5.3 二元一次方程组的应用（六大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 分题型系统训练二元一次方程组应用，覆盖方案、行程等六大场景，以题载法构建从实际问题抽象等量关系的建模逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方案问题|3道|资源分配与最优方案选择|通过总价、数量关系抽象方程组，培养模型意识| |行程问题|3道|路程速度时间关系及变速运动|依据顺逆水、车长隧道等情境构建路程等式，发展抽象能力| |工程问题|3道|工作总量效率时间关联|结合晴天雨天、两队接力等场景建立工作量方程，强化应用意识| |数字问题|3道|数位关系与幻方规律|利用十位个位数字关系及幻和不变性列方程，提升推理意识| |年龄问题|3道|年龄差不变特性|基于不同时间点年龄倍数关系建模，培养数学眼光| |分配问题|3道|物资人员分配方案|通过成人小孩分面包、工人生产配套等情境构建方程组，落实应用意识|

5.3 二元一次方程组的应用 题型一 方案问题 1．勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 2．学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 3．根据以下素材，探索完成任务． 素材1“浙BA”的门票分为A，B，C三个档次，购买1张A档门票和2张B档门票需要64元；购买2张A档门票和3张B档门票需要110元；购买1张C档门票需要8元． 素材2某购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． (1)求A档和B档门票的单价． (2)某篮球俱乐部组织30名同学观看比赛． ①若购买A档门票8张、B档门票10张，其余都是C档门票，求俱乐部购买门票需要多少元? ②若该俱乐部购买门票共花了420元（三种门票都有购买），且赠送的C档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 题型二 行程问题 4．小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．某人乘船顺流从地前往地，用时小时；逆流从地返回地，用时小时．已知两地相距千米，假设水流速度恒定不变，船速不变，则船在静水中的航行速度为________． 6．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 题型三 工程问题 7．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 8．为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组__________． 9．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 题型四 数字问题 10．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 11．图①是一个三阶幻方，就是将已知的个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图②是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于________． 12．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 题型五 年龄问题 13．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 14．甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17．这四人中最大年龄与最小年龄的差是________． 15．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 题型六 分配问题 16．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 17．阳光学校的同学们为此次爱心助学活动组织了一场广场义演，售出单人票和双人票共1000张，筹得票款6950元．已知双人票每张8元，单人票每张5元，则单人票售出了________ 张． 18．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 二元一次方程组的应用 题型一 方案问题 1．勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． 设购买笔的数量为x，本子的数量为y，根据题意列出方程，其中x和y均为正整数，然后求解即可． 【详解】解：设购买笔的数量为x，本子的数量为y， ∵ 总价30元，笔单价3元，本子单价2元， ∴ ，x、y为正整数， ∴为整数， ∴ 为偶数，故x为偶数， ∵购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品， ∴ x的取值范围为且x为偶数， 当时，； 时，； 时，； 时，； ∴共有4种购买方案， 故选：B． 2．学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 【答案】 【分析】设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据两种购买方案列出方程组，推导得到未知数之间的关系，再计算实际购买后剩余的钱数即可． 【详解】解：设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据题意得： ， 得：， ∴， 得：， 整理得：， 将代入得： ， 整理得：， 实际购买后剩余钱数为： （元）． 3．根据以下素材，探索完成任务． 素材1“浙BA”的门票分为A，B，C三个档次，购买1张A档门票和2张B档门票需要64元；购买2张A档门票和3张B档门票需要110元；购买1张C档门票需要8元． 素材2某购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． (1)求A档和B档门票的单价． (2)某篮球俱乐部组织30名同学观看比赛． ①若购买A档门票8张、B档门票10张，其余都是C档门票，求俱乐部购买门票需要多少元? ②若该俱乐部购买门票共花了420元（三种门票都有购买），且赠送的C档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 【答案】(1)A档门票的单价是28元，B档门票的单价是18元 (2)①俱乐部购买门票需要436元；②设购买了张A档门票，张B档门票，则购买了张C档门票，根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， ∴共有两种购买方案， 方案1：购买10张A档门票，6张B档门票，4张C档门票； 方案2：购买5张A档门票，12张B档门票，8张C档门票． 【分析】（1）设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元，再根据票价相等列出方程组，求出解即可； （2）①根据（1）中的单价可得总票价；②设购买m张A档门票，n张B档门票，可知C档门票为张，再根据总价相等得出二元一次方程，并根据整数解讨论方案即可． 【详解】（1）解：设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：A档门票的单价是28元，B档门票的单价是18元； （2）解：①根据题意得： （元）． 答：俱乐部购买门票需要436元． ②略 题型二 行程问题 4．小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是根据相等关系列方程组；根据总路程和总时间的两个等量关系列方程组，核心是运用“时间=路程÷速度”的公式． 【详解】解：∵ 总路程为，乘车路程为，步行路程为， ∴ ， ∵ 总时间为，且时间=路程÷速度，汽车速度为，步行速度为， ∴ 乘车时间为，步行时间为， ∴ ， ∴方程组为， 故选：B． 5．某人乘船顺流从地前往地，用时小时；逆流从地返回地，用时小时．已知两地相距千米，假设水流速度恒定不变，船速不变，则船在静水中的航行速度为________． 【答案】 【分析】设水速为、船速为，由题意列方程组求解即可． 【详解】解：设水速为、船速为，则 ， 由①②得 解得． 6．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【答案】(1)车头与每节车厢的长度分别为4米，8米 (2)隧道的长度为120米 【分析】（1）设观光车的车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，根据观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设隧道的长度为a米，观光车身总长度为b米，根据观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，列出方程组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设车头与每节车厢的长度分别为米，米， 根据题意，得 解得 所以，车头与每节车厢的长度分别为4米，8米． （2）解：设隧道的长度为米，观光车总长为米，根据题意，得 ， 由得， 可得 所以，隧道的长度为120米． 题型三 工程问题 7．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 8．为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组__________． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和、两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 【详解】解：设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米， 依题意可得：． 故答案为：． 9．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 【答案】 甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天 【分析】根据两队总工作天数为10天，两队整治的长度为380米，设出未知数后列出二元一次方程组求解即可. 【详解】解：设甲工程队整治了天，乙工程队整治了天， 根据题意列方程组得， 解得， 答：甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天. 题型四 数字问题 10．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 【答案】C 【分析】根据题意可得，，，先求出，进而得到，解二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则，的值分别为，． 11．图①是一个三阶幻方，就是将已知的个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图②是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于________． 【答案】 【分析】根据幻方每一横行、每一竖列数字之和相等，设第二行第一列的数为，利用第一列与第二行的和相等建立等式，通过移项即可求得的值． 【详解】解：设第二行第一列的数为． 根据幻方的规则，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等． 第一列的数字之和等于第二行的数字之和， ． ． ． ． 12．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)35 (2)大18 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案． （2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案． （3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意， 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意，得 解得， ∴这个两位数是． （2）解：对调后的新两位数为53， 答：新两位数比原两位数大18． （3）解：不存在 理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b， 根据题意得 整理方程②： ，即 ． ∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8， 此时（不是个位数），不符合题意， 故不存在这样的两位数． 题型五 年龄问题 13．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 14．甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17．这四人中最大年龄与最小年龄的差是________． 【答案】 【分析】本题考查方程解应用题，读懂题意，准确用方程表示出题中相关数量关系是解决问题的关键． 设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为，将题中数量关系表示为，变形得到，从而确定这四人中最大年龄与最小年龄，作差变形即可得到答案． 【详解】解：设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为，则由题意可得 ， ， 比较上述四个式子可知，， ， 即， 解得， 这四人中最大年龄与最小年龄的差是， 故答案为：． 15．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 题型六 分配问题 16．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据面包总数为1000份，灾民人数为300位，列方程组即可． 【详解】解：设成人有x人，小孩有y人， 由题意可得，， 故选：A． 17．阳光学校的同学们为此次爱心助学活动组织了一场广场义演，售出单人票和双人票共1000张，筹得票款6950元．已知双人票每张8元，单人票每张5元，则单人票售出了________ 张． 【答案】350 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出方程组是解题的关键． 设单人票售出x张，双人票售出y张，根据总票数和总票款列方程组，求解即可． 【详解】解：设单人票售出x张，双人票售出y张， 由题意可得：， 解得：． 所以，单人票售出350张． 故答案为：350． 18．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 1 学科网（北京）股份有限公司 $