期中培优：全等三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形与动点问题综合专项训练-2026-2027学年人教版八年级数学上册

期中培优：全等三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形与动点问题综合专项训练 期中培优：全等三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形与动点问题综合专项训练 考点目录 全等三角形的性质 全等三角形的判定 全等三角形与动点问题综合 考点一 全等三角形的性质 例1．（26-27八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形对应角相等这一性质，找出与对应的角，进而求出的度数． 【详解】解：， ， 由图可知， ． 例2．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找准全等三角形的对应角，将求转化为求中的度数，结合三角形内角和计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴． ∵在中，，，， ∴ ， ∴ ． 例3．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，，的周长为21，，则____． 【答案】6 【分析】全等三角形对应边相等：，再根据即可求的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的周长为21，即，， ∴． 例4．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示的两个三角形全等，则的度数是_________． 【答案】/72度 【分析】由三角形全等的性质求解即可． 【详解】解：如图所示： 两个三角形全等，， ． 变式1．（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）已知：如图，，若，，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据全等三角形对应边相等得出，结合图形利用线段的和差关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 变式2．（26-27八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关于三角形的说法正确的是（     ） A．全等三角形的对应边和对应角都相等 B．所有周长相等的三角形都是全等三角形 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．全等三角形是指形状相同的两个三角形 【答案】A 【分析】依据全等三角形的定义与性质判断各选项正误. 【详解】解：A选项，全等三角形的对应边和对应角都相等，说法正确； B选项，周长相等的三角形不一定能完全重合，不是全等三角形，说法错误； C选项，面积相等的三角形不一定能完全重合，不是全等三角形，说法错误； D选项，形状相同的三角形大小不一定相等，不一定能完全重合，不是全等三角形，说法错误． 变式3．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，点，在上，且．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】首先利用全等三角形的性质得到，然后求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴． 变式4．（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）如图，点，，，在一条直线上，，若，，则______． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应边相等可得，利用线段的和差关系建立方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点，，，在一条直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 考点二 全等三角形的判定 例1．（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，D、F是线段上的两点，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【分析】首先证明，再证明即可． 【详解】证明：略． 例2．（26-27八年级上·北京西城·阶段检测）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接． (1)求证：； (2)试判断的位置关系，并说明理由（适当做辅助线）． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)解：，理由如下： 如下图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）首先证明，然后利用“”证明全等即可； （2）延长，交于点，首先由三角形内角和定理证明，再根据全等三角形的性质证明，进而可得，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 例3．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)③ (2)证明：在与中， ， ． 【详解】（1）解：选择③，即． （2）略 变式1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，与的边与在同一条直线上，于点于点，若用“”证明，请你添加一个合适的条件，并写出证明过程． 【答案】 添加条件： 证明：于点， ． 于点， ． 与都是直角三角形． 在和中， ， ． 【分析】两三角形已有一组直角边所在角为直角，斜边已知；由判定只需再补一条直角边相等，故添加（或）即可证全等． 【详解】略 变式2．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，． (1)延长至点，使，连接．求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)解：为的中点， ． 在与中， ． (2)． 【分析】（1）采用“中线倍长”法：延长中线至使，连接，以证； （2）由全等得，在中用三边关系把转化为的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ． 在中，，，． 由三角形三边关系得， 代入数值得， 即， ． 变式3．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知：如图，线段相交于点．从①，②，③中选出两个作为补充条件，余下的一个作为结论，组成一个真命题． (1)你选择的条件是___________，结论是___________（均填写序号）；写出结论成立的证明过程： (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)解：选择条件①②，结论③，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 选择条件①③，结论②，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）选择条件①②，结论③，选择条件①③，结论②，两种情况分别证明，结合全等三角形的性质可证明对应的结论； （2）由三角形内角和定理求出的度数，再由全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴． 考点三 全等三角形与动点问题综合 例1．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 【答案】(1)8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点、所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， ∴当时，点在点处，此时． （2）解：在中，，，，， ∴． ∵的面积等于面积的一半， ∴． 如图，当点在上时，， ∴，解得． 如图，当点在上时，过点作于点， 此时， ∵， ∴． ∴，解得． 综上所述，当的面积等于面积的一半，或． （3）解：设点的运动速度为， ①当点在上，点在上时，， ，， ． ②当点在上，点在上时，， ，， ． ③当点在上，点在上时，， ，， ， ∴． ④当点在上，点在上时，， ，， ∴点的运动时间， ∴． 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 例2．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题． 【模型呈现】 （1）如图1，点，，在同一直线上，，．求证：． 【模型拓展】 （2）如图2，点，，在同一直线上，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点，，点以2cm/s的速度从点出发，沿移动到点，点以3cm/s的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点也停止运动．过点，分别作，，垂足分别为点，．若，，设运动时间为s．当以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等时，直接写出的值． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴． ∵，，， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． （3）2或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握一线三等角和一线三直角模型是解题的关键． （1）运用一线三等角的模型直接证明即可； （2）先证明，再用证明得到，，结合即可得到； （3）分①当点在边上，点在边上，即时，②当点在边上，点在边上即时，③当点在边上，点在边上时，即时三种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）2或．理由如下： 根据题意，得． ∵，， ∴． ∵， ∴当时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等． ①如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ②如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ③如图，当点在边上，点在边上时，即时，，， ∴， 解得(舍去)． 综上所述，的值为2或． 变式1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 【答案】(1) 证明：∵、为边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)t的值为或 (3)t的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据三角形高的定义和直角三角形锐角互余，得到，，结合，根据即可证得结论； （2）根据题意可求得，，，，且，然后分两种情况讨论：①当点Q在线段上时，则；②当点Q在线段上时，则；结合三角形面积公式，列出方程解出t的值即可； （3）由（1）可知，可推出，结合已知条件，分两种情况讨论：①当点F在线段的延长线上时，此时，，；②当点F在线段上时，此时，，；据此列出方程解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∵动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动， ∴，，且 ①当点Q在线段上时，则，此时， ∴， 解得； ②当点Q在线段的延长线上时，则，此时， ∴， 解得； 综上，当的面积为2时，t的值为或； （3）解：①如图，当点F在线段的延长线上时， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等， ∴， 此时，， ∴， 解得； ②如图，当点F在线段上时， 同①可得，， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，t的值为或． 变式2．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)运动的速度为或或或． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ∴运动的速度为或或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：全等三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形与动点问题综合专项训练 期中培优：全等三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形与动点问题综合专项训练 考点目录 全等三角形的性质 全等三角形的判定 全等三角形与动点问题综合 考点一 全等三角形的性质 例1．（26-27八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）若，则等于（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，，的周长为21，，则____． 例4．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示的两个三角形全等，则的度数是_________． 变式1．（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）已知：如图，，若，，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．8 变式2．（26-27八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关于三角形的说法正确的是（     ） A．全等三角形的对应边和对应角都相等 B．所有周长相等的三角形都是全等三角形 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．全等三角形是指形状相同的两个三角形 变式3．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，点，在上，且．若，，则的长为__________． 变式4．（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）如图，点，，，在一条直线上，，若，，则______． 考点二 全等三角形的判定 例1．（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，D、F是线段上的两点，，求证：． 例2．（26-27八年级上·北京西城·阶段检测）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接． (1)求证：； (2)试判断的位置关系，并说明理由（适当做辅助线）． 例3．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 变式1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，与的边与在同一条直线上，于点于点，若用“”证明，请你添加一个合适的条件，并写出证明过程． 变式2．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，． (1)延长至点，使，连接．求证：； (2)求的取值范围． 变式3．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知：如图，线段相交于点．从①，②，③中选出两个作为补充条件，余下的一个作为结论，组成一个真命题． (1)你选择的条件是___________，结论是___________（均填写序号）；写出结论成立的证明过程： (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 考点三 全等三角形与动点问题综合 例1．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 例2．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题． 【模型呈现】 （1）如图1，点，，在同一直线上，，．求证：． 【模型拓展】 （2）如图2，点，，在同一直线上，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点，，点以2cm/s的速度从点出发，沿移动到点，点以3cm/s的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点也停止运动．过点，分别作，，垂足分别为点，．若，，设运动时间为s．当以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等时，直接写出的值． 变式1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 变式2．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $