内蒙古自治区呼伦贝尔市海拉尔第二中学2025-2026学年高一上学期12月诊断性检测数学试题

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D B B D B BD ACD 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】根据基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】由题意， 当且仅当，结合，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：B 2．B 【分析】根据幸福点的定义求函数的幸福点为，再根据充分必要条件判断即可. 【详解】根据函数的幸福点定义， 当时，令，解得； 当时，令，解得； 所以函数的幸福点为. 所以“”是“是的幸福点”得充分不必要条件. 故选：B 3．D 【分析】根据不等式的解集，利用一元二次方程根与系数的关系求解. 【详解】由不等式 的解集为， 可知5和是方程 的两根， 则，解得， 所以， 故选：D. 4．D 【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：D 5．B 【分析】应用已知不等式化简结合单调性定义得出在上单调递增，再结合偶函数性质列式，最后解一元二次不等式即可. 【详解】因为，所以. 由，得对任意不相等的，恒成立， 所以在上单调递增. 因为为偶函数，易知为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于，即. 当，即时，，解得或，所以； 当，即时，，解得，所以. 综上所述，所求不等式的解集为. 故选：B. 6．B 【分析】分析函数的奇偶性、零点，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，排除AD选项； 令可得或， 所以方程在上的零点有且只有三个，排除C选项. 故选：B. 7．D 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和倍角公式，求得，再由两角和的正切公式，代入计算，即可求解. 【详解】由，故， 而，故， 则，， 所以，则. 故选：D. 8．B 【分析】根据分段函数的解析式，先求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得，所以. 故选：B. 9．BD 【分析】令可得出的值，令结合可得出的值. 【详解】已知函数的定义域为，， 、，， 令可得，解得， 令可得，又因为，故. 故选：BD. 10．ACD 【分析】令，代入计算，可判断A的正误；根据是定义域为的奇函数，可得，对x赋值2和4，计算即可判断B的正误；由条件，分析化简，根据对称性的性质，即可判断C、D的正误；即可得答案. 【详解】选项A：因为，， 令，则，故A正确； 选项B：因为是定义域为的奇函数， 所以，令，得， 令，得， 所以，故B错误； 选项C：因为， 所以， 所以的图象关于点中心对称，故C正确； 选项D：因为，即， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ACD 11．BD 【分析】利用特殊值检验，可判断A；根据基本不等式可得，判断B；利用B的结果可判断C；根据1的妙用，得，利用基本不等式求得最小值，判断D. 【详解】对于A，当时，，与矛盾，所以A错误. 对于B，因为，所以. 所以，所以. 当且仅当，即时，等号成立. 所以B正确. 对于C，，由B知，所以C错误. 对于D，. 其中，当且仅当，即时，等号成立. 所以D正确. 故选：BD. 12． 【分析】根据函数的奇偶性,通过赋值法即可求解. 【详解】由为奇函数可得. 令得，令得，令得. 为偶函数可得，令得， 因此， 所以，解得. 又，故，得， 故时，， 因此， 所以. 故答案为： 13． 【分析】由即可求解. 【详解】， 解得：， 即不等式的解集为， 故答案为： 14． 【分析】结合题意分、、三种情况讨论去掉绝对值符号可得. 【详解】若恒成立， 则当时，； 当时，； 当时，； 综上，实数的取值范围是 故答案为： 15．(1)单调递减区间为和，单调递增区间为 (2)（i）（0，1）；（ii）2 【分析】（1）根据题意，分类讨论，求得函数的解析式，结合反例函数与二次函数的性质，即可求解； （2）（i）根据题意，分别求得和时，方程的根，结合题意，列出不等式组，即可求解；（ii）由（i）知，根据不等式的性质，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，令，可得，即，解得， 所以当时，；当时，， 所以， 当时，，可得在单调递减； 当时，函数，可得在单调递减，在单调递增， 综上可得：函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. （2）解：（i）当时，令，可得； 当时，令，可得，解得或， 因为关于的方程有三个不同的实根，则满足，解得， 所以的取值范围为. （ii）由（i）可知， 令，所以， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）由扇形的面积公式建立方程，即可求出圆心角的大小； （2）由（1）知，代入条件得到的值，由平方和关系求得，然后由和差角公式求得，从而求得的长； （3）设，由直角三角形边角的关系分别表示出边长，然后表示出矩形的面积，利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【详解】（1）设扇形的圆心角，由扇形的面积，得， 所以. （2）由（1）知，，则， 由，得， 因此， 所以. （3）设，在中，，， 在中，， 则， 因此矩形的面积 ，由，得， 则当，即时，矩形的面积取得最大值. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，求得 ，由，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意得到，由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为菜园面积为平方米，可得，其中，则 则篱笆的总长为， 当且仅当时，即时，篱笆的总长最小. （2）因为篱笆的总长为米，可得，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值. 18．(1) (2)证明见解析 (3)单调递增，证明见解析． 【分析】（1）根据求解即可； （2）结合函数解析式特征，利用分离常数法求证即可； （3）根据函数单调性的定义求证即可. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 则，化简得， 则对恒成立，因为不恒为0， 所以，此时的定义域为，符合题意． （2）证明：由（1）知，且， 因为，所以，故． （3）在上单调递增.证明如下： 取，，且， 则， 当，，时，，，，， 所以，即，所以在上单调递增． 19．(1) (2) (3)12 【分析】（1）利用幂函数的定义和性质即可求解m的值； （2）分和，利用函数单调性解不等式； （3）利用基本不等式求函数的最小值，二次函数性质求出函数的最大值，则，进而求解. 【详解】（1）因为为幂函数，所以，且， 解得或. 又因为在上单调递减， 所以，所以，故. （2）因为为奇函数，在上单调递减，且当时，， 所以在上也单调递减，且当时，. ①当，即时，等价于，解得，且； ②当，即时，恒成立， 所以不等式的解集为. （3）由题意知，. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 因为， 所以当时，取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以，即. 因为，，所以， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为12. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期12月诊断性检测 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：田平 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．若正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．若，则称为函数的幸福点.设函数，则“”是“是的幸福点”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．若关于x 的不等式 的解集为，则（    ） A．44 B．55 C． D．66 4．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知是定义域为的偶函数，且对任意不相等的，，都有，记，则不等式的解集为（   ） A．（-2，3） B． C． D． 6．函数的大致图象为（　　） A．B． C． D． 7．已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 8．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的定义域为，，、，，则（   ） A． B． C． D． 10．若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的图象关于点中心对称 D．的图象关于直线对称 11．设，则（    ） A．a的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为90 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则 . 13．不等式的解集为 . 14．如图是抽象的城市路网，其中线段|AB|是欧式空间中定义的两点最短距离.但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过.在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，定义：，若，，则，又称“曼哈顿距离”.设,为“曼哈顿扩张距离”，它由个绝对值之和组成，其中为正整数.如：.若恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．定义已知函数 (1)求的单调区间． (2)已知是关于的方程的三个不同的实根． （i）求的取值范围； （ii）已知，求的最小值． 16．剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点.现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上. (1)求圆心角的大小（用弧度表示）； (2)设，且，求的长； (3)求矩形面积的最大值. 17．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，求的最小 18．已知是偶函数． (1)求的值． (2)证明：． (3)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 19．已知幂函数在上单调递减，其中，. (1)求的解析式. (2)解不等式. (3)记函数，，其中，.若对恒成立，求的最大值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高一年级12诊断测试 数学答题纸16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓 名 班 级 考 场 座位号 条形码粘贴处 贴条形码区域 注 意 事 项 1.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条。 填涂样例 正确填涂 $ 错误填涂 %^&* 缺考标记 ` 1 A B C D 6 A B C D 11 A B C D 2 A B C D 7 A B C D 3 A B C D 8 A B C D 4 A B C D 9 A B C D 5 A B C D 10 A B C D 客观题（请用2B铅笔填涂） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题（每题5分，共15分） 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.（17分） 18.（17分） 17.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $