精品解析：天津市第二南开学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

策马扬鞭数学练习二 考试时间：100分钟 满分：120分 一．单选题（每题3分，共36分） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象上最低点的坐标是（ ） A. (-1, -2) B. (1, -2) C. (-1, 2) D. (1, 2) 3. 下列关于的方程中，一定有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 6 B. C. 10 D. 6. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1640份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 8. 如果三点、、在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④（为任意实数）． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共18分） 13. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 14. 已知抛物线，图象的开口向____，顶点坐标为____，当x___时，y随x的增大而减小． 15. 从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间的函数关系式是h=12t﹣6t2，则小球运动到的最大高度为________米； 16. 在函数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 17. 如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B，C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线交于点E，则的值是__________． 18. 抛物线经过，两点． （1）则抛物线的解析式为________________________________； （2）如图，设抛物线的顶点为，直线与轴交于点，与直线交于点．现将抛物线平移，保持顶点在直线上．若平移后抛物线与射线（含端点）只有一个公共点，则它的顶点横坐标的取值范围是______． 三．解答题（共7道大题，共66分） 19. 解方程． （1） （2） 20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为、，且，求的值． 21. 二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … … 0 m n … （1）该二次函数解析式为______，______，______； （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）根据图象直接回答下列问题：①当______时，y有最______值（填“大”或“小”），该最值是______；②若该二次函数图象上有两点和，比较和的大小，其结果是：______；③当时，x的值为______；④当时，则y的取值范围是______. 22. 点，都在二次函数的图象上，且，若该二次函数的图象经过点，则 （1）________，该二次函数的表达式为________________________；将该二次函数的表达式化为顶点式是________； （2）该二次函数的图象的对称轴为________，顶点坐标为________； （3）若，则________；（填“”“”或“”） （4）若，求点的坐标． 23. 用一条长的绳子围成一个矩形． （1）若围成的矩形面积为，求该矩形的长和宽． （2）能围成一个面积为的矩形吗？若能，求出它的长和宽．若不能，请求出能围成矩形的最大面积． 24. 面朝大海，春暖花开！榴岛大地正值草莓上市销售的旺季．某商家以每盒20元的价格购进一批盒装草莓，经市场调查发现：在一段时间内，草莓的日销售量y（盒）与每盒售价x（元）满足一次函数关系，其图象如下图所示： （1）求y关于x的函数关系式； （2）根据市场的定价规则，草莓的售价每盒不得高于49元，当售价定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动，顾客每购买一盒草莓可以获得a元的现金奖励，商家想在日销售量不少于40盒的基础上，使日销售最大利润为1568元，求此时a的值． 25. 已知抛物线（a，b为常数，）与x轴交于点，顶点为D，且过点． （1）求抛物线解析式和点C，D的坐标； （2）点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值； ②连接BD，当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 策马扬鞭数学练习二 考试时间：100分钟 满分：120分 一．单选题（每题3分，共36分） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 2. 二次函数的图象上最低点的坐标是（ ） A. (-1, -2) B. (1, -2) C. (-1, 2) D. (1, 2) 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法． 【详解】二次函数开口向上，最低点的坐标即为顶点坐标(1,−2). 故选:B. 【点睛】考查二次函数的最值，求二次函数最值的方法有三种，第一种由图象直接得出；第二种是配方法；第三种是公式法. 3. 下列关于的方程中，一定有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，一定有实数根，否则无实数根；分别计算出四个选项中方程的判别式，根据判别式的符号即可作出判断． 【详解】解：A、，故方程无实数根； B、，故方程有实数根； C、，故方程无实数根； D、，由于m的取值无法确定，故方程有或者无实数根取决于m的取值； 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程， 先移项，再两边都加上一次项系数一半的平方即可. 【详解】解：， 移项，得， 两边都加上16，得， 即. 故选：A. 5. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 6 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求出的值，即可求出的值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 6. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1640份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 每名学生需要给其他名学生写留言，因此总留言数为份，根据题意列出方程即可． 【详解】解：∵全班有名学生，每名学生写份留言， ∴总留言数为， ∴方程为． 故选：A． 7. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是即． 故选：D． 8. 如果三点、、在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上和对称轴，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线. ∴当时，随的增大而增大. ∵关于对称轴的对称点为，且， ∴，即． 9. 已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式，确定对称轴，分开口方向向上和向下两种情况解答，确定时，二次函数的最大值与最小值，解答即可． 本题考查了顶点式，抛物线的增减性，最值，熟练掌握增减性和最值确定方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当抛物线开口向上时，，得抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴在这个范围内， ∵y的最小值为， ∴，与矛盾， 当抛物线开口向下时，，故抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴当时，取得最小值，且最小值为， 由y的最小值为， 得， 解得． 故选：B． 10. 如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的关键。 根据点Q所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答。 【详解】解：①当点Q在上时，如图 有，， ∴（）． 此时y与x之间的函数为一次函数． ②当点Q在上时，如图 有，， ∴， ∴（）． 此时y与x之间的函数为二次函数． 综上所述，符合当时，图像为一次函数；时，图像为二次函数，只有B选项． 故选B． 11. 如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④（为任意实数）． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键． 根据图象分别得出a、b、c的符号，即可判断①；②由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断②；利用二次函数的性质即可判断③；在不等式两边同时加上c，再利用二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴，即， ∴， 由图象可知，当时，， ∵和两点关于对称轴对称， ∴当时，，即， ∴，故①正确； 由①得，，代入， 得， 由图象可知，当时，，即， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故③正确； 假设不等式成立，在不等式两边加c， 得， ∵不等式左侧为当时的函数值，右侧为时（为任意实数）的函数值， 又∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时的函数值为最大值，即恒成立， ∴成立，故④正确； 综上所述，正确的说法有4个． 故选：D． 12. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，， 解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，， 解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 二．填空题（每题3分，共18分） 13. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是，  ， 因此方程的另一个根为2． 14. 已知抛物线，图象的开口向____，顶点坐标为____，当x___时，y随x的增大而减小． 【答案】 ①. 上 ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次根式的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可，由对称轴和开口方向得出增减性． 【详解】解：∵抛物线，， 抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小． 故答案为：上，，． 15. 从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间的函数关系式是h=12t﹣6t2，则小球运动到的最大高度为________米； 【答案】6 【解析】 【分析】现将函数解析式配方得，即可得到答案. 【详解】， ∴当t=1时，h有最大值6. 故答案为：6. 【点睛】此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开口方向确定最值. 16. 在函数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】该二次函数开口向上，对称轴为直线，根据给定的时的递增要求，确定对称轴与直线的位置关系，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 17. 如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B，C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线交于点E，则的值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设A点坐标为，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出的长度，再根据轴，利用的解析式求出D点的坐标，然后利用求出点E的坐标，从而得到的长度，然后求出比值即可得解． 【详解】解：设A点坐标为，， 则，解得， ∴点B， ∴点C， ∵轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点E的纵坐标为3a， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键． 18. 抛物线经过，两点． （1）则抛物线的解析式为________________________________； （2）如图，设抛物线的顶点为，直线与轴交于点，与直线交于点．现将抛物线平移，保持顶点在直线上．若平移后抛物线与射线（含端点）只有一个公共点，则它的顶点横坐标的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出顶点，得到直线的表达式为，根据题意得到平移后抛物线表达式为，当抛物线经过点时，求出，然后结合图象求出；当抛物线与射线相切时，联立求解即可． 【详解】解：（1）将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）∵ ∴顶点 设直线的表达式为 将点代入得， 解得 ∴直线的表达式为 ∵抛物线平移后顶点在直线上 ∴设平移后顶点的坐标为 ∴平移后抛物线表达式为 ∵直线与轴交于点 ∴当时， ∴ 当抛物线经过点时， 解得 当时，如图， 当时，如图， ∵平移后抛物线与射线（含端点）只有一个公共点 ∴； 当抛物线与射线相切时，如图， 联立得， 整理得， ∴ 解得 综上所述，的取值范围是或． 三．解答题（共7道大题，共66分） 19. 解方程． （1） （2） 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）移项整理方程后通过因式分解求解； （2）将方程左边转化为完全平方式后开平方求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴ 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， 解得， 即． 20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为、，且，求的值． 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，结合判别式列不等式求解； （2）利用根与系数的关系表示两根之和与两根之积，代入已知等式求解，再结合（1）的取值范围检验结果． 【小问1详解】 解： ∵ 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 判别式， ∵ ，，， ∴ ， 整理得， 解方程， 得， ∵ 二次项系数，抛物线开口向上， ∴ 的取值范围是 或 ； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得， ∵ ，符合（1）中的取值范围， ∴ 的值为． 21. 二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … … 0 m n … （1）该二次函数解析式为______，______，______； （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）根据图象直接回答下列问题：①当______时，y有最______值（填“大”或“小”），该最值是______；②若该二次函数图象上有两点和，比较和的大小，其结果是：______；③当时，x的值为______；④当时，则y的取值范围是______. 【答案】（1），， （2）图象如图所示： （3）①，小，；②<；③、5；④ 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，再分别把、代入求值即可； （2）利用五点法作图即可； （3）根据二次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点、、代入得， ，解得， ∴该二次函数解析式为， 当时，， 当时，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示； x 0 2 4 5 y 0 0 【小问3详解】 解：①由图可得，当时，函数值有最小值，最小值为， 故答案为：，小，； ②由图象可得，抛物线对称轴为，抛物线开口向上， ∴抛物线上点离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴较远， ∴， 故答案为：<； ③当时，， ∵抛物线对称轴为， ∴，即， ∴当时，x的值为、5， 故答案为：、5； ④∵抛物线的对称轴为，开口向上， ∴y的最小值是 由图可得，当时，则y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查画二次函数图象、用待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数图象是解题的关键． 22. 点，都在二次函数的图象上，且，若该二次函数的图象经过点，则 （1）________，该二次函数的表达式为________________________；将该二次函数的表达式化为顶点式是________； （2）该二次函数的图象的对称轴为________，顶点坐标为________； （3）若，则________；（填“”“”或“”） （4）若，求点的坐标． 【答案】（1），， （2）直线， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）将点代入求出a的值，然后得到表达式，然后配方成顶点式即可； （2）利用顶点式求解即可； （3）首先得到，然后将点，代入表达式得到，，然后作差比较即可； （4）根据二次函数的对称性得到，求出，然后代入表达式求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴该二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∴ 根据题意得，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问4详解】 解：若，则点和点关于抛物线对称轴对称 ∴ ∴ 将代入 ∴． 23. 用一条长的绳子围成一个矩形． （1）若围成的矩形面积为，求该矩形的长和宽． （2）能围成一个面积为的矩形吗？若能，求出它的长和宽．若不能，请求出能围成矩形的最大面积． 【答案】（1）长为，宽为 （2）不能围成一个面积为的矩形，最大面积为 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键． （1）设矩形的长为，则宽为，根据面积列出方程，解方程即可； （2）根据题意，列出方程，判断一元二次方程有无实数根即可；设矩形的长为，则宽为，设矩形的面积为，列出函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设矩形的长为，则宽为， 则， 整理得， 解得：，， 当时，， 当时，， 矩形的长为，宽为； 【小问2详解】 解：不能围成一个面积为的矩形，理由如下： 设矩形的长为，则宽为， 则， 整理得：， ， 没有实数根， 不能围成一个面积为的矩形； 设矩形的长为，则宽为，设矩形的面积为， 则， ， 抛物线开口向下，二次函数有最大值， 即当时，有最大值， 此时长为，宽为，面积最大，最大面积为 24. 面朝大海，春暖花开！榴岛大地正值草莓上市销售的旺季．某商家以每盒20元的价格购进一批盒装草莓，经市场调查发现：在一段时间内，草莓的日销售量y（盒）与每盒售价x（元）满足一次函数关系，其图象如下图所示： （1）求y关于x的函数关系式； （2）根据市场的定价规则，草莓的售价每盒不得高于49元，当售价定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动，顾客每购买一盒草莓可以获得a元的现金奖励，商家想在日销售量不少于40盒的基础上，使日销售最大利润为1568元，求此时a的值． 【答案】（1） （2）当售价定为每盒49元时，日销售利润最大，最大利润是1798元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，把代入，即可求得y关于x的函数关系式； （2）根据题意可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后求出x的取值范围，再根据二次函数的性质，即可求得答案； （3）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质，可以得到关于a的方程，然后求解即可． 【小问1详解】 解：设函数关系式为， 把代入， 得， 解得：， ∴函数关系式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为元， 由题意可得：， ∵函数图象开口向下， 当时，w随x的增大而增大，且， 当时，取得最大值，此时． 答：当售价定为每盒49元时，日销售利润最大，最大利润是1798元； 【小问3详解】 解：由题意得： ∵对称轴为直线，且抛物线开口向下， 又日销售量不少于40盒， ∴， 解得： ∴ ①当，即时，， 解得：（不合题意，舍去）或； ②当，即时，， 解得：（不合题意，舍去）． 综上所述，． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的一次函数解析式和二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 25. 已知抛物线（a，b为常数，）与x轴交于点，顶点为D，且过点． （1）求抛物线解析式和点C，D的坐标； （2）点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值； ②连接BD，当时，求点P的坐标． 【答案】（1），， （2）①，②点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）把点，点代入，求出抛物线解析式，进一步可求出，； （2）①由题意可知点P坐标为，过点P作轴于点H，交直线BC于点E，求出直线BC的解析式为．利用点P的坐标可知，故点E的坐标为．进一步可求出，所以当时，的面积的最大值为；②分情况讨论：当点P在直线BC的上方，求出直线BD的解析式为，和直线PC的解析式为．即可求出点P的坐标为；当点P在直线BC的下方时，设直线PC与BD交于点M，设， 求出．求出直线CM的解析式为，进一步可求出． 【小问1详解】 解：把点，点代入， 可得：，解得 ∴抛物线解析式为， ， ∴顶点． 把代入在，得， ∴点． 【小问2详解】 解：由题意可知点P坐标为， ①如图，过点P作轴于点H，交直线BC于点E， 设直线BC的解析式为，将，点代入， 得，解得． ∴直线BC的解析式为． ∵点P的坐标为，由题意可知， ∴点E的坐标为． ∴． ∴ ． ∵， ∴当时，的面积的最大值为． ②存在． 如图①，当点P在直线BC的上方，且时，则， 设直线DB的解析式为，将，点代入， 得，解得． ∴直线BD的解析式为． ∵， ∴设直线PC的解析式为． ∵， ∴． ∴． ∴直线PC的解析式为． ∴． 解得，（舍）． 当时，． ∴点P的坐标为． 如图②，当点P在直线BC的下方时，设直线PC与BD交于点M， ∵， ∴． 设， ∵， ， ∴ 解得． ∴点M的坐标为． 由点和点可得直线CM的解析式为， 由， 解得，（舍）． 所以点． 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，会求两直线的交点坐标，掌握二次函数的图象及性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $