专题01 二次函数与反比例函数（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材沪科版

专题01 二次函数与反比例函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的图象与性质 / 考点二 二次函数的实际应用 考点三 反比例函数的图象与性质 / 考点四 二次函数与反比例函数的综合应用 05 重难题型突破 题型一 二次函数的图象与系数关系判断 / 题型二 二次函数图像的平移 题型三 二次函数图像综合判断 / 题型四 二次函数解析式的确定 题型五 二次函数的最值与实际应用 / 题型六 二次函数与方程、不等式的综合 题型七 反比例函数的图象与性质应用 / 题型八 反比例函数中k的几何意义 题型九 反比例函数的实际应用 / 题型十 二次函数与反比例函数的综合探究 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 侧重数形结合，二次函数是重中之重，考点涵盖解析式求解、图像与系数关系、增减性、平移、二次函数与一元二次方程、实际应用等，基础、中档、压轴题型齐全，压轴多为动点、最值、存在性综合题，难度偏高；反比例函数多以选择、填空为主，核心考查图像性质、k的几何意义、交点与面积问题，单独出压轴较少，常和一次函数、几何搭配作为小问考查，整体难度低于二次函数。 识记 记住二次函数、反比例函数的表达式、图像形状、自变量取值范围，熟记二次函数开口、对称轴、顶点相关结论，记住反比例函数 k 的几何意义基本结论。 理解 理解二次函数系数与图像的关系、增减性、平移规律、二次函数与一元二次方程的联系；理解反比例函数增减性、图像对称性，能区分两个函数图像特征。 应用 会求函数解析式，利用函数性质比较函数值、解决最值问题；能结合图像求交点、计算面积，会解决二次函数实际问题，能在几何背景、动点情境下，综合二次函数进行线段、面积、特殊图形存在性等综合探究。 考点一 二次函数的图象与性质 二次函数的解析式有三种常见形式：一般式 、顶点式 （a≠0，顶点坐标为(h,k)）、交点式 （a≠0，与x轴交点为(x₁,0)、(x₂,0)）。 核心性质： ①开口方向：a>0时开口 ，a<0时开口 ，|a|越大开口 ； ②对称轴：直线 ，顶点坐标为； ③增减性：a>0时，对称轴左侧y随x增大而 ，右侧y随x增大而 ；a<0时相反； ④最值：a>0时顶点处取最 值，a<0时顶点处取最 值。 ⚠️避坑指南 ①用顶点式求对称轴时，注意括号内是x-h，若为y=a(x+h)²+k，对称轴为x=-h，切勿符号错误；②比较函数值大小时，先将点转化到对称轴同一侧，再利用增减性判断，跨对称轴时需结合点到对称轴的距离分析； ③二次函数平移遵循“左加右减，上加下减”原则，是针对x和整体解析式的变形，不是直接在系数上加减。 考点二 二次函数的实际应用 二次函数实际应用常考三类题型： ①利润最值问题：总利润=单件利润×销售量，建立二次函数关系式后，结合 取值范围求最值，注意若顶点横坐标不在取值范围内，需根据函数增减性在区间端点取最值； ②面积最值问题：结合几何图形边长关系建立面积函数，注意边长为正的约束条件； ③抛物线形问题（拱桥、喷水池等）：建立平面直角坐标系，用 求解析式，再解决实际问题。 ⚠️避坑指南 ①实际问题中自变量的取值范围必须符合实际意义，不能直接套用顶点最值； ②建立坐标系时尽量将顶点或特殊点放在坐标轴上，简化解析式计算； ③计算最值时先检查顶点横坐标是否在自变量范围内，避免出现不符合实际的答案。 考点三 反比例函数的图象与性质 反比例函数的一般形式为 （k≠0），也可写成xy=k或y=kx⁻¹。 核心性质： ①图象是双曲线，k>0时图象位于 象限，在每个象限内y随x增大而 ；k<0时图象位于 象限，在每个象限内y随x增大而 ； ②比例系数k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为 ，该点与垂足、原点构成的直角三角形面积为； ③反比例函数图象关于原 中心对称，也关于直线y=x和y=-x轴对称。 ⚠️避坑指南 ①描述反比例函数增减性时，必须强调“在每个象限内”，不能笼统说y随x增大而增大/减小，比如k>0时，x₁=-1、x₂=1，对应的y₁=-k、y₂=k，此时y₁<y₂，不符合“y随x增大而减小”的笼统结论； ②利用k的几何意义求面积时，注意绝对值的应用，面积恒为正，不要漏掉符号； ③反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程求解后，注意结合图象判断取值范围，区分函数值大小对应的x区间。 考点四 二次函数与反比例函数的综合应用 常考题型： ①函数图象共存问题：根据 的符号判断两个函数在同一坐标系中的图象位置，逐一排除错误选项； ②函数与方程、不等式的结合：二次函数与 轴交点对应一元二次方程的根，二次函数值大于/小于0的区间对应不等式的解集；反比例函数与一次函数的 对应方程组的解，结合图象可判断函数值大小关系。 ⚠️避坑指南 ①图象共存问题中，先假设某一函数图象正确，推导系数符号，再验证另一函数图象是否符合该符号； ②解不等式时，一定要结合图象的上下位置关系，明确x的取值范围，注意端点是否可取； ③二次函数与一元二次方程结合时，判别式Δ决定抛物线与x轴的交点个数：Δ>0两个交点，Δ=0一个交点（顶点在x轴上），Δ<0无交点，切勿混淆判别式符号与交点个数的对应关系。 题型一 二次函数的图象与系数关系判断 典例1 （25-26九年级上·天津河西·期中）二次函数的图象过点，和点，则（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 一看开口方向定a的正负，二看对称轴位置（x=-）结合a定b的符号，三看抛物线与y轴交点定c的正负，再结合特殊点（如x=±1、x=±2时的函数值）判断含a、b、c的代数式正负，注意利用对称轴的等量关系消元化简。 迁移应用 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，在直角坐标平面内，为原点，二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知二次函数的图像如图，则下列4个代数式：①；②；③；④；⑤．其中大于0的有______． 题型二 二次函数图像的平移 典例1 （25-26九年级上·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象能够与二次函数的图象重合，则平移方式为（    ） A．向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度 💡破题要诀 1.二次函数图像平移需抓住“顶点核心、形状不变、方向定向”的破题要诀。首先明确抛物线的顶点为(h,k)、开口方向由a的正负决定，平移本质是顶点位置的移动，a值始终保持不变。 2.平移规律遵循“左加右减针对x、上加下减针对常数项”：左右平移时，对x进行加减（左移加、右移减），顶点纵坐标不变；上下平移时，直接对整个函数式的常数项进行加减（上移加、下移减），顶点横坐标不变。 3.解题时先将一般式化为顶点式确定原顶点，再根据平移方向和距离计算新顶点坐标，最后结合不变的a值写出平移后的函数解析式，同时可反向验证：通过对比平移前后的顶点坐标，反推平移方向与距离，确保解析式正确。 迁移应用 1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）将二次函数的图像先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的图像对应的二次函数的表达式为，则的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为________． 题型三 二次函数图像综合判断 典例1 （25-26九年级上·陕西西安·期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 以开口定 a 符号，以对称轴与 a 符号定 b 符号，以与 y 轴交点定 c 符号，以与 x 轴交点个数定判别式的符号；再通过对称轴位置、特殊点函数值（如 ( x=1 )、( x=-1 )、( x=2 ) 等）推导代数式的正负与大小关系；最后结合韦达定理、抛物线平移或对称变换验证结论，逐一排查选项即可快速破题。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江西宜春·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型四 二次函数解析式的确定 典例1 （25-26九年级上·云南玉溪·期中）小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过，，三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（） A． B． C． D． 💡破题要诀 根据已知条件灵活选择解析式形式：已知顶点或最值选顶点式y=a(x-h)²+k，已知与x轴交点选交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)，已知任意三点选一般式y=ax²+bx+c，代入求解即可，最后注意验证结果是否符合题意。 迁移应用 1．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如下表，根据表中的数据，下列说法正确的是（   ） ．．． 1 2 3 ．．． ．．． 0 0 ．．． A．函数图像开口向下； B．对称轴是直线 C． D． 2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水位下降1米时，水面宽度为______米（结果保留根号） 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 题型五 二次函数的最值与实际应用 典例1 若二次函数取最大值时，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 💡破题要诀 先根据题意建立二次函数模型，确定自变量取值范围，再结合对称轴位置求最值：若顶点横坐标在取值范围内，顶点处取最值；若不在范围内，根据函数在区间上的增减性取端点处的最值，注意区分最大利润、最大面积等实际问题的约束条件。 