精品解析：内蒙古海拉尔第二中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段考试数学试题（珠峰班）

2026-2027学年海拉尔第二中学珠峰班上学期第一次阶段考试 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若函数是关于的二次函数，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，且，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 0 3. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为2，点，分别在边，上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线与轴交于，两点，在的抛物线上有一点，其纵坐标为，若，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 二次函数的部分对应值如下表：以下结论正确的是（ ） … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … A. 抛物线的顶点坐标为 B. 与轴的交点坐标为 C. 与轴的交点坐标为和 D. 当时，对应的函数值为 10. 已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 当时，有 D. 方程有两个相等的实数根 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是__________． 13. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，为线段上一动点（不与点、重合）．为第三象限内抛物线上一动点，连接并延长垂直轴于点，过点作的垂线，与轴交于点，则的最大值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某公园雕塑的顶端点处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 16. 如图，抛物线经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为抛物线上一点，若，求此时点的坐标． 17. 小明设计的风筝如图所示，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，交点为点，且，若他计划用长为的毛竹制作龙骨（不计损耗），设，四边形的面积为． （1）求出与之间的函数解析式； （2）当取何值时，四边形的面积最大，此时最大面积是多少？ 18. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗，市场上五仁月饼的进价比云腿月饼的进价每盒贵10元，某商家用8000元购进的五仁月饼和用6000元购进的云腿月饼盒数相同，在销售中，该商家发现五仁月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设五仁月饼每盒售价元，表示该商家每天销售五仁月饼的利润（单位：元）． （1）五仁月饼每盒的进价为多少元？ （2）若每盒月饼的成本利润率不超过50%，问当五仁月饼每盒售价为多少元时，商家每天销售五仁月饼获利1350元？ （3）若满足，求商家每天销售五仁月饼的最大利润． 19. 如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值； （3）若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年海拉尔第二中学珠峰班上学期第一次阶段考试 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若函数是关于的二次函数，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，且，解得. 2. 已知集合，，且，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可对和分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果. 【详解】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或， ，此时，不能满足题意； 时，，满足题意， 故. 3. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【详解】由可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 且当时，随的增大而减小，故C正确，A，B，D均不正确. 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线向左平移2个单位长度，得， 再向下平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为：． 5. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过作直线，利用直线与三个二次函数图象的交点的纵坐标的大小即可判断. 【详解】如图，作直线与二次函数分别交于点， 由图知，点的纵坐标满足，即. 6. 如图，正方形的边长为2，点，分别在边，上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用割补法，将五边形的面积表示为正方形的面积与三角形的面积之差，结合线段长度关系列出函数解析式，并根据点，的位置确定定义域． 【详解】由题意可知，正方形的边长为2， ∵，， ， ∵五边形的面积等于正方形的面积减去三角形的面积， ，即， 已知点，分别在边，上，且需构成五边形， ，即，解得， 则关于的函数表达式为． 7. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理得到的关系，再代入分式不等式，转化为整式不等式组求解即可. 【详解】由不等式的解集为或，可得， 且，是方程的两个实根. 根据韦达定理：，解得，其中， 代入待解不等式，得 ，因为，所以， 分式不等式等价于：，解得或.  故不等式的解集为. 8. 已知抛物线与轴交于，两点，在的抛物线上有一点，其纵坐标为，若，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题所给的两点坐标结合抛物线图象的对称性得到抛物线的对称轴，结合对称轴公式解得参数a的值，将抛物线的一般式化为顶点式，结合二次函数x与c的取值范围，利用二次函数的单调性求n的取值范围. 【详解】由题意得，点A与点B的中点在抛物线的对称轴上， 即抛物线的对称轴为， 又由抛物线对称轴公式有，解得， 代入得，，开口向下，顶点为， 对称轴在上，故顶点是该区间的最大值点，最大值为， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，该区间函数最小值在处，最小值为， 由题，点纵坐标为，，抛物线在上连续， ，能取到的最大值为5， ，能取到的最小值为-5； 故. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 二次函数的部分对应值如下表：以下结论正确的是（ ） … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … A. 抛物线的顶点坐标为 B. 与轴的交点坐标为 C. 与轴的交点坐标为和 D. 当时，对应的函数值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，结合表格中点的坐标特征逐一判断结论是否正确. 【详解】对A：由表格中和时值均为， 可得二次函数图象的对称轴为直线， 故抛物线的顶点坐标为，故A正确； 对B：与轴交点的横坐标为，由表格得时， 因此抛物线与轴的交点坐标为，故B正确； 对C：由表格得时，即抛物线与轴的一个交点为， 结合对称轴，另一个交点与关于对称，即为， 因此与轴的交点为和，故C错误； 对D：和关于对称轴对称，因此两点的函数值相等， 由表格得时，故时对应的函数值为，故D正确. 10. 已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】可化为， 解得，， 由题意可知，解得， 所以实数的可能取值为. 11. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 当时，有 D. 方程有两个相等的实数根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标确定对称轴，从而判断选项A；根据直线经过的点代入直线方程判断选项B；通过观察函数图象在指定区间内的上下位置关系判断选项C；根据抛物线顶点纵坐标与方程的关系判断选项D． 【详解】选项A、由抛物线顶点坐标为可知， 抛物线的对称轴为直线，根据对称轴公式， 可得，即， 所以，故选项A正确； 选项B、因为直线经过点， 将代入直线方程得，即，故选项B正确； 选项C、观察图象可知，当时，抛物线的图象在直线的上方，即； 但当或时，两图象相交，即， 所以当时，，而不是严格的，故选项C错误； 选项D、方程可以看作是求抛物线与直线的交点横坐标， 因为抛物线的顶点坐标是，且由图象可知抛物线开口向下，顶点是最高点， 所以抛物线与直线只有一个公共点(即切点)， 这意味着方程有两个相等的实数根(均为)，故选项D正确． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，原不等式可化为，恒成立，解集为； 当时，要使得一元二次不等式对任意实数x成立，则有 ，解得； 综上所述，的取值范围是. 13. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的单调性求解． 【详解】函数的对称轴为：， 依题意，， 得 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，为线段上一动点（不与点、重合）．为第三象限内抛物线上一动点，连接并延长垂直轴于点，过点作的垂线，与轴交于点，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知得到，，设，则可得到，再利用二次函数的性质即可得到最大值. 【详解】由题意可得，. 在中，，所以. 过作，交于点，则. 设，则. 所以. 所以. 所以当时，取得最大值. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某公园雕塑的顶端点处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设水柱所在抛物线的函数表达式为，结合题意列出关于的方程组，求解可得； （2）令，求解可得点的横坐标，从而求得水柱落地点与雕塑的水平距离． 【小问1详解】 设水柱所在抛物线的函数表达式为， 则，解得， 所以水柱所在抛物线的函数表达式为. 【小问2详解】 令，得， 即，即，解得或（舍去）， 所以，即水柱落地点与雕塑的水平距离为． 16. 如图，抛物线经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为抛物线上一点，若，求此时点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入方程计算即可求解； （2）点，利用即可求解. 【小问1详解】 因为抛物线经过点，， 所以，解得：， 所以抛物线的函数表达式 【小问2详解】 设点， 所以， 即， 所以或， 当时，解得：，或， 当时，方程无解， 综上：点的坐标为或 17. 小明设计的风筝如图所示，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，交点为点，且，若他计划用长为的毛竹制作龙骨（不计损耗），设，四边形的面积为． （1）求出与之间的函数解析式； （2）当取何值时，四边形的面积最大，此时最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）当时，四边形的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）利用化简即可求解； （2）根据，，结合二次函数的单调性即可求解最大值. 【小问1详解】 因为，则，因为风筝的两根龙骨和互相垂直， 所以四边形的面积为， 因为，所以，解得：， 所以与之间的函数解析式为， 【小问2详解】 由（1）知， 当时，单调递增， 所以当时，四边形的面积最大，最大值为：， 所以当时，四边形的面积最大，最大面积是 18. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗，市场上五仁月饼的进价比云腿月饼的进价每盒贵10元，某商家用8000元购进的五仁月饼和用6000元购进的云腿月饼盒数相同，在销售中，该商家发现五仁月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设五仁月饼每盒售价元，表示该商家每天销售五仁月饼的利润（单位：元）． （1）五仁月饼每盒的进价为多少元？ （2）若每盒月饼的成本利润率不超过50%，问当五仁月饼每盒售价为多少元时，商家每天销售五仁月饼获利1350元？ （3）若满足，求商家每天销售五仁月饼的最大利润． 【答案】（1） 40元 （2） 55元 （3） 1750元 【解析】 【分析】（1）设五仁月饼每盒的进价为元，则云腿月饼每盒的进价为元，由题意可得，求解可得； （2）由题意可得，求解可得的值； （3）由题意得，当时，，根据二次函数在给定范围内的单调性可得其最值． 【小问1详解】 设五仁月饼每盒的进价为元，则云腿月饼每盒的进价为元， 所以，解得. 所以五仁月饼每盒的进价为元. 【小问2详解】 由题意得，， 所以. 由，得， 所以. 所以当五仁月饼每盒售价为元时，商家每天销售五仁月饼获利1350元. 【小问3详解】 由题意得，当时， ， 所以随的增大而增大， 所以当时，取得最大值，最大值为. 所以商家每天销售五仁月饼的最大利润为元. 19. 如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值； （3）若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），. （2）； 当时，取得最大值. （3） 存在；坐标为，，. 【解析】 【分析】(1)令抛物线解析式中，解一元二次方程，结合点的左右位置，即可求出两点坐标； (2)先求出点C坐标以及直线的解析式，再用含的代数式表示两点纵坐标，进而得到线段的长，利用割补法表示的面积，得到关于的二次函数，结合二次函数性质求最值； (3)设，由得到直线解析式，联立抛物线方程，结合平行四边形对边平行且相等的性质，得到点纵坐标的可能取值，求出对应点横坐标，进而算出的坐标. 【小问1详解】 令，则， 整理得：，解得， 因为点在点左侧，所以，. 【小问2详解】 当时，，得， 设直线解析式为，代入，， ，解得， 直线：， 由题意得，点横坐标为，， ，， ， ， 即. 二次函数开口向下，对称轴，在取值范围内， 代入得， 所以；当时，取得最大值. 【小问3详解】 设，直线斜率， 由，直线：， 联立，得， 四边形是平行四边形且，则与平行且相等，平移前后坐标变化量相同，故或， ①当时，，解得舍去，，， 由平移规律，得，得，， ②当时，，解得， 若，由平移规律得， ，解得， 若，由平移规律得， ，解得， 综上，点坐标为，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $