1.3 全等三角形的判定 易错专题 训练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 以错因重构全等三角形判定训练体系，通过“目标-指引-例题-巩固”四阶模式突破8类核心易错点，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |边边角误判|1例+10巩固|区分夹角位置，举反例验证|从基础判定条件辨析到图形位置关系理解| |平行垂直暗角|1例+5巩固|平行转等角，垂直标直角|位置关系与数量关系转化| |公共边公共角|1例+6巩固|识别公共元素，用等式性质凑条件|隐含条件挖掘与等量代换| |线段和差换算|1例+5巩固|线段加减标图，整段与小段转化|图形中线段关系的代数表达| |直角三角形判定|1例+8巩固|先判直角，再用HL或一般判定|特殊与一般判定方法的区分| |动点漏分类|1例+4巩固|按位置分段列方程，检验范围|动态问题中的分类讨论思想| |指定方法补条件|1例+6巩固|背三要素，缺啥补啥|判定方法的要素化应用| |图形位置辨全等|1例+4巩固|列边角数据逐项比对|视觉直观到逻辑验证的过渡|

苏科版（2024） · 全等三角形的判定 · 第1章 三角形 1.3全等三角形的判定 苏科版（2024）八上易错专题 苏科版（2024） 第1章 三角形 1.3 全等三角形的判定 班级：________________ 姓名：________________ 本专题抛开教材顺序，按真实错因重新归类全等三角形的判定题：边边角误判、隐含条件漏找、线段和差换算、直角三角形条件混淆、动点漏分类、指定方法补错条件等。每类配一道精讲例题与即时巩固，文末另设综合检测题组，帮学生从根本上走出判定误区。 目录 易错点1：误用边边角判全等 易错点2：平行垂直暗角没转出来 易错点3：公共边公共角没用上 易错点4：线段和差换算出错 易错点5：直角三角形判定认错条件 易错点6：动点全等漏掉分类讨论 易错点7：指定判定方法补不准条件 易错点8：图形位置辨全等看漏了 易错点1：误用边边角判全等 学习目标 · 能区分夹角与非夹角的位置 · 能举反例说明边边角不成立 纠错指引 “两边及其中一边的对角”不能判定全等，只有两边的夹角才能套“边角边”；拿不准时动手画一画，看能否画出形状不同的两个三角形。 精讲例题 例题1．（2023秋•平果市期末）·【基础】在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（　　） A．AC＝A′C′ B．BC＝B′C′ C．∠B＝∠B′ D．∠C＝∠C′ 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把边边角当成边角边用 · 没有验证角是否夹角 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2025秋•息县校级期末）·【基础】如图，在△ABC与△DFE中，AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．∠B＝∠F B．BE＝CF C．∠A＝∠D D．AB＝DF 即时巩固2．（2024秋•青县期末）·【基础】如图，在△ABC与△ADC中，若∠BAC＝∠DAC，则下列条件不能判定△ABC与△ADC全等的是（　　） A．∠B＝∠D B．∠BCA＝∠DCA C．BC＝DC D．AB＝AD 即时巩固3．（2025春•北林区期末）·【基础】如图，已知CD＝CA，∠D＝∠A，添加下列条件中的（　　）仍不能证明△ABC≌△DEC． A．DE＝AB B．CE＝CB C．∠DEC＝∠B D．∠ECD＝∠BCA 即时巩固4．（2024秋•蓝山县期末）·【基础】如图，已知∠BAC＝∠DAC那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．AB＝AD B．CB＝CD C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90° 即时巩固5．（2025秋•临平区期末）·【提升】在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D 即时巩固6．（2025春•温江区校级期中）·【提升】如图，在△ABC与△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，且点A在EF上，点D在BC上，添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．∠C＝∠F B．∠B＝∠E C．AC＝DF D．∠BAC＝∠EDF＝90° 即时巩固7．（2024秋•凤台县期末）·【提升】如图，点A，D，C，F在一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠EDF，下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AD＝CF B．∠BCA＝∠F C．∠B＝∠E D．BC＝EF 即时巩固8．（2024•安徽模拟）·【提升】如图，点C和点E分别在AD和AB上，BC与DE交于点F，已知AB＝AD，若要使△ABC≌△ADE，应添加条件中错误的是（　　） A．BC＝DE B．AC＝AE C．∠ACB＝∠AED＝90° D．∠BCD＝∠DEB 即时巩固9．（2023秋•灵山县校级期末）·【提升】如图，已知BF＝CE，∠B＝∠E，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AC＝DF 即时巩固10．（新教材同步题）·【提升】画△ABC，使AB＝5cm，BC＝6cm，∠A＝45°，满足这些条件而形状不同的三角形有几个？ 易错点2：平行垂直暗角没转出来 学习目标 · 能把平行条件转为角相等 · 能由垂直得到直角再判定 纠错指引 看到平行就写同位角、内错角相等，看到垂直立刻标出直角符号，把位置关系翻译成角的条件之后再套判定方法。 精讲例题 例题2．（2024秋•锡山区期末）·【基础】如图，点B、C在AD上，AE＝BF，CE＝DF，要使△AEC≌△BFD，还需要添加一个条件是（　　） A．∠A＝∠FBD B．AB＝CD C．CE∥DF D．AE∥BF 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 漏掉平行推出的角相等 · 垂直条件没换成直角 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固11．（2024秋•安陆市期末）·【基础】如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AC∥DF B．AB＝DE C．EC＝BF D．AC＝DF 即时巩固12．（2024秋•新城区校级期中）·【基础】如图，AF＝DC，BC∥EF，只需补充一个条件，就可得△ABC≌△DEF．下列条件中不符合要求的是（　　） A．BC＝EF B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．AB∥DE 即时巩固13．（2025秋•聊城月考）·【提升】如图，已知A、E、F、C在一条直线上，BE∥DF，BE＝DF，AF＝CE．则下列选项不正确的是（　　） A．△ADF≌△CBE B．AB∥CD C．AD＝AB D．AD∥BC 即时巩固14．（2023秋•来宾期中）·【基础】如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C，B，要根据“SAS”证明△ABC≌△DCB，则应添加的条件是 　 　 ． 即时巩固15．（2024秋•潮阳区校级期末）·【基础】已知AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）如图①，AC⊥AB，BD⊥AB，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 易错点3：公共边公共角没用上 学习目标 · 能识别图形中的公共边角 · 能用等式性质凑出对应角 纠错指引 两个三角形叠在一起时先找公共边、公共角：公共边直接写相等，由一个角加或减同一个角可得到新的角相等。 精讲例题 例题3．（2023秋•蛟河市期末）·【基础】如图，AB，CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△ABD≌△CDB，你补充的条件是 　 　 ． 易错倾向标签：易看错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 没发现两个三角形共用一边 · 忽略自身相等的公共角 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固16．（2024秋•忻州期末）·【基础】如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC．下列条件中不能判断△ABE≌△ACD的是（　　） A．BD＝CE B．BE＝CD C．AD＝AE D．∠B＝∠C 即时巩固17．（2024秋•庆云县期末）·【基础】如图，已知AB＝AC，请再添加一个条件 　 ，使△ABE≌△ACD（无需添加任何辅助线或点）． 即时巩固18．（2023秋•大兴区期末）·【基础】如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ADE≌△ACB，则需再添加一个条件是 　 　 （写出一个即可）． 即时巩固19．（2023秋•贡觉县校级期中）·【基础】如图，已知AC＝BD，∠1＝∠2，那么△ABC≌　 　 ，其判定根据是　 　 ． 即时巩固20．（2022•宁夏）·【基础】如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是 　 　 .（只写一个） 即时巩固21．（2025•南沙区校级二模）·【基础】已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：△ABD≌△EBC． 易错点4：线段和差换算出错 学习目标 · 能由共线段推出整段相等 · 能在线段图上做加减换算 纠错指引 共线上的两条小段分别相等时，同加或同减同一段才能得到整段相等；先把线段关系标在图旁，别直接拿无关线段当对应边。 精讲例题 例题4．（2024秋•云冈区期末）·【基础】如图，△ABC与△DEF的边BC与EF在同一条直线上，且BE＝CF，AB＝DE．若需要证明△ABC≌△DEF，则可以增加条件（　　） A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．AC＝DF 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 忘记把小段换算成整段 · 把无关线段当对应边 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固22．（2025秋•阳曲县校级期中）·【提升】如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，要使△ABC≌△DEF，需添加条件（　　） A．AC∥DF B．AB∥DE C．∠A＝∠D D．BC＝EF 即时巩固23．（2024秋•乐昌市校级期中）·【基础】如图，已知B、E、F、C在同一直线上，BE＝CF，∠B＝∠C，则添加条件 　 　 （添加一个条件即可），可以判断△ABF≌△DCE． 即时巩固24．（2025秋•富锦市期中）·【提升】如图，点B，F，E，D在同一直线上，∠B＝∠D，BE＝DF，要证明△ABF≌△CDE，需要添加一个条件为　 　 ． 即时巩固25．（2026春•碑林区校级期中）·【基础】如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若AD＝BE，BC＝EF，∠E+∠CBE＝180°，求证：△ABC≌△DEF． 即时巩固26．（2026春•碑林区校级月考）·【基础】如图，点A、C、D、E在同一条直线上，FD⊥AE，BC⊥AE，AD＝EC，AB＝EF．求证：△ABC≌△EFD． 易错点5：直角三角形判定认错条件 学习目标 · 能说出直角三角形的判定方法 · 能区分斜边直角边与两边相等 纠错指引 直角三角形先看有没有直角，再用“斜边、直角边”或一般判定；只给两个锐角相等只能说明形状相同，推不出全等。 精讲例题 例题5．（2022秋•衡山县期末）·【基础】下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把两锐角相等当成全等 · 未先确认斜边对应关系 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固27．（2024春•留坝县期末）·【基础】如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（　　） A．HL B．ASA C．AAS D．SAS 即时巩固28．（2023秋•沧州期末）·【基础】下列说法不正确的是（　　） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．有两边相等的两个直角三角形全等 即时巩固29．（2023秋•武陟县期中）·【基础】下列条件中不可以判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两条直角边对应相等 B．斜边和直角边对应相等 C．一条边和一锐角对应相等 D．一条边和一个角对应相等 即时巩固30．（2020秋•平阴县期末）·【基础】如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD； ③∠BAC＝∠BAD； ④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 即时巩固31．（2023春•张店区期末）·【基础】如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是 　 　 （不添加字母和辅助线）． 即时巩固32．（2025秋•南沙区期中）·【基础】如图，C，D，A共线，∠C＝∠DAE＝90°，若AB＝DE，CB＝DA，则△ACB≌△EAD的判断依据是　 　 ． 即时巩固33．（2022秋•海沧区校级期中）·【基础】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若直接根据“HL”判定，还需要再添加的一个条件是 　 　 ． 即时巩固34．（2023春•北湖区校级期中）·【提升】如图，△ABC中，AD⊥BC于D要用“HL”定理判定△ABD≌△ACD，还需加条件　 　 ． 易错点6：动点全等漏掉分类讨论 学习目标 · 能按点的位置分段列方程 · 能写出全等的多种可能情形 纠错指引 动点题先按点落在哪条边上分段，再在每段里由对应边相等列方程，最后检验所得时间是否超出运动范围。 精讲例题 例题6．（2026春•通川区校级期末）·【基础】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，P，Q两点分别在AC和AC的垂线AD上移动，PQ＝AB，则当AP＝　 　 时，才能使△ABC和△APQ全等． 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 只算一种位置就下结论 · 漏掉两点重合的情形 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固35．（2025秋•浠水县期末）·【提升】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝10cm．动点P从点A出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作PE⊥MN于点E，QF⊥MN于点F，则点P的运动时间为　 　 s时，△PEC与△QFC全等． 即时巩固36．（2026春•徐汇区期末）·【提升】如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　 　 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 即时巩固37．（2025秋•甘谷县校级期末）·【提升】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，直线1经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥1于点E，QF⊥1点F，当t＝　 　 时，△PEC与△QFC全等． 即时巩固38．（2024秋•西峡县期末）·【提升】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线 BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为　 　 ． 易错点7：指定判定方法补不准条件 学习目标 · 能按要求的判定方法配条件 · 能说清每种判定方法的要素 纠错指引 题目点名判定方法时先背出它需要的三要素，缺哪个补哪个：“边角边”要夹角，“角角边”要一角的对边，“斜边、直角边”要先有直角。 精讲例题 例题7．（2024秋•榆树市期中）·【基础】如图，已知AB＝CB，若根据“SAS”判定△ABD≌△CBD，需要补充的一个条件是（　　） A．∠A＝∠C B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABD＝∠CBD D．BD＝BD 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 补到邻边而不是夹角 · 忽视题目限定的判定方法 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固39．（2024秋•常德期末）·【基础】如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 即时巩固40．（2025秋•青秀区校级期中）·【基础】如图，AC与BD相交于点O，连接AB、DC，∠A＝∠D，OB＝OC，不添加辅助线，判定△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 即时巩固41．（2025秋•泗洪县期中）·【基础】如图，点B在AE上，∠C＝∠D，要能证△ABC≌△ABD，只需再补充一个条件：　 　 ． 即时巩固42．（2023秋•腾冲市期末）·【基础】如图，已知AB＝CB，要使△ABD≌△CBD，则可以添加的一个条件是　 　 ． 即时巩固43．（2023秋•新沂市校级月考）·【基础】如图，若∠1＝∠2，若根据AAS，加上条件 　 　 ，则有△AOC≌△BOC． 即时巩固44．（2022秋•大安市期末）·【基础】如图，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DBC，还需要补充一个条件：　 　 （填一个即可）． 易错点8：图形位置辨全等看漏了 学习目标 · 能在网格图中找全等三角形 · 能按边角数据逐个比对 纠错指引 多个三角形摆在图中时，先列出已知三角形的三组边与角，再逐个比对，不要用“看起来一样”代替逐项核对。 精讲例题 例题8．（2024春•金水区期末）·【基础】已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 凭视觉相似就判全等 · 漏数满足条件的三角形 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固45．（2024秋•桃城区校级期末）·【基础】如图，已知△ABC的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．只有甲 即时巩固46．（2025秋•定远县校级期中）·【提升】下列三角形中，全等的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 即时巩固47．（2022春•泰兴市期末）·【基础】如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．则图中与△ABC有唯一公共顶点C且与△ABC全等的格点三角形共有 　 　 个（不包括△ABC）． 即时巩固48．（2024•金平区校级二模）·【提升】如图，网格中的△ABC的3个顶点分别在小正方形的格点（顶点）上，这样的三角形叫做格点三角形，图中与△ABC全等（不含△ABC）的格点三角形共有 　 　 ． 本专题错因自查清单 ☐ 边边角误判全等 ☐ 平行垂直暗角没转换 ☐ 公共边公共角没发现 ☐ 线段和差换算错 ☐ 直角三角形判定条件混淆 ☐ 动点问题漏分类讨论 ☐ 指定判定方法补错条件 ☐ 凭图形感觉判全等 过关测试（综合检测） 1．（2024秋•原平市期末）·【基础】根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（　　） A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3 C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10 D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3 2．（2024秋•正阳县期末）·【基础】位于高新区的火炬大桥是洛阳市区目前最靠西的一座跨洛河桥，也是洛阳市宽度最宽、承重能力最强、单孔跨度最大、配建立交规模最大的桥梁，其侧面示意图如图所示，其中AB⊥CD，现添加以下条件，不能判定△ABC≌△ABD的是（　　） A．∠ABC＝∠ABD B．∠ACB＝∠ADB C．AC＝AD D．BC＝BD 3．（2024秋•苍溪县期末）·【基础】如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一个条件是 　 　 ．（只需添加一个条件即可） 4．（2022春•永州期末）·【基础】如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE＝FB，AB＝DE，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为　 　 ． 5．（2025春•榕城区期末）·【提升】如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t＝　 　 秒． 6．（新教材单元题）·【基础】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中有几对全等的直角三角形？试证明你的结论． 7．（2024•文山州一模）·【基础】如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABF≌△DCE． 8．（2026•云南模拟）·【提升】如图所示，AC，BD相交于点E，AE＝CE，AB∥CD，求证：△ABE≌△CDE． 9．（2026春•沈阳期中）·【提升】尺规作图是数学的重要知识之一，很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形作出来的．在现实生活中也会有一些传统操作方法获取图形知识，在生活实践中使用 （1）【回顾思考】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？ 小明回顾了作图的过程，如图1，并进行了如下思考． 由尺规作图可知，OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′， ∴△OCD≌△O′C′D′．① ∴∠DOC＝∠D′O′C′．② 你能说明每一步的理由吗？ ①　 　 ；②　 　 ． （2）【源于实践】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图2，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，请给出证明． 10．（新教材同步题）·【提升】如图，已知：E为AC上一点，且AD＝AB，ED＝EB． （1）求证：△AED≌△AEB； （2）求证：△ABC≌△ADC． 11．（新教材同步题）·【提升】如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，E为线段AC上一点．请找出图中所有全等的三角形，并证明． 苏科版（2024） · 全等三角形的判定 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版（2024） · 全等三角形的判定 · 第1章 三角形 1.3全等三角形的判定 苏科版（2024）八上易错专题 苏科版（2024） 第1章 三角形 1.3 全等三角形的判定 本专题抛开教材顺序，按真实错因重新归类全等三角形的判定题：边边角误判、隐含条件漏找、线段和差换算、直角三角形条件混淆、动点漏分类、指定方法补错条件等。每类配一道精讲例题与即时巩固，文末另设综合检测题组，帮学生从根本上走出判定误区。 目录 易错点1：误用边边角判全等 易错点2：平行垂直暗角没转出来 易错点3：公共边公共角没用上 易错点4：线段和差换算出错 易错点5：直角三角形判定认错条件 易错点6：动点全等漏掉分类讨论 易错点7：指定判定方法补不准条件 易错点8：图形位置辨全等看漏了 易错点1：误用边边角判全等 学习目标 · 能区分夹角与非夹角的位置 · 能举反例说明边边角不成立 纠错指引 “两边及其中一边的对角”不能判定全等，只有两边的夹角才能套“边角边”；拿不准时动手画一画，看能否画出形状不同的两个三角形。 精讲例题 例题1．（2023秋•平果市期末）·【基础】在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（　　） A．AC＝A′C′ B．BC＝B′C′ C．∠B＝∠B′ D．∠C＝∠C′ 【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据图形和已知看看是否符合即可． 【解答】解： A、∠A＝∠A′，AB＝A′B′AC＝A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误； B、具备∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确； C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误； D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误． 故选：B． 教学提示：把四个选项逐一配成三要素写在黑板左侧，重点演示成 B 选项时能画出形状不同的两个三角形，现场打破“两边一角必全等”的错觉。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把边边角当成边角边用 · 没有验证角是否夹角 即时巩固 即时巩固1．（2025秋•息县校级期末）·【基础】如图，在△ABC与△DFE中，AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．∠B＝∠F B．BE＝CF C．∠A＝∠D D．AB＝DF 【分析】根据全等三角形的判定方法：SAS．ASA，AAS，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，∠B＝∠F， ∴△ABC≌△DFE（AAS）， 故A不符合题意； B、∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， ∴BC＝EF， ∵∠ACB＝∠DEF，AC＝DE， ∴△ABC≌△DFE（SAS）， 故B不符合题意； C、∵AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DFE（ASA）， 故C不符合题意； D、∵AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，AB＝DF， ∴△ABC与△DFE不一定全等， 故D符合题意； 故选：D． 教学提示：先圈出已知的一边一角，再逐项问学生“它还缺第三件中的哪一件”，把四个答案的判定名称写在题目旁边。 即时巩固2．（2024秋•青县期末）·【基础】如图，在△ABC与△ADC中，若∠BAC＝∠DAC，则下列条件不能判定△ABC与△ADC全等的是（　　） A．∠B＝∠D B．∠BCA＝∠DCA C．BC＝DC D．AB＝AD 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，∠B＝∠D， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， 故A不符合题意； B、∵∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，∠BCA＝∠DCA， ∴△ABC≌△ADC（ASA）， 故B不符合题意； C、∵∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，BC＝DC， ∴△ABC和△ADC不一定全等， 故C符合题意； D、∵∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，AB＝AD， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， 故D不符合题意； 故选：C． 教学提示：先用彩笔圈出公共边 AC，再让同桌互相口述每个选项补出的是夹边还是对角，口头判断快于书写。 即时巩固3．（2025春•北林区期末）·【基础】如图，已知CD＝CA，∠D＝∠A，添加下列条件中的（　　）仍不能证明△ABC≌△DEC． A．DE＝AB B．CE＝CB C．∠DEC＝∠B D．∠ECD＝∠BCA 【分析】添加的条件取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【解答】解：A．当DE＝AB，CD＝CA，∠D＝∠A时，可得△ABC≌△DEC（SAS）． B．当CE＝CB，CD＝CA，∠D＝∠A时，不能得到△ABC≌△DEC． C．当∠DEC＝∠B，CD＝CA，∠D＝∠A时，可得△ABC≌△DEC（AAS）． D．当∠ECD＝∠BCA，CD＝CA，∠D＝∠A时，可得△ABC≌△DEC（ASA）． 故选：B． 教学提示：用字母对位法写出△ABC 与△DEC 的对应关系，提醒∠D 的对边是哪一条，避免顺序错乱选错答案。 即时巩固4．（2024秋•蓝山县期末）·【基础】如图，已知∠BAC＝∠DAC那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．AB＝AD B．CB＝CD C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90° 【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可． 【解答】解：A、∵在△ABC和△ADC中 ， ∴△ABC≌△ADC（SAS），正确，故本选项错误； B、根据CB＝CD，AC＝AC，∠BAC＝∠DAC，不能推出△BAC和△DAC全等，错误，故本选项正确； C、∵在△ABC和△ADC中 ， ∴△ABC≌△ADC（ASA），正确，故本选项错误； D、∵在△ABC和△ADC中 ， ∴△ABC≌△ADC（AAS），正确，故本选项错误； 故选：B． 教学提示：课前让学生默写判定方法的简称与三要素，课堂逐项给四个选项贴标签，贴不上标签的那个就是答案。 即时巩固5．（2025秋•临平区期末）·【提升】在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A．AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； B．∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； C．AB＝DF，AC＝DE，∠B＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DFE，故本选项符合题意； D．∠A＝∠D，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； 故选：C． 教学提示：用不同颜色标出∠B 的两条邻边，说明只有夹边或另一组角才能补成判定条件；遇到 BE＝CF，先加公共段 EC 换成 BC＝EF 再判。 即时巩固6．（2025春•温江区校级期中）·【提升】如图，在△ABC与△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，且点A在EF上，点D在BC上，添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．∠C＝∠F B．∠B＝∠E C．AC＝DF D．∠BAC＝∠EDF＝90° 【分析】依据题意，根据全等三角形的SSS，SAS，ASA，AAS，HL逐个分析判断可以得解． 【解答】解：由题意，对于A，添加∠C＝∠F， 又∵AB＝DE，BC＝EF， ∴不能满足判定△ABC≌△DEF的条件，故A符合题意． 对于B，添加∠B＝∠E， 又∵AB＝DE，BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF（SAS），故B不符合题意． 对于C，添加AC＝DF， 又∵AB＝DE，BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF（SSS），故C不符合题意． 对于D，添加∠BAC＝∠EDF＝90°， 又∵AB＝DE，BC＝EF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故D不符合题意． 故选：A． 教学提示：让学生用两支笔搭模型，亲眼看到同样的两边一角能摆出两种三角形，再回头解释 Selection A、C 为什么成立。 即时巩固7．（2024秋•凤台县期末）·【提升】如图，点A，D，C，F在一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠EDF，下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AD＝CF B．∠BCA＝∠F C．∠B＝∠E D．BC＝EF 【分析】根据各个选项中的条件和全等三角形的判定可以解答本题． 【解答】解：已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠EDF，添加的一个条件是AD＝CF，可以得到AC＝DF，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项A不符合题意； 已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠EDF，添加的一个条件是∠BCA＝∠EFD，根据AAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意； 已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠EDF，添加的一个条件是∠B＝∠E，根据ASA可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意； 已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠EDF，添加的一个条件是BC＝EF，根据SSA不可以证明△ABC≌△DEF，故选项D符合题意； 故选：D． 教学提示：先由 AD＝CF 加 DC 得到 AC＝DF，再追问这条边是不是∠A 的邻边，把“先凑边、再看位置”练成习惯。 即时巩固8．（2024•安徽模拟）·【提升】如图，点C和点E分别在AD和AB上，BC与DE交于点F，已知AB＝AD，若要使△ABC≌△ADE，应添加条件中错误的是（　　） A．BC＝DE B．AC＝AE C．∠ACB＝∠AED＝90° D．∠BCD＝∠DEB 【分析】三角形全等的判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS、HL，由此逐项判断即可得出答案． 【解答】解：A、若添加BC＝DE，SSA不能证明△ABC≌△ADE，故符合题意； B、若添加AC＝AE，则可利用SAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意； C、若添加∠ACB＝∠AED＝90°，则可利用AAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意； D、若添加∠BCD＝∠DEB，则可证明∠ACB＝∠AED，可利用AAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意； 故选：A． 教学提示：拿两根不同长度的小棒固定一个夹角，演示同样的边边角能摆出两种三角形，再让学生口述哪一步补不出来。 即时巩固9．（2023秋•灵山县校级期末）·【提升】如图，已知BF＝CE，∠B＝∠E，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AC＝DF 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、根据SAS即可证明三角形全等，故此选项不符合题意； B、根据ASA即可证明三角形全等，故此选项不符合题意； C、根据AAS即可证明三角形全等，故此选项不符合题意； D、SSA无法判断三角形全等，故此选项符合题意． 故选：D． 教学提示：先把 BF＝CE 加 FC 换成 BC＝EF，再逐个判断剩下那个条件是角还是边，写在图形旁边形成对照表。 即时巩固10．（新教材同步题）·【提升】画△ABC，使AB＝5cm，BC＝6cm，∠A＝45°，满足这些条件而形状不同的三角形有几个？ 【分析】根据大边对大角，可得∠C＜45°，进一步得到∠B＞90，根据满足SSA条件并且边边的夹角为钝角的两个三角形全等即可求解． 【解答】解：如图所示： ∵AB＝5cm，BC＝6cm，∠A＝45°， ∴∠C＜45°， ∴∠B＞90， ∴满足这些条件而形状不同的三角形有1个． 教学提示：让学生真的用圆规按条件画一次，画出两个不同三角形后自己总结：这种条件给法不能确定唯一形状。 易错点2：平行垂直暗角没转出来 学习目标 · 能把平行条件转为角相等 · 能由垂直得到直角再判定 纠错指引 看到平行就写同位角、内错角相等，看到垂直立刻标出直角符号，把位置关系翻译成角的条件之后再套判定方法。 精讲例题 例题2．（2024秋•锡山区期末）·【基础】如图，点B、C在AD上，AE＝BF，CE＝DF，要使△AEC≌△BFD，还需要添加一个条件是（　　） A．∠A＝∠FBD B．AB＝CD C．CE∥DF D．AE∥BF 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、∠A和∠FBD分别是EC和FD的对角，不能判定△AEC≌△BFD，故A不符合题意； B、由AB＝CD，得到AC＝BD，由SSS判定△AEC≌△BFD，故B符合题意； C、由CE∥DF，推出∠ACE＝∠D，∠ACE和∠D分别是AE和BF的对角，不能判定△AEC≌△BFD，故C不符合题意； D、由AE∥BF，推出∠A＝∠FBD，∠A和∠FBD分别是EC和FD的对角，不能判定△AEC≌△BFD，故D不符合题意． 故选：B． 教学提示：由 AE＝BF 减 EF 得到 AF＝BE 后，先列出已有的两组边，再讨论为什么还要补一组角，顺带梳理判定三要素。 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 漏掉平行推出的角相等 · 垂直条件没换成直角 即时巩固 即时巩固11．（2024秋•安陆市期末）·【基础】如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AC∥DF B．AB＝DE C．EC＝BF D．AC＝DF 【分析】利用平行线的性质可得∠E＝∠B，然后利用全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【解答】解：∵AB∥ED， ∴∠E＝∠B， A、∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵∠A＝∠D，∠E＝∠B， ∴△ABC和△DEF不一定全等， 故A符合题意； B、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠E＝∠B， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故B不符合题意； C、∵EC＝BF， ∴EC+CF＝BF+CF， ∴EF＝BC， ∵∠A＝∠D，∠E＝∠B， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， 故C不符合题意； D、∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， 故D不符合题意； 故选：A． 教学提示：先由平行写出∠E＝∠B，把这个角用彩笔补画到图上，再逐项判断；提醒答案问的是“不能判定”的那一个。 即时巩固12．（2024秋•新城区校级期中）·【基础】如图，AF＝DC，BC∥EF，只需补充一个条件，就可得△ABC≌△DEF．下列条件中不符合要求的是（　　） A．BC＝EF B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．AB∥DE 【分析】由平行可知到∠ACB＝∠EFD，AF＝DC可得到AC＝FD，故只需添加BC＝EF，或一组角相等即可． 【解答】解： ∵AF＝DC， ∴AC＝DF， ∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠EFD， 当BC＝EF时， 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 当∠B＝∠E时， 可由AAS判定， 当AB∥DE时， 可知∠A＝∠D，可由ASA判定， 而当AB＝DE时，由条件可知满足ASS，不能判定全等， 故选：B． 教学提示：先写 AF＝DC 推出 AC＝DF，再由平行得∠ACB＝∠EFD；强调先凑齐两件，第三件不行就反过来逐个试。 即时巩固13．（2025秋•聊城月考）·【提升】如图，已知A、E、F、C在一条直线上，BE∥DF，BE＝DF，AF＝CE．则下列选项不正确的是（　　） A．△ADF≌△CBE B．AB∥CD C．AD＝AB D．AD∥BC 【分析】根据平行线的性质可得∠BEF＝∠DFE，由SAS可得△ADF≌△CBE，可判断B正确；由AF＝CE得AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF，可判断A正确；根据SAS证明△CBE≌△ADF，可得AD＝CB，可判断C不正确；根据全等三角形的性质得∠BAE＝∠DCF，由内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，可判断D正确，即可解决问题． 【解答】解：∵BE∥DF， ∴∠BEF＝∠DFE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴A正确，不符合题意； ∵△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠DAF＝∠BCE，AD＝CB． ∴AD∥BC，故D正确，不合题意； ∵AD∥BC，AD＝CB， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，故B正确，不合题意； ∴排除法，选C，另外没有条件可得AD＝AB． 故选：C． 教学提示：由平行得∠BEF＝∠DFE，由 AF＝CE 减 EF 得 AE＝CF；要求每个学生口述每一步依据，卡住处当场补讲。 即时巩固14．（2023秋•来宾期中）·【基础】如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C，B，要根据“SAS”证明△ABC≌△DCB，则应添加的条件是 　 　 ． 【分析】根据垂直定义可得∠ACB＝∠CBD＝90°，然后根据全等三角形的判断方法SAS，即可解答． 【解答】解：应添加的条件是：AC＝BD， 理由：∵AC⊥BC，BD⊥BC， ∴∠ACB＝∠CBD＝90°， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， 故答案为：AC＝BD． 教学提示：由两个垂直画出直角符号，明确这个直角就是两个三角形的夹角，然后让学生说出还差哪一组邻边。 即时巩固15．（2024秋•潮阳区校级期末）·【基础】已知AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）如图①，AC⊥AB，BD⊥AB，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）依题意得AP＝BQ＝1，AC＝PB＝3cm，∠CAP＝∠PBQ＝90°，据此可判定△ACP和△BPQ全等，进而得∠C＝∠BPQ，再由∠C+∠APC＝90°得∠BPQ+∠APC＝90°，则∠CPQ＝90°，由此可判定线段PC和线段PQ的位置关系； （2）依题意得BQ＝xtcm，AP＝tcm，BP＝（4﹣t）cm，当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：①当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，由AC＝BP，AP＝BQ列出关于x，t的方程，解方程求出x，t即可；②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP，此时点Q与点D重合，由AP＝BP，AC＝BQ，列出关于x，t的方程，解方程求出x，t即可． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ． 理由如下： ∵t＝1s，点Q与点P的运动速度均为以1cm/s， ∴AP＝BQ＝1， ∵AB＝4cm， ∴PB＝3cm， ∴AC＝PB＝3cm， 又∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠CAP＝∠PBQ＝90°， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠C＝∠BPQ， ∵∠CAP＝90°， ∴∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ． （2）∵点Q的运动速度为xcm/s，运动的时间为ts， ∴BQ＝xtcm， ∵点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动， ∴AP＝tcm，则BP＝AB﹣AP＝（4﹣t）cm， 又∵∠CAB＝∠DBA＝60°， 当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况： ①当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ， ∵AC＝3cm， 由AC＝BP，得：3＝4﹣t， 解得：t＝1， 由AP＝BQ，得：t＝xt， 解得：x＝1， ∴当x＝1cm/s，t＝1cm/s时，△ACP和△BPQ全等； ②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP， 由于AC＝BD＝3，因此BQ＝AC＝3，此时点Q与点D重合，如图所示： 由AP＝BP，得：t＝4﹣t， 解得：t＝2， 由AC＝BQ，得：xt＝3， 将t＝2代入xt＝3，得x＝1.5． ∴当x＝1.5cm/s，t＝2cm/s时，△ACP和△BPQ全等． 综上所述：当x＝1cm/s，t＝1s或x＝1.5cm/s，t＝2s时，△ACP和△BPQ全等． 教学提示：先算 t＝1 时各条线段的长并标在图上，再套判定；追问“速度改一改还能全等吗”，引出后面的变式练习。 易错点3：公共边公共角没用上 学习目标 · 能识别图形中的公共边角 · 能用等式性质凑出对应角 纠错指引 两个三角形叠在一起时先找公共边、公共角：公共边直接写相等，由一个角加或减同一个角可得到新的角相等。 精讲例题 例题3．（2023秋•蛟河市期末）·【基础】如图，AB，CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△ABD≌△CDB，你补充的条件是 　 　 ． 【分析】依据AD＝CB，DB＝BD，即可得到当∠ADB＝∠CBD时，△ABD≌△CDB（SAS）． 【解答】解：∵AD＝CB，DB＝BD， ∴当∠ADB＝∠CBD时，△ABD≌△CDB（SAS）， 故答案为：∠ADB＝∠CBD（答案不唯一）． 教学提示：把公共边 DB 用双线描粗，说明已有两边只差夹角；反问“若补边会怎样”，顺势引出边边角不成立。 易错倾向标签：易看错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 没发现两个三角形共用一边 · 忽略自身相等的公共角 即时巩固 即时巩固16．（2024秋•忻州期末）·【基础】如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC．下列条件中不能判断△ABE≌△ACD的是（　　） A．BD＝CE B．BE＝CD C．AD＝AE D．∠B＝∠C 【分析】判定全等三角形时，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【解答】解：若BD＝CE，则依据AB＝AC，可得AD＝AE， 由AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD，可得△ABE≌△ACD（SAS）， 故A选项能判断△ABE≌△ACD； 若BE＝CD，则不能得到△ABE≌△ACD， 故B选项不能判断△ABE≌△ACD； 若AD＝AE，则可得△ABE≌△ACD（SAS）， 故C选项能判断△ABE≌△ACD； 若∠B＝∠C，则由∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A，可得△ABE≌△ACD（ASA）， 故D选项能判断△ABE≌△ACD； 故选：B． 教学提示：由 AB＝AC 与公共角∠A 出发，先把 BD＝CE 换算成 AD＝AE 再判；让学生比较“先换算”与“直接套”的差别。 即时巩固17．（2024秋•庆云县期末）·【基础】如图，已知AB＝AC，请再添加一个条件 　 　 ，使△ABE≌△ACD（无需添加任何辅助线或点）． 【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【解答】解：再添加一个条件：AD＝AE， 理由：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， 故答案为：AD＝AE（答案不唯一）． 教学提示：这是一道开放题，让同桌各写一个答案再互相验证，比较补边与补角两类答案各自的依据。 即时巩固18．（2023秋•大兴区期末）·【基础】如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ADE≌△ACB，则需再添加一个条件是 　 　 （写出一个即可）． 【分析】根据等式的性质可得∠CAB＝∠DAE，然后利用SAS证明△CAB≌△DAE，即可解答． 【解答】解：需再添加一个条件是AE＝AB， 理由：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD， ∴∠CAB＝∠DAE， 在△CAB和△DAE中， ， ∴△CAB≌△DAE（SAS）， 故答案为：AE＝AB（答案不唯一）． 教学提示：板书等式性质演示∠1＋公共角＝∠2＋公共角，得出∠CAB＝∠DAE，强调这一步是配成“边角边”的关键桥梁。 即时巩固19．（2023秋•贡觉县校级期中）·【基础】如图，已知AC＝BD，∠1＝∠2，那么△ABC≌　 　 ，其判定根据是　 　 ． 【分析】由图可知AB是公共边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：在△ABC和△BAD中，， 所以，△ABC≌△BAD（SAS）． 故答案为：△BAD，SAS． 教学提示：指出公共边 AB 是两个三角形的共享部分，另一组边要按字母位置对应，写全等式时先确定顶点顺序。 即时巩固20．（2022•宁夏）·【基础】如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是 　 　 .（只写一个） 【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【解答】解：∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，OA＝OC， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴要使△AOB≌△COD，添加一个条件是OA＝OC， 故答案为：OA＝OC（答案不唯一）． 教学提示：先圈出对角线产生的对顶角，说明交叉线天然送一组角相等，再让学生补上最后一条边写出全等式。 即时巩固21．（2025•南沙区校级二模）·【基础】已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：△ABD≌△EBC． 【分析】根据∠1＝∠2，可得∠ABD＝∠EBC，然后结合∠C＝∠D，BC＝BD，利用ASA可证明△ABD≌△EBC． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠EBD＝∠2+∠EBD， ∴∠ABD＝∠EBC， 在△ABD和△EBC中， ， ∴△ABD≌△EBC（ASA）． 教学提示：用角的加法写出∠ABD＝∠EBC，配∠C＝∠D 与 BC＝BD 完成证明；提醒先摆平角再谈全等。 易错点4：线段和差换算出错 学习目标 · 能由共线段推出整段相等 · 能在线段图上做加减换算 纠错指引 共线上的两条小段分别相等时，同加或同减同一段才能得到整段相等；先把线段关系标在图旁，别直接拿无关线段当对应边。 精讲例题 例题4．（2024秋•云冈区期末）·【基础】如图，△ABC与△DEF的边BC与EF在同一条直线上，且BE＝CF，AB＝DE．若需要证明△ABC≌△DEF，则可以增加条件（　　） A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．AC＝DF 【分析】由BE＝CF，可得BC＝EF，增加条件AC＝DF，即可依据SSS即可得到△ABC≌△DEF． 【解答】解：由BE＝CF，可得BC＝EF， 又∵AB＝DE， ∴当AC＝DF时，可得△ABC≌△DEF（SSS）， 而增加BC＝EF或∠A＝∠D或AC∥DF，均不能证明△ABC≌△DEF， 故选：D． 教学提示：明确 BE、CF 都不是目标三角形的边，先加公共段 EC 得到 BC＝EF；把“目标边是谁”写在图旁再动手。 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 忘记把小段换算成整段 · 把无关线段当对应边 即时巩固 即时巩固22．（2025秋•阳曲县校级期中）·【提升】如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，要使△ABC≌△DEF，需添加条件（　　） A．AC∥DF B．AB∥DE C．∠A＝∠D D．BC＝EF 【分析】依据题意，由线段的和差可得BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【解答】解：由题意，∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， ∴BC＝EF， 对于A、∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE，结合AB＝DE，BC＝EF不能证明△ABC≌△DEF，故选项A不符合题意； 对于B、∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF，结合AB＝DE，BC＝EF能证明△ABC≌△DEF（SAS），故选项B符合题意； 对于C、∠A＝∠D，结合AB＝DE，BC＝EF不能证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意； 对于D、AB＝DE，BC＝EF不能证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意； 故选：B． 教学提示：在图上标 BC＝BE＋EC、EF＝CF＋EC，说明两边加同一段才相等；让学生用线段图代替口算。 即时巩固23．（2024秋•乐昌市校级期中）·【基础】如图，已知B、E、F、C在同一直线上，BE＝CF，∠B＝∠C，则添加条件 　 　 （添加一个条件即可），可以判断△ABF≌△DCE． 【分析】已知一边、一角对应相等，可再加第二组角对应相等或已知角的另一边对应相等都可以． 【解答】解：∵BE＝CF， ∴BF＝CE， 又∵∠B＝∠C， ∴当AB＝DC时，依据SAS可得△ABF≌△DCE． 当∠AFB＝∠DEC时，依据ASA可得△ABF≌△DCE． 当∠A＝∠D时，依据AAS可得△ABF≌△DCE． 故答案为：AB＝CD或∠AFB＝∠DEC或∠A＝∠D． 教学提示：让学生先说目标三角形到底是哪两个，再处理 BE＝CF 与 BF、CE 的关系，避免直接拿 BE 当边用。 即时巩固24．（2025秋•富锦市期中）·【提升】如图，点B，F，E，D在同一直线上，∠B＝∠D，BE＝DF，要证明△ABF≌△CDE，需要添加一个条件为　 　 ． 【分析】由题意可得BF＝DE，结合全等三角形的判定的条件进行分析即可． 【解答】解：∵BE＝DF， ∴BE﹣EF＝DF﹣EF， 即BF＝DE， ∵∠B＝∠D， ∴当添加∠A＝∠C时，利用AAS可判定△ABF≌△CDE； 当添加∠AFB＝∠CED时，利用ASA可判定△ABF≌△CDE； 当添加AF∥CE时，有∠AFE＝∠CEF，可求得∠AFB＝∠CED，利用ASA可判定△ABF≌△CDE． 故答案为：∠A＝∠C（答案不唯一）． 教学提示：提醒目标是△ABF 与△CDE，因此要把含公共段 EF 的 BE、DF 换算成 BF、DE 之后再套判定。 即时巩固25．（2026春•碑林区校级期中）·【基础】如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若AD＝BE，BC＝EF，∠E+∠CBE＝180°，求证：△ABC≌△DEF． 【分析】根据∠E+∠CBE＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，可得∠E＝∠ABC，根据AD＝BE可得AB＝DE，利用SAS证明△ABC≌△DEF即可． 【解答】证明：∵∠E+∠CBE＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠E＝∠ABC， ∵AD＝BE， ∴AD+DB＝BE+DB， 即AB＝DE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 教学提示：由邻补角关系得到∠E＝∠ABC，由 AD＝BE 加公共段得 AB＝DE；两步依据分开写，便于检查哪步出错。 即时巩固26．（2026春•碑林区校级月考）·【基础】如图，点A、C、D、E在同一条直线上，FD⊥AE，BC⊥AE，AD＝EC，AB＝EF．求证：△ABC≌△EFD． 【分析】利用全等三角形HL判定定理证明即可． 【解答】证明：∵FD⊥AE，BC⊥AE， ∴∠ACB＝∠EDF＝90°， ∵点A，C，D，E在同一条直线上，AD＝CE， ∴AD﹣CD＝AC，CE﹣CD＝ED， ∴AC＝ED， 在Rt△ABC和Rt△EFD中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△EFD（HL）． 教学提示：由垂直得直角，由 AD＝EC 加公共段得 AC＝ED，再配斜边与直角边完成证明；口述每一步的依据。 易错点5：直角三角形判定认错条件 学习目标 · 能说出直角三角形的判定方法 · 能区分斜边直角边与两边相等 纠错指引 直角三角形先看有没有直角，再用“斜边、直角边”或一般判定；只给两个锐角相等只能说明形状相同，推不出全等。 精讲例题 例题5．（2022秋•衡山县期末）·【基础】下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等 【分析】根据SAS，AAS，ASA，SSS，HL，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意； B、一个锐角和斜边对应相等，利用AAS可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意； C、两条直角边对应相等，利用SAS可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意； D、一条直角边和斜边对应相等，利用HL可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意； 故选：A． 教学提示：出示两块锐角相同但大小不同的三角板，让学生直观看到只有角相等推不出全等，再回头逐项核对。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把两锐角相等当成全等 · 未先确认斜边对应关系 即时巩固 即时巩固27．（2024春•留坝县期末）·【基础】如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（　　） A．HL B．ASA C．AAS D．SAS 【分析】已知∠A＝∠D＝90°，题中隐含BC＝BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB． 【解答】解：HL， 理由是：∵∠A＝∠D＝90°， ∴在Rt△ABC和Rt△DCB中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， 故选：A． 教学提示：先标出两个直角，指出公共边 BC 就是斜边，从而逼出“斜边、直角边”这条特殊判定。 即时巩固28．（2023秋•沧州期末）·【基础】下列说法不正确的是（　　） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．有两边相等的两个直角三角形全等 【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SAS，AAS，HL，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据SAS来判断，故A不符合题意； B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，可根据AAS来判断，故B不符合题意； C、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据HL来判断，故C不符合题意； D、如果第一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，第二个直角三角形一条直角边为3，斜边为4，那么这两个直角三角形不全等，故D符合题意； 故选：D． 教学提示：追问“两边”到底是哪两边，分两条直角边与斜边加直角边两种情况对比，培养追问题意的习惯。 即时巩固29．（2023秋•武陟县期中）·【基础】下列条件中不可以判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两条直角边对应相等 B．斜边和直角边对应相等 C．一条边和一锐角对应相等 D．一条边和一个角对应相等 【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案． 【解答】解：A、两条直角边对应相等，可利用SAS判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意； B、斜边和直角边对应相等，可利用HL判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意； C、一条边和一锐角对应相等，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意； D、一条边和一个角对应相等不能判定两直角三角形全等，故此选项符合题意． 故选：D． 教学提示：让每个学生给四个选项标上判定方法名称，标不出来的那个就是答案，把文字判断转成方法标签。 即时巩固30．（2020秋•平阴县期末）·【基础】如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD； ③∠BAC＝∠BAD； ④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论． 【解答】解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）； ②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）； ③当∠BAC＝∠BAD时，由∠C＝∠D＝90°，∠BAC＝∠BAD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）； ④当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）； 故选：D． 教学提示：把①②③④逐条写在黑板上，每条后面注明依据，最后统计个数；提醒不要凭画面直觉选答案。 即时巩固31．（2023春•张店区期末）·【基础】如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是 　 　 （不添加字母和辅助线）． 【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答． 【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC， ∴再添加：AB＝DC， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC， ∴再添加：AC＝BD， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC， ∴再添加：∠ABC＝∠DCB， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS）， ∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC， ∴再添加：∠ACB＝∠DBC， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS）， 故答案为：AB＝DC（答案不唯一）． 教学提示：提醒斜边 BC 已经公共相等，因此只需再补一组直角边；让学生说出依据的名称再落笔。 即时巩固32．（2025秋•南沙区期中）·【基础】如图，C，D，A共线，∠C＝∠DAE＝90°，若AB＝DE，CB＝DA，则△ACB≌△EAD的判断依据是　 　 ． 【分析】依据题意，通过HL可以判断Rt△ACB≌Rt△EAD，进而得解． 【解答】解：由题意，∵∠C＝∠DAE＝90°， ∴Rt△ACB和Rt△EAD中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△EAD（HL）． 故答案为：HL． 教学提示：先让学生判断该用“斜边、直角边”还是普通判定，指出区分的关键在于所给边是不是斜边。 即时巩固33．（2022秋•海沧区校级期中）·【基础】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若直接根据“HL”判定，还需要再添加的一个条件是 　 　 ． 【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC． 【解答】解：还需添加条件AB＝AC， ∵AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）． 由上可知，根据“HL”判定，还需要再添加的一个条件是AB＝AC． 故答案为：AB＝AC． 教学提示：画出直角符号后指出 AD 是公共直角边，故再补斜边相等即可；强调先定斜边再谈“斜边、直角边”。 即时巩固34．（2023春•北湖区校级期中）·【提升】如图，△ABC中，AD⊥BC于D要用“HL”定理判定△ABD≌△ACD，还需加条件　 　 ． 【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC． 【解答】解：还需添加条件AB＝AC， ∵AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）， 故答案为：AB＝AC． 教学提示：先在图上指出斜边是 AB 与 AC，因此只能补 AB＝AC；追问若补另一条直角边会用到哪条判定。 易错点6：动点全等漏掉分类讨论 学习目标 · 能按点的位置分段列方程 · 能写出全等的多种可能情形 纠错指引 动点题先按点落在哪条边上分段，再在每段里由对应边相等列方程，最后检验所得时间是否超出运动范围。 精讲例题 例题6．（2026春•通川区校级期末）·【基础】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，P，Q两点分别在AC和AC的垂线AD上移动，PQ＝AB，则当AP＝　 　 时，才能使△ABC和△APQ全等． 【分析】分两种情况：当△CAB≌△ABP时；当△CAB≌△APB时；即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当△CAB≌△ABP时，AP＝BC＝3； 当△CAB≌△APB时，AP＝AC＝6； 综上所述：当AP＝6或3时，才能使△ABC和△APQ全等， 故答案为：6或3． 教学提示：让学生用两副三角板实际摆放，发现对应边可以换另一个方向，从而明白答案为什么不止一个。 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 只算一种位置就下结论 · 漏掉两点重合的情形 即时巩固 即时巩固35．（2025秋•浠水县期末）·【提升】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝10cm．动点P从点A出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作PE⊥MN于点E，QF⊥MN于点F，则点P的运动时间为　 　 s时，△PEC与△QFC全等． 【分析】根据全等三角形的性质得到CP＝CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6﹣t＝10﹣3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6﹣t＝3t﹣10，Q在AC上，列方程即可得出答案． 【解答】解：设运动时间为t秒时，△PEC与△QFC全等， ∴斜边CP＝CQ， 有2种情况：①如图1，点P在AC上，点Q在BC上， CP＝6﹣t，CQ＝10﹣3t， ∴6﹣t＝10﹣3t， ∴t＝2． ②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合， ∴CP＝6﹣t＝3t﹣10， ∴t＝4． 综上所述，点P运动时间为2或4秒时，△PEC与△QFC全等， 故答案为：2或4． 教学提示：按“点在不同边上”与“点在同一边上”两种情况分别列方程，借助时间轴帮助理解每一段的对应关系。 即时巩固36．（2026春•徐汇区期末）·【提升】如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　 　 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 【分析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可． 【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝6﹣2＝4， ∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）； ②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等， 这时BC＝PB＝6，CP＝0，因此时间为0秒； ③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝2+6＝8， ∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）； ④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等， ∵BC＝6， ∴BP＝6， ∴CP＝6+6＝12， 点P的运动时间为12÷1＝12（秒）， 故答案为：0或4或8或12． 教学提示：先确定动点会落在哪几条射线或线段上，再逐段套对应关系；提醒验根，删掉超过运动时间的答案。 即时巩固37．（2025秋•甘谷县校级期末）·【提升】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，直线1经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥1于点E，QF⊥1点F，当t＝　 　 时，△PEC与△QFC全等． 【分析】分△PEC≌△CFQ，且点P在AC上、点Q在BC上运动，△PEC≌△QFC，且点P与点Q重合，当△PEC≌△CFQ，且点Q在AC上、点P在BC上运动三种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：①如图，点Q在BC上，点P在AC上时， 由题意得，AP＝t，BQ＝2t， ∵AC＝3cm，BC＝4cm， ∴CP＝3﹣t，CQ＝4﹣2t， ∵PE⊥l，QF⊥l， ∴∠PEC＝∠CFQ＝∠ACB＝90°， ∴∠CPE+∠PCE＝∠PCE+∠FCQ＝90°， ∴∠CPE＝∠FCQ， 当△PEC≌△CFQ时， 则PC＝CQ（全等三角形对应边相等）， 即3﹣t＝4﹣2t， ∴t＝1； ②如图，当点P与点Q重合时， 由题意得，AP＝t，BQ＝2t， ∵AC＝3cm，BC＝4cm， ∴CP＝3﹣t，CQ＝2t﹣4， 当△PEC≌△QFC时， 则PC＝CQ（全等三角形对应边相等）， ∴3﹣t＝2t﹣4， ∴3t＝7， ∴t； ③如图，当点Q与A重合时， 由题意得，AP＝t， ∵AC＝3cm， ∴CP＝t﹣3，CQ＝3， ∵∠QCF+∠CQF＝∠QCF+∠PCE＝90°， ∴∠CQF＝∠PCE， 当△PEC≌△CFQ时， 则PC＝CQ（全等三角形对应边相等）， 即t﹣3＝3， ∴t＝6； 综上所述：当t＝1秒或秒或6秒时，△PEC与△QFC全等． 教学提示：把三种情形编号写成①②③，逐项列方程并检验时间是否越界，训练分类讨论不重不漏。 即时巩固38．（2024秋•西峡县期末）·【提升】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线 BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为　 　 ． 【分析】依据题意，△PEC与△QFC全等时，PC＝CQ，当P在AC上，Q在CB上时，得到6﹣t＝8﹣3t，求出t＝1；当P、Q在AC上时，得到6﹣t＝3t﹣8，求出t＝3.5；当P在BC上，Q在AC上时，t＝12，于是得到答案． 【解答】解：∵PE⊥l于E，QF⊥l于点F， ∴当△PEC与△QFC全等时，PC＝CQ， 当P在AC上，Q在CB上时， ∵PC＝AC﹣AP＝6﹣t，CQ＝BC﹣BQ＝8﹣3t， ∴6﹣t＝8﹣3t， ∴t＝1（秒）； 当P、Q在AC上（P、Q重合）时， ∵PC＝6﹣t，CQ＝3t﹣8， ∴6﹣t＝3t﹣8， ∴t＝3.5（秒）； 当P在BC上，Q在AC上时，即A与Q重合时， ∴t＝（6+6）÷1＝12（秒）． ∴t的值为1秒或3.5秒或12秒． 故答案为：1秒或3.5秒或12秒． 教学提示：先由全等写出关键线段相等，再按两个动点是否在同一边上分段求值；强调先定对应关系再动笔。 易错点7：指定判定方法补不准条件 学习目标 · 能按要求的判定方法配条件 · 能说清每种判定方法的要素 纠错指引 题目点名判定方法时先背出它需要的三要素，缺哪个补哪个：“边角边”要夹角，“角角边”要一角的对边，“斜边、直角边”要先有直角。 精讲例题 例题7．（2024秋•榆树市期中）·【基础】如图，已知AB＝CB，若根据“SAS”判定△ABD≌△CBD，需要补充的一个条件是（　　） A．∠A＝∠C B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABD＝∠CBD D．BD＝BD 【分析】利用公共边BD以及AB＝CB，依据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，即可得到需要的条件． 【解答】解：如图，∵在△ABD与△CBD中，AB＝CB，BD＝BD， ∴添加∠ABD＝∠CBD时，可以根据SAS判定△ABD≌△CBD， 故选：C． 教学提示：指出公共边 BD 已经相等，差的只是夹角；反问“若补一条边会怎样”，把边角边的条件说透。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 补到邻边而不是夹角 · 忽视题目限定的判定方法 即时巩固 即时巩固39．（2024秋•常德期末）·【基础】如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【分析】由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，用（SSS）证明两个三角形全等，推∠O＝∠NCB，推CN∥OA． 【解答】解：由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB， 在△OMD与△CEN中 ， ∴△OMD≌△CEN（SSS）； ∴∠O＝∠NCB， ∴CN∥OA． 故选：B． 教学提示：带领学生复述作图过程，指出每一步截取的是等长线段，从而把操作语言翻译成判定依据。 即时巩固40．（2025秋•青秀区校级期中）·【基础】如图，AC与BD相交于点O，连接AB、DC，∠A＝∠D，OB＝OC，不添加辅助线，判定△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：在△ABO与△DOC 中， ， ∴△ABO≌△DOC（两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等）． 故选：D． 教学提示：先圈出对顶角，再看剩下两个条件能否与它配成完整的判定三要素；提醒注意 OB、OC 是哪条边。 即时巩固41．（2025秋•泗洪县期中）·【基础】如图，点B在AE上，∠C＝∠D，要能证△ABC≌△ABD，只需再补充一个条件：　 　 ． 【分析】根据全等三角形的判定定理加条件． 【解答】解：在△ABC和△ABD中 ∴△ABC≌△ABD（AAS） 故答案为：∠CAB＝∠DAB． 教学提示：说明已有两个角，只需再配一组对边；让学生口述这条边是哪一个角的对边，防止配错位置。 即时巩固42．（2023秋•腾冲市期末）·【基础】如图，已知AB＝CB，要使△ABD≌△CBD，则可以添加的一个条件是　 　 ． 【分析】判定全等三角形时需要添加什么条件，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边． 【解答】解：①添加∠ABD＝∠CBD． 在△ABD和△CBD中， ∵， ∴△ABD≌△CBD（SAS）； ②添加AD＝CD． 在△ABD和△CBD中， ∵， ∴△ABD≌△CBD（SSS）． 故答案为：∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．（答案不唯一） 教学提示：这是一题多解，比较补夹角与补第三边两条思路，讨论哪一种更简捷，形成自己的选择策略。 即时巩固43．（2023秋•新沂市校级月考）·【基础】如图，若∠1＝∠2，若根据AAS，加上条件 　 　 ，则有△AOC≌△BOC． 【分析】根据全等三角形的判定方法AAS，即可解答． 【解答】解：∵∠A＝∠B，∠1＝∠2，OC＝OC， ∴△AOC≌△BOC（AAS）， 故答案为：∠A＝∠B． 教学提示：指出∠1、∠2 与公共边已有两件，只差一组角；强调这种方法要配的是其中一个角的对边。 即时巩固44．（2022秋•大安市期末）·【基础】如图，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DBC，还需要补充一个条件：　 　 （填一个即可）． 【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，据此可得结论． 【解答】解：∵∠A＝∠D，BC＝BC， ∴当∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB时，△ABC≌△DBC（AAS）， ∴还需要补充一个条件为：∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB． 故答案为：∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB． 教学提示：先引导学生发现公共边，再解释为什么在这道题里补角比补边稳妥，顺势比较两种方案的优劣。 易错点8：图形位置辨全等看漏了 学习目标 · 能在网格图中找全等三角形 · 能按边角数据逐个比对 纠错指引 多个三角形摆在图中时，先列出已知三角形的三组边与角，再逐个比对，不要用“看起来一样”代替逐项核对。 精讲例题 例题8．（2024春•金水区期末）·【基础】已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【分析】根据三角形全等的判定定理：SAS，ASA，AAS，SSS，看看是否符合以上条件，进行判断即可． 【解答】解：甲，不符合两边对应相等，且夹角相等，∴甲和已知三角形不全等； 乙，符合两边对应相等，且夹角相等，乙和已知三角形全等； 丙，符合AAS，即三角形和已知图的三角形全等； 故选：B． 教学提示：逐个把甲乙丙的三组数据与已知三角形对照，尤其检查角是不是两边夹角，把“像不像”换成“对不对得上”。 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 凭视觉相似就判全等 · 漏数满足条件的三角形 即时巩固 即时巩固45．（2024秋•桃城区校级期末）·【基础】如图，已知△ABC的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．只有甲 【分析】根据全等三角形的判定一一判断即可． 【解答】解：∵∠A＝180°﹣42°﹣51°＝87°， 根据AAS可以判定甲与△ABC全等，根据ASA可以判定乙与△ABC全等． 故选：A． 教学提示：先算出第三个角的度数，再按角角边或角边角逐图核对，养成先补数据后判定的顺序。 即时巩固46．（2025秋•定远县校级期中）·【提升】下列三角形中，全等的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：根据“SAS”可判断图①的三角形与图②的三角形全等．②③，③④，①④均不符合题意， 故选：A． 教学提示：先用内角和补出缺少的角，再逐对比对四个图形；提醒只凭形状相似容易选错，必须看具体数据。 即时巩固47．（2022春•泰兴市期末）·【基础】如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．则图中与△ABC有唯一公共顶点C且与△ABC全等的格点三角形共有 　 　 个（不包括△ABC）． 【分析】根据以点C为唯一公共点，其它两个点在格点上，作出与△ABC全等的三角形即可． 【解答】解：如图： 与△ABC有唯一公共顶点C且与△ABC全等的格点三角形有： △CEB1，△CA1B1，△CA1B2，△CE1B2，△CE1B3，△CA2B3，△CA2B4，△CE2B4，△CE2B5，△CA3B5，△CA3B6，△CB6E3，△CE3B7，△CA1E3，△CA1E2，△CA2E，△CA2E3，△CA3E1，△CA3E， 共有19个， 故答案为：19． 教学提示：先锁定公共顶点，再在格点上枚举另外两个顶点，边数边标注，避免把重复位置算成新的三角形。 即时巩固48．（2024•金平区校级二模）·【提升】如图，网格中的△ABC的3个顶点分别在小正方形的格点（顶点）上，这样的三角形叫做格点三角形，图中与△ABC全等（不含△ABC）的格点三角形共有 　 　 ． 【分析】根据全等三角形的判定定理画出图形即可． 【解答】解：如图所示：有△ABD，△AMQ，△ANQ，△EQK，△FQK，△BTK，△BYK，共1+2+2+2＝7个， 故答案为：7个． 教学提示：教学生以一条固定边为基准，在网格上按平移旋转逐个找，并用编号标记已数过的三角形防重复。 过关测试（综合检测） 1．（2024秋•原平市期末）·【基础】根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（　　） A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3 C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10 D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意； B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的△ABC，故本选项符合题意； C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10，符合全等三角形的判定定理SAS，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意； D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，符合全等直角三角形的判定定理HL，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意； 故选：B． 教学提示：把四个选项分别归类到能唯一确定三角形与不能确定的两栏，重点讨论给两边及一边对角那一栏为什么不行。 2．（2024秋•正阳县期末）·【基础】位于高新区的火炬大桥是洛阳市区目前最靠西的一座跨洛河桥，也是洛阳市宽度最宽、承重能力最强、单孔跨度最大、配建立交规模最大的桥梁，其侧面示意图如图所示，其中AB⊥CD，现添加以下条件，不能判定△ABC≌△ABD的是（　　） A．∠ABC＝∠ABD B．∠ACB＝∠ADB C．AC＝AD D．BC＝BD 【分析】根据垂直定义可得：∠ABC＝∠ABD＝90°，然后根据直角三角形全等的判定方法，逐一判断即可解答． 【解答】解：∵AB⊥CD， ∴∠ABC＝∠ABD＝90°， A、∵∠ABC＝∠ABD，AB＝AB， ∴△ABC和△ABD不一定全等， 故A符合题意； B、∵∠ABC＝∠ABD，AB＝AB，∠ACB＝∠ADB， ∴△ABC≌△ABD（AAS）， 故B不符合题意； C、∵∠ABC＝∠ABD＝90°，AB＝AB，AC＝AD， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）， 故C不符合题意； D、∵∠ABC＝∠ABD，AB＝AB，BC＝BD， ∴△ABC≌△ABD（SAS）， 故D不符合题意； 故选：A． 教学提示：先由垂直得到∠ABC＝∠ABD＝90°，明确这是直角判定与普通判定的分岔口，再逐项看选项补的是哪条边。 3．（2024秋•苍溪县期末）·【基础】如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一个条件是 　 　 ．（只需添加一个条件即可） 【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D＝∠B时，△ADF≌△CBE． 【解答】解：当∠D＝∠B时， 在△ADF和△CBE中 ∵， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， 故答案为：∠D＝∠B．（答案不唯一） 教学提示：让学生分别尝试补边与补角，讨论为什么补这一组角正好是夹角，而另一种补法会落到边边角上。 4．（2022春•永州期末）·【基础】如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE＝FB，AB＝DE，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为　 　 ． 【分析】依据AB⊥CF，AB∥DE，可得△ABC和△DEF都是直角三角形，由CE＝FB，可得BC＝EF，所以可用SAS判定△ABC≌△DEF，于是答案可得． 【解答】解：∵AB⊥CF，AB∥DE， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形． ∵CE＝FB，CE为公共部分， ∴CB＝EF， 又∵AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 故答案为：SAS． 教学提示：由垂直与平行推出两个直角，由 CE＝FB 加公共段得 BC＝EF，最后让学生写出判定的简称并说明理由。 5．（2025春•榕城区期末）·【提升】如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t＝　 　 秒． 【分析】依据题意，先由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，求出BO，然后再分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值． 【解答】解：由题意，∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°， ∴∠ACD＝∠AOE． ∴∠BOD＝∠ACD． 又∵∠BDO＝∠ADC＝90°，AD＝BD， ∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS）． ∴BO＝AC＝7． ①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝7﹣3t， ∴t＝7﹣3t，解得t． ②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝3t﹣7， ∴t＝3t﹣7，解得t． 综上，t或． 故答案为：或． 教学提示：先证出那一对直角三角形全等求出线段长，再按另一点在射线不同位置分情况，最后统一检验。 6．（新教材单元题）·【基础】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中有几对全等的直角三角形？试证明你的结论． 【分析】从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找即可，需注意是全等的直角三角形． 【解答】解：有3对全等的直角三角形：△ADC≌△AEB、△BOD≌△COE、Rt△ADO≌Rt△AEO． 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°， 在△ADC和△AEB中， ， ∴△ADC≌△AEB（AAS）； ∴AD＝AE，∠C＝∠B， ∵AB＝AC， ∴BD＝CE， 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（AAS）； ∴OB＝OC，OD＝OE， 在Rt△ADO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）． 教学提示：按大小顺序枚举图中的直角三角形，数完再追问交点处是否还有一对被忽略的，培养有序枚举的习惯。 7．（2024•文山州一模）·【基础】如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABF≌△DCE． 【分析】根据全等三角形的判定定理SSS证得结论即可． 【解答】解：∵BE＝FC， ∴BE+EF＝FC+EF，即BF＝CE， ∴在△ABF与△DCE中，， ∴△ABF≌△DCE（SSS）． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 教学提示：先加公共段 EF 得到 BF＝CE，再逐条写出三边相等的来历；要求每人复述一遍三条边分别怎么来的。 8．（2026•云南模拟）·【提升】如图所示，AC，BD相交于点E，AE＝CE，AB∥CD，求证：△ABE≌△CDE． 【分析】依据题意，利用AB∥CD得出∠A＝∠C，再利用“ASA”证明即可． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C， 又∵AE＝CE，∠AEB＝∠CED， ∴△ABE≌△CDE（ASA）． 教学提示：板书分两行写：平行推出∠A＝∠C，对顶角给出∠AEB＝∠CED，凑齐三件才敢写全等，培养先列条件后下笔的习惯。 9．（2026春•沈阳期中）·【提升】尺规作图是数学的重要知识之一，很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形作出来的．在现实生活中也会有一些传统操作方法获取图形知识，在生活实践中使用 （1）【回顾思考】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？ 小明回顾了作图的过程，如图1，并进行了如下思考． 由尺规作图可知，OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′， ∴△OCD≌△O′C′D′．① ∴∠DOC＝∠D′O′C′．② 你能说明每一步的理由吗？ ①　 　 ；②　 　 ． （2）【源于实践】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图2，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，请给出证明． 【分析】（1）利用作法和“SSS”可判定△OCD≌△O′C′D′，然后根据全等三角形的性质可得到∠DOC＝∠D′O′C； （2）根据题中角尺给出的条件，利用全等即可解答． 【解答】解：（1）利用“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，然后根据全等三角形的性质得∠DOC＝∠D′O′C′；故答案为：三组对应边分别相等的两三角形全等；全等三角形的对应角相等；（2）根据题意可知角尺两边相同的刻度分别与M、N重合， ∴PM＝PN， 在△ONP和△OMP中， ∵ON＝OM，OP＝OP，PM＝PN， ∴△ONP≌△OMP（SSS）， ∴∠NOP＝∠MOP， ∴OP平分∠AOB． 教学提示：让学生边操作边说出截取了哪几段等长，把作图的操作语言翻译成判定依据，体会尺规背后的道理。 10．（新教材同步题）·【提升】如图，已知：E为AC上一点，且AD＝AB，ED＝EB． （1）求证：△AED≌△AEB； （2）求证：△ABC≌△ADC． 【分析】（1）依据题意，由AD＝AB，ED＝EB，结合AE＝AE，根据“SSS”可以判断三角形全等； （2）依据题意，由（1）可得∠DAC＝∠BAC，结合AC＝AC，从而根据“SAS”可以判断三角形全等． 【解答】证明：（1）由题意，在△AED和△AEB中， ， ∴△AED≌△AEB（SSS）； （2）∵△AED≌△AEB， ∴∠DAC＝∠BAC． 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． 教学提示：先由三边相等证出第一对全等，再把它得到的角当作证明第二对全等的已知，体会“全等是下一步的条件”。 11．（新教材同步题）·【提升】如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，E为线段AC上一点．请找出图中所有全等的三角形，并证明． 【分析】依据题意，图中全等三角形有：△ADC≌△ABC，△AED≌△AEB，△DEC≌△BEC，先证明Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），可得∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA，DC＝BC，然后通过SAS可△AED≌△AEB、△DEC≌△BEC，进而可以得解． 【解答】解：由题意，图中全等三角形有：△ADC≌△ABC，△AED≌△AEB，△DEC≌△BEC．证明如下： 在Rt△ADC和Rt△ABC中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL）． ∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA，DC＝BC． 在△AED和△AEB中 ， ∴△AED≌△AEB（SAS）． 在△DEC和△BEC中 ， ∴△DEC≌△BEC（SAS）． 教学提示：先用直角与斜边证出最上面那对全等，再顺着结论往下找其余两对，训练按“链条”而不是凭眼力找全等。 苏科版（2024） · 全等三角形的判定 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $