精品解析：内蒙古包头市第八十一中学2026-2027学年高一上学期10月学情调研数学试卷

包八十一中高一年级10月学情调研 数学 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列对象能构成集合的是（ ） A. 高一年级所有优秀学生 B. 接近的所有小数 C. 所有正整数 D. 实数中比较大的正数 2. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 6 B. 12 C. D. 27 6. 设，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设全集，集合，则______． 13. 方程组解集为_________. 14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为________ 四．解答题（本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设是小于11的正整数，.求： （1）； （2）. 16. （1）已知集合，．设：，：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． （2）解关于的不等式 17. 已知命题：方程有两个不等负根；命题：方程无实根． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题中有且只有一个命题为真命题，求实数的取值范围． 18. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 19. 已知二次函数，若不等式的解集为，且方程有两个相等的实数根． （1）求函数的解析式； （2）若，成立，求实数的取值范围； （3）若不等式的解集中有且只有个整数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包八十一中高一年级10月学情调研 数学 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列对象能构成集合的是（ ） A. 高一年级所有优秀学生 B. 接近的所有小数 C. 所有正整数 D. 实数中比较大的正数 【答案】C 【解析】 【分析】集合的元素需满足确定性，确定性是指任意对象是否属于某个集合是明确可判断的，不存在模糊的判定标准. 对各选项逐一分析： 【详解】对于A，“高一年级所有优秀学生”中的“优秀”没有统一明确的判定标准，不满足元素的确定性，不能构成集合； 对于B，“接近0的所有小数”中的“接近0”没有明确的界定范围，不满足元素的确定性，不能构成集合； 对于C，“所有正整数”有明确的判定标准，即大于0的整数，满足集合的确定性，可构成集合； 对于D，“实数中比较大的正数”中的“比较大”没有明确的判定标准，不满足元素的确定性，不能构成集合. 2. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合韦恩图求出集合. 【详解】全集，集合，则， ，由韦恩图得. 故选：A 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是：，. 故选：C 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断充分性，举例说明判断必要性，进而求解. 【详解】由，得，所以充分性成立； 当时，满足，但不满足，所以必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 6 B. 12 C. D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 6. 设，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质或作差比较大小逐一判断即可. 【详解】对于A选项：由，则有，即，A选项正确； 对于B选项：由，则，，， 所以，则有，B选项不正确； 对于C选项：由，则，所以，即，C选项不正确； 对于D选项：因为，所以，即，D选项不正确. 故选：A 7. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集结果得出集合间的包含关系，由包含关系可得的不等关系，从而得的范围. 【详解】由题意， 在，中， ， ∴解得. 故选：C. 8. 命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由存在量词命题为真求得的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项. 【详解】由，可得在上能成立， 因，故得. 由题意知，是选项的范围的真子集即可. 故选：D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】ABD 【解析】 【分析】将四个选项逐一代入验证是否满足集合的三个特性即可. 【详解】当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，A错； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，B错； 当时，对应的值分别为，元素满足的互异性，能构成集合，C对； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，D错. 故选：ABD 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项，逐一求解. 【详解】对于A，不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得或， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AB. 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用基本不等式得到；B选项，平方后得到，故，B错误；C选项，将3替换为，变形得到，利用基本不等式求出最小值；D选项，化简得到，由基本不等式“1”的代换得到最小值 【详解】A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，， 故，故B错误. C选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项， ， 其中，，，故， 所以 ， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设全集，集合，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用集合的补集运算即可. 【详解】由全集可得：， 因为集合，所以， 故答案为：. 13. 方程组解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求解分式不等式与绝对值不等式，再取交集可得. 【详解】由 由得或，解得①； 又或，解得，或②. 由①②解得. 则不等式的解集为. 故答案为：. 14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【详解】关于的不等式的解集为， 当时，成立， 当时，需满足，解得， 综上，的取值范围为． 四．解答题（本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设是小于11的正整数，.求： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的文字描述写出集合，根据集合交集定义得出，根据集合补集的定义得出； （2）集合的多重运算可以先算括号里面的，再计算括号外面的. 【小问1详解】 ， ∴，； 【小问2详解】 ，∴， 又，∴. 16. （1）已知集合，．设：，：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． （2）解关于的不等式 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）化简集合，将条件转化为集合间的基本关系，写出不等式组，即可得答案； （2）分，，三种情况，分别求解不等式即可. 【详解】（1）不等式可化为， 所以不等式的解集为， 所以集合， 又，：，：，是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 即（等号不同时成立），解得， 所以实数的取值范围为. （2）方程的解为，， 函数的图象开口向上， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 已知命题：方程有两个不等负根；命题：方程无实根． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题中有且只有一个命题为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质得出命题为真时，实数的取值范围； （2）由判别式得出为真时，实数的取值范围，再讨论真假或假真，得出实数的取值范围. 【小问1详解】 若方程有两个不等的负根， 则，解得； 所以当命题为真时，实数的取值范围为. 【小问2详解】 若方程无实根，则，解得. 若真假时，或，解得； 若假真时，，解得. 综上，得. 18. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 【答案】（1）甲种灯笼26元，乙种灯笼35元 （2）①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大 【解析】 【分析】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，根据用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； ②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【小问1详解】 设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元， 所以  两边同乘得：， 解得：， 经检验：为该分式方程的解，且符合题意． 所以甲种灯笼元，乙种灯笼元； 【小问2详解】 ①由题意， 故与的函数解析式为  ②由①知，函数开口向下 函数在对称轴处有最大值． 因为销售部门规定其销售单价不高于每对元 所以，  所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大． 19. 已知二次函数，若不等式的解集为，且方程有两个相等的实数根． （1）求函数的解析式； （2）若，成立，求实数的取值范围； （3）若不等式的解集中有且只有个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的解集为，可得1,2即为方程的两根，根据韦达定理，可得的表达式，根据有两个相等的实数根，可得该方程，即可求得的值，即可得答案； （2）由题意得使成立，则只需，利用基本不等式，即可求得答案； （3）把，代入，即的解集中有且只有个整数，设的两根为，且，则，，再由根的分布求解． 【小问1详解】 因为的解集为， 所以1,2即为方程的两根， 由韦达定理得，且， 解得，， 又方程有两个相等的实数根， 所以，即， ，解得，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 由题意在上有解， 所以，则在上有解， 即， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以； 【小问3详解】 由（1）知，，则， 即的解集中有且只有个整数， 又函数的对称轴为， 设的两根为，且， 所以，， 则， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $