第十四章 第7周 专项训练(全等三角形的常见模型 与全等三角形有关的线段和角的计算与证明 添加辅助线构造全等三角形)-【全能练考卷】2026-2027学年八年级上册数学周末小卷（人教版·新教材）

周未小卷周小卷、单元卷、期中卷、期末卷 第十四章 第7周 专项训练（全等三角形的常见模型与全等三 全等三角形 角形有关的线段和角的计算与证明添加辅助线构造全等三角形) ©时间：45分钟®答案：P21 全等三角形的常见模型 1.如图，△ABC和△DEF中，AC=DF,ACDF,BE=CF (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)若∠B=38°，∠F=70°，求∠D的度数 2.如图，点D在线段AB上，点E在线段AC上，BE,CD交于点F,AD=AE,BD=CE. (1)求证：△AEB≌△ADC; (2)求证：CF=BF. 总 3.如图，BC⊥CA,BC=CA,DC⊥CE,DC=CE,BD的延长线交AC于点G,交AE于点F. (1)△BCD与△ACE全等吗？请说明理由. (2)试判断BF与AE的位置关系，并说明理由， B 4.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E. (1)当直线MW绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE. (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不 成立，请写出新的结论并证明. 图1 图2 与全等三角形有关的线段和角的计算与证明 5.如图，AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上的两点，CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=4,BF=3,EF=2,则 AD的长为 () A.3 B.5 C.6 D.7 6.如图，PC平分∠APB,CM⊥PA于点M,CN⊥PB于点N,D,E分别是边PA和PB上的点，且CD= CE.求证：∠APB+∠DCE=180°. M 八年级·数学(RJ)·上册15 7.如图，AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=4cm,点P从点A出发，沿A→B→A方向以 3cm/s的速度往返运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P,Q两点同时 出发.当点P到达点A时，P,Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为ts (1)求证：ABDE; (2)求线段AP的长（用含t的式子表示）； (3)连接PQ,当线段PQ经过点C时，求t的值 添加辅助线构造全等三角形 8.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE,垂足为D,求证：∠2=∠1+∠C. D 9.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为48 和26，求△FDE的面积. 16八年级·数学(RJ)·上册 10.如图，已知AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,点E在CD上.求证：AB=AC+BD. 11.在构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法. (1)如图1，AD是△ABC的中线，且AB>AC.延长AD至点E,使ED=AD,连接BE.求证： △ADC≌△EDB; (2)如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA.求证： AE=2AD. B E 图1 图219.解：命题的已知、求证和证明过程如下， 已知：OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥ OB,垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 证明：.OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥ OB, ∴.∠DOP=∠EOP,∠PDO=∠PE0=90°. 在△PD0和△PE0中， ∠PDO=∠PEO, ∠DOP=∠EOP, OP=OP, ∴.△PDO≌△PE0(AAS), ∴.PD=PE. 易错警示 证明一个命题的步骤不是固定不变的， 要根据题目的实际情况而定，但是总体 必须是完整的，并且证明过程的每一步 推理都要有依据，推理的依据可以是已 知条件，也可以是学过的定义、定理和 基本事实等 20.证明：·BE,CE分别为△ABC的两个外 角的平分线，EP⊥AM,EQ⊥AN,ED⊥ BC, .∴.EP=ED,EQ=ED, ∴.EP=EQ. 又.：EP⊥AM,EQ⊥AN, .点E在∠NAM的平分线上 第7周专项训练 1.（1)证明：BE=CF, ∴.BE+CE=CF+CE,即BC=EF. .ACDF,.∠ACB=∠F 在△ABC和△DEF中， (AC=DF, ∠ACB=∠F, BC=EF, 2 ∴.△ABC≌△DEF(SAS). (2)解：由(1)知，△ABC≌△DEF, ∠B=∠DEF. ∵∠B=38°， ∴.∠DEF=38. 在△DEF中，∠D=180°-∠DEF-∠F= 180°-38°-70°=72°. 2.证明：(1).AD=AE,BD=CE, .∴.AD+BD=AE+CE,即AB=AC 在△AEB和△ADC中， (AE=AD, ∠A=∠A, AB=AC, .∴.△AEB≌△ADC(SAS). (2)由(1)知△ADC≌△AEB,∴.∠C=∠B. 在△EFC和△DFB中， 「∠C=LB, ∠EFC=∠DFB, EC=DB, .△EFC≌△DFB(AAS), .∴.CF=BF. 3.解：(1)△BCD≌△ACE. 理由如下： .'BC⊥CA,DC⊥CE, .∴.∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠ACB-∠DCG=∠DCE-∠DCG, 即∠BCD=∠ACE. 在△BCD和△ACE中， (BC=AC, ∠BCD=∠ACE, CD=CE, .△BCD≌△ACE(SAS). (2)BF⊥AE.理由如下： 由(1)知，△BCD≌△ACE, ∴.∠CBD=∠CAE. :BC⊥CA, .∠ACB=90°， ..∠CBG+∠CGB=90°. 又.∠CGB=∠AGF, ∴.∠AGF+∠CAE=90°， ∴.∠AFG=90°， 即BF⊥AE. 4.(1)证明：.∠ACB=90°，AD⊥MN, BE⊥MN, ∴.∠DAC+∠DCA=∠BCE+∠DCA=9O°， ∴.∠DAC=LBCE 在△DAC与△ECB中， I∠DAC=∠ECB, ∠ADC=∠CEB, AC=CB, ∴，△DAC≌△ECB(AAS), ∴.AD=CE,DC=BE, ∴.DE=CE+DC=AD+BE. (2)解：(1)中的结论不成立，新的结论 为DE=AD-BE.证明如下： .'∠ACB=90°，AD⊥MN, ·.∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCE=90° ∴.∠DAC=∠BCE, 在△ACD与△CBE中， 「∠DAC=∠ECB, ∠ADC=∠CEB, AC=CB, ∴.△ACD≌△CBE(AAS), .∴.AD=CE,CD=BE, ∴.DE=CE-CD=AD-BE 5.B【解析】如图，设AB交CD于点H. AB⊥CD, .∠AHD=90°， ∴.∠A+∠D=90°. ,E,F是AD上的两点，CE⊥AD,BF⊥AD, .∠AFB=∠CED=90°， .∠C+∠D=90°， ∴.∠A=∠C. 在△AFB和△CED中， 「∠A=∠C, ∠AFB=∠CED, AB=CD, .△AFB≌△CED(AAS), .'AF=CE=4,BF=DE=3. EF=2, .DF=DE-EF=3-2=1, .AD=AF+DF=4+1=5. 6.证明：PC平分∠APB,CM⊥PA, CN⊥PB, ∴.CM=CN. 在Rt△DCM与Rt△ECN中， (CM=CN, CD=CE, ∴.Rt△DCM≌Rt△ECN(HL), ∴.∠DCM=∠ECN, ∴.∠MCN=∠DCM+∠DCN=∠ECN+ ∠DCN=∠DCE. .'∠PMC+∠PWC+∠APB+∠MCN=90°+ 90°+∠APB+∠MCN=360°， .∴.∠APB+∠MCN=180°， ∴.∠APB+∠DCE=180°. 7.（1)证明：在△ABC和△EDC中， AC=EC, ∠ACB=∠ECD, BC=DC, 02 ∴.△ABC≌△EDC(SAS), ∴.∠A=∠E, .AB//DE. (2)解：当0s≤时，AP=34em: 当号≤时，Br=(3-4)em, 则AP=AB-BP=4-(3t-4)=(8-3t)(cm), 综上所述，线段AP的长为3tcm或 (8-3t)cm (3)解：由(1)得∠A=∠E,ED=AB=4cm. 在△ACP和△ECQ中， ∠A=∠E, AC=EC, ∠ACP=∠ECQ, .△ACP≌△ECQ(ASA), .AP=EQ, 当0≤1≤3时，36=4-4， 解得t=1; 6 当4<t≤时，8-3t=4-, 解得t=2. 综上所述，当线段PQ经过点C时，t的 值为1s或2s. 8.证明：如图，延长AD交BC于点F D .BE是∠ABC的平分线， ∴.∠ABD=∠FBD .AD⊥BE,∴.∠ADB=∠FDB=90° 在△ABD与△FBD中， T∠ABD=∠FBD, BD=BD ∠ADB=∠FDB, .△ABD≌△FBD(ASA), .∴.∠2=∠DFB. 又∠DFB=∠1+∠C, ∴.∠2=∠1+∠C. 【方法点拨 巧用角平分线构造全等三角形： 若把三角形的角平分线看成一条公共 边，在角的两边分别截取相等的线段， 或在角平分线上找一点向角的两边分 别找（作）等角，可以依据“SAS”或 “ASA”等证明三角形全等 9.解：如图，过点D作DH⊥AC于点H. :AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB, DH⊥AC, .DF=DH. 在R△FDE和R△HDG中，DF=DH, (DE=DG, .Rt△FDE≌Rt△HDG(HL). 同理易得Rt△FDA≌Rt△HDA(HL), .S△FDE=S△HDG,S△FDA=S△HDA 设△FDE的面积为x,由题意，得SAADG S△HDc=S△AED+S△FDE,即48-x=26+x, 解得x=11,即△FDE的面积为11. 10.证明：方法一（补短法)如图1，延长 BD至点F,使BF=BA,连接EF, 3 B 图1 AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA, ∴.∠CAE=∠EAB,∠FBE=∠ABE. 在△AEB和△FEB中， (BA=BF, ∠ABE=∠FBE, BE=BE, .△AEB≌△FEB(SAS), .AE=FE,∠EAB=∠F, .∠CAE=∠F. .AC∥BD,∴.∠C=∠EDF, 在△ACE和△FDE中， I∠C=∠EDF, ∠CAE=∠F, AE=FE, .△ACE≌△FDE(AAS), ..AC=FD, ∴.AB=FB=AC+BD. 方法二（截长法）如图2，在AB上截 取AF,使AF=AC,连接EF 图2 .AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA, ∴.∠CAE=∠EAB,∠FBE=∠DBE. .·AC=AF,∠CAE=∠FAE,AE=AE, ∴.△CAE≌△FAE(SAS), .∴.∠C=∠AFE. AC//BD, .∠C+∠D=180°. .∠AFE+∠BFE=180°， ∴.∠BFE=∠D 又∠FBE=∠DBE,BE=BE, ∴.△FBE≌△DBE(AAS), ∴.BF=BD, .AB=AF+BF=AC+BD. 方法点拔 证明一条线段的长度等于两条线段长 度的和（差）时，常采用“截长补短法”： (1)截长法，即在较长线段上截取一段， 使之等于其中一条较短线段的长，然后 证明剩下的线段长等于另一条短线段 的长； (2)补短法，即延长较短线段，使延长后 的线段长等于较长线段的长，再证明延 长部分的线段长等于另一条较短线段 的长。 11.证明：(1).AD是△ABC的中线， .DB=CD. 在△ADC和△EDB中， (AD=ED, ∠ADC=∠EDB, CD=BD, ∴.△ADC≌△EDB(SAS). (2)如图，延长AD至点M,使DM=AD, 连接CM. M :AD是△ABC的中线， 04 .BD=CD. 在△ABD和△MCD中， (AD=MD, ∠ADB=∠MDC, BD=CD, ∴.△ABD≌△MCD(SAS), .AB=MC,∠B=∠MCD. .AB=CE, ∴.CM=CE. .·∠BAC=∠BCA, ∴.∠B+∠BAC=∠MCD+∠BCA, 即∠ACE=∠ACM. 在△ACM和△ACE中， (AC=AC, ∠ACM=∠ACE, CM=CE, ∴.△ACM≌△ACE(SAS), .∴.AM=AE. AM=2AD, .AE=2AD. 第十四章 单元过关检测卷 1.B【解析】由题图可知，只有选项B的 图形符合要求 2.B【解析】.△ABC≌△CDA,.∠B的 对应角是∠D. 3.C【解析】，AB=AD,BC=DC,AC为公共 边，.△ABC≌△ADC(SSS),.∠BAC= ∠DAC,∠BCA=∠DCA,∴.△ABE≌ △ADE(SAS),△CBE≌△CDE(SAS),故 题图中全等的三角形有3对 4.A【解析】：AB⊥BD,ED⊥BD,.∠B= ∠D=90°.在Rt△ABC和Rt△CDE中， (AC=CE, .Rt△ABC≌Rt△CDE(HL), AB=CD. ∴.∠A=∠DCE.∠B=90°，∴.∠A+ ∠ACB=90°，∴.∠DCE+∠ACB=90°， .∴.∠ACE=180°-（∠DCE+∠ACB)= 180°-90°=90°. 5.D【解析'∠C=90°，DE⊥AB,CD=DE, ∴.BD是∠ABC的平分线，∴.∠ABC= 2∠CBD=2×26°=52.在Rt△ABC中， ∠A=90°-∠ABC=90°-52°=38°. 6.C【解析】小.△ABC≌△DEC,∴.CD=AC= 4,CE=BC..BD=13,..CE=BC=BD- CD=13-4=9. 7.A【解析】如图，过点O作OE⊥AB于 点E. B HD OB平分∠ABC,OH⊥BC, .∴.OE=0H=3cm. :∠ABC的平分线B0与∠ACB的平分 线C0相交于，点O,∴.AO平分∠BAC. :LBAC=60,∠BA0=号LBAC= 30°，∴.A0=20E=6cm. 8.C【解析】如图，过点B作BE⊥x轴，过 点A作AD⊥x轴，垂足分别为E,D.因为 ∠AOB=90°，所以∠B0E+∠DOA=180°- ∠AOB=90°.因为BE⊥x轴，AD⊥x轴， 所以∠BE0=∠ODA=90°，所以∠BOE+ ∠EBO=90°，所以∠DOA=∠EB0.因为 AO=OB,所以△BOE≌△OAD(AAS),所 以EO=AD,BE=OD.因为点A的坐标为 (3,4),所以E0=AD=4,BE=0D=3. 因为点B在第二象限，所以点B的 5