迁移应用 1．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 2．潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元．调查发现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒．设每盒降价x元，每天销售该礼盒的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 3．跳绳是一种简单且有效的全身性运动，它不仅能增强心肺功能、提高协调性和灵活性、促进骨骼生长发育、改善神经系统功能，而且能增强免疫力、预防多种疾病．如图，甲、乙两名同学在甩跳绳，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，且抛物线解析式的二次项系数为．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6.5米，距地面均为1米． (1)请以图中甲所在的位置为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)若参加跳绳的学生身高均为1.75米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于0.4米，问跳绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？ 4．某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1）．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上（），其到墙面的水平距离为米，喷淋头喷洒的最外层水柱的横截面可近似看作抛物线，其顶点为，且该水柱喷射到墙面上的点处．米，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．    (1)求最外层水柱横截面所在抛物线的解析式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险（即点位于图中抛物线下方或恰好在抛物线上时，会有触电危险），则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否有触电危险？请判断并说明理由． 题型六 二次函数与方程、不等式的综合 典例1 小兰画了一个函数的图象如图，则关于的方程的解是（   ） A．无解 B． C． D．或 💡破题要诀 利用二次函数图象与x轴交点对应一元二次方程的根，图象在x轴上方/下方的部分对应函数值大于/小于0的自变量范围，结合对称轴、判别式判断根的个数，解不等式时注意数形结合，避免漏解。 迁移应用 1．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量x的取值范围为______ ． 3．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (3)当为何值时，？ 4．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程式的两个根． (2)写出不等式的解集． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． 题型七 反比例函数的图象与性质应用 典例1 对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ） A． 若点 ，都在图象上，且，则 B． 图象分布在第二、四象限 C． 图象经过点 D． 当时，y 随 x 的增大而减小 💡破题要诀 由反比例函数y=k（k≠0）的k值定象限：k>0时图象在一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；k<0时图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，注意“在每个象限内”的前提条件，比较函数值大小时先看点所在象限。 迁移应用 1．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于x的一元二次方程根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 2．在每一象限内的双曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是______． 4．点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是______． 5．如图，点、在反比例函数（）的图象上，轴，轴，垂足分别为C、D，与相交于点E． (1)由图象直接写出、的大小关系； (2)若四边形的面积为2，求k的值． 题型八 反比例函数中k的几何意义 典例1 点A是反比例函数在第三象限图象上一点，过作轴，垂足为，过作轴，若的面积为，则的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 💡破题要诀 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，所得直角三角形面积为，结合几何图形的面积条件建立方程求k，注意k的符号由图象所在象限确定。 迁移应用 1．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 2．如图，已知点A在反比例函数图象上，轴，垂足为点B，若，则k的值为（   ） A． B．6 C． D．2 3．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，过点作轴于点，点在轴负半轴上，且，连接，若的面积为，则的值为_____． 4．如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图象，直接比较的大小： （填“”，“”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 题型九 反比例函数的实际应用 典例1 在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 先找到不变的总量，确定两个成反比例的量，列出xy=k，写出反比例函数；注意自变量要符合实际，不能取负数和0；看清问题，代入求值，最后检验结果是否符合现实意义。 迁移应用 1．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（   ） A． B． C． D． 2．在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 3．“闪驰”机器狗的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）成反比例函数关系，监测收集部分数据如下表： 总质量（千克） 最快速度（米/秒） 6 4 3 (1)求出关于的反比例函数表达式； (2)机器狗自身质量为千克，实验室距离试验点米．机器狗需从试验点出发，送千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回（装卸设备时间忽略不计），求机器狗所用的最短时间． 4．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求恒温系统设定的恒定温度； (2)求这天在阶段与阶段的温度与时间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于10，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 题型十 二次函数、反比例函数与几何综合探究 典例1 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 先联立函数解析式求出交点坐标，把点坐标转化为线段长；几何问题优先用割补法求面积，结合反比例k的几何意义、二次函数顶点与对称轴性质分析；画图理清位置关系，注意分类讨论，最后检验坐标、范围是否符合图象。 迁移应用 1．如图，已知矩形的顶点、均在抛物线上，点、在轴上方，顶点、均在轴上，且，则的长为（     ） A．5 B．6 C．6.3 D．7 2．如图在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，点在线段上，点在的右侧，和都是等腰直角三角形，，若函数的图象经过点，且与的面积之差为3，则______． 3．如图，抛物线 经过， 两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接和，求的面积； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 4．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且． (1)求函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2) ， ； (3)满足不等式的x的取值范围是 ； (4)为x轴上一点，若的面积等于的面积，请求出m的值． 基础固本练（限时：30分钟） 1．已知抛物线经过两个不同的点和，那么m的值是（     ） A．2 B． C．8 D． 2．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 3．抛物线经过，，三点，，，大小关系是（     ）． A． B． C． D． 4．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而增大 5．函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 6．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 7．反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 8．一定质量的二氧化碳气体，其密度与体积之间成反比例关系，其图象如图所示．当时，密度的值为__________． 9．将抛物线的图象向右平移个单位，则平移后的抛物线的顶点坐标为________． 10．若一元二次方程的两个根分别为和4，则抛物线的对称轴是直线______． 11．如图，分别是函数①，②，③的图象，比较，，的大小，________（用“”连接）． 12．已知抛物线． (1)求该抛物线与x轴交点的坐标； (2)求该抛物线与y轴交点的坐标； (3)若点都在该抛物线上，且，请直接比较与的大小． 13．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)画出这个反比例函数的图象． 14．用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系： (1)一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（单位：）的变化而变化； (2)学校准备将实践田平均划分给一些班级，每班分得的实践田面积y（单位：）随班级个数x的变化而变化； (3)在某次物理实验中，电路中的电压U为，则该电路中的电流I（单位：A）随电阻R（单位：Ω）的变化而变化． 15．已知二次函数 (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 综合进阶练（限时：90分钟） 1．若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 3．如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 6．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 7．已知抛物线（b是常数）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点． (1)若点坐标为，求该抛物线的解析式和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由； (3)若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为1，求此时二次函数的解析式． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 9．如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； (2)生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 10．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段的长最大时点P的坐标； (3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数与反比例函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的图象与性质 / 考点二 二次函数的实际应用 考点三 反比例函数的图象与性质 / 考点四 二次函数与反比例函数的综合应用 05 重难题型突破 题型一 二次函数的图象与系数关系判断 / 题型二 二次函数图像的平移 题型三 二次函数图像综合判断 / 题型四 二次函数解析式的确定 题型五 二次函数的最值与实际应用 / 题型六 二次函数与方程、不等式的综合 题型七 反比例函数的图象与性质应用 / 题型八 反比例函数中k的几何意义 题型九 反比例函数的实际应用 / 题型十 二次函数与反比例函数的综合探究 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 侧重数形结合，二次函数是重中之重，考点涵盖解析式求解、图像与系数关系、增减性、平移、二次函数与一元二次方程、实际应用等，基础、中档、压轴题型齐全，压轴多为动点、最值、存在性综合题，难度偏高；反比例函数多以选择、填空为主，核心考查图像性质、k的几何意义、交点与面积问题，单独出压轴较少，常和一次函数、几何搭配作为小问考查，整体难度低于二次函数。 识记 记住二次函数、反比例函数的表达式、图像形状、自变量取值范围，熟记二次函数开口、对称轴、顶点相关结论，记住反比例函数 k 的几何意义基本结论。 理解 理解二次函数系数与图像的关系、增减性、平移规律、二次函数与一元二次方程的联系；理解反比例函数增减性、图像对称性，能区分两个函数图像特征。 应用 会求函数解析式，利用函数性质比较函数值、解决最值问题；能结合图像求交点、计算面积，会解决二次函数实际问题，能在几何背景、动点情境下，综合二次函数进行线段、面积、特殊图形存在性等综合探究。 考点一 二次函数的图象与性质 二次函数的解析式有三种常见形式：一般式y=ax²+bx+c（a≠0）、顶点式y=a(x-h)²+k（a≠0，顶点坐标为(h,k)）、交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0，与x轴交点为(x₁,0)、(x₂,0)）。 核心性质： ①开口方向：a>0时开口向上，a<0时开口向下，|a|越大开口越小； ②对称轴：直线x=-，顶点坐标为； ③增减性：a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；a<0时相反； ④最值：a>0时顶点处取最小值，a<0时顶点处取最大值。 ⚠️避坑指南 ①用顶点式求对称轴时，注意括号内是x-h，若为y=a(x+h)²+k，对称轴为x=-h，切勿符号错误；②比较函数值大小时，先将点转化到对称轴同一侧，再利用增减性判断，跨对称轴时需结合点到对称轴的距离分析； ③二次函数平移遵循“左加右减，上加下减”原则，是针对x和整体解析式的变形，不是直接在系数上加减。 考点二 二次函数的实际应用 二次函数实际应用常考三类题型： ①利润最值问题：总利润=单件利润×销售量，建立二次函数关系式后，结合自变量取值范围求最值，注意若顶点横坐标不在取值范围内，需根据函数增减性在区间端点取最值； ②面积最值问题：结合几何图形边长关系建立面积函数，注意边长为正的约束条件； ③抛物线形问题（拱桥、喷水池等）：建立平面直角坐标系，用待定系数法求解析式，再解决实际问题。 ⚠️避坑指南 ①实际问题中自变量的取值范围必须符合实际意义，不能直接套用顶点最值； ②建立坐标系时尽量将顶点或特殊点放在坐标轴上，简化解析式计算； ③计算最值时先检查顶点横坐标是否在自变量范围内，避免出现不符合实际的答案。 考点三 反比例函数的图象与性质 反比例函数的一般形式为y=（k≠0），也可写成xy=k或y=kx⁻¹。 核心性质： ①图象是双曲线，k>0时图象位于一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；k<0时图象位于二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大； ②比例系数k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，该点与垂足、原点构成的直角三角形面积为； ③反比例函数图象关于原点中心对称，也关于直线y=x和y=-x轴对称。 ⚠️避坑指南 ①描述反比例函数增减性时，必须强调“在每个象限内”，不能笼统说y随x增大而增大/减小，比如k>0时，x₁=-1、x₂=1，对应的y₁=-k、y₂=k，此时y₁<y₂，不符合“y随x增大而减小”的笼统结论； ②利用k的几何意义求面积时，注意绝对值的应用，面积恒为正，不要漏掉符号； ③反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程求解后，注意结合图象判断取值范围，区分函数值大小对应的x区间。 考点四 二次函数与反比例函数的综合应用 常考题型： ①函数图象共存问题：根据a、k的符号判断两个函数在同一坐标系中的图象位置，逐一排除错误选项； ②函数与方程、不等式的结合：二次函数与x轴交点对应一元二次方程的根，二次函数值大于/小于0的区间对应不等式的解集；反比例函数与一次函数的交点对应方程组的解，结合图象可判断函数值大小关系。 ⚠️避坑指南 ①图象共存问题中，先假设某一函数图象正确，推导系数符号，再验证另一函数图象是否符合该符号； ②解不等式时，一定要结合图象的上下位置关系，明确x的取值范围，注意端点是否可取； ③二次函数与一元二次方程结合时，判别式Δ决定抛物线与x轴的交点个数：Δ>0两个交点，Δ=0一个交点（顶点在x轴上），Δ<0无交点，切勿混淆判别式符号与交点个数的对应关系。 题型一 二次函数的图象与系数关系判断 典例1 （25-26九年级上·天津河西·期中）二次函数的图象过点，和点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，求得对称轴，然后根据对称轴和增减性即可判断． 【详解】解：二次函数的图象过点，点和点， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ，， ， ， 故选：C． 💡破题要诀 一看开口方向定a的正负，二看对称轴位置（x=-）结合a定b的符号，三看抛物线与y轴交点定c的正负，再结合特殊点（如x=±1、x=±2时的函数值）判断含a、b、c的代数式正负，注意利用对称轴的等量关系消元化简。 迁移应用 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数的符号关系是解题的关键．根据抛物线开口方向、与y轴的交点以及对称轴可得到a、b、c的符号及a与b的关系，即可判断A、B、D选项，根据函数的最值即可判断C选项． 【详解】解：∵抛物线交y轴于负半轴， ∴当时，，故A选项错误； ∵抛物线开口向上， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴，即，故B选项错误； ∵当时，；当时，， 又抛物线开口向上，其对称轴为直线，即当时，y取得最小值， ∴，故C选项正确； ∵， ∴，故D选项错误． 故选：C． 2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，在直角坐标平面内，为原点，二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点等信息判断、、的符号及相关代数式的值． 由开口方向得的符号；由对称轴公式得与的关系；由与轴的交点坐标代入函数式判断相关代数式的值；结合、的符号进而分析各选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则； 对称轴为，即，得，故D错误； 抛物线与轴交于，代入得，故C错误； 当时，对应函数值为抛物线顶点纵坐标，因顶点在轴下方，故，故B正确； 由得，因，故； 则，即A错误． 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知二次函数的图像如图，则下列4个代数式：①；②；③；④；⑤．其中大于0的有______． 【答案】①⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，涉及了数形结合的思想方法，其中明确二次函数的相关性质，是解题的关键． 根据图象，结合二次函数的开口方向与a的关系、抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点位置、函数在时和在时的函数值，及抛物线与x轴的交点个数等进行分析判断即可． 【详解】解：①由二次函数的图象可知，该函数图象开口向下，则； 该函数图象与y轴交于负半轴，则， ∴； ②由图象可知，当时，， 即， ③由图象可知，当时，， 即， ∴； ④由图象可知，对称轴为， ∵， ∴，且， ∴， ⑤由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， 则， 综上，其中大于0的有①⑤． 故答案为：①⑤． 题型二 二次函数图像的平移 典例1 （25-26九年级上·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象能够与二次函数的图象重合，则平移方式为（    ） A．向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的平移．通过将两个二次函数化为顶点式，比较顶点坐标的变化来确定平移方式．平移规则为“左加右减，上加下减”． 【详解】解：∵，顶点为； ，顶点为； ∴ 顶点从平移到： 故平移方式为向左平移3个单位，再向下平移3个单位． 故选：B． 💡破题要诀 1.二次函数图像平移需抓住“顶点核心、形状不变、方向定向”的破题要诀。首先明确抛物线的顶点为(h,k)、开口方向由a的正负决定，平移本质是顶点位置的移动，a值始终保持不变。 2.平移规律遵循“左加右减针对x、上加下减针对常数项”：左右平移时，对x进行加减（左移加、右移减），顶点纵坐标不变；上下平移时，直接对整个函数式的常数项进行加减（上移加、下移减），顶点横坐标不变。 3.解题时先将一般式化为顶点式确定原顶点，再根据平移方向和距离计算新顶点坐标，最后结合不变的a值写出平移后的函数解析式，同时可反向验证：通过对比平移前后的顶点坐标，反推平移方向与距离，确保解析式正确。 迁移应用 1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，通过比较平移前后抛物线的顶点坐标，确定平移方向和平移单位，解题的关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，然后根据坐标变化判断平移方向． 【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线 的顶点坐标为 ， ∴水平方向：从到，增加了，即向右平移个单位；垂直方向：从到，增加了，即向上平移个单位， ∴平移方法是向右平移个单位，再向上平移个单位， 故选：． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）将二次函数的图像先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的图像对应的二次函数的表达式为，则的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图像的平移，准确应用平移规则是解题关键． 根据函数图像平移规则“上加下减，左加右减”，先向上平移，再向左平移，得到新函数表达式，从而求出a和b的值． 【详解】∵ 向上平移3个单位， ∴ ， ∵ 再向左平移1个单位， ∴ ， ∴ , ， ∴ ． 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图像和性质，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为， 平移后抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 题型三 二次函数图像综合判断 典例1 （25-26九年级上·陕西西安·期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了“一次函数的图象与系数的关系”“二次函数的图象与系数的关系”，根据图象判断出系数和常数项的正负是解题关键． 根据一次函数的图象，a决定直线的方向，b决定直线与y轴交点的位置，判断a与b的正负，再通过a和b的正负判断二次函数的图象即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴二次函数的开口方向向下，与y轴的交点在y轴的负半轴， 四个选项中，符合要求的只有D选项， 故选：D ． 💡破题要诀 以开口定 a 符号，以对称轴与 a 符号定 b 符号，以与 y 轴交点定 c 符号，以与 x 轴交点个数定判别式的符号；再通过对称轴位置、特殊点函数值（如 ( x=1 )、( x=-1 )、( x=2 ) 等）推导代数式的正负与大小关系；最后结合韦达定理、抛物线平移或对称变换验证结论，逐一排查选项即可快速破题。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江西宜春·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，掌握二次函数和一次函数的图象是解决本题的关键． 由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的，的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 3．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 题型四 二次函数解析式的确定 典例1 （25-26九年级上·云南玉溪·期中）小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过，，三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数解析式；由于二次函数经过点，，可设函数为，再代入点求出，得到一般式后通过配方化为顶点式． 【详解】∵图像经过，，∴设二次函数为． 代入点得， 解得：． ∴． 配方：． ∴顶点式为， 故选：C． 💡破题要诀 根据已知条件灵活选择解析式形式：已知顶点或最值选顶点式y=a(x-h)²+k，已知与x轴交点选交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)，已知任意三点选一般式y=ax²+bx+c，代入求解即可，最后注意验证结果是否符合题意。 迁移应用 1．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如下表，根据表中的数据，下列说法正确的是（   ） ．．． 1 2 3 ．．． ．．． 0 0 ．．． A．函数图像开口向下； B．对称轴是直线 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 先求出函数解析式，再逐一判断即可． 【详解】解：由表格数据知：当时，；当时，；当时，， 代入得：， 解得：， ∴， A． ∵，∴开口向上，A错误； B．对称轴为直线，B错误； C．，C正确； D．，，∵，∴，D错误； 故选：C． 2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水位下降1米时，水面宽度为______米（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键．建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意当水位下降1米时，求解时对应的x的值，然后即可得到的长，即水面宽度． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图：则抛物线顶点C坐标为， 设抛物线解析式， 将A点坐标代入得：， 解得：， 故抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴， 即水面宽度为米． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】由已知条件可设出顶点式，再把已知点的坐标代入，求出待定系数，进而求得解析式． 【详解】解：抛物线在时最小值为， 设抛物线的顶点式为 抛物线过点， 解得， ∴这条抛物线的解析式为，即． 题型五 二次函数的最值与实际应用 典例1 若二次函数取最大值时，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用二次函数开口向下时最大值在对称轴处的性质，结合对称轴公式求解， 【详解】解：∵二次函数中， ∴函数取最大值时的值为对称轴横坐标， 由对称轴公式直线，代入，， 得， ∵函数取最大值时， ∴． 💡破题要诀 先根据题意建立二次函数模型，确定自变量取值范围，再结合对称轴位置求最值：若顶点横坐标在取值范围内，顶点处取最值；若不在范围内，根据函数在区间上的增减性取端点处的最值，注意区分最大利润、最大面积等实际问题的约束条件。 迁移应用 1．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 2．潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元．调查发现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒．设每盒降价x元，每天销售该礼盒的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)当每盒降价4元（即售价为36元）时，每天的销售利润最大，最大利润为576元 【分析】（1）根据总利润等于单盒利润乘以销量列出函数关系式进行求解即可； （2）利用二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：降价后每盒的利润为元，每天的销售量为盒． 由题意，． 又且， ∴． （2）解： ． ∵， ∴抛物线开口向下，当时y有最大值576． 答：当每盒降价4元时，每天的销售利润最大，最大利润为576元． 3．跳绳是一种简单且有效的全身性运动，它不仅能增强心肺功能、提高协调性和灵活性、促进骨骼生长发育、改善神经系统功能，而且能增强免疫力、预防多种疾病．如图，甲、乙两名同学在甩跳绳，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，且抛物线解析式的二次项系数为．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6.5米，距地面均为1米． (1)请以图中甲所在的位置为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)若参加跳绳的学生身高均为1.75米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于0.4米，问跳绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？ 【答案】(1) (2)甩绳内部最多可容纳8名学生 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力． （1）以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，用待定系数法可求得答案； （2）求出时x的值，再用两者之间的差除以0.4，取整得出答案． 【详解】（1）解：以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，如图： 设抛物线的函数表达式为， 由题意可知和在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，令得： ， 解得， ∵， ∴甩绳内部最多可容纳8名学生． 4．某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1）．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上（），其到墙面的水平距离为米，喷淋头喷洒的最外层水柱的横截面可近似看作抛物线，其顶点为，且该水柱喷射到墙面上的点处．米，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．    (1)求最外层水柱横截面所在抛物线的解析式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险（即点位于图中抛物线下方或恰好在抛物线上时，会有触电危险），则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否有触电危险？请判断并说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：此吊灯在消防喷淋头喷洒时有触电危险； 理由如下： 将代入， 可得：， ， 消防喷淋头喷洒时有触电危险． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质． （1）根据消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为米，可知顶点的坐标为，根据米，可知点的坐标为，设抛物线的解析式为，用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）求出当时消防喷淋头的高度是米，超过了吊灯的高度，所以有触电的危险． 【详解】（1）解：由题意得：顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入， 可得：， 解得：， 则抛物线的解析式为 整理可得：； （2）略 题型六 二次函数与方程、不等式的综合 典例1 小兰画了一个函数的图象如图，则关于的方程的解是（   ） A．无解 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与一元二次方程的关系，二次函数图象与直线交点的横坐标即为一元二次方程的解．由图象可知，抛物线与轴的交点坐标分别为，，与轴的交点为，从而得到抛物线的对称轴，进而利用抛物线的对称性得到关于对称轴的对称点的坐标，进而得解． 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴的交点坐标分别为，，与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， 关于的方程的解是或． 故选：D． 💡破题要诀 利用二次函数图象与x轴交点对应一元二次方程的根，图象在x轴上方/下方的部分对应函数值大于/小于0的自变量范围，结合对称轴、判别式判断根的个数，解不等式时注意数形结合，避免漏解。 迁移应用 1．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:C． 2．抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量x的取值范围为______ ． 【答案】或 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，则可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下， 当时，自变量x的取值范围为或． 故答案为：或 3．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (3)当为何值时，？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，掌握相关知识是解决本题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （2）根据抛物线与轴交点的坐标，确定抛物线的对称轴，结合图象得结论； （3）观察图象，在轴下方的部分总小于0． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于、， 的根为：，； （2）解：二次函数的图象与轴交于、， 该图象的对称轴为直线， 图象开口向下， 当时，随的增大而减小． 即随的增大而减小时； （3）解二次函数的图象与轴交于、， 观察图象可知：当或时，二次函数图象总在轴的下方． 当或时，． 4．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程式的两个根． (2)写出不等式的解集． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)对称轴是直线，则当时，随的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程以及不等式的关系，利用数形结合思想是关键． （1）方程的解就是二次函数与轴的交点的横坐标； （2）不等式的解就是使函数图象在轴下方部分自变量的范围； （3）根据函数图象首先求得对称轴，然后根据函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据函数图象可得：方程的两个根是，； （2）解：根据函数图象可得：不等式的解集为 （3）解：根据函数图象可得：对称轴是直线，则当时，随的增大而减小． 题型七 反比例函数的图象与性质应用 典例1 对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ） A． 若点 ，都在图象上，且，则 B． 图象分布在第二、四象限 C． 图象经过点 D． 当时，y 随 x 的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质． 根据反比例函数的图象和性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象分布在第一、三象限，故选项B错误； 当时，，图象经过点，而非，故选项C错误； 选项A中，当时，，当时，，此时满足，但，不满足，故选项A错误； 选项D中，当时，函数在第一象限，随的增大而减小，故选项D正确． 故选：D． 💡破题要诀 由反比例函数y=k（k≠0）的k值定象限：k>0时图象在一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；k<0时图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，注意“在每个象限内”的前提条件，比较函数值大小时先看点所在象限。 迁移应用 1．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于x的一元二次方程根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，先根据反比例函数的图象位于第一、三象限求出的取值范围，再求方程根的判别式并判断其符合，从而得解． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得， 对于关于x的一元二次方程， ∴， ∴该方程没有实数根， 故选：C． 2．在每一象限内的双曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，双曲线在第一和第三象限，且y随x的增大而减小求解即可 【详解】解：在每一象限内，y随x的增大而减小， 比例系数， ， 故选：A 3．函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据二次函数和反比例函数图象的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象当时，随着x的增大而减小，当或时，反比例函数随着x的增大而减小， ∴当时，，均随着的增大而减小， 故答案为：． 4．点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵在反比例函数y=中，k＞0， ∴在同一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴这两个点在同一象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大． 5．如图，点、在反比例函数（）的图象上，轴，轴，垂足分别为C、D，与相交于点E． (1)由图象直接写出、的大小关系； (2)若四边形的面积为2，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据图象即可得； （2）根据矩形的判定与性质可得，再根据点A、B的坐标可得，从而可得，因此，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，； （2）解：轴，轴，， 四边形是矩形， ， 、， ， ， 解得， ， 将点代入得：． 题型八 反比例函数中k的几何意义 典例1 点A是反比例函数在第三象限图象上一点，过作轴，垂足为，过作轴，若的面积为，则的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．点在反比例函数第三象限图象上，过作坐标轴垂线，形成直角三角形，利用三角形面积公式和反比例系数的几何意义求解． 【详解】解：如图 设点坐标为， ∵点在第三象限， ∴， ∵轴，垂足为， ∴点坐标为， ∵轴，垂足为， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 💡破题要诀 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，所得直角三角形面积为，结合几何图形的面积条件建立方程求k，注意k的符号由图象所在象限确定。 迁移应用 1．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 2．如图，已知点A在反比例函数图象上，轴，垂足为点B，若，则k的值为（   ） A． B．6 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：设点 点在反比例函数的图象上， ， 即， 又，而，， ， ， ， 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，过点作轴于点，点在轴负半轴上，且，连接，若的面积为，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数值的几何意义是关键．设点的坐标为，并表示相关线段长度，根据三角形面积公式求出的值，根据反比例函数性质求出的值即可． 【详解】解：设，， 轴于点， ，． ， ． 的面积为， ， 即， ． 点在反比例函数（为常数，且，）的图象上， ． 故答案为：． 4．如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图象，直接比较的大小： （填“”，“”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，根据图形面积求比例系数（解析式），根据矩形的性质与判定求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将两点横坐标代入函数，求出，再根据比较大小； （2）先四边形是矩形，再说明，，然后四边形的面积为，求出的值． 【详解】（1）解：∵点，在函数的图象上， ∴，， ， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵轴，垂足为，轴，垂足为，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∵四边形的面积为， ∴，解得：， ∴， 又在函数的图象上， ∴． 题型九 反比例函数的实际应用 典例1 在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再求出时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出P的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，； ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴． 故选：C． 💡破题要诀 先找到不变的总量，确定两个成反比例的量，列出xy=k，写出反比例函数；注意自变量要符合实际，不能取负数和0；看清问题，代入求值，最后检验结果是否符合现实意义。 迁移应用 1．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即可得到答案． 【详解】解：当时，设 将，两点代入得， 解得， 于是， 当时，， 当时，设，将代入得：， 于是， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题． 故选：C． 2．在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 【答案】 【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 反比例函数图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 当时，即，解得； 当时，即，解得， ． 即气体体积压缩了． 3．“闪驰”机器狗的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）成反比例函数关系，监测收集部分数据如下表： 总质量（千克） 最快速度（米/秒） 6 4 3 (1)求出关于的反比例函数表达式； (2)机器狗自身质量为千克，实验室距离试验点米．机器狗需从试验点出发，送千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回（装卸设备时间忽略不计），求机器狗所用的最短时间． 【答案】(1) (2)秒 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设这个反比例函数表达式为，根据表格中的数据求出即可； （2）分别求出、时的速度及相应的时间，比较后得出结论． 【详解】（1）解：设这个反比例函数表达式为， ∵当时，， ∴， 反比例函数表达式为； （2）当时，， （秒）， 当时，， （秒）， （秒）， 机器狗所用的最短时间为198秒． 4．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求恒温系统设定的恒定温度； (2)求这天在阶段与阶段的温度与时间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于10，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1) (2)    ， (3)10小时 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是结合图象特征确定函数类型，利用已知点求出函数解析式，再解决实际问题． （1）通过图象中线段的恒定温度，直接得出恒温系统的设定温度； （2）分别设段的一次函数、段的反比例函数解析式，代入对应点的坐标求出解析式； （3）将温度代入段的函数解析式，求出对应时间，再计算与关闭时间的差值得到关闭时长． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为． 设的解析式为，代入，： 解得， 故段解析式为：， 当时，，则， 由图象可知，线段对应的温度是恒定的， 因此恒定温度为 （2）①段（一次函数）： 设的解析式为，代入，： 解得， 故段解析式为：． ② 段（反比例函数）： 设的解析式为，代入： 解得： 故段解析式为：． （3）当温度时，代入段解析式： 解得： 恒温系统在时关闭，因此最多关闭时长为小时． 题型十 二次函数、反比例函数与几何综合探究 典例1 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】矩形对角线相等，把求的最小值转化成求抛物线上点到轴的最小距离即可． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 轴， 的最小值为， 的最小值为． 💡破题要诀 先联立函数解析式求出交点坐标，把点坐标转化为线段长；几何问题优先用割补法求面积，结合反比例k的几何意义、二次函数顶点与对称轴性质分析；画图理清位置关系，注意分类讨论，最后检验坐标、范围是否符合图象。 迁移应用 1．如图，已知矩形的顶点、均在抛物线上，点、在轴上方，顶点、均在轴上，且，则的长为（     ） A．5 B．6 C．6.3 D．7 【答案】B 【分析】由．设，，利用抛物线对称性得到点G坐标，将点代入抛物线解析式求出k，进而求出长． 【详解】解：， 设，． ∵矩形中，，又点D、点G均在抛物线上，且抛物线关于y轴对称， ∴矩形关于y轴对称， 点G的横坐标为k，纵坐标为，即． 把代入， ． 整理得． 解得，（舍去）． ∴． 2．如图在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，点在线段上，点在的右侧，和都是等腰直角三角形，，若函数的图象经过点，且与的面积之差为3，则______． 【答案】6 【分析】由题意可设，则，由于函数的图象经过点，故，再由与的面积之差为3求解． 【详解】解：∵，和都是等腰直角三角形，， ∴设， 则， ∵函数的图象经过点， ∴ ∵与的面积之差为3， ∴ ∴． 3．如图，抛物线 经过， 两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接和，求的面积； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出点的坐标，利用抛物线解析式求出点的坐标，利用的面积减去的面积即可； （3）设点，，利用平行四边形对角线互相平分的性质构造方程组，求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， ∵， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：假设存在， 设点，， ①当为对角线时， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴， 解得， ∴； ②当为对角线时， 同理，， 解得， ∴； ③当为对角线时， 同理，， 解得， ∴； 综上所述，假设成立，点的坐标为或或． 4．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且． (1)求函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2) ， ； (3)满足不等式的x的取值范围是 ； (4)为x轴上一点，若的面积等于的面积，请求出m的值． 【答案】(1)； (2)2；； (3)； (4)或． 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数的解析式求解出a的值即可； （2）先由勾股定理求得的长度，结合可得点B的坐标，然后根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求解； （3）根据图象得到反比例函数图象在一次函数图象上方时，x的取值范围即可； （4）先求得的面积，从而得到的面积，然后根据三角形面积公式可求得的长度，即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴函数的解析式为； （2）解：∵，，点B在y轴的负半轴， ∴， ∴， 根据题意，把、代入一次函数，得 ， 解得， （3）解：根据图象可知，当的图象在的图象的上方时，此时， ∴满足不等式的x的取值范围是； （4）解：∵，，点B在y轴的负半轴， ∴， ∴的面积， ∵为x轴上一点，且的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴m的值为或． 基础固本练（限时：30分钟） 1．已知抛物线经过两个不同的点和，那么m的值是（     ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】由两点纵坐标相同可知两点关于抛物线对称轴对称，结合抛物线对称轴求解的值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为轴，点和的纵坐标均为， ∴点与点关于轴对称， ∵、是不同的点， ∴． 2．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式中、的意义确定图象性质，再判断各选项． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故C正确，不符合题意； ∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大，故D不正确，符合题意． 3．抛物线经过，，三点，，，大小关系是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线顶点式得开口方向与对称轴，通过比较点到对称轴的距离比较函数值大小． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线， 由二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ ， ∴ ． 4．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】代入验证A，由的符号判断B、D，结合对称性判断C． 【详解】解：∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴ B错误； ∵ 反比例函数的图象关于原点对称， ∴ C正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小， ∴ D错误． 5．函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限，没有符合条件的选项． ②当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限，故C选项的图象符合条件． 6．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一台电脑的售价为万元，前期付款元之后每个月付款元，付款月数为， ， ， （取正整数）． 7．反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】反比例函数图象位于第二、四象限，说明其比例系数小于0，据此列不等式求解即可求出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得 ． 8．一定质量的二氧化碳气体，其密度与体积之间成反比例关系，其图象如图所示．当时，密度的值为__________． 【答案】 2.5 【分析】根据图象上的点坐标求出反比例函数的系数，确定函数解析式，再代入的值求解． 【详解】解：设与的函数关系式为， 图象经过点，即当时，， ∴， ∴与的函数关系式为， 当时，， 故的值为 2.5． 9．将抛物线的图象向右平移个单位，则平移后的抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【详解】解：平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线顶点坐标为． 10．若一元二次方程的两个根分别为和4，则抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【分析】一元二次方程的根对应抛物线与轴交点的横坐标，利用抛物线的轴对称性即可计算对称轴． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为和， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∵抛物线关于对称轴对称，即抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称， ∴对称轴为直线． 11．如图，分别是函数①，②，③的图象，比较，，的大小，________（用“”连接）． 【答案】 【分析】当时函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：如图， 因为直线与三条抛物线的交点从上到下依次为，，， 所以． 12．已知抛物线． (1)求该抛物线与x轴交点的坐标； (2)求该抛物线与y轴交点的坐标； (3)若点都在该抛物线上，且，请直接比较与的大小． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）令求出方程的解，即可得出答案； （2）令，求出，则此题可解； （3）先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性解答． 【详解】（1）解：令，得， 即， 分解因式得， 解得， 所以抛物线与x轴交点的坐标是； （2）解：令，得， 所以抛物线与y轴交点的坐标是； （3）解：由抛物线的开口向下，对称轴是直线． 当时，y随 x 的增大而增大． 因为， 所以． 13．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)画出这个反比例函数的图象． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数表达式，将已知点A的坐标代入函数式求出参数k即可得到结果； （2）按照列表、描点、连线的步骤画反比例函数图象，该函数，图象分布在第二、四象限． 【详解】（1）解：已知反比例函数的图象经过点， 将代入，得， 解得， 因此这个反比例函数的表达式为； （2）解：列表： x 1 2 5 y 2 5 10 描点，连线，得到反比例函数的图象，图略． 14．用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系： (1)一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（单位：）的变化而变化； (2)学校准备将实践田平均划分给一些班级，每班分得的实践田面积y（单位：）随班级个数x的变化而变化； (3)在某次物理实验中，电路中的电压U为，则该电路中的电流I（单位：A）随电阻R（单位：Ω）的变化而变化． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【详解】（1）解：根据得：游泳池注满水所用时间； （2）解：根据得：每班分得的实践田面积（为正整数）； （3）解：根据得：该电路中的电流． 15．已知二次函数 (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 【答案】(1)描点，连线 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 画图略 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 综合进阶练（限时：90分钟） 1．若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先根据抛物线的定义确定， 再结合抛物线与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵ 函数是抛物线， ∴ ， ∵ 抛物线与轴有交点， ∴ 一元二次方程有实数根， ∴ ， 整理得， 解得， 综上， 的取值范围是且． 2．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【详解】解：由图象开口向下得；顶点横坐标为2，即，得，则， B正确； 由图象与轴交于点得，所以，A错误； 抛物线开口向下，对称轴右侧随的增大而减小，C正确； 时图象在轴下方，，D正确． 3．如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式可得：，根据平行四边形的性质可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点 在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， ，， ， 点在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， 则，， , ， 四边形是平行四边形， ， ． 4．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口朝上确定的符号；抛物线与y轴的正半轴有一个交点可确定的符号；再根据抛物线的对称轴处在y轴的右侧，结合的符号，可以确定的符号，问题随之得解． 【详解】解：∵抛物线开口朝上， ∴， ∵抛物线与y轴的正半轴有一个交点， ∴， 根据抛物线的图象可知，抛物线的对称轴处在y轴的右侧， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵，，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，即D选项符合题意． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 【答案】 【分析】因为一次函数，它们平行，我们取与轴的交点为，连接，此时因为和等底同高，就可以将的面积为10转化为的面积为10，从而求出． 【详解】解：连接， 取与轴的交点为，连接 此时 联立， 得，， 又因为点在第二象限， 所以，则的高即为 得， 6．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移规律得到平移后的解析式，令求出抛物线与轴交点的横坐标，再计算两点之间的距离即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为，即， 令，则，解得，， ∴抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为2018和2020， ∴． 7．已知抛物线（b是常数）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点． (1)若点坐标为，求该抛物线的解析式和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由； (3)若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为1，求此时二次函数的解析式． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为； (2)存在，符合条件的点坐标为或或或. (3)二次函数的解析式为或． 【分析】（1）把代入即可求解析式及顶点坐标； （2）为等腰三角形，分三种情况，勾股定理列方程即可； （3）先确定对称轴，再根据顶点是否在范围内，分类讨论，确定最小值时x值，代入即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得，， 则抛物线的解析式为； ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：存在点P，设， 根据题意得：， 则； ； ， ∴为等腰三角形，分三种情况： ①当时， ，得， ∴点P的坐标为或； ②当时， ，， 解得，， ∴点P的坐标为； ③当时， ，， 解得（舍去），， ∴点P的坐标为； ∴符合条件的点P存在，点P坐标为或或或； （3）解：抛物线的对称轴为：，区间长度是固定值 当对称轴在区间左边时，，即， 此时区间在对称轴右侧，函数在区间上随x增大而增大，最小值在左端点， 则， 解得（舍去负值）， 解析式为； 当对称轴在区间左边时，，即， 此时最小值在对称轴， 则， 即，此情况不存在，舍去； 当对称轴在区间右边时，，即， 此时区间在对称轴左侧，函数在区间上随x增大而减小，最小值在右端点， 则， 解得（舍去）， 解析式为； 综上，二次函数的解析式为或． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义，可得到反比例函数的解析式，即可求解； （2）直接观察函数函数图象，即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则，当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，且轴，的面积为4， ∴， ∴， 即反比例函数的解析式为， 把点和点代入得：， ∴； （2）解：由（1）得：点和点， 观察图象得：当或时，函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴中x的取值范围为或； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则， 当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， 此时点P的坐标为． 9．如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； (2)生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 【答案】(1)加热阶段的函数表达式为，水温下降阶段的函数表达式为 (2)同学们能喝到不高于的温水 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）判断出时，饮水机处于第4个周期的第10分钟，则此时处于水温下降阶段，将代入反比例函数表达式求出函数值，再与比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，加热阶段与是一次函数关系． 设加热阶段的函数表达式为． 因为初始水温为， 所以． 因为每分钟上升， 所以． 所以加热阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以加热阶段的函数表达式为． 由题意可知，水温下降阶段与成反比例关系． 设水温下降阶段的函数表达式为． 因为图象经过点， 所以， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 综上：加热阶段的函数表达式为， 水温下降阶段的函数表达式为； （2）解：从到经过的时间为：1小时10分钟分钟． 由（1）可知，一个周期的时间为20分钟．． 所以时，饮水机处于第4个周期的第10分钟． 因为， 所以此时处于水温下降阶段． 将代入，得． 因为， 所以同学们能喝到不高于的温水． 答：同学们能喝到不高于的温水． 10．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段的长最大时点P的坐标； (3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为，点E的坐标为，其中，从而求出与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可； （3）设点D的坐标为，点F的坐标为，根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为， ∵直线过点和点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，点E的坐标为，其中， ∴， ， ， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 设点D的坐标为，点F的坐标为， 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，， ∴此时点D的坐标为或； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，（此时点F和点C重合，故舍去）， ∴此时点D的坐标为； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，（此时点F和点C重合，故舍去）， 此时点D的坐标为． 综上，存在，此时点D的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $