陕西省镇安中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2027届高三10月质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．D 3．A 4．B 5．D 6．A 7．B 8．D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分． 9．ABC 10．ACD 11．ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）由及正弦定理，得， 所以，由于，所以， 因为，所以． （6分） （2）因为，，所以，解得，从而． 所以，即，解得（负值已舍去）， 故的周长为． （13分） 16．解：（1）由列联表得． 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，能判断产品的质量与使用机床的类型有关． （7分） （2）每次抽到新型国产机床生产的良品的概率为， 依题意的可能取值为0，1，2，3， 所以，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 易知，故．（15分） 17．解：（1）证明：连接交于点，连接， 因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面， 则平面． （5分） （2）假设当时，平面平面， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则即 令，得， 设平面的法向量为，则即 令，得，所以，解得． 故当时，平面平面． （15分） 18．解：（1）不妨设的一个焦点为，， 则当时，，解得，所以， 所以解得，，． 故椭圆的方程为． （7分） （2）若直线与轴垂直，则点与重合，不符合题意； 依题意可设直线方程为，，，， 联立化简得， 显然，且，， 又因为，所以的方程为， 令，得，将，代入上式， 可得， 故点的坐标为． （17分） 19．解：（1）当时，，则，从而，， 故所求切线方程为，即． （4分） （2）证明：当时，，则， 设，则． 显然在上恒成立，因此在上单调递减． 又，因此在上恒成立，因此在上单调递增， 故，即当时，． （8分） （3）由题意可得．设，则． ①若，显然，因此在上单调递增，即在上单调递增． 又，因此当时，； 当时，，因此在上单调递减，在上单调递增， 又，因此只有一个零点，故不符合题意． ②若，则当时，；当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增． 又，因此，又， 因此存在唯一的，使得． 当时，；当时，， 因此在，上单调递增，在上单调递减． 又，因此，又当时，， 因此恰有两个零点，因此符合题意． ③若，由（2）易知在上恒成立，因此在上单调递增， 又，因此只有一个零点，因此不符合题意． ④若，则当时，；当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增． 又，因此，又当时，， 因此存在唯一的，使得． 当时，；当时，， 因此在，上单调递增，在上单调递减． 又，因此，又当时，， 因此恰有两个零点，因此符合题意． 综上，． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三10月质量检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．已知，则的虚部为 A． B． C． D． 3．在等差数列中，，，则该数列的前8项和 A．24 B．36 C．48 D．60 4．在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是 A． B． C． D． 5．已知，，点在直线上，且，则点的坐标为 A． B． C． D．或 6．已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为 A． B． C． D． 8．已知函数的最大值为2，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：，直线：（），则下列说法正确的是 A．圆的半径为 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相切 D．当时，直线平分圆 10．已知函数与的图象关于直线对称，则 A．函数的最小正周期为 B．函数在区间单调递增 C．函数图象的一个对称中心为 D．的一个可能取值为 11．已知点，分别为双曲线：（）的左，右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是 A．双曲线的渐近线方程为 B．直线，的斜率之积为 C．是直角三角形 D．的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则__________． 13．一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆与该抛物线的准线相切，则动圆必过定点的坐标为__________． 14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过4个步骤变成1（简称为4步“雹程”）．已知数列满足：（为正整数），若，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 16．（本小题满分15分）某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了200件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据： 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 （1）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关； （2）从这400件样品中有放回的抽取3次，每次抽取1件产品，记抽到新型国产机床生产的良品的次数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17．（本小题满分15分）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，是棱的中点． （1）求证：平面； （2）平面与平面有可能垂直吗，若有可能，求出的长；若没有可能，说明理由． 18．（本小题满分17分）已知椭圆：（）的离心率为，点，在椭圆上，当直线过椭圆的一个焦点且垂直于轴时，弦长． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为0的直线交椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求点的坐标． 19．（本小题满分17分）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：当时，； （3）若有两个零点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $