第十三章 三角形 期中复习 讲义 2026-2027年人教版八年级数学上册

第十三章《三角形》 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 三角形的概念 题型9 与角平分线有关的三角形内角和问题（重点） 题型2 三角形三边关系（重点） 题型10 三角形折叠中的角度问题 （难点） 题型3 与三角形重要线段（重点） 题型11 三角形的外角的定义及性质 题型4根据三角形中线求长度（难点） 题型12 A字模型（难点） 题型5 根据三角形中线求面积（难点） 题型13 飞镖模型（或燕尾模型）（难点） 题型6 与三角形的高有关的计算问题（难点） 题型14 8字模型（难点） 题型7 三角形的内角（重点） 题型15 角平分线模型（难点） 题型8 与平行线有关的三角形内角和问题（重点） A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01 认识三角形 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C 边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 【解读】 1）判定一个图形是三角形的条件【缺一不可】：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接； 2）△ABC的三边，有时也用a，b，c表示.在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示； 【针对训练】 【典例1】观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 【答案】 内角 ，， 6 ，，，，， 【思路引导】本题主要考查三角形的有关概念，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）根据三角形角的定义结合图形解答即可； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）根据三角形的概念解答即可； 【规范解答】解：（1）是的内角． 故答案为：内角； （2）图中以线段为边的三角形有，，． 故答案为：，，； （3）图中共有6个三角形，它们分别是，，，，，． 故答案为：6；，，，，，． 知识点02 三角形的分类 1）三角形按边分类： 2）三角形按角分类： 【针对训练】 【典例2】已知，则下列条件能判定是锐角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．根据各角度数之间的关系，结合三角形内角和定理，求出的最大内角的度数，再将其与比较后，即可得出结论． 【规范解答】解：A．， ， 又， ， 是直角三角形，选项A不符合题意； B．， ，， 又， ， ， ， 是锐角三角形，选项B符合题意； C．， ，， 又， ， ， ， 是钝角三角形，选项C不符合题意； D．，， ， ， 是钝角三角形，选项D不符合题意． 故选：B． 知识点03 三角形的三边关系 文字表述 数字语言 理论依据 应用 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c； a+c＞b；b+c＞a 两点之间线段最短 1）判断三条已知线段能否组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中，|a-b|＜c； |a-c|＜b；|b-c|＜a 【补充】三角形三边关系定理及其推论是判定三条线段能否构成三角形的依据，也是用于证明几何图形中线段不等关系的重要依据. 【针对训练】 【典例3】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形三边关系应用；判定两个三角形全等的方法有、、、、，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【规范解答】解：A、∵，不能画出，故本选项不符合题意； B、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 知识点04 三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 作法 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 【解读】 1）一个三角形有三条高，它们都是线段，它们的位置由三角形的形状来决定： 【小结】三角形的高，一定记住垂足不一定落在三角形的边上，有能落在边的延长线上. 2）常见结论（热考）： ①三角形的高→90°的角； ②三角形的中线将一个大三角形分成两个面积相等的小三角形(等底同高)；三角形的中线延长1倍，容易构造平行四边形(倍长中线模型). ③三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角. 【针对训练】 【典例4】如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【答案】(1)和的周长的差是； (2)的长度为； (3). 【思路引导】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键． （1）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可； （2）由再代入数值即可得到答案； （3）根据求出再根据中线平分三角形面积即可得答案． 【规范解答】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∴的周长 的周长， 即和的周长的差是． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴ ∴，即的长度为； （3）解：的面积为． 如图，∵是直角三角形，，，， ∴． ∵为边上的中线， ． 知识点05 三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 证明方法： 图示 方法 构造平角 构造邻补角 构造同旁内角 具体 把三个角“移”成一个平角 可延长三角形的任一边，得到邻补角，然后过该角的顶点作该角的对边的平行线. 过三角形的一个顶点作平行于这一点所对边的射线. 【解读】无论三角形的形状、大小如何改变，三角形三个内角的和仍等于180°； 【针对训练】 【典例5】如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合平分可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合即可求出结论． 【规范解答】解：在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴，， ∴． 知识点06 三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 【针对训练】 【典例6】已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查了三角形的内角和与三角形的外角性质，全面分类、熟练掌握三角形的内角和与三角形的外角性质是解题的关键； 分三种情况：当点P在的内部时，当点P在的外部时，若点P在上方，当点P在的外部时，若点P在下方，分别画出图形，利用三角形的内角和与三角形的外角性质即可求解． 【规范解答】解：当点P在的内部时，如图，延长交于点D， 则， ∴； 当点P在的外部时，若点P在上方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 当点P在的外部时，若点P在下方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 综上： 或或； 故答案为：或或． 典例精析 题型一 三角形的概念 【例1】如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 【答案】除外，图中还有4个三角形；是和的边． 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解． 【详解】解：除外，还有、、、， ∴除外，图中还有4个三角形 其中，是和的边． 题型二 三角形三边关系 【例2】已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 【答案】(1)或10 (2)13 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）根据三角形的三边关系求出的取值范围，再由为偶数即可得出结论； （2）根据，的周长为偶数，可得为正整数，且为奇数，再根据，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：∵由三角形的三边关系知，，即：， ∴， 又∵的周长为偶数，而、为奇数， ∴为偶数，且为正整数，故或10； （2）解：∵，的周长为偶数， ∴为正整数，且为奇数， ∵ ∴的最大值为13． 题型三 三角形的重要线段 【例3】下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图①中，点D、E、F分别是的中点；图②中，分别是的三条高线；图③中，分别是的三条角平分线；图④中，a、b、c分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住O点，能使三角形木板保持平衡的图是 ． 【答案】① 【知识点】重心的概念 【分析】根据三角形重心的概念和性质即可判定． 【详解】解：∵用一根细针顶住O点，能使三角形木板保持平衡 ∴点O是的重心， ∴线段是的三条中线，故①满足题意． 答案为①． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解答本题的关键． 题型四 根据三角形中线求长度 【例4】如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 题型五 根据三角形中线求面积 【例5】三角形的一条中线能够将三角形的面积分成相等的两份，如图1，若是的中线，则有的面积等于的面积，若再取和的中点，，连接，，则的面积被分成相等的四份．请用四种不同的方法，将三角形的面积分成相等的四份（如图所示，画出示意图即可，不能与下图的方法相同）． 【答案】见详解 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，根据三角形面积公式同底等高面积相等即可，在三角形中分别找到对应边的中点，再与相对点连接，形成三角形，如此每个三角形均为上一次三角形面积的一半． 【详解】解：如图， 题型六 与三角形的高有关的计算问题 【例6】如图，在中，，求的值． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，解题关键是看到垂直条件及一些边长，可利用等面积法求解． 根据题意，利用等面积法，用两种方法表示的面积，进而求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型七 三角形的内角 【例7】实验探究是数学学习的重要方法．通过剪拼验证“三角形的内角和等于”时，小明给出如图1的拼合方法，发现了证明的思路，并给出了不完整的“已知”和“求证”，请你补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图2， ； 求证： ． 【答案】，证明见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质，关键是由平行线的性质推出．判定，由平行线的性质推出，于是． 【详解】解：已知：如图2，； 求证：． 证明：， ， ， ， ． 故答案为：． 题型八 与平行线有关的三角形内角和问题 【例8】已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九 与角平分线有关的三角形内角和问题 【例9】如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）先由三角形内角和定理求出的度数，进而由角平分线的定义求出的度数，则可利用三角形内角和定理求出的度数； （2）同（1）求解过程即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 题型十 三角形折叠中的角度问题 【例10】把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 题型十一 三角形的外角的定义及性质 【例11】如图，已知，，，求和的度数． 【答案】， 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可直接得出答案． 【详解】解：，， ． ， ． 题型十二 A字模型 【例12】如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠得到， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为： 题型十三 飞镖模型（或燕尾模型） 【例13】如图，交于点，的平分线与的外角的平分线交于点，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，， ， ， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 延长交于点， ，， ， ，， ，故③正确； ，故④不正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 题型十四 8字模型 【例14】（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】 /度 【详解】解：（1），， 又∵， ； （2），， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； 故答案为：（1），（2） 题型十五 角平分线模型 【例15】问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 【详解】解：（1）如图①，连接并延长至点F， 根据外角的性质，可得， 又∵，， ∴； （2）（i）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 故答案为：，； （ii）由（1），可得， ， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图④， ∵是的外角，， ∴， 即， ∵是的外角， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （4）如图⑤，由前面结论易得 ； 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①， ∴ ∴； ②， ∴，   ， ∴； ③ ∴ ∴； ④，不存在 ∴在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 故答案为：或． 1．下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； C、满足三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形； D、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形． 2．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴， ∴． 3．如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 4．下列说法正确的是（     ） A．三角形三条高线的交点一定在三角形的内部 B．三角形的外角等于两个内角之和 C．在中，， 则为钝角三角形 D．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 【答案】D 【分析】根据钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上，可判断A，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可判断B，根据三角形内角和为，可判断C错误，根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，可判断D． 【详解】A∵钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上， ∴不是所有三角形高线交点都在三角形内部，故A错误． B.∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴选项缺少限制条件，故B错误． C.∵三角形内角和为，， ∴最大角为， ∴是直角三角形，不是钝角三角形，故C错误． D.根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，故D正确． 5．如图，是的角平分线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得的大小，再由三角形外角定理可得的大小． 【详解】解： 平分， ， ． 6．一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1所示的地锁，图2为其示意图．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质可得，根据邻补角的定义可得，进而即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ 7．如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先观察，因为，所以，结合已知的度数，可求出的度数．结合已知的度数，可求出的度数．因为平分，所以，可得到的度数．最后在中，利用三角形内角和为，可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，． ， 代入已知得： ． 平分， ． 在中，． 8．在中，若，则________． 【答案】 【分析】本题利用三角形内角和定理，根据三个角的比例关系设未知数，求解出各角度数后计算角度差即可． 【详解】解：由题意设，则， 根据三角形内角和定理，得 解得 因此， 则． 9．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______． 【答案】 【分析】根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． ∴线段的最小值是． 10．如图，是的中线，，是的三等分点，连接，，，．如果的面积是24，那么图中阴影部分的面积和为_______． 【答案】16 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，以及等高三角形的面积比等于底边比的性质，分别求出各部分阴影三角形的面积，最后求和即可． 【详解】解：是的中线，的面积是24 ， ， 是的三等分点 ， ， ，， ∴图中阴影部分的面积和为． 11．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 12．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中边上的高是． 13．如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 【答案】C 【分析】利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，先由是的中线求出的面积，再由是的中线求出的面积． 【详解】解：∵为的中线，， ∴， ∵为的中线， ∴． 14．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图： ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ． 16．如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，接着根据高线的定义和直角三角形两锐角互余求出的度数，最后通过计算出的度数，从而确定正确选项． 【详解】解：，， ． 是的角平分线 ． 是的高线， ，即． 在中， ． ． 17．如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射角等于反射角，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合垂线定义求出相关角度，再由三角形外角性质，数形结合即可求出的度数． 【详解】解：入射角等于反射角， ， ， ，且它是的一个外角， ． 18．如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为______． 【答案】133 【分析】根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解 【详解】、平分, 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练以上知识是解题的关键． 19．如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【答案】26 【分析】先计算的长度，由中线的定义得，进而即可求解． 【详解】解：的周长为24， ， ， 是的中线， ， ， ， 即的周长为26． 20．如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 【答案】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及角平分线找到规律：后一个角是前一个角的一半，然后表示出即可． 【详解】解；∵平分，平分， ∴，， ∵由三角形外角的性质可得，， ∴， 以此类推， ， …… ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 21．在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 【答案】(1) 解：选择小星的作图进行证明 ， ， ， ； 选择小颖的作图进行证明： ， ， ， ； 选择小红的作图进行证明： ， ， ， ； (2) 证明： ， ， 即． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明： （1）利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 23．在下列条件中：①；②；③；④，其中能确定为直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题重点考查三角形内角和定理，正确地求出的最大内角的度数是解题的关键． 通过三角形内角和为判断每个条件是否能推出一个角为，从而确定是否为直角三角形． 【详解】①，， ，即， 为直角三角形． 故①符合题意． ，， ． 不是直角三角形． 故②不符合题意． ， ，． ， ，． ，． 为直角三角形． 故③符合题意． ， ，． ， ，． ，． 不是直角三角形． 故④不符合题意． 综上，①和③能确定，共2个． 故选：B 24．如图，是平行四边形的边上的点，连接、、Q是的中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，，再根据等底等高得到，即可计算阴影部分的面积． 【详解】解：平行四边形， ，， Q是的中点， ， ，， ， 故阴影部分的面积为． 25．如图，，点在直线上，点在直线上，点在、之间且在所在直线的左侧，若，点为线段上一点（不与、重合），连接并延长到，设，要使得为定值，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，设，则，利用平行线的性质以及三角形外角性质可得，，即可得，再根据为定值求出的值即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，为定值， ∴． 26．已知、、分别为的三边长，化简：_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c分别为的三边长， ，， ， ． 27．如图，已知线段、相交于点，连接、，、分别是和的三等分线，、．若，，则________． 【答案】 【分析】设、交于点，根据题意可得，，再根据，，得到，即可求解． 【详解】解：如图，设、交于点， 、，，，，， ，， ，， ， 故答案为：． 28．在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，若直线垂直于的一边，写出的度数________． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论：当时，当于时，当时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：如图，当时， ，， ， 平分， ， ； 如图，当于时， ， ； 如图，当时， ，， ． 综上所述，的度数为或或． 29．综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，、是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜、的一个端点重合于点，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点，设两面镜子的夹角，根据光的反射定律，求． 【答案】(1)，理由见解析 (2)； (3) 【分析】（1）利用光的反射定律，结合内错角相等得到反射角相关的角的关系，再依据平行线的判定定理判断和的位置关系； （2）利用平角的性质求出的度数，根据平行线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数； （3）根据三角形内角和定理求出，再根据反射定律推出的度数，结合平角定义、三角形内角和定理计算的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得：、， ， ， ， 、， ， ； （2）解：由题意得：、， ， ， ， ， ； （3）解：由题意得：、， ， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章《三角形》 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 三角形的概念 题型9 与角平分线有关的三角形内角和问题（重点） 题型2 三角形三边关系（重点） 题型10 三角形折叠中的角度问题 （难点） 题型3 与三角形重要线段（重点） 题型11 三角形的外角的定义及性质 题型4根据三角形中线求长度（难点） 题型12 A字模型（难点） 题型5 根据三角形中线求面积（难点） 题型13 飞镖模型（或燕尾模型）（难点） 题型6 与三角形的高有关的计算问题（难点） 题型14 8字模型（难点） 题型7 三角形的内角（重点） 题型15 角平分线模型（难点） 题型8 与平行线有关的三角形内角和问题（重点） A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01 认识三角形 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C 边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 【解读】 1）判定一个图形是三角形的条件【缺一不可】：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接； 2）△ABC的三边，有时也用a，b，c表示.在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示； 【针对训练】 【典例1】观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 知识点02 三角形的分类 1）三角形按边分类： 2）三角形按角分类： 【针对训练】 【典例2】已知，则下列条件能判定是锐角三角形的是（　　） A． B． C． D． 知识点03 三角形的三边关系 文字表述 数字语言 理论依据 应用 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c； a+c＞b；b+c＞a 两点之间线段最短 1）判断三条已知线段能否组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中，|a-b|＜c； |a-c|＜b；|b-c|＜a 【补充】三角形三边关系定理及其推论是判定三条线段能否构成三角形的依据，也是用于证明几何图形中线段不等关系的重要依据. 【针对训练】 【典例3】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点04 三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 作法 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 【解读】 1）一个三角形有三条高，它们都是线段，它们的位置由三角形的形状来决定： 【小结】三角形的高，一定记住垂足不一定落在三角形的边上，有能落在边的延长线上. 2）常见结论（热考）： ①三角形的高→90°的角； ②三角形的中线将一个大三角形分成两个面积相等的小三角形(等底同高)；三角形的中线延长1倍，容易构造平行四边形(倍长中线模型). ③三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角. 【针对训练】 【典例4】如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 知识点05 三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 证明方法： 图示 方法 构造平角 构造邻补角 构造同旁内角 具体 把三个角“移”成一个平角 可延长三角形的任一边，得到邻补角，然后过该角的顶点作该角的对边的平行线. 过三角形的一个顶点作平行于这一点所对边的射线. 【解读】无论三角形的形状、大小如何改变，三角形三个内角的和仍等于180°； 【针对训练】 【典例5】如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 知识点06 三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 【针对训练】 【典例6】已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 典例精析 题型一 三角形的概念 【例1】如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 题型二 三角形三边关系 【例2】已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 题型三 三角形的重要线段 【例3】下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图①中，点D、E、F分别是的中点；图②中，分别是的三条高线；图③中，分别是的三条角平分线；图④中，a、b、c分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住O点，能使三角形木板保持平衡的图是 ． 题型四 根据三角形中线求长度 【例4】如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 题型五 根据三角形中线求面积 【例5】三角形的一条中线能够将三角形的面积分成相等的两份，如图1，若是的中线，则有的面积等于的面积，若再取和的中点，，连接，，则的面积被分成相等的四份．请用四种不同的方法，将三角形的面积分成相等的四份（如图所示，画出示意图即可，不能与下图的方法相同）． 题型六 与三角形的高有关的计算问题 【例6】如图，在中，，求的值． 题型七 三角形的内角 【例7】实验探究是数学学习的重要方法．通过剪拼验证“三角形的内角和等于”时，小明给出如图1的拼合方法，发现了证明的思路，并给出了不完整的“已知”和“求证”，请你补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图2， ； 求证： ． 题型八 与平行线有关的三角形内角和问题 【例8】已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 题型九 与角平分线有关的三角形内角和问题 【例9】如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 题型十 三角形折叠中的角度问题 【例10】把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 题型十一 三角形的外角的定义及性质 【例11】如图，已知，，，求和的度数． 题型十二 A字模型 【例12】如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 题型十三 飞镖模型（或燕尾模型） 【例13】如图，交于点，的平分线与的外角的平分线交于点，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 题型十四 8字模型 【例14】（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 题型十五 角平分线模型 【例15】问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 1．下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（     ） A．三角形三条高线的交点一定在三角形的内部 B．三角形的外角等于两个内角之和 C．在中，， 则为钝角三角形 D．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 5．如图，是的角平分线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1所示的地锁，图2为其示意图．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．在中，若，则________． 9．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______． 10．如图，是的中线，，是的三等分点，连接，，，．如果的面积是24，那么图中阴影部分的面积和为_______． 11．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 12．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 13．如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 14．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 15．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 17．如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射角等于反射角，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为______． 19．如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 20．如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 21．在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 22．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 23．在下列条件中：①；②；③；④，其中能确定为直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．如图，是平行四边形的边上的点，连接、、Q是的中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 25．如图，，点在直线上，点在直线上，点在、之间且在所在直线的左侧，若，点为线段上一点（不与、重合），连接并延长到，设，要使得为定值，则值为（   ） A． B． C． D． 26．已知、、分别为的三边长，化简：_________． 27．如图，已知线段、相交于点，连接、，、分别是和的三等分线，、．若，，则________． 28．在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，若直线垂直于的一边，写出的度数________． 29．综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，、是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜、的一个端点重合于点，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点，设两面镜子的夹角，根据光的反射定律，求． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $