2026--2027学年鲁教版（五四制）九年级上册数学期中检测卷(第1-2章)

2026—2027学年第一学期期中检测卷 九年级数学（鲁教版五四制·新教材） 学校__________　班级__________　姓名__________　考号__________ 满分：120分　考试时间：120分钟 考试范围：第一章　直角三角形的边角关系　　第二章　二次函数 第Ⅰ卷（选择题　共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则tan A的值为 A. 　B. 　C. 　D. 　 2．计算 2sin30°+tan45°−cos60° 的结果是 A. 　B. 1　C. 　D. 2　 3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若 ，则 的值为（　　） A. 　B. 　C. 　D. 　 4．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则 的值为（　　） A. 　B. 　C. 　D. 　 5．若函数 y=(m−1)x^(m²+1)+2x−3 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为 A. 1　B. −1　C. ±1　D. 0　 6．函数 y=√(x−2) 中，自变量 x 的取值范围是 A. x＞2　B. x≥2　C. x≠2　D. x≤2　 7．将抛物线 y=2x² 先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的表达式为 A. 　B. 　C. 　D. 　 8．已知点A(−1, y₁)，B(2, y₂)，C(4, y₃)都在二次函数 y=−(x−2)²+3 的图象上，则 y₁，y₂，y₃ 的大小关系是 A. y₁＞y₂＞y₃　B. y₂＞y₃＞y₁　C. y₂＞y₁＞y₃　D. y₃＞y₂＞y₁　 9．抛物线 y=x²−2x−3 与 x 轴的交点坐标是 A. (−1, 0)和(3, 0)　B. (1, 0)和(−3, 0)　C. (−3, 0)和(1, 0)　D. (3, 0)和(1, 0)　 10．二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线 x=2，则下列结论正确的是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 当x＞2时，y随x的增大而增大　 11．如图，某商场自动扶梯 AB 的长为 12 m，且与地面所成的夹角为 30°，则乘该扶梯从点 B 到点 A 上升的高度为（　　） A. 6 m　B. 　C. 12 m　D. 　 12．二次函数 的图象如图所示，与 x 轴交于点(−3, 0)和(1, 0)，则下列结论正确的是（　　） A. 　B. 当x＜−1时，y随x的增大而减小　C. 　D. 　 第Ⅱ卷（非选择题　共84分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 13．计算：________。 14．在Rt△ABC中，∠C=90°，若 ，则 ________。 15．某山坡的坡比 ，则该山坡的坡角 α=________°。 16．抛物线 的最小值是________。 17．若抛物线 与 x 轴有且只有一个公共点，则 m=________。 18．如图，某学习小组在广场 A 处测得塔顶 C 的仰角为 45°，沿 DA 方向向塔前进 30 m 到达 B 处，测得塔顶 C 的仰角为 60°，则塔高 CD=________ m（结果保留根号）。 三、解答题：本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程。 19．（本题8分）计算： （1）；　　（2）。 20．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10。 （1）求 BC 的长；（2）求 和 的值。 21．（本题8分）已知二次函数的图象经过点 A(1, 0)，B(3, 0)，C(0, 1)。 （1）求这个二次函数的表达式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴。 22．（本题9分）已知二次函数 ，其图象如图所示。 （1）求该抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）写出抛物线与 x 轴交点的坐标； （3）当 y＜0 时，直接写出 x 的取值范围； （4）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？ 23．（本题9分）某水库大坝的横断面如图所示，迎水坡 AB 的坡比 ，坝高为 20 m。 （1）求迎水坡的坡角 α 的度数；（2）求迎水坡 AB 的长。 24．（本题10分）如图，用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙的长度为 18 m。设垂直于墙的一边长为 x m，苗圃园的面积为 S m²。 （1）当苗圃园的面积为 72 m² 时，求 x 的值； （2）当 x 为何值时，苗圃园的面积最大？最大面积是多少？ 25．（本题12分）如图，抛物线 与 x 轴交于 A(−1, 0)，B(3, 0) 两点，与 y 轴交于点 C(0, 3)，顶点为点 D。 （1）求该抛物线的表达式； （2）求顶点 D 的坐标及△BCD 的面积； （3）将该抛物线向左平移 n（n＞0）个单位长度后，所得新抛物线恰好经过点 C，求 n 的值。 参考答案与解析 一、选择题（每小题3分） 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 B C B B B B 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 第12题 B B A D A B 【1】B。tan A＝对边/邻边＝BC/AC＝，故选B。 【2】C。原式＝2×＋1−＝，故选C。 【3】B。∠A 与∠B 互余，cos B＝sin A＝，故选B。 【4】B。由勾股定理得 AC＝，化简得 AC＝＝3，sin A＝BC/AC＝＝，故选B。 【5】B。由二次函数定义得 m²+1＝2 且 m−1≠0，解得 m＝±1 且 m≠1，故 m＝−1，选B。 【6】B。由被开方数非负得 x−2≥0，即 x≥2，故选B。 【7】B。向右平移1个单位得 y＝2(x−1)²，再向下平移3个单位得 y＝2(x−1)²−3，故选B。 【8】B。y₁＝−(−1−2)²+3＝−6，y₂＝3，y₃＝−(4−2)²+3＝−1，所以 y₂＞y₃＞y₁，故选B。（也可利用对称轴 x＝2 与开口向下分析：B 在对称轴上位置最高；C 离对称轴2个单位，A 离3个单位，离轴越远位置越低。） 【9】A。令 y＝0，x²−2x−3＝0，(x−3)(x+1)＝0，x₁＝3，x₂＝−1，交点为(−1, 0)和(3, 0)，故选A。 【10】D。开口向上得 a＞0；对称轴 x＝−＝2＞0，得 b＝−4a＜0；与 y 轴交于负半轴得 c＜0。所以 abc＝(+)(−)(−)＞0，A错；2a−b＝2a+4a＝6a＞0，B错；图象与 x 轴有两个交点，b²−4ac＞0，C错；当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，D正确。故选D。 【11】A。上升高度＝AB·sin30°＝12×＝6(m)，故选A。 【12】B。开口向上得 a＞0；对称轴 x＝−＝−1，得 b＝2a＞0；与 y 轴交于负半轴得 c＝−3a＜0，所以 abc＝(+)(+)(−)＜0，A错；当 x＜−1 时，图象在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，B正确；当 x＝1 时 y＝0，即 a+b+c＝0，C错；图象与 x 轴有两个不同交点，b²−4ac＞0，D错。故选B。 二、填空题（每小题3分） 【13】1。解析：原式＝ 【14】。解析：设∠A的对边为5k，斜边为13k，由勾股定理得邻边为12k，故 tan A＝ 【15】30°。解析：tan α＝＝，所以 α＝30°。 【16】−1。解析：y＝(x−2)²−1，当 x＝2 时取最小值−1。 【17】1。解析：由题意得 Δ＝(−2)²−4m＝0，解得 m＝1。 【18】。解析：设 CD＝h。在Rt△ACD中，∠A＝45°，则 AD＝CD＝h；在Rt△BCD中，∠B＝60°，则 BD＝＝。由 AB＝AD−BD＝30 得 h−＝30，解得 h＝＝15(+1)＝45+15。 三、解答题 19．（1）原式＝2×−×＝−＝。 （2）原式＝。 20．（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC＝＝＝8。 （2）sin A＝＝＝；tan B＝＝＝。 21．（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1, 0)，B(3, 0)，可设 y＝a(x−1)(x−3)。将 C(0, 1) 代入，得 1＝a×(−1)×(−3)＝3a，所以 a＝。故 y＝(x−1)(x−3)＝。 （2）对称轴为直线 x＝＝2；当 x＝2 时，y＝。所以顶点坐标为(2, −1)。 22．（1）y＝x²−2x−3＝(x−1)²−4，所以顶点坐标为(1, −4)，对称轴为直线 x＝1。 （2）令 y＝0，得 x²−2x−3＝0，即 (x−3)(x+1)＝0，解得 x₁＝−1，x₂＝3，所以交点坐标为(−1, 0)和(3, 0)。 （3）由图象可知，当 y＜0 时，−1＜x＜3。 （4）因为 a＝1＞0，抛物线开口向上，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大，所以当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大。 23．（1）坡比 i＝铅直高度∶水平宽度＝1∶，所以 tan α＝＝，故 α＝30°。 （2）坝高（铅直高度）为 20 m，设水平宽度为 d，则 20∶d＝1∶，得 d＝20。由勾股定理得 AB＝＝＝＝40(m)。 24．（1）由题意得 S＝x(30−2x)。当 S＝72 时，x(30−2x)＝72，整理得 x²−15x+36＝0，解得 x₁＝3，x₂＝12。当 x＝3 时，平行于墙的一边长为 30−2×3＝24＞18，不合题意，舍去；当 x＝12 时，平行边长为 30−24＝6＜18，符合题意。所以 x＝12。 （2）S＝−2x²+30x＝−2(x−7.5)²+112.5。由墙长 18 m 得 30−2x≤18，即 x≥6；又 30−2x＞0，得 x＜15，所以 6≤x＜15。因为 x＝7.5 在此范围内，所以当 x＝7.5 时，S 取最大值 112.5。即当垂直于墙的边长为 7.5 m 时，苗圃园面积最大，最大面积为 112.5 m²。 25．（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(−1, 0)，B(3, 0)，可设 y＝a(x+1)(x−3)。将 C(0, 3) 代入，得 3＝a×1×(−3)＝−3a，所以 a＝−1。故 y＝−(x+1)(x−3)＝−x²+2x+3。 （2）y＝−x²+2x+3＝−(x−1)²+4，所以顶点 D(1, 4)。连接 OD。因为 S△OBC＝，S△ODC＝，S△OBD＝，且点 D 与点 O 在直线 BC 的两侧，所以 S△BCD＝S△OBD+S△ODC−S△OBC＝6+−＝3。 （3）将抛物线 y＝−x²+2x+3 向左平移 n 个单位长度，得 y＝−(x+n)²+2(x+n)+3。因为新抛物线经过点 C(0, 3)，所以 −n²+2n+3＝3，即 n(n−2)＝0，解得 n₁＝0（舍去），n₂＝2。所以 n＝2。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $