21.4 第1课时 利用二次函数解决最值问题-【木牍中考】2026-2027学年九年级上册数学同步教学优质课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦“利用二次函数解决最值问题”，通过复习函数单调性与最值衔接旧知，以几何图形面积、商品销售利润实际问题为探究起点，搭建从二次函数性质到实际应用的学习支架。 其亮点在于以“列函数表达式、确定取值范围、求最值”三步法为主线，结合矩形围网、玩具销售等实例，培养学生数学思维（推理与运算能力）和数学语言（模型意识）。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助清晰流程与丰富例题提高教学效率。

21.4 二次函数的应用 第一课时 利用二次函数解决最值问题 ※ 建议使用WPS2019以上版本打开 木牍中考-教学设计中心 制作 数 学 HK 9年级上册 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系；(重点) 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；（难点） 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题、商品销售过程中的最大利润问题.（难点） 学习目标及重难点 前 言 复习回顾 函数 图象 函数性质 函数增减情况 函数最大值或最小值 O O O O x y O x y O x y O x y O 当时，随着的增大而减小； 当时，随着的增大而增大 当时，随着的增大而增大； 当时，随着的增大而减小 当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， 导入新课 探索1：几何图形的面积问题 例1：在第21.1节的问题1中，要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米? 问题1：某水产养殖户用 40m 的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 讲授新课 例1：在第21.1节的问题1中，要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米? 解：在第 21.1节 中，得 将这个函数表达式配方，得 这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，如图，它的顶点坐标是.所以，当时，函数取得最大值，即 (m2). 25 O 5 10 15 20 x/m 50 75 100 S/m2 图中为何有两个空心点？ () 讲授新课 解：在第 21.1 节中，得 将这个函数表达式配方，得 () 这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段， 如图，它的顶点坐标是.所以，当时， 函数取得最大值，即 (m2). 此时，另一边长. 答：当围成的矩形水面边长都为时，它的面积最大为. 25 O 5 10 15 20 x/m 50 75 100 S/m2 讲授新课 利用二次函数的性质求图象面积的最值的一般步骤： 1.列出函数表达式； 2.确定自变量取值范围； 3.求出实际问题的最值. 注意：在实际问题中，求最大或最小值时，在顶点处取得的最值不一定符合题意，要注意自变量的取值是否符合题意，并使实际问题有意义. 矩形： 所有线段的长度＞0 三角形： 讲授新课 一根铝合金型材长为m，用它制作一个“日”字形窗户的框架(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么分别为多少米时，窗户的面积最大？ A B C D 解：设，则 ， （） 当时，有最大值 . 即当分别为时，窗户面积最大，为 随堂小练习 讲授新课 探索2：销售利润问题 例2：某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 进价/元 售价/元 数量/件 现价 20 30 180 涨价 20 设每件商品的销售单价上涨 元， 一个月内获取的商品总利润为 元. 讲授新课 进价/元 售价/元 数量/件 现价 20 30 180 涨价 20 解： 设每件商品的销售单价上涨 元， 一个月内获取的商品总利润为 元. 则 即 . 将上式进行配方， 当 时，即销售单价为 元时， 取最大值 . 答：当销售单价定为 元时,该店在一个月内能获取的最大利润为 元. 讲授新课 利用二次函数的性质求最大利润问题的一般步骤： 1.列出函数表达式； 2.确定自变量取值范围； 3.求出实际问题的最值. 注意：在实际问题中，求最大或最小值时，在顶点处取得的最值不一定符合题意，要注意自变量的取值是否符合题意，并使实际问题有意义. 总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本. 涨价:要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0. 讲授新课 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解: 设每件商品的销售单价下降 元， 每天的销售利润为 元. 由题意，得 将上式进行配方 ． 当 时，即销售单价为 元时， 取最大值 . 答：当销售单价为 元时, 每天的销售利润最大，最大利润为 元. 随堂小练习 讲授新课 1.某公司销售一种藜麦，成本价为30元/kg，若以35元/kg的价格销售，每天可售出450 kg. 当售价每涨0.5元/kg时，日销量就会减少15 kg.若使日销售利润最大，则销售价格应定为 ( ) A．42元/kg　　 　B．40元/kg　　　 C．38元/kg　 　　D．35元/kg B 习题1 习题解析 2.如图，某公园的示意图是对角线互相垂直的四边形，已知米，则该四边形公园的最大面积为________平方米. 3 200 习题2 习题解析 3.如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙（墙的长度为9 m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的边为 m，面积为 m2. （1）与之间的函数关系式为 ， 的取值范围是 ⁠； （2）如果要围成面积为 m2的花圃，求此时的长； （3）求所围成的花圃的最大面积是多少平方米. 习题3 习题解析 3.如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙（墙的长度为9 m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的边为 m，面积为 m2. （1）与之间的函数关系式为 ， 的取值范围是 ⁠； （2）如果要围成面积为 m2的花圃，求此时的长； 习题3 解：（2）由题意，得， 即， 解得（舍去）， 此时的长为 m. 习题解析 3.如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙（墙的长度为9 m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的边为 m，面积为 m2. （1）与之间的函数关系式为 ， 的取值范围是 ⁠； （3）求所围成的花圃的最大面积是多少平方米. 习题3 解：（3）(5≤＜8) 当时有最大值，最大值为， 所围成的花圃的最大面积是 m2. 习题解析 习题4 解：侧面积有最大值. 设剪掉的小正方形的边长为 cm，长方体盒子的侧面积为 cm2， 则 ()， 当时，有最大值，最大值为. 即长方体盒子的侧面积的最大值为， 剪掉的小正方形的边长为 cm. 4.某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，在一个边长为 40 cm的正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由. 习题解析 5.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上每盒豆沙粽的进价比每盒猪肉粽的进价便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽的数量相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价为50元时，每天可售出100盒；每盒售价每提高1元时，每天少售出2盒. （1）求每盒猪肉粽和每盒豆沙粽的进价； 习题5 解：（1）设每盒猪肉粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元. 由题意，得 ＝ ，解得. 经检验，是方程的解，且符合题意. （元）. 答：每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元. 习题解析 5.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上每盒豆沙粽的进价比每盒猪肉粽的进价便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽的数量相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价为50元时，每天可售出100盒；每盒售价每提高1元时，每天少售出2盒. （2）设每盒猪肉粽的售价为（50≤≤65）元，每天销售猪肉粽的利润为元，求关于的函数表达式，并求出最大利润. 习题5 解:(2)由题意可得，当每盒猪肉粽的售价为元时，每天可售出盒， 当时，取最大值，最大值为（元）， 关于的函数表达式为），最大利润为元. 习题解析 利用二次函数解决最值问题 注意 在实际问题中，求最大或最小值时，在顶点处取得的最值不一定符合题意，要注意自变量的取值是否符合题意，并使实际问题有意义. 一般步骤 1.列出函数表达式； 2.确定自变量取值范围； 3.求出实际问题的最值. 课堂小结 课时A计划对应章节. 课后作业 $