答案】(1)． ，内角和为． (2)选择图2，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 选择图3，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； (3)证明：过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴ 即内角和为． 【分析】（1）方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，即可求解． 方法二：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）过点作交于点，过点作交于点，由两直线平行，同位角相等，内错角相等易证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 考点二 三角形内角和定理的应用 例1．（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）一个三角形的一个内角为，其余两个内角度数的比是，这个三角形是（     ）三角形． A．直角 B．锐角 C．钝角 D．等腰 【答案】B 【分析】先由三角形内角和定理求出其余两个内角之和，再根据比例求出每一个角度，比较后得出结论． 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴其余两个内角的和为， ∵其余两个内角度数的比是， ∴每份的度数为， ∴两个内角分别为，， ∵三个内角均为锐角，且两两不相等， ∴这个三角形是锐角三角形． 例2．（25-26八年级上·陕西安康·期末）将一副直角三角板（和）按如图所示方式叠放在一起，，边与在一条直线上，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形内角和定理求出和的度数，再根据对顶角相等求解即可． 【详解】解： 边与在一条直线上 如图， 在中， 与是对顶角 ． 例3．（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，若沿图中虚线截去，则_________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理及平角的定义，建立、与的数量关系即可求解． 【详解】解：如图，设截去后形成的小三角形的另外两个内角分别为、， ∵与互补，与互补， ∴，， 在小三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式1．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）求图，中的值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理列出关于的方程． 【详解】解：根据三角形内角和定理，得， 合并同类项，得， 解得． 变式2．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）在中，，则这个三角形的最大内角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，把每个角用含未知数的代数式表示出来，再根据三角形的内角和列出方程，通过解方程得到每个内角的度数，即可得到答案． 【详解】解：∵，占比最大，为最大内角， 设，，， ∵三角形内角和为， ∴， 解得， ∴． 变式3．（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）在中，若，，则的度数是__________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 考点三 与平行线有关的三角形内角和问题 例1．（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 例2．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选B． 例3．（26-27八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，中，，若，，则________ 【答案】 【分析】由平行得出，再结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：，， ， ，， ． 变式1．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 变式2．（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，直线，，那么与（   ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理得出，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互余， 故选：C． 变式3．（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图是从一个帆船模型抽象的几何图形，其中，若，，则的度数为__________． 【答案】/35度 【详解】解：∵， ∴， ∴． 考点四 与角平分线有关的三角形内角和问题 例1．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定义求，利用直角三角形两锐角互余求，作差即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴ ∵是边上的高 ∴ ∵ ∴ ∴ 例2．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，是的角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求出，然后根据解答即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 例3．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为________． 【答案】 130 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，结合角平分线定义得出的度数，再利用三角形内角和定理计算． 【详解】解： ， ， 、分别平分、 ， ， ， ． 变式1．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，平分．若＝，＝，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义结合可得出的值，进而可得出、的值，在中利用三角形内角和定理可求出的值，此题得解． 【详解】解：平分，， ， ， ． ， ， ． 变式2．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在中，和的角平分线相交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，，和的角平分线相交于点 ∴， ∴． 变式3．（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）如图所示，在中，是的角平分线，是的高，，则__________． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，可知，进而根据高的定义及三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 考点五 三角形折叠中的角度问题 例1．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，D，E分别是上的点，将沿折叠，使点C落在的内部点处．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求出，结合平角的定义和折叠的性质求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿折叠， ∴， ∴ 例2．（26-27八年级上·福建福州·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，再根据折叠，可得，从而可求得，最后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，点落在点处， ， ∴， ∴． 例3．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则______． 【答案】/205度 【分析】首先由折叠的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图， 由折叠得，， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级下·山东日照·开学考试）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质可知折叠前后的对应角相等，结合平角定义可得，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质可知，折叠前后的对应角相等， ，， ，， 在中，， ， ， ． 变式2．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】分点落在下方且，点落在上方且和三种情况讨论，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性质，列式计算即可． 【详解】解：当点落在下方且时，如图，则， 由折叠性质得：， ， 则． 当点落在上方且时，如图，则， ， ∴． 当时，如图，则， 由折叠性质得：，， ∴． ∵ ∴ 综上，的度数为或或． 变式3．（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在中，，，点是上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，则___________ 【答案】 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，则由折叠的性质可得的度数，由平角的定义求出的度数，最后根据三角形内角和定理可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：三角形的内角4种高频考点专项训练 期中培优：三角形的内角4种高频考点专项训练 考点目录 三角形内角和定理的证明 三角形内角和定理的应用 与平行线有关的三角形内角和问题 与角平分线有关的三角形内角和问题 三角形折叠中的角度问题 考点一 三角形内角和定理的证明 例1．（26-27八年级上·广东惠州·阶段检测）数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． (1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； (2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； 例2．（26-27八年级上·山东日照·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)【探究学习】：小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． (2)【迁移应用1】：健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中，若，，请直接写出的度数为_______． (3)【迁移应用2】：如图3为北斗七星的位置图，将其抽象为图4，北斗七星分别标注为，，，，，，，将，，，，，，，顺次首尾连接．假设，，三点共线，恰好经过点，且，，，求的度数． 变式1．（25-26七年级下·河北张家口·期末）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来拼成一个平角来度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为，，．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ____________．（________________________________________________） __________（________________________________________________） 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 变式2．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）    考点二 三角形内角和定理的应用 例1．（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）一个三角形的一个内角为，其余两个内角度数的比是，这个三角形是（     ）三角形． A．直角 B．锐角 C．钝角 D．等腰 例2．（25-26八年级上·陕西安康·期末）将一副直角三角板（和）按如图所示方式叠放在一起，，边与在一条直线上，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 例3．（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，若沿图中虚线截去，则_________． 变式1．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）求图，中的值（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）在中，，则这个三角形的最大内角为（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）在中，若，，则的度数是__________． 考点三 与平行线有关的三角形内角和问题 例1．（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3．（26-27八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，中，，若，，则________ 变式1．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，直线，，那么与（   ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 变式3．（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图是从一个帆船模型抽象的几何图形，其中，若，，则的度数为__________． 考点四 与角平分线有关的三角形内角和问题 例1．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，是的角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为________． 变式1．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，平分．若＝，＝，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在中，和的角平分线相交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）如图所示，在中，是的角平分线，是的高，，则__________． 考点五 三角形折叠中的角度问题 例1．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，D，E分别是上的点，将沿折叠，使点C落在的内部点处．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27八年级上·福建福州·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则______． 变式1．（25-26八年级下·山东日照·开学考试）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 变式3．（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在中，，，点是上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，则___________ 2 学科网（北京）股份有限公司 $