精品解析：陕西西安市创新港中学2026-2027学年高三上学期第三次大练习数学试卷

创新港中学 2027届高三第三次大练习 数学试题 本试卷共四道大题，满分150分. 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】因为复数，则，所以. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式可化为， 故不等式的解集为 ，又， 所以. 3. 若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为点为抛物线上一点， 所以，解得. 因为抛物线的准线为， 所以点P到其焦点的距离为． 4. 图1为元代瓷器白地褐彩龙凤纹罐，高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成，如图2.圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，圆台上下底的半径分别为、，高为， 所以该瓷器容积为. 5. 如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共（ ） A. 32种 B. 24种 C. ·20种 D. 16种 【答案】D 【解析】 【分析】按照元素甲、乙所在舱位进行讨论，特殊元素优先考虑即可求解. 【详解】按照甲、乙两人同时在天和核心舱或问天实验舱两种情况讨论： ①若甲、乙两人同时在天和核心舱，则需要从剩余4人中再选1人， 剩下的3人去剩下的两个舱位，则有种可能； ②若甲、乙两人同时在问天实验舱，则剩下的4人选3人去天和核心舱即可， 共有种可能， 根据分类加法计算原理，共有种可能. 故选：D. 6. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，先求出的周期，再结合条件求出，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以， 由，令，得，故， 由，令，得，所以， 即，所以，故以为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 ． 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）每小题有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据的平均数为3，方差为4，令，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的平均数为5 B. 数据的方差为8 C. D. 原数据补入3后，方差为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题意，数据的平均数为3，方差为4，且， 选项A，数据的平均数为，故A正确； 选项B，数据的方差为，故B错误； 选项C，由方差的公式可得，得， 则，故C正确； 选项D，由，，即 则原数据补入3后，平均数仍为3， 此时方差为，故D正确. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 的最大值为9 D. 的最小值为4 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A，椭圆半长轴长，半短轴长，半焦距，故离心率为，A正确； 选项B，因为椭圆上异于长轴端点的动点，则， 则的周长为，B正确； 选项C，由上得，则，当点为短轴顶点时取等，故C正确； 选项D，设，则，，， 则 ，当点为短轴顶点时，取得最小值为，故D错误. 11. 已知数列满足，，记为其前项和，则对任意正整数，下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，根据等差数列性质及通项公式计算可判断AB；由裂项相消法计算可判断C；令，结合导数判断单调性，取得，累加计算可判断D. 【详解】由递推关系及可知各项均为正，取倒数得 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，即，故A正确，B错误. 又 所以，故C正确. 对，令，则，且. 所以，取，得到， 累加得，故D正确. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据等差数列求和公式求解. 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 13. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，令，分析函数的性质并求出最大值，再列出不等式求解作答. 【详解】函数的定义域为R，令，函数， 而对勾函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， ， 因为，则 ，有，即， 因此函数在上单调递减，同理可证在上单调递增， 于是，函数在上单调递增，在上单调递减，函数值集合均为， 依题意，函数在上有两个零点，则有，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为， 则 ， 其中易得，故． 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分）第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校从甲、乙两组共5名学生中随机选出3名参加科技展示，其中甲组3名、乙组2名，每种选法等可能. （1）求选出的3名学生中恰有2名来自甲组的概率. （2）设随机变量表示选出的3名学生中来自甲组的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用组合数分别求出总选法数和 “恰 2 名来自甲组” 的选法数，代入古典概型概率公式计算即可； （2）确定随机变量的全部可能取值，再分别求对应的概率，列出分布列后用期望定义式计算即得. 【小问1详解】 从5人中选3人的等可能选法数为 . 恰有2人来自甲组的选法数为 . 故选出的3名学生中恰有2名来自甲组的概率为. 【小问2详解】 随机变量X的可能取值为、、. 则，，，　 随机变量X的分布列为　 1 2 3 . 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为边上的点，，，， . （1）证明：平面. （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）因为，，所以. 因为平面，平面， 所以，，. 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间坐标系. 由题意知，，，，，，. 所以，. 所以，即. 又因为，平面，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由，，得.因为平面，所以可以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.利用向量证明，易知，由线面垂直的判定定理证得平面； （2）分别求出平面与平面的一个法向量，根据面面角的向量求法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，. 设平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量. 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 在中，内角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若点满足，且，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，转化为边的关系，再与余弦定理比较，即可求出. （2）由可知，点将边按内分，以点为起点表示，利用 和得到关于的约束条件，再求乘积的最大值，从而得到△ABC面积的最大值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 整理得，则， 因为，所以． 【小问2详解】 以点为起点，记，，则，， 且由，有， 因为，所以， 由，得， 解得，即， 则，即， 当且仅当，即，时取等号， 则， 故面积的最大值为． 18. 过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点且斜率不为0的动直线与相交于，两点，的中点为， （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）由题可设，，． 联立，消去整理得， ，即， 所以，， 所以，则， 又为的中点，故， 所以直线的斜率， 显然，所以直线的斜率为， 故直线与的斜率之积为（定值）． （ii） 【解析】 【分析】（1）先设，，得到的坐标，再根据向量的线性运算即可得到动点的轨迹的方程； （2）（i）先设出，，，再联立的方程，从而得到关于的一元二次方程，再根据得到的取值范围，再根据韦达定理得到点的坐标，从而得到直线的斜率和直线的斜率为，进而求积即可证明；（ii）结合（i）及求出，再根据点到直线的距离公式即可得到点到直线的距离，从而根据三角形的面积公式及基本不等式即可求出面积的最大值． 【小问1详解】 设，，则， 所以，， 又，所以， 即，解得， 又点在圆上，所以， 故动点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）可知， 又点到直线的距离， 所以， 令，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，符合题意． 故面积的最大值为． 19. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，若是在的零点，比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3）当时，设，其中， 而， 因为，所以均为上的增函数， 故为上的增函数，而是在的零点， 故且当时，，故在上为减函数，故， 而，故，故. 【解析】 【分析】（1）求导利用点斜式即可求出； （2）将问题转化为，恒成立，再分类讨论即可； （3）通过判断的二阶导数，结合且即可证. 【小问1详解】 当时，，定义域为，则， 而，则，故，即， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 若时，恒成立，即， 令，则， 而， 若，则，故存在，使得在上恒成立， 故在上为减函数，故，总有，与题设矛盾； 为递增函数且， 故，此时， 设，则， 因为均为上的增函数，故为上的增函数， 故，故为上的增函数，故. 即在上恒成立. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 创新港中学 2027届高三第三次大练习 数学试题 本试卷共四道大题，满分150分. 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 图1为元代瓷器白地褐彩龙凤纹罐，高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成，如图2.圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共（ ） A. 32种 B. 24种 C. ·20种 D. 16种 6. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）每小题有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据的平均数为3，方差为4，令，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的平均数为5 B. 数据的方差为8 C. D. 原数据补入3后，方差为 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 的最大值为9 D. 的最小值为4 11. 已知数列满足，，记为其前项和，则对任意正整数，下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. D. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 13. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为___________. 14. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为______． 四、解答题（共5小题，共77分）第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校从甲、乙两组共5名学生中随机选出3名参加科技展示，其中甲组3名、乙组2名，每种选法等可能. （1）求选出的3名学生中恰有2名来自甲组的概率. （2）设随机变量表示选出的3名学生中来自甲组的人数，求的分布列和数学期望. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为边上的点，，，， . （1）证明：平面. （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 在中，内角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若点满足，且，求面积的最大值． 18. 过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点且斜率不为0的动直线与相交于，两点，的中点为， （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）求面积的最大值． 19. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，若是在的零点，比较与的大小，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $