专题06 期中复习高频与压轴29类题型归纳（考试范围：第25章～第27章 ）-2026-2027学年人教版九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题06 期中复习高频与压轴29类题型归纳 （考试范围：第25章-第27章 ） 【新教材人教版】 题型归纳 【选填高频】 2 【题型 1元二次方程的识别、一般形式、二次项系数陷阱】 2 【题型 2一元二次方程的解(根)的概念，代入求值】 4 【题型 3直接开平方法、配方法基础变形;配方求最值】 5 【题型 4根的判别式·△判断根的情况】 6 【题型 5韦达定理(根与系数关系)基础 求值】 7 【题型 6二次函数识别、解析式形式】 8 【题型 7二次函数开口、对称轴、顶点、增减性判断】 9 【题型8二次函数与坐标轴交点基础计算】 11 【题型 9反比例函数识别、k的几何意义】 12 【题型 10反比例函数增减性、点在图像上代入求值 15 【选填压轴】 18 【题型 11元二次方程含参判别式、参数取值范围】 18 【题型 12韦达定理变式、整体代换】 19 【题型 13二次函数图像信息判断题】 20 【题型 14二次函数平移、对称变换解析式求解】 25 【题型 15二次函数比较函数值大小】 26 【题型 16反比例函数k几何意义综合】 27 【题型 17二次函数与一元二次方程、不等式结合小题】 31 【题型 18函数综合:二次函数·+反比例函数图像共存判断】 32 【解答高频】， 35 【题型 19一元二次方程解方程】 35 【题型 20一元二次方程增长率、面积应用题】 37 【题型 21韦达定理基础解答】 40 【题型 22二次函数求解析式及性质】 43 【题型 23反比例与一次函数基础联立】 46 【解答压轴】 50 【题型 24一元二次方程含参综合】 50 【题型 25二次函数实际应用综合】 52 【题型 26二次函数与几何综合:线段长、面积最值】 58 【题型 27二次函数存在性问题】 61 【题型 28反比例函数与几何综合】 70 【题型 29函数综合探究:交点、不等式取值范围、动点探究】 75 【选填高频】 【题型 1元二次方程的识别、一般形式、二次项系数陷阱】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确一元二次方程的标准形式和各项要求即可求解． 【详解】选项A：方程，只含有一个未知数，且的最高次数是，同时二次项系数， 符合一元二次方程的定义， 选项B：方程中含有两个未知数和，不满足一元二次方程只含有一个未知数的条件， 所以它不是一元二次方程， 选项C：方程是分式方程，因为方程中含有分式，不满足一元二次方程是整式方程的要求， 所以它不是一元二次方程， 选项D：将方程展开，可得，未知数的最高次数是， 不满足一元二次方程未知数最高次数是的条件， 所以它不是一元二次方程． 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．若方程是关于的一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∴， 又∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 【题型 2一元二次方程的解(根)的概念，代入求值】 4．若是方程的一个根，则（     ） A． B．2027 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】由方程的根的定义得到的值，整体代入所求代数式计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 5．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2024 D．2021 【答案】A 【分析】先利用根的定义得到关于m的关系式，再结合根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】∵ 是方程的根， 代入方程得： ，整理得 ． ∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． ∴． 6．若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为（   ） A．9 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中得到关于b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故选：A． 【题型 3直接开平方法、配方法基础变形;配方求最值】 7．用配方法解方程 ，下列配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：移项得，两边同加 4 得，即． 8．已知菱形的两条对角线的长刚好为一元二次方程的两个根，则菱形的面积为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系求得两条对角线的乘积，代入菱形面积公式计算即可． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系得， ∴菱形的面积为． 9．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 【题型 4根的判别式·△判断根的情况】 10．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】使用判别式进行判断即可． 【详解】因为， 所以方程没有实数根． 11．定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】由新定义运算可得，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程无实数根． 12．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【题型 5韦达定理(根与系数关系)基础 求值】 13．已知一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ． 14．已知一元二次方程的两根分别为a，b，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握两根之积的计算方法是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接计算两根之积． 【详解】解：∵ 一元二次方程， ∴ ， 故选：D． 15．设、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．2024 C．2023 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，先把代入，得出，然后结合，得出，即可作答． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 则， 故选：A． 【题型 6二次函数识别、解析式形式】 16．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是一次函数，不符合． B．的自变量最高次数为3，不符合． C．是二次函数，符合． D．含分式，不是整式函数，不符合． 17．二次函数的二次项系数是（     ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的基本概念，解题的关键在于明确二次函数一般式中各项系数的定义． 【详解】解：在二次函数中，可得，，， 所以该二次函数的二次项系数是． 故选：A． 18．关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，， B．，4，1 C．2，，1 D．，4， 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，1． 故选：B． 【题型 7二次函数开口、对称轴、顶点、增减性判断】 19．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线为顶点式， ∴顶点坐标为． 20．对于二次函数 ，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．函数的最大值是 3 D．当时，y 随 x 的增大而增大 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，，开口向下，选项A错误，对称轴是直线，选项B错误，顶点纵坐标为 3，故最大值为 3，选项C正确；当时， y 随 x 增大而减小，选项D错误． 21．下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质． 根据表中数据，得到函数的解析式，根据二次函数的性质逐项判断选项正误即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为；，该二次函数的对称轴为直线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；函数的最小值为； 故A，B，C错误；D正确． 故选：D． 22．已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，二次函数图象的性质，先根据抛物线的顶点坐标和确定二次函数的解析式，再分别将这三个点的坐标代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，且， ∴二次函数为， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 故选：D． 【题型8二次函数与坐标轴交点基础计算】 23．二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，求抛物线对称轴，把求关于x的一元二次方程的解转化为求二次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性得到二次函数图象与x轴的另外一个交点坐标，从而得到的解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且函数图象与x轴交于点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为横坐标满足，解得， ∴方程的解为，， 故选：C． 24．抛物线与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求抛物线与y轴的交点坐标，求出当时的的值即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：B． 25．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D．0 【答案】A 【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得． 26．如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的实数根为． 故答案为：． 【题型 9反比例函数识别、k的几何意义】 27．下列各式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义．反比例函数定义为形如的函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是反比例函数，故该选项不符合题意； B、是反比例函数，故该选项符合题意； C、不是y是x的反比例函数，故该选项不符合题意； D、不是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 28．反比例函数的图象经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】反比例函数的图象位置取决于比例系数k的符号，当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象经过第二、第四象限． 29．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据的面积为，可得，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ， 解得：． 30．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】连接，先利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点、垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 31．如图，点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 【题型 10反比例函数增减性、点在图像上代入求值 32．反比例函数的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把每个选项中的坐标分别代入函数解析式，分别验证即可． 【详解】解：由得， A选项：，故A不符合题意； B选项：，故B符合题意； C选项：，故C不符合题意； D选项：，故D不符合题意． 33.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了“菱形的性质”“反比例函数上的点坐标特征”“坐标系中两点之间的距离”，通过图形性质找到点坐标之间的关系是解题关键． 根据点A在反比例函数上，利用横坐标得到点A的坐标，再计算得到的值，根据菱形的性质，推出，，从而得到点B的坐标． 【详解】解：代入，得， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 由题意，得在x轴上， ∴轴， ， ∴． 故选：B ． 34．关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 反比例函数，，图象位于第一、三象限，每个象限内，y随x的增大而减小，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴的图象位于第一、三象限内，图象与坐标轴不相交，每个象限内，y随x的增大而减小，当时，，故B、C、D正确，A错误， 故选：A． 35.已知反比例函数的图象在各自的象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于时，函数图象在第一、三象限，且在各自象限内随的增大而减小，得出，然后求解即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数在各自象限内随的增大而减小， ∴， ∴， 故选：． 36．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象过二，四象限， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 【选填压轴】 【题型 11元二次方程含参判别式、参数取值范围】 37．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数非零、根的判别式非负两个条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，解得， 综上，的取值范围是且． 38．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为________． 【答案】 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于，据此列方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 39．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 【答案】 【分析】考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零．首先确保方程为一元二次方程，即二次项系数，再计算判别式，并分析其恒正性即可． 【详解】解：方程为一元二次方程，因此二次项系数，解得， 判别式， 对于二次式，其判别式为，且二次项系数开口向上，因此恒成立， 当时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：． 【题型 12韦达定理变式、整体代换】 40.若，是一元二次方程的两个根，则______ ． 【答案】 【详解】解： ，是一元二次方程的两个根， ，， ． 41．设、是方程的两个实数根，则________． 【答案】21 【分析】首先根据根与系数的关系得到，，然后将原式利用完全平方公式变形后代入求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 42．已知是方程的两个实数根，则代数式___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知一元二次方程的解的定义及根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算． 【详解】解：∵ 是方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ， 代入得：． 故答案为：． 43．若关于的一元二次方程的两个根是，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根是 ∴， ∴， 故答案为：2． 【题型 13二次函数图像信息判断题】 44．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ②∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； ③∵时，， ∴，③正确． 45．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ； 若，为函数图象上的两点，则； 对于任意实数t，总有； 若，则有； 若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有2个， 其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下， ∴； 抛物线的对称轴为直线， ； 抛物线与y轴的交点在x轴上方， ， ，故①正确； ，在对称轴右侧，， ，故②错误； 当时，y最大，即对于任意实数t有， ，故③正确； ， ， 若，则， ，故④正确； 抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是， 抛物线与x轴的另个交点是， 把代入得，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 解得，， ， 顶点坐标为， 由图象得当时，，其中x为整数时，，1，2， 又与时，关于直线轴对称， 当时，直线恰好过抛物线顶点． 所以p值可以有2个．故⑤正确； 故选：C． 46．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，下列命题中；①；②；③对于任意实数，都有；④，是抛物线上的两个点，若，且，则真命题的序号是（   ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数的性质可得，可判断结论①和结论②；由时，函数值最大可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①正确，②错误； ∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为， ∴不论取何值，都有， ∴，故③正确； ∵对称轴是直线，且， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∵二次函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴，故④错误； 综上所述，正确的选项是①③． 故选：D． 47．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 【答案】A 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系，可判断①正确；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，可判断②不正确；利用二次函数的增减性可判断③不正确；根据当时，抛物线取得最大值，可判断④正确；把代入，可判断⑤正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过，即，故②不正确； ∵，且抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值，， 当时，，且， ∴，故④正确； 把代入得，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是①④⑤． 【题型 14二次函数平移、对称变换解析式求解】 48．将抛物线沿x轴翻折，得到的抛物线解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：沿轴翻折：不变，变成， 则得到． ∴抛物线沿x轴翻折，得到的抛物线解析式为． 49．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【详解】解：由题意得， 平移后的抛物线为． 50．将抛物线绕顶点顺时针旋转，所得抛物线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的旋转问题． 抛物线绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反． 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为，二次项系数． 绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反， 故二次项系数为，顶点坐标为， 所得抛物线解析式为． 故答案为：． 【题型 15二次函数比较函数值大小】 51．若为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数，． ∴对称轴为直线，抛物线开口向上． ∵三点到对称轴的距离分别为，，，且． ∴． 52．已知二次函数（m为常数）的图象经过点，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D．与m的值有关 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二次函数开口向上，对称轴为，比较点A和点B到对称轴的距离，距离越大函数值越大． 【详解】∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为， 点A横坐标，到对称轴距离为； 点B横坐标，到对称轴距离为， ∵， ∴点B离对称轴更远，函数值更大，即， ∴． 故选：B． 53．点在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握性质是解题的关键．根据二次函数的增减性，计算点与对称轴的距离，解答即可 【详解】解：根据题意，二次函数为，开口向下，对称轴为， 故离对称轴越远处的点的函数值越小， 又，，， 距离由近到远依次为、、， 故， 故选：D． 【题型 16反比例函数k几何意义综合】 54．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 55．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质．先表示，得到，，根据矩形的面积为8，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点E的横坐标为6，点D的纵坐标为3， ∴点E的纵坐标为，点D的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为8， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 56．如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于两点，交双曲线于点，连接，若的面积为2．则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、与中点有关的三角形的面积的计算，作轴于，则，求出，得出点为的中点，再由得出点是的中点，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图，作轴于，则， ， 交双曲线于点， ， ， ， 点为的中点， ， 点是的中点， ， 函数的图象经过点，且轴，函数图象在第一象限， ， 故选：C． 57．如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 【题型 17二次函数与一元二次方程、不等式结合小题】 58．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 59．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据二次函数的对称性得出图象与轴的另一个交点坐标为，结合图象找出图象在轴上方时对应的的取值范围即可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下，， ∴． 故选：C． 60.如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于点，，则的解集是___________． 【答案】 【分析】根据图像，找出二次函数图像在一次函数图像下方的部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图形可得当时，二次函数图像在一次函数图像下方，即， 所以，使成立的的取值范围是． 【题型 18函数综合:二次函数·+反比例函数图像共存判断】 61．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：A ． 62．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系，掌握相关知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴交点在负半轴，可得，，，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴交点在负半轴， ，，， 一次函数的图象从左到右上升，与y轴交于正半轴，反比例函数的图象分布于一、三象限， 选项B符合题目要求． 故选：B． 63．函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【解答高频】， 【题型 19一元二次方程解方程】 64．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 （2）解： 或 65．按要求解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 66．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 则或， 所以； （2）解：， ， ， 则或， 所以． 【题型 20一元二次方程增长率、面积应用题】 67．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天的销售量为20件．通过市场调查发现，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为． (2)售价应降低元． 【分析】（1）根据月平均增长率相同的条件，结合12月与2月的销售量列一元二次方程求解； （2）根据总利润=单件利润×销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取符合题意的解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为． ∵2024年12月销售量为5万件，近三个月月平均增长率相同，2025年2月销售量为7.2万件． ∴． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元． ∵进价为每件60元，原售价为每件100元，原每天销量为20件，售价每降价10元每天可多售出20件，每天销售获利1200元． ∴单件利润为元，每天销售量为件． ∴． 整理得． 解得，． ∵要求尽量减少库存，即每天销售量尽可能大． ∴选择降价幅度更大的． 答：售价应降低元． 68．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是， (1)求小路的宽； (2)若在小路上铺一层沥青，每平方米沥青路面的造价为20元，请问小路铺好沥青需要花费多少元． 【答案】(1)小路的宽是 (2)元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． （2）根据题意得出小路的面积为：平方米，然后乘以单价即可得出结果． 【详解】（1）解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． （2）根据题意得：小路的面积为：平方米， ∴需要花费：元． 69．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】(1) (2)的值为8 (3) 苗圃的面积不可以达到．理由如下： 若可以达到，则， 化简得：， ，无解， ∴苗圃的面积不可以达到． 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据木栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 【详解】（1）解：依据题意，， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； （3）略 70．2022年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． (1)求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ (2)2023年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2023年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2022年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2023年一季度销售总利润为1500万元，求a 的值．（销售利润销售收入总成本） 【答案】(1)每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是800元，50元，30元． (2) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键，注意单位的统一． （1）设人力成本为x元，则材料成本为元，其他成本为元，根据总成本合计 880 元，列出方程，求解即可； （2）先求出每件配件的成本为万元，再根据销售利润销售收入总成本，列出关于a的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设人力成本为x元，则材料成本为元，其他成本为元， 根据题意，得， 解得：， ∴， ， 答：每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是800元，50元，30元． （2）解：每件配件的成本为：（元）（万元）； 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴a 的值为． 【题型 21韦达定理基础解答】 71．关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）已知方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式求解，验证符合第一问的取值范围即可得到结果. 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，其中，，， 代入得 ， 解得； （2）解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴，解得. ∵，符合的取值范围， ∴的值为. 72．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 73．已知关于x的方程． (1)该方程有两个不相等的实数根，求m的范围； (2)若该方程有一个根，求m的值及另一个根． 【答案】(1) (2)，另一个根为 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解关于x的方程有两个不相等的实数根，得，再求出m的范围，即可作答． （2）记另一个根为，结合该方程有一个根，以及根与系数的关系，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴ 解得． （2）解：依题意，记另一个根为， ∵关于x的方程有一个根， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【题型 22二次函数求解析式及性质】 74．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)说出这个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； 【答案】(1)二次函数解析式为 (2)图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可； （2）根据二次函数解析式写成顶点式，根据性质得出结论； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入， 则， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数解析式为， ∵， ∴这个函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 75．如图，已知二次函数过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； 【答案】(1) (2)平移后函数的解析式为，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数图像的性质、待定系数法、二次函数图象的平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）根据平移方式将平移后的解析式写出，用配方法即可求出其顶点坐标． 【详解】（1）解：将，代入二次函数解析式，有： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：平移后的函数解析式为： ， 化简得：， ， ∴顶点坐标为：； 综上，平移后函数的解析式为，顶点坐标为． 76．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3)最大值3， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为． 【分析】（1），点为函数图象与轴的交点，将函数解析式按照交点式写出化简即可； （2）将一般式化为顶点式即可； （3）借助（2）中的对称轴，根据时，函数值随自变量的变化情况求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． （2）， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）略 77．已知二次函数． (1)列表如下，请完成表格中的填空并画出二次函数的图象； … … … … (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) 解：列表： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 描点、连线，如图抛物线为所求， ； (2) 【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想答题． （1）根据函数解析式找出对应的x，y的值列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）根据图象可得． 【详解】（1）略 （2）解：根据图象可得：当时，． 【题型 23反比例与一次函数基础联立】 78．如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当的面积为3时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可； （1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解； （2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴； ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：对于一次函数，令，则； ∴； 一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：； 对于一次函数，令，则； ∴； ∴； 解得： 79．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)6 (3)或 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法，根据图形直观得出不等式的解集是数形结合数学的实际应用． （1）把代入，可求出反比例函数的关系式，求出点B坐标，进而确定一次函数关系式； （2）先求得点C的坐标，利用即可求解； （3）根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案． 【详解】（1）解：把代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入， 得：， ∴． 把，代入，可得， ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图： 令，则， ∴， ∵ ； （3）当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴当时，或． 80．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数为； (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键． （1）先根据一次函数的解析式确定m、n的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）直接根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解： 一次函数的图象过，， ，， ，， 点坐标为两点点坐标为两点， 把代入，求得， 反比例函数为； （2）解：观察图象，若，则的取值范围是或． 【解答压轴】 【题型 24一元二次方程含参综合】 81．关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)的值为或 【分析】（1）计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到，，结合的条件，得到关于的一元二次方程，解方程即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∴的值为或． 82．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程都有实数根； (2)若方程的两根分别为，，且满足，求的值． 【答案】(1)证明：对于一元二次方程，其中，，， ∴ ． ∵无论为何实数，， ∴，即． ∴无论为何实数，方程都有实数根． (2)． 【分析】（1）写出一元二次方程的系数，计算根的判别式，将配方，利用平方的非负性证明，从而证得方程总有实数根． （2）根据一元二次方程根与系数的关系，表示出两根之和与两根之积，代入，列方程求解的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程两根为， ， ， ， 解得． 83．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，此方程总有实数根； (2)若为整数，且方程的一个根小于，求的取值范围． 【答案】(1)证明：一元二次方程， 根据根的判别式得， ， ∵恒成立， ∴此方程总有实数根． (2)且为整数． 【分析】（1）一元二次方程根的判别式判断即可． （2）利用因式分解方法解方程，再根据方程的一个根小于判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程， ， ， ， ， 或， 解得，， ∵方程的一个根小于2， ∴ ， ∴且m为整数． 【题型 25二次函数实际应用综合】 84．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息． 信息：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)模型建立：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． (3)方案设计：A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案并求最大利润． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； (2)； (3)制作A品50件，B品250件时，总成本不超过1300元且总利润最大，最大利润为元． 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1300元， 答：制作A品50件，B品250件时，总成本不超过1300元且总利润最大，最大利润为元． 85．“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． (1)以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： (2)花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意可把，代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； （2）解：由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，； 当时，； ∴的取值范围为． 86．学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 【答案】(1) (2) (3)实验田的最大面积为平方米 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为，则，再根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米，故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴； （3）解：设实验田面积为， 则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最大值，此时，符合的要求， ∴代入，得， ∴实验田的最大面积为平方米． 87．乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 【答案】(1)40， (2)是 【分析】（1）依据题意，由抛物线经过点和，故抛物线的对称轴为直线，由表可知当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度即为最大值，则可设抛物线为，然后代入，求出a，进而可以得解； （2）根据第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，令，求得水平距离；然后令，求得第二次的水平距离，两次比较即可得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度为最大值，最大值为40； ∴设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴ 解得， ∴函数关系式为； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， 由题意得，令 解得，（舍去）， ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球是落在球桌内． 【题型 26二次函数与几何综合:线段长、面积最值】 88．如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接．点P是抛物线在y轴右侧部分上的一个动点(不与点B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M，交直线于点N． (1)求A，B，C三点的坐标及直线的解析式； (2)设点P的横坐标为，用含m的式子表示线段的长，并求出的最大值； (3)是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出此时点P的坐标及最大面积． 【答案】(1)，，， (2)，最大值为1 (3)存在，，最大面积为1 【分析】（1）分别令，求出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）根据题意表示出点P坐标和点N坐标，表示出线段的长，再运用二次函数最值即可求得答案； （3）根据题意表示出，再运用二次函数最值即可求得答案； 【详解】（1）解：令得，解得， ∴， 令得，故， 设直线为， 把代入得， 解得， 故直线的解析式为． （2）解：根据题意可得，点P坐标为，点N坐标为， ∴， ∴当时最大，最大值为1． （3）解：把沿分割，其水平宽为， ∴． 由（2）知当时S最大，最大值为1， 此时点P的坐标为． 89.如图a，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点p是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为 ； (3)如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求的最大值，并直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为；的面积为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点B坐标，进而求出线段的长；，连接，由抛物线的对称性可得，则可推出当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）求出直线解析式为；设，则，则，据此求出的最大值，再根据求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴的周长， ∴当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的周长的最小值为：， 故答案为：； （3）解：设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴ ， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴此时 ． 【题型 27二次函数存在性问题】 90．如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标及顶点D的坐标； (2)求的面积；在抛物线上是否存在点P(不与点C重合)，使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标． 【答案】(1)，，， (2)面积为3；存在， 【分析】（1）分别令，，求出A，B，C三点的坐标，将抛物线解析式转化为顶点式，即可求出顶点D的坐标； （2）根据与面积相等，得出，令，求解即可． 【详解】（1）解：令得， 解得或， ∴，， 令得， ∴， ∵， ∴顶点； （2）解：∵，，， ∴，点C到x轴距离为3， ∴． ∵与面积相等， ∴, ∴， 由（1）知抛物线最小值为， ∴， 令得， 解得或． ∵对应点C， ∴． 91．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 92．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  93.（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)或 (4)存在，点M的坐标为，，， 【分析】（1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，     令， ． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，     解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求解、轴对称以及等腰三角形的性质，本题关键在于：①设抛物线解析式为交点式求解更为快捷；②要求两线段之和最小，一般可以结合轴对称分析；③分类讨论，将两边长相等转化为两边长的平方相等求解更为简便，需要注意的是要对所求的m值验证，进行取舍． 【题型 28反比例函数与几何综合】 94．如图1，已知反比例函数的图象与矩形的边分别交于点与点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)连接交反比例函数的图象于点，若，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作轴的平行线交于点，连接．记与四边形的面积分别为与，求证：为定值． 【答案】(1)该反比例函数的表达式为； (2)点的坐标为； (3) 证明：设直线的解析式为， ∵四边形是矩形，点在上， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴四边形为梯形， ∴，， ∴， ∴为定值． 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，矩形的性质，反比例函数与几何综合． （1）把代入，可得，即可得反比例函数的表达式； （2）由矩形的性质，结合点，可得，从而可得，代入反比例函数的表达式，可得，可得，从而可得，代入反比例函数的表达式，可得，即可得点的坐标； （3）设直线的解析式为，由矩形的性质，反比例函数的解析式，结合已知可得，，，可得四边形为梯形，代入对应的面积公式，可得，，计算，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴该反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点在上， ∴， 设， ∵， ∴点是的中点， ∴，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． （3）略 95．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 96．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．    (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据，可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘2即为，解析式可得； （2）根据点的坐标求出直线的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可． 【详解】（1）解：∵，的面积是6， ∴， ∴， ∵图象在第二象限， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）∵点，，在的图象上， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴交x轴于点C， ∴， ∴， 设直线上在第一象限的点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式． 【题型 29函数综合探究:交点、不等式取值范围、动点探究】 97．在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）与轴交于点，，与轴交于点． (1)直接写出，的值，即___________，___________； (2)如图1，直线是抛物线的对称轴，点为直线的右侧抛物线上的动点，连接，过点作，交直线于点．若，点的横坐标为，求的值； (3)如图2，将抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新的函数图象记为． ①在平面直角坐标系中，求新函数图象对应的函数解析式； ②坐标平面内另有平行于轴的直线，其表达式为，其中为常数．请结合直线与新图象的不同位置关系，探究方程 的根的个数． 【答案】(1)， (2)或 (3)①抛物线解析式为： ；②当或时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有三个不相等的实数根；当时，方程有四个不相等的实数根；当时，方程没有实数根 【分析】（1）将 和代入解析式即可求解； （2）过点作轴于点，过点作于，可证，则，设，点在直线上，即，结合点在直线的右侧，所以，求解即可； （3）①当时，，因为这一部分图象不变，所以解析式为，当或时，，因为翻折后函数值变为原来的相反数，所以； ②方程的根的个数即直线与图象的交点个数，结合图象讨论的取值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（，是常数）经过点和， ∴将 和代入解析式（，是常数）中， 得 ， 解得 ； （2）∵，， ∴抛物线为，对称轴为直线， ∵点为抛物线上的动点， ∴设， 过点作轴于点，过点作于，如图： ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵点在直线上，， ∴， 即或， 解得：或， ∵点在直线的右侧， ∴， ∴或； （3）①已知原抛物线的解析式为， ∵当时，， ∴图象不变，即抛物线的解析式为， ∵当或时，， ∴抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方， ∵翻折后函数值变为原来的相反数， ∴， ∴新函数图象对应的函数解析式 ； ②方程的根的个数即直线与图象的交点个数， ∵当时，抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为， 如图： 当时，无交点，0个根； 当时，有2个交点，2个根； 当时，有4个交点，共4个根； 当时，有3个交点，共3个根； 当时，有2个交点，共2个根； 综上所述：当或时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有三个不相等的实数根；当时，方程有四个不相等的实数根；当时，方程没有实数根． 98．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点B． (1) ； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)若点M是直线上一动点（点M不与A、B重合），过点M作线段（点N在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）将点B坐标代入即可得解； （2）先求出面积，可得面积，进而可得，据此求解即可； （3）当点N落在抛物线上时，则为临界值，求出t的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：将代入得： ，解得， 故答案为：； （2）解：由（1）知， ∴抛物线解析式为， 令，得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，即， 解得或4， 此时点P的坐标为或； 当时，即， 整理得， 解得， 此时点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或； （3）解：设直线解析式为， 把点，代入得： ，解得： ∴直线解析式为， 设，则， 当点N落在抛物线上时，则， ∴， ∴当时，则， 解得t或， ∵线段与抛物线有交点， ∴或， 即点M的横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 99．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)能，或 (3)点的坐标为，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则， ，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就看得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，当时，当时，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能． 将代入中， 得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ∴，， 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，直线能否把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵，， ∴，，， 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，，此时点的坐标为或； 综上所述，满足条件的点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 100．如图，在中，，动点P从点A出发沿射线方向以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q到达C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为，的面积为y． (1)当时，求的面积； (2)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）； (3)在给定的直角坐标系内画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质． 【答案】(1) (2) (3) 图象如下： 随着的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）当时，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，当时，，，，则，当时，，则，然后作答即可； （3）根据函数表达式画图象，然后根据图象写性质即可． 【详解】（1）解，当时，，， ∴ ∴， ∴的面积为； （2）解：由题意知，当时，，，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，； （3）解：由图象可知，随着的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 期中复习高频与压轴29类题型归纳 （考试范围：第25章-第27章 ） 【新教材人教版】 题型归纳 【选填高频】 2 【题型 1一元二次方程的识别、一般形式、二次项系数陷阱】 2 【题型 2一元二次方程的解(根)的概念，代入求值】 3 【题型 3直接开平方法、配方法基础变形;配方求最值】 3 【题型 4根的判别式·△判断根的情况】 4 【题型 5韦达定理(根与系数关系)基础 求值】 4 【题型 6二次函数识别、解析式形式】 4 【题型 7二次函数开口、对称轴、顶点、增减性判断】 5 【题型8二次函数与坐标轴交点基础计算】 5 【题型 9反比例函数识别、k的几何意义】 6 【题型 10反比例函数增减性、点在图像上代入求值 7 【选填压轴】 8 【题型 11元二次方程含参判别式、参数取值范围】 8 【题型 12韦达定理变式、整体代换】 8 【题型 13二次函数图像信息判断题】 9 【题型 14二次函数平移、对称变换解析式求解】 10 【题型 15二次函数比较函数值大小】 10 【题型 16反比例函数k几何意义综合】 11 【题型 17二次函数与一元二次方程、不等式结合小题】 12 【题型 18函数综合:二次函数·+反比例函数图像共存判断】 13 【解答高频】 14 【题型 19一元二次方程解方程】 14 【题型 20一元二次方程增长率、面积应用题】 15 【题型 21韦达定理基础解答】 17 【题型 22二次函数求解析式及性质】 18 【题型 23反比例与一次函数基础联立】 19 【解答压轴】 21 【颖型 24一元二次方程含参综合】 21 【题型 25二次函数实际应用综合】 22 【题型 26二次函数与几何综合:线段长、面积最值】 24 【题型 27二次函数存在性问题】 25 【题型 28反比例函数与几何综合】 28 【题型 29函数综合探究:交点、不等式取值范围、动点探究】 29 【选填高频】 【题型 1一元二次方程的识别、一般形式、二次项系数陷阱】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 3．若方程是关于的一元二次方程，则的值为_____． 【题型 2一元二次方程的解(根)的概念，代入求值】 4．若是方程的一个根，则（     ） A． B．2027 C．2025 D．2026 5．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2024 D．2021 6．若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为（   ） A．9 B． C． D．3 【题型 3直接开平方法、配方法基础变形;配方求最值】 7．用配方法解方程 ，下列配方正确的是（     ） A． B． C． D． 8．已知菱形的两条对角线的长刚好为一元二次方程的两个根，则菱形的面积为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【题型 4根的判别式·△判断根的情况】 10．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 11．定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 12．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【题型 5韦达定理(根与系数关系)基础 求值】 13．已知一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．2 B． C．8 D． 14．已知一元二次方程的两根分别为a，b，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 15．设、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．2024 C．2023 D． 【题型 6二次函数识别、解析式形式】 16．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 17．二次函数的二次项系数是（     ） A．3 B．2 C． D．1 18．关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，， B．，4，1 C．2，，1 D．，4， 【题型 7二次函数开口、对称轴、顶点、增减性判断】 19．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 20．对于二次函数 ，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．函数的最大值是 3 D．当时，y 随 x 的增大而增大 21．下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 22．已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【题型8二次函数与坐标轴交点基础计算】 23．二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 24．抛物线与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 25．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D．0 26．如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ． 【题型 9反比例函数识别、k的几何意义】 27．下列各式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 28．反比例函数的图象经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 29．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 30．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　） A．8 B． C．16 D． 31．如图，点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【题型 10反比例函数增减性、点在图像上代入求值 32．反比例函数的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 33．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 34．关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 35．已知反比例函数的图象在各自的象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D． 【选填压轴】 【题型 11元二次方程含参判别式、参数取值范围】 37．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 38．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为________． 39．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 【题型 12韦达定理变式、整体代换】 40．若，是一元二次方程的两个根，则______ ． 41．设、是方程的两个实数根，则________． 42．已知是方程的两个实数根，则代数式___________． 43．若关于的一元二次方程的两个根是，则_____． 【题型 13二次函数图像信息判断题】 44．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 45．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ； 若，为函数图象上的两点，则； 对于任意实数t，总有； 若，则有； 若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有2个， 其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 46．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，下列命题中；①；②；③对于任意实数，都有；④，是抛物线上的两个点，若，且，则真命题的序号是（   ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 47．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 【题型 14二次函数平移、对称变换解析式求解】 48．将抛物线沿x轴翻折，得到的抛物线解析式为（     ） A． B． C． D． 49．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 50．将抛物线绕顶点顺时针旋转，所得抛物线的解析式为________． 【题型 15二次函数比较函数值大小】 51．若为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 52．已知二次函数（m为常数）的图象经过点，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D．与m的值有关 53．点在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型 16反比例函数k几何意义综合】 54．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 55．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 56．如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于两点，交双曲线于点，连接，若的面积为2．则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 57．如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【题型 17二次函数与一元二次方程、不等式结合小题】 58．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 59.已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 60．如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于点，，则的解集是___________． 【题型 18函数综合:二次函数·+反比例函数图像共存判断】 61．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 62．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 63．函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【解答高频】， 【题型 19一元二次方程解方程】 64．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 65．按要求解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 66．解下列方程： (1)； (2)． 【题型 20一元二次方程增长率、面积应用题】 67．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天的销售量为20件．通过市场调查发现，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 68．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是， (1)求小路的宽； (2)若在小路上铺一层沥青，每平方米沥青路面的造价为20元，请问小路铺好沥青需要花费多少元． 69．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 70．2022年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． (1)求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ (2)2023年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2023年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2022年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2023年一季度销售总利润为1500万元，求a 的值．（销售利润销售收入总成本） 【题型 21韦达定理基础解答】 71．关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 72．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 73．已知关于x的方程． (1)该方程有两个不相等的实数根，求m的范围； (2)若该方程有一个根，求m的值及另一个根． 【题型 22二次函数求解析式及性质】 74．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)说出这个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； 75．如图，已知二次函数过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； 76．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 77．已知二次函数． (1)列表如下，请完成表格中的填空并画出二次函数的图象； … … … … (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【题型 23反比例与一次函数基础联立】 78．如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当的面积为3时，求m的值． 79．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象直接写出当时，x的取值范围． 80．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的x的取值范围． 【解答压轴】 【题型 24一元二次方程含参综合】 81．关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 82．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程都有实数根； (2)若方程的两根分别为，，且满足，求的值． 83．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，此方程总有实数根； (2)若为整数，且方程的一个根小于，求的取值范围． 【题型 25二次函数实际应用综合】 84．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息． 信息：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)模型建立：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． (3)方案设计：A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案并求最大利润． 85．“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． (1)以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： (2)花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 86．学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 87．乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 【题型 26二次函数与几何综合:线段长、面积最值】 88．如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接．点P是抛物线在y轴右侧部分上的一个动点(不与点B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M，交直线于点N． (1)求A，B，C三点的坐标及直线的解析式； (2)设点P的横坐标为，用含m的式子表示线段的长，并求出的最大值； (3)是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出此时点P的坐标及最大面积． 89．如图a，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点p是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为 ； (3)如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求的最大值，并直接写出此时的面积． 【题型 27二次函数存在性问题】 90．如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标及顶点D的坐标； (2)求的面积；在抛物线上是否存在点P(不与点C重合)，使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标． 91．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 92．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 93．已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型 28反比例函数与几何综合】 94.如图1，已知反比例函数的图象与矩形的边分别交于点与点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)连接交反比例函数的图象于点，若，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作轴的平行线交于点，连接．记与四边形的面积分别为与，求证：为定值． 95．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 96．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．    (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【题型 29函数综合探究:交点、不等式取值范围、动点探究】 97．在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）与轴交于点，，与轴交于点． (1)直接写出，的值，即___________，___________； (2)如图1，直线是抛物线的对称轴，点为直线的右侧抛物线上的动点，连接，过点作，交直线于点．若，点的横坐标为，求的值； (3)如图2，将抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新的函数图象记为． ①在平面直角坐标系中，求新函数图象对应的函数解析式； ②坐标平面内另有平行于轴的直线，其表达式为，其中为常数．请结合直线与新图象的不同位置关系，探究方程 的根的个数． 98．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点B． (1) ； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)若点M是直线上一动点（点M不与A、B重合），过点M作线段（点N在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 99．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 100．如图，在中，，动点P从点A出发沿射线方向以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q到达C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为，的面积为y． (1)当时，求的面积； (2)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）； (3)在给定的直角坐标系内画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $