平面向量专项训练-2027届高三数学一轮复习

【2026年】【高中数学】【一轮复习基础知识强化训练】 ——平面向量 （人教A版2019·云南高三一轮复习·建议用时100分钟） 一、模块说明 平面向量是高中数学的重要组成部分，也是高考命题的基础性、主干性内容。“平面向量及其应用”是人教A版（2019）必修第二册第六章内容，在高考中通常以选择题、填空题小题以及解答题某一问的形式出现，重点考查向量的概念与线性运算、平面向量基本定理与坐标运算、数量积及其几何意义、向量的模与夹角，以及向量与三角函数、解三角形等知识的综合应用。 云南2023年、2024年高考数学使用全国甲卷，2025年首届新高考起使用全国卷中的新课标Ⅱ卷（全国二卷），2026年继续沿用。近3年（2024—2026年）全国卷中平面向量考点高频稳定出现，例如2024年新课标Ⅰ卷第3题（向量垂直的坐标运算求参数）、2024年全国甲卷理科第9题（向量的平行与垂直结合充分必要条件判断）、2025年新课标Ⅱ卷第12题（由向量垂直关系求向量的模）、2026年新课标Ⅱ卷第2题（由模长的平方关系求数量积）等。本训练题集依托上述真题的命题思路与考查方向进行深度原创改编，更换向量坐标、数值结构与设问角度，力求题目新颖不陈旧、紧扣教材不超纲。 本训练题集共26题，其中单项选择题12题（每题5分，共60分）、填空题8题（每题5分，共40分）、解答题6题（共74分），全卷合计174分。内容全面覆盖向量的概念与线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算、数量积与夹角、模长与投影、向量综合应用等考点；难度以基础题、中档题为核心（合计约占九成），设置少量拔高题，不设置偏题、怪题，不涉及导数与复杂解析几何压轴内容。 使用建议：建议用时100分钟。选择题、填空题参照全国卷各5分设置；解答题参照全国卷解答题风格设置分值，并在解析中标注踩分点。建议先独立完成试题，再对照参考答案与解析自查，重点关注各题的“易错提醒”栏目。本模块考点分布如下表： 考查板块 主要考点 对应题号 向量的概念与线性运算 向量概念、加法与数乘、共线定理、三点共线 1、2、3、4、13、14、21 平面向量基本定理 基底表示、中点与分点、系数和 10、19、24 向量的坐标运算 坐标表示、坐标线性运算、平行与垂直的坐标条件 3、7、8、13、14、15、16、21、22 数量积 定义与几何意义、投影、夹角、模长、垂直 5、6、9、11、16、17、18、23 向量综合应用 坐标法、图形中的数量积、与三角函数和解三角形综合、最值 12、20、24、25、26 二、试题 （一）单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.（5分）下列说法正确的是（　　） A. 若||=||，则=或=− B. 若∥且||=||，则= C. 若=，则∥ D. 单位向量都相等 2.（5分）在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2DC，则=（　　） A. +　　　B. + C. −　　　D. − 3.（5分）已知向量=(1,2)，=(m,−1)，若∥，则m=（　　） A. −　　　B. 　　　C. −2　　　D. 2 4.（5分）已知三点A(1,1)，B(2,3)，C(x,5)，若A、B、C三点共线，则x=（　　） A. 3　　　B. 4　　　C. 5　　　D. 6 5.（5分）已知||=2，=(1,)，且与的夹角为60°，则在方向上的投影数量为（　　） A. 1　　　B. 　　　C. 2　　　D. 6.（5分）已知向量=(1,)，=(0,2)，则与的夹角为（　　） A. 30°　　　B. 60°　　　C. 120°　　　D. 150° 7.（5分）已知向量=(1,2)，=(3,x)，若(−)⊥，则x=（　　） A. −1　　　B. 1　　　C. 2　　　D. 3 8.（5分）已知向量=(x+1,x)，=(x,2)，则下列说法正确的是（　　） A. “x=0”是“⊥”的必要条件 B. “x=0”是“⊥”的充分条件 C. “x=−1”是“∥”的必要条件 D. “x=−1”是“∥”的充分条件 9.（5分）已知向量、满足|+|=2，|−|=4，则·=（　　） A. −3　　　B. 3　　　C. −1　　　D. 1 10.（5分）在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则=（　　） A. −+　　　B. − C. −+　　　D. − 11.（5分）已知向量、满足||=1，||=2，|+|=，则与的夹角为（　　） A. 30°　　　B. 60°　　　C. 120°　　　D. 150° 12.（5分）在边长为2的正方形ABCD中，E为边CD的中点，F为边BC上的动点，则·的取值范围为（　　） A. [2,6]　　　B. [2,8]　　　C. [0,6]　　　D. [0,8] （二）填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 13.（5分）已知向量=(1,2)，=(3,−1)，则2+=________。 14.（5分）已知向量=(2,−1)，=(1,m)，且∥，则m=________。 15.（5分）已知向量=(1,2)，=(m,3)，且⊥，则m=________。 16.（5分）已知平面向量=(x,1)，=(x+1,2)，若⊥(−)，则||=________。 17.（5分）已知向量=(1,)，=(2,0)，则与的夹角为________。 18.（5分）已知||=2，||=3，·=−3，则在方向上的投影数量为________。 19.（5分）在△OAB中，点C在边AB上，且AC=2CB，若=λ+μ，则λ+μ=________。 20.（5分）已知单位向量、的夹角为120°，若=2+3，则||=________。 （三）解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21.（12分）已知向量=(1,2)，=(−2,m)。 （1）若∥，求m的值； （2）若(−)⊥，求m的值； （3）当m=1时，求与夹角的余弦值。 22.（12分）已知向量=(1,)，=(−,1)。 （1）求|+|； （2）求与的夹角； （3）若=(x,2)，且⊥，求x的值。 23.（12分）已知||=2，||=3，且(2−)⊥(+)。 （1）求·； （2）求|+2|； （3）求在方向上的投影数量。 24.（13分）在△ABC中，点D在边BC上且BD=2DC，点E为AD的中点。 （1）用、表示和； （2）若||=2，||=3，·=−2，求||； （3）在（2）的条件下，求·的值。 25.（13分）已知向量=(sin x, cos x)，=(, −1)，设函数f(x)=·。 （1）求f(x)的最小正周期； （2）若f(A)=0，A∈(0,)，求A的值； （3）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A为（2）中所求，且b=2，c=1，求△ABC的面积。 26.（12分）在边长为2的正方形ABCD中，点P在线段BC上运动，设=（0≤x≤1）。 （1）用x表示·； （2）求·的最小值； （3）若·=4，求BP的长。 三、参考答案与解析 （一）单项选择题 1.【答案】C 【考点】向量的概念；相等向量、共线向量与单位向量。 【思路】逐项结合概念判断：模相等不能推出向量相等或相反；共线且等模仍可能反向；相等向量必共线；单位向量只规定模为1。 【解析】选项A，模相等只说明长度相同，方向可以任意，如两个夹角为60°的单位向量，既不等也不相反，故A错。选项B，∥且||=||时，可能=，也可能=−，故B错。选项C，=说明方向相同且模相等，方向相同的两个向量必共线，故∥成立，C正确。选项D，单位向量的模均为1，但方向可以不同，不一定相等，故D错。故选C。 【易错提醒】“相等向量”必须同时满足模相等与方向相同两个条件；“共线向量”包含同向与反向两种情况；“单位向量”只限定模长，方向任意，这些概念的区别是高频易错点。 2.【答案】A 【考点】向量的加法与数乘运算（定比分点）。 【思路】把沿与方向分解：先由BD=2DC得BD=，再由=−代入即可。 【解析】由BD=2DC得BD=BC，故==(−)。于是=+=+(−)=+。故选A。 【易错提醒】定比分点处BD=BC，不是DC=BC，比例关系勿写反；也可用结论：分点D将BC分成BD∶DC=2∶1时，=+。 3.【答案】A 【考点】向量共线（平行）的坐标条件。 【思路】∥（≠）等价于坐标交叉相乘相等，即x1y2−x2y1=0。 【解析】∥得1×(−1)−2m=0，即−1−2m=0，解得m=−。故选A。 【易错提醒】坐标表示的平行条件为x1y2=x2y1，注意交叉相乘的顺序，符号勿弄反；本题结果含负号，漏负号是常见错误。 4.【答案】A 【考点】三点共线的向量判定。 【思路】A、B、C三点共线等价于与共线，用坐标交叉相乘建立方程。 【解析】=(1,2)，=(x−1,4)。由A、B、C共线得∥，即1×4=2(x−1)，解得x=3。故选A。 【易错提醒】求时要“终点减起点”，即(x−1,5−1)；若误用B、C坐标之差会得到错误方程。 5.【答案】A 【考点】数量积的几何意义（投影数量）。 【思路】在方向上的投影数量为||cosθ，其中θ为与的夹角，也可写成。 【解析】由投影公式，在方向上的投影数量为||cos60°=2×=1。故选A。 【易错提醒】投影数量是数量（可正可负可零），不是向量；投影数量=||cosθ，与的模无关，勿除以||（那是投影向量的另一种表达，其结果相同但计算时注意公式对应）。 6.【答案】A 【考点】数量积的坐标运算与夹角公式。 【思路】分别求·、||、||，代入夹角余弦公式cosθ=。 【解析】·=1×0+×2=2，||=2，||=2，故cosθ==，所以θ=30°。故选A。 【易错提醒】||=2的运算要用根式：||=；夹角范围为[0°,180°]，cosθ=对应30°，若算得负值要检查符号。 7.【答案】B 【考点】向量垂直的坐标运算（改编自2024年新课标Ⅰ卷第3题的命题思路）。 【思路】先算−的坐标，再由(−)·=0建立方程求x。 【解析】−=(1−3,2−x)=(−2,2−x)。由(−)⊥得(−)·=0，即(−2)×1+(2−x)×2=0，化简得2−2x=0，解得x=1。故选B。 【易错提醒】垂直等价于数量积为0；本题把“已知向量垂直”改编为“差向量与向量垂直”，运算时注意坐标相减的顺序（−用的坐标减的坐标）。 8.【答案】B 【考点】向量平行、垂直的坐标条件与充分必要条件（改编自2024年全国甲卷理科第9题的命题思路）。 【思路】分别解出⊥、∥时x应满足的条件，再逐项判断充分性与必要性。 【解析】·=(x+1)x+2x=x2+3x=x(x+3)，故⊥⇔x=0或x=−3；∥⇔2(x+1)−x2=0，即x2−2x−2=0，解得x=1±。选项A，由x=0可推出⊥，但⊥不能推出x=0（还可能是x=−3），故“x=0”是“⊥”的充分条件而非必要条件，A错、B对。选项C、D，x=−1既不是∥的充分条件（代入不满足平行条件），也不是必要条件（平行解为1±），均错。故选B。 【易错提醒】判断充要条件要先解出准确的条件集合再比较；本题⊥的解有x=0与x=−3两个，“x=0”只构成充分条件，勿凭“x=0代入成立”就误判为充要。 9.【答案】A 【考点】由模长的平方关系求数量积（改编自2026年新课标Ⅱ卷第2题的命题思路）。 【思路】对|+|、|−|分别平方，两式相减消去||2、||2，直接得到·。 【解析】由|+|2=||2+||2+2·=4，|−|2=||2+||2−2·=16，两式相减得4·=−12，所以·=−3。故选A。 【易错提醒】两式相减时注意符号：是“和式的平方”减“差式的平方”，得4·而非−4·；此类题无需分别求出||与||，直接相减即可，避免多余计算。 10.【答案】A 【考点】平面向量基本定理（中点的向量表示）。 【思路】先用中点公式把用、表示，再由E为AD的中点表示，最后=−。 【解析】D为BC的中点，故=(+)；E为AD的中点，故==(+)。于是=−=+−=−+。故选A。 【易错提醒】=−的起点均为A，方向要统一；把“−”化为“−”时系数合并勿出错，且注意最终结果中的系数为负。 11.【答案】C 【考点】模长平方与夹角公式。 【思路】对|+|平方展开，解出·，再代入夹角公式求cosθ。 【解析】|+|2=||2+||2+2·=1+4+2·=3，解得·=−1。于是cosθ==，所以θ=120°。故选C。 【易错提醒】由|+|=得平方为3，勿误写为；·为负说明夹角为钝角，θ=120°而不是60°。 12.【答案】A 【考点】坐标法求图形中数量积的取值范围。 【思路】建立平面直角坐标系，写出各点坐标，将数量积转化为关于参数的表达式，再求取值范围。 【解析】以A为原点，AB、AD所在直线分别为x轴、y轴建立坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(1,2)。设F(2,t)，0≤t≤2，则=(1,2)，=(2,t)，·=2+2t。由0≤t≤2得2≤2+2t≤6，故·的取值范围为[2,6]。故选A。 【易错提醒】建系时坐标要对应准确（F在BC上，横坐标为2）；数量积的取值范围由t∈[0,2]确定，端点值2和6均可取到，区间应为闭区间。 （二）填空题 13.【答案】(5,3) 【考点】向量坐标的线性运算。 【思路】数乘与加法分别对应坐标的相应运算：2+=(2×1+3,2×2−1)。 【解析】2+=2(1,2)+(3,−1)=(2,4)+(3,−1)=(5,3)。 【易错提醒】坐标运算分别对横、纵坐标进行；数乘时两个坐标都要乘，勿只乘一个。 14.【答案】− 【考点】向量平行的坐标条件。 【思路】∥等价于2×m−(−1)×1=0。 【解析】由∥得2m+1=0，解得m=−。 【易错提醒】交叉相乘列式时注意符号：2×m=(−1)×1，即2m=−1。 15.【答案】−6 【考点】向量垂直的坐标条件。 【思路】⊥等价于·=0，即1×m+2×3=0。 【解析】由⊥得·=m+6=0，解得m=−6。 【易错提醒】垂直用数量积为零，勿与平行条件（交叉相乘）混淆。 16.【答案】 【考点】向量垂直与模长（改编自2025年新课标Ⅱ卷第12题的命题思路）。 【思路】先由⊥(−)得·(−)=0，解出x，再求||。 【解析】−=(x−x−1,1−2)=(−1,−1)。由·(−)=0得−x−1=0，解得x=−1。故=(−1,1)，||=。 【易错提醒】−的坐标要按顺序相减；求模时先算横、纵坐标的平方和再开方，不要写成2。 17.【答案】60° 【考点】向量夹角公式。 【思路】求·、||、||后代入cosθ=。 【解析】·=1×2+×0=2，||=2，||=2，故cosθ==，θ=60°。 【易错提醒】||=2（因1²+()²=1+3=4）由根式得到，勿与坐标中的混淆。 18.【答案】−1 【考点】投影数量（数量积的几何意义）。 【思路】在方向上的投影数量为，直接代入计算。 【解析】在方向上的投影数量为==−1。 【易错提醒】投影数量是·除以||，不是除以||；数量积为负时投影为负值，符号勿丢。 19.【答案】1 【考点】平面向量基本定理与三点共线的系数和。 【思路】由AC=2CB得C为AB上靠近B的三等分点，将用、线性表示，再求系数和；也可直接使用共线结论λ+μ=1。 【解析】由AC=2CB得==(−)。于是=+=+(−)=+，故λ=，μ=，λ+μ=1。 【易错提醒】C在AB上时，=λ+μ且λ+μ=1是共线结论；本题AC=2CB对应的系数是λ=、μ=，比例分配勿写反。 20.【答案】 【考点】模长平方（含向量夹角）。 【思路】||2=|2+3|2，按数量积运算律展开，代入夹角余弦值计算。 【解析】||2=4||2+9||2+12·=4+9+12cos120°=13+12×(−)=7，故||=。 【易错提醒】·=||||cos120°=−，夹角为120°时余弦为负，展开式中交叉项取负号，勿误加。 （三）解答题 21.【参考答案】 （1）由∥得1×m−2×(−2)=0，即m+4=0，解得m=−4。 （2）−=(3,2−m)。由(−)⊥得(−)·=0，即3×1+(2−m)×2=0，化简得7−2m=0，解得m=。 （3）当m=1时，=(−2,1)，·=1×(−2)+2×1=0，故夹角的余弦值cosθ==0。 【考点】向量坐标运算：平行、垂直与夹角余弦。 【思路】平行用交叉相乘，垂直用数量积为零，夹角余弦用公式cosθ=；三问均为坐标直接代入，体现通性通法。 【踩分点】第（1）问3分：正确列平行条件方程2分，解得m=−4得1分；第（2）问5分：正确写出−坐标2分，列垂直方程2分，解得m=得1分；第（3）问4分：正确计算·=0得3分，写出cosθ=0得1分。 【易错提醒】平行与垂直的坐标条件容易混淆：平行用交叉相乘相等，垂直用数量积为零；第（2）问先算差向量再点乘，运算顺序不要乱。 22.【参考答案】 （1）+=(1−,+1)，故|+|2=(1−)2+(+1)2=8，所以|+|=2。 （2）·=1×(−)+×1=0，故⊥，与的夹角为90°。 （3）由⊥得·=0，即x×1+2×=0，解得x=−2。 【考点】向量坐标运算：模、夹角与垂直。 【思路】模用平方再开方，夹角用数量积是否为零判断（本题数量积为0，直接得垂直），垂直用数量积为零列方程。 【踩分点】第（1）问5分：正确求+的坐标2分，平方展开计算正确2分，结果2得1分；第（2）问3分：正确计算·=0得2分，判断夹角90°得1分；第（3）问4分：正确列数量积方程2分，解得x=−2得2分。 【易错提醒】(1−)2+(+1)2展开后交叉项一正一负恰好抵消，勿漏平方项或算错符号；夹角为90°时数量积为零，可直接判断，不必再求cosθ。 23.【参考答案】 （1）由(2−)⊥(+)得(2−)·(+)=0，即2||2+·−||2=0，代入||=2，||=3得8+·−9=0，解得·=1。 （2）|+2|2=||2+4·+4||2=4+4×1+4×9=44，故|+2|=2。 （3）在方向上的投影数量为=。 【考点】数量积的运算律：垂直、模长平方与投影。 【思路】由垂直得数量积为零，按运算律展开建立方程求·；求模用平方；投影用公式。 【踩分点】第（1）问5分：正确展开(2−)·(+)得3分，代入已知模长解得·=1得2分；第（2）问4分：正确展开|+2|2得2分，结果2得2分；第（3）问3分：正确代入投影公式2分，结果得1分。 【易错提醒】展开(2−)·(+)时勿漏·项，正确为2||2+2·−·−||2=2||2+·−||2；|+2|2的交叉项系数是4·，勿写成2·。 24.【参考答案】 （1）由BD=2DC得==(−)，故=+=+。E为AD的中点，故==+，所以=−=−+。 （2）由（1）得||2=||2+||2+2×(−)×(·)=×4+×9+(−)×(−2)=+1+=，故||=。 （3）=−，·=(+)·(−)=(·−||2)+(||2−·)=×(−2−4)+×(9+2)=−2+=。 【考点】平面向量基本定理与数量积综合应用。 【思路】先用基向量、线性表示、；求模平方时展开数量积代入已知值；求数量积时先表示再按运算律展开。 【踩分点】第（1）问5分：表示正确2分，表示正确3分；第（2）问4分：||2展开正确3分，结果得1分；第（3）问4分：·展开正确3分，结果得1分。 【易错提醒】表示时注意从同一起点出发（=−）；||2展开的交叉项系数为2×(−)×=−，代入·=−2后交叉项为正，符号勿出错；求·时可先展开再代入，避免每项单独计算带来符号错误。 25.【参考答案】 （1）f(x)=·=sin x−cos x=2sin(x−)，故f(x)的最小正周期T=2π。 （2）由f(A)=0得2sin(A−)=0。因为A∈(0,)，所以A−∈(−,)，故A−=0，即A=。 （3）由（2）知A=。△ABC的面积S=bc sin A=×2×1×sin=×2×1×=。 【考点】向量数量积与三角函数、解三角形的综合应用。 【思路】先由数量积的坐标运算写出f(x)，再用辅助角公式化成正弦型函数求周期；解三角方程时注意角的范围；面积用S=bc sin A直接计算。 【踩分点】第（1）问5分：数量积坐标运算正确2分，辅助角公式化形正确2分，周期结果1分；第（2）问3分：正确解三角方程得2分，结合角的范围确定A=得1分；第（3）问5分：面积公式正确2分，代入计算正确3分。 【易错提醒】辅助角公式中cos x的系数为−1，化形时相位为−，符号勿弄反；解f(A)=0时A−可能取0（在给定范围内），不要漏解或误增解；面积公式中sin=要代入正确。 26.【参考答案】 （1）以A为原点，AB、AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)。设P(2,2x)，0≤x≤1，则=(−2,−2x)，=(−2,2−2x)，故·=(−2)×(−2)+(−2x)(2−2x)=4−4x+4x2。 （2）·=4x2−4x+4=4(x−)2+3，所以当x=时，·取得最小值3。 （3）令·=4，得4x2−4x+4=4，即x2−x=0，解得x=0或x=1。此时BP=x·BC，BC=2，故BP=0或BP=2。 【考点】坐标法求图形中的数量积及其最值（二次函数）。 【思路】建系后把动点坐标用参数x表示，将数量积化为关于x的二次函数，配方求最值，解方程求满足条件的点位置。 【踩分点】第（1）问4分：建系并正确写出P、、坐标得2分，数量积表达式正确得2分；第（2）问4分：配方正确2分，最小值3及取等条件2分；第（3）问4分：正确列方程2分，解出x=0或x=1并求BP得2分。 【易错提醒】P在线段BC上时纵坐标为2x（0≤x≤1），勿写成x；·的表达式展开时注意(−2x)(2−2x)的符号；第（3）问x=0与x=1分别对应P与B、C重合，两个答案都要写全，不能漏解。 学科网（北京）股份有限公司 $