第14章全等三角形期中复习满分压轴讲义（知识梳理典例练习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第14章 全等三角形 期中复习 满分压轴讲义 （知识梳理典例练习）2026年人教版八年级数学上 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等） · 熟练掌握三角形全等的判定方法 SSS、SAS、ASA、AAS、HL · 掌握角平分线的性质定理与判定定理，能利用角平分线解决角度计算问题 · 会构造辅助线（倍长中线、截长补短、手拉手）证明三角形全等 · 能解决与全等三角形相关的动点问题和综合证明题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形的概念与性质 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 全等三角形的对应边相等、对应角相等 全等三角形的周长相等、面积相等 全等三角形的对应线段（中线、高、角平分线）相等 概念辨析例题：已知△ABC≌△DEF，AB=5，∠A=70°，求 DE 与∠D 答案：DE=5，∠D=70° 解析：全等三角形对应边相等、对应角相等，故 DE=AB=5，∠D=∠A=70° ☆ 2.三角形全等的判定 SSS：三边对应相等的两个三角形全等 SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；AAS：两角及其中一角的对边对应相等 HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 概念辨析例题：已知 AB=AD，BC=DC，求证△ABC≌△ADC 答案：SSS 全等 解析：公共边 AC=AC，又 AB=AD、BC=DC，由 SSS 得△ABC≌△ADC ☆ 3.角平分线的性质与判定 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 三角形三条角平分线交于一点（内心） 双内角平分线夹角=90°+∠A；内、外角平分线夹角=90° 概念辨析例题：△ABC 中∠B、∠C 的平分线交于点 P，∠A=60°，求∠BPC 答案：120° 解析：∠BPC=90°+∠A=90°+30°=120° ☆ 4.辅助线构造与综合应用 倍长中线：延长中线至一倍长，构造全等三角形 截长补短：在长边上截取短边或延长短边构造全等 手拉手模型：两个共顶点的等边三角形或等腰直角三角形，常得到全等三角形 旋转全等：将一个三角形绕某点旋转一定角度构造全等 概念辨析例题：AD 是△ABC 的中线，AB=5，AC=3，求 AD 的取值范围 答案：1<AD<4 解析：倍长中线 AD 至 E 使 DE=AD，证△BDE≌△CDA 得 BE=AC=3，在△ABE 中由三边关系 5−3<AE<5+3，即 2<2AD<8，故 1<AD<4 📋 知识总结表 判定方法 条件 适用范围 SSS 三边对应相等 任意三角形 SAS 两边及夹角对应相等 任意三角形 ASA 两角及夹边对应相等 任意三角形 AAS 两角及一角对边对应相等 任意三角形 HL 斜边+一直角边对应相等 仅限直角三角形 SSA / AAA 不能判定全等 不适用 ⚠️ 核心考点 【考点1】角平分线的性质与判定及角度计算（第1-16题） · 角平分线上的点到两边距离相等，反之亦然 · 双内角平分线夹角=90°+∠A；内外角平分线夹角=90° · 遇角平分线常作两边垂线段，利用距离相等构造全等 参考答案与试题解析 1．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，中，，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及角平分线的性质，依次对结论进行判断：对于，通过三角形内角和以及角平分线求出度数即可；对于，利用全等三角形的判定证明，从而得出结论；对于，通过证明即可得到结论． 【详解】在中，， ， 又分别平分， ， ， 故正确； ， 又， ， ， 又， 在和中， ， ， ， 故正确； ， 在和中， ， ， ， 故正确； 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列结论①②垂直平分  ③若，则  ④若，，则  ⑤若为中点，则为等腰三角形，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②③⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定 【分析】①根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，判断与的关系． ②通过证明三角形全等得到，，再根据垂直平分线的判定定理判断． ③根据四边形内角和求出，再结合直角三角形的性质判断． ④利用三角形面积公式，结合，判断的值． ⑤根据为中点且，结合直角三角形全等，判断的形状． 【详解】解：①∵ 是的角平分线，，， ∴ ，故①正确． ②在和中， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴ 垂直平分，而非垂直平分，故②错误． ③∵ ，， ∴ ， 又∵ ，四边形内角和为， ∴ ， ∵ 平分， ∴ ， 在中，， ∴ ，故③正确． ④∵ ，，且， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，故④错误． ⑤∵ 为中点， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即为等腰三角形，故⑤正确． 综上，①③⑤正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定、直角三角形的性质等，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 3．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在中、、的平分线相交于，过作，交于，交于，那么下列结论正确的有（　　） ①，都是等腰三角形；②；③的周长等于；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 根据角平分线的定义，平行线的性质可得是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵是、的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，故结论①正确； ∴，， ∴，故结论②正确； ∴的周长等于，故结论③错误； ∵与的数量关系不确定，无法判定与相等， ∴，不一定相等，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：B． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④其中正确的为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质与判定、三角形外角的性质、平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键． 由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，故③正确； 如图：过D分别作、、的垂线，垂足分别为G、H、K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴为外角的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上，正确的有①②③④． 故选：D． 5．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在的延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②：：；③垂直平分；④其中正确的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理和逆定理，三角形外角的性质，角平分线的定义， 根据角平分线定义得，再根据三角形外角的性质得，即可解答①；作，，，根据角平分线性质定理得，再根据角平分线性质定理的逆定理得平分，然后根据解答；接下来根据平分，解答③；最后根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，即可解答④． 【详解】解：如图， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴，则①正确； 过点P作于点M，于点N，于点S， ∴， ∴平分． ∵，则不正确； ∵平分， ∴垂直平分，则③正确； ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴.则正确． 本题正确的有：． 故选：B． 6．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）如图，于点，且，若点是三角形的角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形角平分线的定义 【分析】利用点是三角形的角平分线的交点，得到，，结合，再利用三角形内角和定理可判断①；通过证明和，得到，分析可知需证明，则需证明是等腰直角三角形，而题目条件无法判断，可判断②；延长至点使得，连接，先证明，进而推出，可判断③；延长交于点，由得到，结合可判断④，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 点是三角形的角平分线的交点， 平分，平分， ，， ， ，故①正确； ，，， ， ，， ， 同理可得：， ，， ， ， 若需证明，则需证明是等腰直角三角形，而题目条件无法判断，故②不正确； 如图，延长至点使得，连接， 点是的中点， ， 又，， ， ，，， ，，， ， ， ， 又，， ， ， ，故③正确； 如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，其中正确的是①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．（24-25八年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，在中，，平分，于，下列结论：①；②；③；④；⑤与的面积之比即与的长度之比．其中正确的是________． 【答案】①②③ 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质，即可判断①；通过证明即可得到，即可判断②；根据直角三角形的两个锐角互余即可判断③；根据已知条件无法证明即可判断④；根据两个三角形的高相等，面积比就等于底的比即可判断⑤． 【详解】解：①∵，平分，， ∴，故①正确； ②在和中， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③在中，在中， ∴，故③正确； ④无法证明，故④错误； ∵和中， ∴， ∵， ∴与的面积之比不等于与的长度之比，故⑤错误； 综上分析可知：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形两个锐角互余，三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识． 8．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，的角平分线，相交于点，，则___________．若 的面积为，四边形的面积为，则 的面积为___________． 【答案】 ． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】先根据三角形内角和求出，再利用角平分线性质得到，最后结合三角形内角和求；利用角平分线的性质，证明与、与面积相等，进而通过面积关系计算的面积． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ 、是角平分线， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． 在上取一点，使，连接． ∵ 平分， ∴ ． 又∵ ，， ∴ （）， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ，． ∴， ∵ 平分， ∴ ． 又∵ ， ∴ （）， ∴ ． ∴ ． ∵ ，， ∴， 即 ， 解得 ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握“利用角平分线构造全等三角形转化面积关系”是解题的关键． 9．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点G，H，连接．若，，，．则下列结论中正确的有_____（填序号） ①； ②是等边三角形； ③与互相垂直平分； ④． 【答案】①② 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、角平分线的性质定理 【分析】根据三角形的角平分线交于一点可得为的平分线，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，通过计算即可得出即可判断①正确；通过证明即可判断②正确；，为的角平分线，得到垂直平分，可证明，则不垂直平分，据此可判断③；根据角平分线的性质得到到的距离相等，设到的距离为，可求出，根据可判断④． 【详解】解：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵三角形的三条角平分线相交于一点， ∴为的角平分线， ∴， ∵以为边向两侧作等边和等边， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故②正确； ∵，为的角平分线， ∴垂直平分， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴点G不在线段的垂直平分线上， ∴不垂直平分，故③错误； ∵，，，为的角平分线， ∴到的距离相等， 设到的距离为， ∵ ∴， ∴ ，故④错误； ∴正确的有①② 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积公式．利用相关定义、性质与公式对每个选项进行判定是解题的关键． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论正确的是__________． ①若，则；②若，则；③若，则 ；④过点作于点，若，，则． 【答案】①③④ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．①过点作于点，运用角平分线的性质即可得出：，，进而推出，即可判断结论①正确；②过点作于点，证得 ，即可判断结论②错误；③过点作于点，利用角平分线性质可得：，再利用三角形面积公式即可判断结论③正确；④过点作交于点，当时，可证明 ，得出，进而证得，即可判断结论④正确． 【详解】解：①如图，过点作于点， ， ， ，平分， ， ， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， ， ；故结论①正确； ②过点作于点，如图， ，，平分， ， 同①理可证， ∴， 若， 则， 即， 在和中， ， ， ， ， ；故结论②错误； ③如图，过点作于点， ，，平分， ， ， 即，故结论③正确； ④如图，过点作交于点， ∴， 则， ， ，， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 故结论④正确； 故答案为：①③④． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分于点于点，连接交于点，点在上且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的是______．（请填写序号） 【答案】①②③④⑤ 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定 【分析】①利用角平分线的性质定理进行证明即可； ②利用三角形的三边关系进行求解即可； ③证明，得出，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可； ④利用三角形的面积公式进行化简即可； ⑤证明，得出，利用等量代换和线段的和差进行证明即可． 【详解】解：①∵平分于点于点， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴, 故②正确，符合题意； ③∵于点于点， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， 即， 故③正确，符合题意； ④∵， ∴， 故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确的选项为①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定定理，三角形的面积和三边关系等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 12．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中（），和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列结论：①；②；③若，则．④若，则．其中正确的结论有____________________． 【答案】①②④ 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义是解题的关键．根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的内角和定理及角平分线可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③错误，利用等腰三角形的三线合一可判断④正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ∴， ∵ ∴， 故①正确； ∵和是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ，故②正确； 作于于， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵，平分， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的序号为①②④； 故答案为①②④． 13．（2024七年级·全国·竞赛）如图，点A、B分别为平面直角坐标系中x轴正半轴和y轴正半轴上的任意两点，连结，作的外角平分线，作的角平分线，两线相交于点D；再作平分， 平分，两直线相交于点；作平分，平分，两直线相交于点……作平分，平分，两直线相交于点，那么____________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角分线的找规律题，根据角分线和角的和与差先推导前几个角，则可发现规律，熟练运用角度的和与差是解题的关键． 【详解】，由上题知，，如图： 同理 所以． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）在中，平分． (1)如图1，当，时，求的度数； (2)如图2，若点E在上，且平分． ①请用尺规作出点E（保留作图痕迹）； ②探索与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：①点位置如图所示： ②，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴ ． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查三角形内角和，尺规作角平分线； （1）先由三角形内角和求出，再由角平分线得到，最后根据三角形内角和得到，代入计算即可； （2）①尺规作角平分线的步骤作出的角平分线，与交点即为点E； ②由角平分线得到，，则，根据三角形内角和得到，，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 15．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）已知：如图，在中，分别是与角平分线，与相交于点，垂足分别为M，N． (1)求证：在的角平分线上； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：（1）过点F作， ∵分别是与角平分线，， ，； ， ， 在的角平分线上； (2) 证明：， ， 分别是与角平分线， ， ， ， ， ， ∴， ， 在与中 ， ， ． 【知识点】角平分线的判定定理、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键： （1）过点F作，根据角平分线的性质，推出，即可； （2）证明，即可得证； 【详解】（1）略 （2）略 16．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，在中，，请用尺规在边上作一点D，使的三个内角分别是． 【答案】解：如图，点即为所求； 【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)、角平分线的有关计算 【分析】作的平分线交于点，连接，则即为所求． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴. 【考点2】全等三角形判定与性质（SAS/ASA/AAS/HL）（第17-24题） · 根据已知条件选择合适的判定方法（SSS/SAS/ASA/AAS/HL） · 证明线段或角相等，通常转化为证明它们所在的三角形全等 · 公共边、公共角、对顶角是隐含的相等条件 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，．给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形三边关系的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和确定对角线的判定定理是解题的关键．利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：与均为等腰直角三角形，， ，，． ， ． ①的结论正确； 在和中， ， ， ． ， ， ②的结论正确； 点是线段的中点， ． ， ， ， ， ③的结论正确； ，， ， ， ． ④结论正确． 综上，①②③④正确． 故选：D． 18．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．CF平分 D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、角平分线的判定定理、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， A．若，则， ∴， ∴，故A正确； B．若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故B正确； C．∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；故C正确； D．在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故D错误； 故选：D． 19．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，准确找到并证明图中的全等三角形是解决问题的关键，还需要能够合理利用全等三角形的性质． 由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出与全等，由全等三角形的对应边相等得到，①结论正确；由与全等，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，②结论正确；由②结论再加上等于，再利用两锐角互余的三角形为直角三角形，得到，③结论正确；④结论正确，利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确． ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确． ③由②知，， ∴， ∴， 故③正确． ④∵， ∴， 故④正确． 故①②③④都正确． 故选：D． 20．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，，，点是的中点，，交直线于点，于点，于点．则下列结论：①△CBD≌△MFD；②；③；④若，则．其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形的中位线定理，角平分线的性质定理，三角形的面积的性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形的中位线定理，角平分线的性质定理，三角形的面积的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴①的结论正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， ∴． ∴②的结论错误； 过点B作于点H，连接，，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点，H为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴， 由①知：， ∴， ∴． ∴③的结论正确； 由①知：， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴．     ∴④的结论正确； 正确结论有：①③④． 故选：C． 21．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解答关键是构造一线三垂直模型得到全等三角形． 由题意，设，则，过点作，交的延长线于点，证明得到，再证明，得到，再利用三角形面积公式表示化简即可． 【详解】解：由，设，则， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·湖北黄石·期中）如下图，中，，的角平分线AD，BE相交于点，过作交BC的延长线于点，交AC于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的是______． 【答案】①②③④ 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】①根据直角三角形的性质得，再根据角平分线的定义得，进而根据三角形的内角和定理可求出的度数，据此可对结论①进行判断；②先证和全等得，，再证和全等得，据此可对结论②进行判断；③由，得为等腰直角三角形，则，再求出，据此可对结论③进行判断；④由得和同底等高，则，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①， ， ，为的角平分线， ，， ， ，故结论①正确； （2）， ， 由结论①正确：得， ， ， ， 为的角平分线， ， 在和中， ， ，， 为的角平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故结论②正确； ③，， 为等腰直角三角形， ， 由结论①正确可知：， ， ， 故结论③正确； ④由结论③正确可知：， 和同底等高， ， ， ． 故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②③④． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解直角三角形的两个锐角互余是解答此题的关键． 23．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． AI (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：． (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则的值为______． 【答案】(1) 证明：，， ， ，， ， 又， ， ， ， ； (2) 证明：如图2，过点作交延长线于N， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； (3)或 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）结合已知得，结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可证明结论； （3）当点在延长线上时，连接交直线于，过点E作交的延长线于，设，，证明和证明，可求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可；当点在线段上过点E作于G，同理可证明，得到，再证明，得到；可证明，设，则，分别表示出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，当点在延长线上时，连接交直线于，过点E作交的延长线于， ， ∴可设，， ，， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，过点E作于G， 同理可证明， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， ， ， ， ∵， ， ， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 24．（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）如图①，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上的一个动点，点是轴负半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，使得，且点在轴的上方． (1)求证：； (2)如图②，点、点在滑动过程中，把沿轴翻折使得刚好落在的边上，此时交轴于点，过点作垂直轴于点，求证：； (3)如图③，点、点在滑动过程中，使得点在第二象限内，过点作垂直轴于点，求证：． 【答案】(1) 证明： ， ； (2) 证明：因为沿轴翻折可知， 如解图①，延长、交于点， 在和中， ， ， 轴 ， 在和 ， ； (3) 证明：过点作垂直轴，垂足为，则为长方形，如图所示： ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据，以及可证明； （2）延长、交于点I，根据折叠的性质知，则可证明，则有，再证明，即可得出； （3）过C作垂直x轴，垂足为J则为长方形则，根据得出，证明，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了三角形全等、折叠的性质、等角替换、添加辅助线等知识点，综合性强，熟练掌握涉及的每个知识点，并懂得综合运用解答本题的关键． 【考点3】等边三角形手拉手模型（第25-29题） · 两个共顶点的等边三角形常得一对全等三角形 · 手拉手模型中旋转角等于 60° · 结论常包括：对应边相等、夹角等于原等边三角形内角 25．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②平分；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质 【分析】由等边三角形的性质，证，即可判断①结论；如图，作，，根据全等三角形对应边上的高相等得，利用角平分线的判定即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据全等三角形的判定和等边三角形的判定，即可判断④结论；根据等边三角形的性质，得出，即可判断⑤结论． 【详解】解：和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴，①结论正确； 如图，作，， 由①知， 则对应边上的高相等， 点C在的平分线上，即平分，②结论正确； ∵， ∴， ， ， 在和中 ， ， ∴，③结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，④结论正确； ∴， ∴， ∴，⑤结论正确； 即正确结论的个数是①②③④⑤，共5个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 26．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知点在同一直线上，和都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】角平分线的判定定理、全等三角形综合问题、等边三角形的性质 【分析】由等边三角形的性质可证明，从而得，，则可判定①与②；证明，得，则可判定③；过点C作，垂足分别为M，N，则可证明，则有，从而可判定④，则最后可确定答案． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴； 故②正确； ∵ ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形； 故③正确； 如图，过点C作，垂足分别为M，N， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴平分； 故④正确； 综上，全部正确； 故选：D． 27．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，分别以的边，为边，在的外侧作等边和等边，连接，相交于点O，与相交于点M，与相交于点N，连接，有下列结论：①；②；③平分；④其中，正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题综合考查了等边三角形的性质，角的和差，全等三角形的判定与性质，重点掌握全等三角形的判定方法．由和是等边三角形得，，，再由角的和差得，可证明，根据全等三角形的性质得，，进而利用角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 如图，过A作于H，于I， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故③正确； ∵无法得出，不能得出，故②错误； 故选：B． 28．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图1所示，等边与等边的顶点A，C，E三点在一条直线上，连接交于O点，交于P点，交于Q点，连． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)设，，，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系． 【答案】(1) 证明：△和△都是等边三角形， ，，， ， ， △△， ； (2) 证明：△△， ， ， ， ， △△， ， △是等边三角形； (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）先利用等边三角形的性质可得，，，再利用等式的性质可得，从而利用证明△△，然后利用全等三角形的性质可得； （2）由全等三角形的性质可得，再利用平角定义进行计算可得，从而利用证明△△，最后利用全等三角形的性质可得，再利用等边三角形的判定即可解答； （3）在上取一点，使得，连接，，过点作于，于，证明是等边三角形，同理（1）可证，得出，由三角形面积关系可得出，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． 理由：如图，在上取一点，使得，连接，，过点作于，于， △△， ， ，， ，， ， ， 平分； ， ， ， 平分， ， ， 是等边三角形， 同理（1）可证， ， ， 同法可证， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质的运用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 29．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知等边，过点作的垂线，点为上一动点(不与点重合)，连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． 【问题探索】 （1）如图①，线段与的数量关系是(     )     A． 相等              B．大于              C．小于               D．大小不能确定 【问题解决】 （2）如图②，当点在同侧且时，求证：直线垂直平分线段； 【问题拓展】 （3）如图③，若等边的边长为，点位于直线异侧，点位于直线同侧，且的面积等于 直接写出线段的长度． 【答案】（1）A； （2）证明：连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分线段； （3）或 【知识点】含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据等边三角形的性质，旋转的性质可证，根据全等三角形的性质即可求解； （2）连接，根据等边三角形，旋转的性质可得是等边三角形，则有点在的垂直平分线上，再证，结合等腰三角形的性质可得，则有点在的垂直平分线上，由此即可求解； （3）如图所示，延长和直线交于点，过点作，过点作于点，由（2）得是等边三角形，是等边三角形，同理可得，是等腰三角形，在中，，可得，设，则，，求出，根据三角形的面积公式得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：A； （2）略 （3）或， 如图所示，延长和直线交于点，过点作，过点作于点， 由旋转的性质得， 由（2）得是等边三角形，是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则，， 由得，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数的计算，含角的直角三角形的性质，解一元二次方程等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质求线段的长的方法是解题的关键． 【考点4】动点问题与运动型全等（第30-37题） · 动点问题要分情况讨论，用时间 t 表示相关线段长度 · 根据全等条件列方程求解 t · 注意动点到达终点后停止，分类要完整 30．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 【答案】D 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，一元一次方程与几何动点，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P在上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： 则（秒）， 此时， ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： 则 ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于2或或16秒时，与全等， 故选：D． 31．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】垂线段最短、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，线段最短的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键．如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点，可证，得到，当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，再得到四边形和四边形都是长方形，则，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点， 四边形是长方形， ，， ，， ， ，， △是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示， 当点，重合时，线段的值最小， 根据作图，， 四边形和四边形都是长方形， ，， 到边的距离为， 故选：B． 32．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或 【知识点】全等三角形的性质、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即， ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图2， ， ． 综上所述，点运动时间为2或，与全等． 33．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或2或6 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米，当点P在线段上时，只有这种情况，当点P在的延长线上时，只存在和两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， ∵， ∴此时只有这种情况， ∴厘米，厘米， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，， ∴只存在和两种情况， 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 综上所述，v的值为或2或6． 故答案为：或2或6． 34．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，其中，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． (1)若P，Q两点同时到达A点，则x的值为_____________； (2)若与全等，则x的值为_____________． 【答案】(1)6 (2)或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、全等三角形综合问题 【分析】（1）先求出点P从点C出发到达点A时所用的时间为秒，再根据点Q运动的路程即可得出点Q的速度； （2）依题意得,则再根据，则有以下两种情况：①且时，，由得,解得，再由得,由此可得x的值；②当且时，，由得,解得 ，再由得,由此可得x的值，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：点P从点C出发到达点A时所用的时间为：（秒）， ∴点Q从点D出发到达点A时所用的时间为3秒， ， ， 点Q运动的速度为：， 故答案为：6； （2）解：依题意得： , ， ∴当与全等时，有以下两种情况： ①当且时，， 由得：解得：， 由，得：, ， , 解得：； ②当且时，， 由，得：, 解得： ， 由，得：, ， ， 解得： ； 综上所述：当与全等，x的值为或 ． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，分类讨论是解决问题的易错点． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是______． 【答案】16 【知识点】垂线段最短、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，将问题转化为求的最小值是解答本题的关键，由已知条件可证，则有，则四边形FBCD的周长为，由此只需最小即可得到最小的周长，由垂线段最短可知，当，即时，四边形FBCD的周长最短，据此即可解答． 【详解】解：E为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当时最短，此时四边形的周长取最小值， 与之间的距离为5，， 当时，， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为：16． 36．（25-26八年级下·四川广元·期中）已知在中，，E为直线上一动点，连接． (1)如图①，若E为线段上的一点且满足，若，求线段的长； (2)如图②，若E为线段上的一点，过点C作交的延长线于点F，过点B作于点G，延长交于点H，连接，试探究线段之间的数量关系，并证明其结论； (3)如图③，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)． 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】（1）过点E作于点H，求出，得，，证明是等腰直角三角形，得，根据求出，从而得出结论； （2）延长交的延长线于点T．证明，推出，，证明，推出，可得结论； （3）将绕点A逆时针旋转得到，证明，当时，有最小值．过点B作于点G，延长交直线于点P，连接，证明，求出，，得，求出，，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点H， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 证明如下： 如图，延长交的延长线于点T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ； （3）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质可得，， ， 在和中， ， ∵H是定点， ∴点在直线上运动， ∴当时，有最小值， 过点B作于点G，延长交直线于点P，连接，即的最小值为长， ∵在中，， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ， ， 在中，， ， ， ∴的最小值为． 37．（24-25八年级上·吉林·阶段检测）如图，在长方形中，厘米，厘米．动点从点出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点从点出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)直接写出线段的长，用含的代数式表示并写出的取值范围； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【知识点】全等三角形综合问题、几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）分类讨论当和当时两种情况即可； （2）由题意得，可得，分类讨论当和当时两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解； 本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得厘米， 当时，； 当时，； 则； （2）由题意得， ∴， 当时，， 此时， 解得； 当时，， 此时， 解得； 综上所述：当或时，与的面积相等； （3）由题意得是直角三角形， ∴当时，即点在上运动时，有， ∴， ∵厘米，厘米， ∴， 解得； （4）存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在长方形中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【考点5】辅助线构造（倍长中线、截长补短）与综合证明（第38-44题） · 遇中线常倍长中线构造全等 · 遇线段和差关系常用截长补短法 · 综合题要分解为若干小三角形，逐步证明 38．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是________，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为________． 【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、确定第三边的取值范围、根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长、交于点，首先利用“ASA”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案． 【详解】解：在中，， ， 解得； 如下图，延长、交于点， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值， 即， ． 故答案为：；． 39．（24-25七年级下·全国·周测）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【答案】 【知识点】利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 40．（25-26八年级上·云南昆明·期中）为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作，求证：； (2)在图2中，连接交于M，若，，求的值． (3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由． 【答案】(1) 证明：为等腰直角三角形，． ，， ， ， ， 在和中， ， ； (2)2 (3)不变，1 【知识点】等腰三角形的定义、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是选择恰当的判定条件证明三角形全等，并添加适当辅助线构造全等三角形． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据“”可证明； （2）由得到，再利用等腰直角三角形得到，得到，，接着利用“”证明，得到即可求解； （3）在上截取，先利用“”证明得到，，然后由，得到，进而求得，从而利用“”证明，得到，然后即可计算出的值． 【详解】（1）略 （2）解：为等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：的值不会发生变化，且， 在上截取，如图， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 41．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）在中，，点是射线上一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上时，与的数量关系是___________． (2)在（1）的条件下，当时，那么___________． (3)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请直接写出此时与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) ①， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； ② 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定： （1）首先证明，再证明后即可得到； （2）根据得到，利用三角形内角和求解即可； （3）当在线段上时，证明，利用全等三角形的性质和角的和差关系得到；当点在线段的延长线上，证明，利用全等三角形的性质和角的和差关系得到．　 【详解】（1）解：． 理由如下：， ， 在和中， ， ， ． （2）解：， ， ， 故答案为：． （3）解：①略 ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 42．（26-27八年级上·江苏徐州·阶段检测）解决下列问题： (1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（C为的中点） (2)【类比解答】如图2，在中，平分，于点E，若，，请通过上述构造全等的方法，求的度数； (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； (4)如图4，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)，证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同上可证明， ∴， ∴． (4) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． （4）延长交于点，可证，得到，，进而得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，； （2）解：延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3）略 （4）解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 过点作交延长线于点，则 ∴当时，高最大为，则最大，则最大， ∴． 43．（26-27九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，在一个的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中的就是一个格点三角形． (1)的面积为______平方单位； (2)请用无刻度直尺在网格中作图（保留作图痕迹）； ①如图，作边上的高； ②如图，在边上找一点E，连接，使和的面积相等； ③如图，作格点，使和的面积相等；（作出一个即可） (3)图中与全等的格点三角形（不包括）可作出______个（只填结果，不作图）． 【答案】(1)9.5 (2)①如图，线段即为所求； ②如图，线段即为所求； ③如图，即为所求； (3)47 【知识点】利用网格求三角形面积、作垂线(尺规作图)、根据三角形中线求面积 【分析】（1）根据全等三角形的性质，找到的格点Q，连接交于点，则即为所求； （2）①取格点R，连接交于点D，由网格特点得到，即是边上的高； ②取格点Q，W，连接交于点E，连接，由网格特点得到点E是中点，即是的中线，即可得到和的面积相等； ③取格点P，连接，，由可得和的面积相等； （3）根据网格的特点找到12个三角形，进而根据轴对称的性质可得47个与之全等的三角形，即可求解． 【详解】（1）解：． （2）略 （3）解：如图，将上下左右平移可得个与之全等的三角形， 由（2）可得，同理通过平移可得个与全等的三角形， 综上所述有个三角形， 根据网格的特点，是的网格，共有4条对称轴， ∴与全等的格点三角形（不包括），可作出个． 44．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； (2)在图②中，画的高线； (3)在图③中，在边上找一点E，连结，使得平分的面积． 【答案】(1) 如图，或都是满足条件的等腰直角三角形． (2) 如图所示,即为所求； (3) 如图所示, 取中点，连接，则即为所求． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、格点图中画等腰三角形、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的性质、中线的定义、高线的定义，解题的关键是能综合运用这些知识点． （1）根据等腰三角形的定义，作图即可； （2）根据高线定义，作图即可； （3）根据长方形的性质结合三角形中线的性质作图即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则，即； （3）略 💯 课后巩固 复习建议 · 全等判定五法要记牢，直角三角形优先考虑 HL · 角平分线夹角公式是选择填空常考点 · 证明题先看要证什么，再找需要哪对三角形全等 · 辅助线不是随便画的，根据已知条件和结论选择 · 动点问题一定要分情况讨论，不要漏解 【作业1】．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，直线和射线是某厂区的两条路，点，是两个车间，现要建仓库，要求到两个车间的距离相等，并且到两条路的距离相等，则满足条件的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据角平分线的性质，线段的垂直平分线判断即可． 【详解】解：如图， ∵到两个车间的距离相等， ∴点P在的垂直平分线上， ∵到两条路的距离相等， ∴点P在或的角平分线上， ∴满足条件的点有2个， 故选：C． 【作业2】．（25-26七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（　　） 如图，在中，平分，过点作，，垂足分别为，， A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】由三角形中，的平分线交于点D，过点D作，根据角平分线的性质，可得，又由角平分线的性质，可得AF＝AE，继而证得①；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③；由不一定等于，知不一定平行，可判断④． 【详解】解：①∵三角形中，的平分线交于点D，过点D作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故正确； ②∵， ∴点D在的垂直平分线上，点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故正确； ③∵， ∴； 故正确； ④∵不一定等于， ∴不一定平行． 故错误． 故选：A． 【点睛】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质．熟练掌握是解题的关键． 【作业3】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在四边形中，，于点E．若，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，熟知判定方法及等腰三角形的性质是解题的关键．过C作于H，过D作交的延长线于F，得到，由等腰三角形的性质推出，由余角的性质推出，判定，推出，根据三角形的面积公式即可获解． 【详解】解：过C作于H，过D作交的延长线于F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【作业4】．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，中，为的角平分线，， E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．若有下列结论： ①；②平分；③；④．请在其中选出所有的正确结论：（   ） A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用SAS证明三角形全等（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 由“”可证，故①正确，由三角形的内角和定理可求，故②错误；由外角的性质可证，可得，故③正确，通过证明，，可得，，可判断④正确，即可解答． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴不平分，故②错误； ③∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴．故③正确； ④过E作于G点， ∵E是的角平分线上的点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，①③④正确． 故选：D． 【作业5】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在和中，，，，，连接，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④平分．则一定正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．由证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理得到，②正确；作于点M，于点N，，由全等三角形对应边上的高相等得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，证明出，得到，从而证明，与已知矛盾，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，，故①正确； 设与交于点E， ∵，， 又∵， ∴，故②正确； 作于点M，于点N，如图所示： ∵， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， ∴平分，故④正确； ∴， ∵， ∴， 即， 假设平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 这与矛盾，故③错误； 正确的有①②④． 故选：B． 【作业6】．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，D为上一动点，，点E在直线上，，若，则的长为_____． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．过点作的垂线交延长线于点，从而可证，再由全等三角形性质可得，最后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，作交的延长线于． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【作业7】．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的有关计算、根据三角形中线求面积 【分析】延长交于点，利用“角边角”判定，得到，从而可证明，即可求出答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴ ． 【作业8】．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，的两条外角平分线，相交于点．交的延长线于点．若的周长为，，则__________． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质，连接，先过点作于由于和的外角平分线交于，根据角平分线的性质可得，根据，可得，解得，再根据的周长为，可得，继而可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 过点作于，作交延长线于， 因为和的外角平分线、交于， 所以， 因为， 所以， 解得， 因为的周长为， 所以， 所以 ， ； 故答案为：． 【作业9】．（2024八年级·全国·竞赛）如图所示，已知，分别是与的平分线，点D是的中点，若点D到两边的距离均为6，则点D到边的距离为__________． 【答案】12 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，先根据等边对等角得到，则由角平分线的定义得到，证明，得到，则；由角平分线的判定定理得到平分，则由三线合一定理得到，则，如图所示，过点E作，垂足分别为N、M，由角平分线的性质得到，证明，得到，则，由平行线的性质得到，即点D到边的距离为12． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵点D到两边的距离均为6， ∴平分， ∴， ∴， 如图所示，过点E作，垂足分别为N、M， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D到边的距离为12， 故答案为：12． 【作业10】．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，是的中点，于，交的延长线于，若，则的长为______． 【答案】6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，关键是求出，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先求得，再证明，得到，再根据中点性质可得，然后即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【作业11】．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，是等腰直角三角形，，，交轴负半轴于点． (1)如图1，若点的坐标是，点的坐标是，直接写出点的坐标； (2)如图2，交轴的负半轴于点，连接，交于． ①求证：； ②求证：点是的中点； ③求证：． 【答案】(1) (2) 证明：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）的证明方法可得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是的中点； ③设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【知识点】坐标与图形综合、全等三角形综合问题、等边对等角 【分析】本题主要考查坐标与图形，等腰三角形的性质（等边对等角），全等三角形的判定和性质，理解坐标与图形的特点，掌握全等三角形的判定和性质，数形结合分析思想是解题的关键． （1）如图所示，过点作轴于点，则，根据垂直的定义可得，再证明，得到，，由此即可求解； （2）①根据题意，证明即可； ②如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，则，证明，得到，由（1）的证明方法可得，，得到，再证明，得到，由此即可求解； ③设，由全等的性质可得，，，，则有，，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴； （2）略 【作业12】．（25-26七年级下·山东烟台·期末）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)等式的性质；全等三角形的对应边相等； (2)； (3)解：．理由如下： 如图，过点A作于点M，作于点N． 同（1）可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，进而证明，可知． 【详解】（1）略； （2）解：同（1）可知， ． 且， 在与中， ， ； （3）略． 【作业13】．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）综合与实践——折纸中的数学 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．现有等腰，如图①所示，其中 【初步感知】 问题1：如图②所示，直线与线段相交于点D，将沿着直线翻折，使点与点重合，则与的数量关系是________；直线与位置关系是________； 【深入探究】 问题2：如图③，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点的对应点为， （1）当，则________； （2）探究与之间的数量关系． 【拓展延伸】 问题3：如图④所示，点在AB上，过点作交AC于点，直线与射线相交于点，将沿直线翻折得到，点的对应点为，点的对应点为，当的某一边与垂直时，直接写出的度数． 【答案】【初步感知】；垂直； 【深入探究】（1）；（2）； 【拓展延伸】 【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等腰的对称性，则是等腰的“三线合一”，即可求证； （2）①根据题意是等腰的对称轴，，可求证；②根据，，设，可得，然后可证，最后可求证； （3）通过直线与射线相交于点的位置不同，分类讨论即可. 【详解】解：【初步感知】∵将沿着直线翻折，使点与点重合，其中 ∴是等腰的对称轴，是等腰的“三线合一” ∴，且 【深入探究】（1）∵，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点的对应点为， ∴是等腰的对称轴， ∵ ∴ ∵ ∴ （2）∵，，设， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 则 【拓展延伸】（1）如图；当的的边与垂直时， ∵等腰，， ∴ ∵将沿直线翻折得到 ∴ （2）如图；当的的边与垂直时， ∵等腰，， ∴ ∵将沿直线翻折得到 ∴ ∴ 如图；当的的边与射线垂直时，过点作， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵等腰，， ∴ ∴ ∵将沿直线翻折得到 ∴，即 ∴ （4）如图；当的的边与垂直时，过点作， ∴与重合时， ∵ ∴ ∴ ∵等腰，， ∴ ∴ ∵将沿直线翻折得到 ∴，即 ∴ 综上所述：的度数为： 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，翻叠的性质，全等三角形的性质，三角形内角和，平行线的性质，解题关键在于熟练掌握各个知识点和根据题意构造辅助线. 【作业14】．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2) 解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 【作业15】．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）构造全等三角形常见的辅助线：倍长法与作平行线． (1)如图1，在中，，其中，，计算线段的取值范围； 方法一：延长至点，使，连接；方法二：过点作，交的延长线于点，请你从以上两种方法中选一种方法证明，并求出的取值范围； (2)如图2，在中，点，在上，，，若平分，求证：； (3)如图3，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：如图，延长到点使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3)证明：延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）选方法一来证明，利用证明，选择方法二来证明，利用来证明，再利用三角形的三边关系求解； （2）延长到点使，连接，先证明，再证明，即可求证； （3）延长至点，使，连接，先证明，再根据等腰三角形的判定与性质证明． 【详解】（1）解：选方法一来证明： 在和中， ， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴； 选择方法二来证明： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴； （2）略 （3）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形 期中复习 满分压轴讲义 （知识梳理典例练习）2026年人教版八年级数学上 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等） · 熟练掌握三角形全等的判定方法 SSS、SAS、ASA、AAS、HL · 掌握角平分线的性质定理与判定定理，能利用角平分线解决角度计算问题 · 会构造辅助线（倍长中线、截长补短、手拉手）证明三角形全等 · 能解决与全等三角形相关的动点问题和综合证明题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形的概念与性质 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 全等三角形的对应边相等、对应角相等 全等三角形的周长相等、面积相等 全等三角形的对应线段（中线、高、角平分线）相等 概念辨析例题：已知△ABC≌△DEF，AB=5，∠A=70°，求 DE 与∠D 答案：DE=5，∠D=70° 解析：全等三角形对应边相等、对应角相等，故 DE=AB=5，∠D=∠A=70° ☆ 2.三角形全等的判定 SSS：三边对应相等的两个三角形全等 SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；AAS：两角及其中一角的对边对应相等 HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 概念辨析例题：已知 AB=AD，BC=DC，求证△ABC≌△ADC 答案：SSS 全等 解析：公共边 AC=AC，又 AB=AD、BC=DC，由 SSS 得△ABC≌△ADC ☆ 3.角平分线的性质与判定 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 三角形三条角平分线交于一点（内心） 双内角平分线夹角=90°+∠A；内、外角平分线夹角=90° 概念辨析例题：△ABC 中∠B、∠C 的平分线交于点 P，∠A=60°，求∠BPC 答案：120° 解析：∠BPC=90°+∠A=90°+30°=120° ☆ 4.辅助线构造与综合应用 倍长中线：延长中线至一倍长，构造全等三角形 截长补短：在长边上截取短边或延长短边构造全等 手拉手模型：两个共顶点的等边三角形或等腰直角三角形，常得到全等三角形 旋转全等：将一个三角形绕某点旋转一定角度构造全等 概念辨析例题：AD 是△ABC 的中线，AB=5，AC=3，求 AD 的取值范围 答案：1<AD<4 解析：倍长中线 AD 至 E 使 DE=AD，证△BDE≌△CDA 得 BE=AC=3，在△ABE 中由三边关系 5−3<AE<5+3，即 2<2AD<8，故 1<AD<4 📋 知识总结表 判定方法 条件 适用范围 SSS 三边对应相等 任意三角形 SAS 两边及夹角对应相等 任意三角形 ASA 两角及夹边对应相等 任意三角形 AAS 两角及一角对边对应相等 任意三角形 HL 斜边+一直角边对应相等 仅限直角三角形 SSA / AAA 不能判定全等 不适用 ⚠️ 核心考点 【考点1】角平分线的性质与判定及角度计算（第1-16题） · 角平分线上的点到两边距离相等，反之亦然 · 双内角平分线夹角=90°+∠A；内外角平分线夹角=90° · 遇角平分线常作两边垂线段，利用距离相等构造全等 1．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，中，，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列结论①②垂直平分  ③若，则  ④若，，则  ⑤若为中点，则为等腰三角形，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②③⑤ D．①③⑤ 3．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在中、、的平分线相交于，过作，交于，交于，那么下列结论正确的有（　　） ①，都是等腰三角形；②；③的周长等于；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④其中正确的为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在的延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②：：；③垂直平分；④其中正确的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 6．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）如图，于点，且，若点是三角形的角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．（24-25八年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，在中，，平分，于，下列结论：①；②；③；④；⑤与的面积之比即与的长度之比．其中正确的是________． 8．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，的角平分线，相交于点，，则___________．若 的面积为，四边形的面积为，则 的面积为___________． 9．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点G，H，连接．若，，，．则下列结论中正确的有_____（填序号） ①； ②是等边三角形； ③与互相垂直平分； ④． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论正确的是__________． ①若，则；②若，则；③若，则 ；④过点作于点，若，，则． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分于点于点，连接交于点，点在上且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的是______．（请填写序号） 12．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中（），和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列结论：①；②；③若，则．④若，则．其中正确的结论有____________________． 13．（2024七年级·全国·竞赛）如图，点A、B分别为平面直角坐标系中x轴正半轴和y轴正半轴上的任意两点，连结，作的外角平分线，作的角平分线，两线相交于点D；再作平分， 平分，两直线相交于点；作平分，平分，两直线相交于点……作平分，平分，两直线相交于点，那么____________． 14．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）在中，平分． (1)如图1，当，时，求的度数； (2)如图2，若点E在上，且平分． ①请用尺规作出点E（保留作图痕迹）； ②探索与有怎样的数量关系？并说明理由． 15．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）已知：如图，在中，分别是与角平分线，与相交于点，垂足分别为M，N． (1)求证：在的角平分线上； (2)求证：． 16．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，在中，，请用尺规在边上作一点D，使的三个内角分别是． 【考点2】全等三角形判定与性质（SAS/ASA/AAS/HL）（第17-24题） · 根据已知条件选择合适的判定方法（SSS/SAS/ASA/AAS/HL） · 证明线段或角相等，通常转化为证明它们所在的三角形全等 · 公共边、公共角、对顶角是隐含的相等条件 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，．给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 18．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．CF平分 D． 19．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 20．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，，，点是的中点，，交直线于点，于点，于点．则下列结论：①△CBD≌△MFD；②；③；④若，则．其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 22．（24-25八年级上·湖北黄石·期中）如下图，中，，的角平分线AD，BE相交于点，过作交BC的延长线于点，交AC于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的是______． 23．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． AI (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：． (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则的值为______． 24．（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）如图①，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上的一个动点，点是轴负半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，使得，且点在轴的上方． (1)求证：； (2)如图②，点、点在滑动过程中，把沿轴翻折使得刚好落在的边上，此时交轴于点，过点作垂直轴于点，求证：； (3)如图③，点、点在滑动过程中，使得点在第二象限内，过点作垂直轴于点，求证：． 【考点3】等边三角形手拉手模型（第25-29题） · 两个共顶点的等边三角形常得一对全等三角形 · 手拉手模型中旋转角等于 60° · 结论常包括：对应边相等、夹角等于原等边三角形内角 25．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②平分；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 26．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知点在同一直线上，和都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 27．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，分别以的边，为边，在的外侧作等边和等边，连接，相交于点O，与相交于点M，与相交于点N，连接，有下列结论：①；②；③平分；④其中，正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 28．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图1所示，等边与等边的顶点A，C，E三点在一条直线上，连接交于O点，交于P点，交于Q点，连． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)设，，，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系． 29．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知等边，过点作的垂线，点为上一动点(不与点重合)，连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． 【问题探索】 （1）如图①，线段与的数量关系是(     )     A． 相等              B．大于              C．小于               D．大小不能确定 【问题解决】 （2）如图②，当点在同侧且时，求证：直线垂直平分线段； 【问题拓展】 （3）如图③，若等边的边长为，点位于直线异侧，点位于直线同侧，且的面积等于 直接写出线段的长度． 【考点4】动点问题与运动型全等（第30-37题） · 动点问题要分情况讨论，用时间 t 表示相关线段长度 · 根据全等条件列方程求解 t · 注意动点到达终点后停止，分类要完整 30．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 31．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 32．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 33．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 34．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，其中，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． (1)若P，Q两点同时到达A点，则x的值为_____________； (2)若与全等，则x的值为_____________． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是______． 36．（25-26八年级下·四川广元·期中）已知在中，，E为直线上一动点，连接． (1)如图①，若E为线段上的一点且满足，若，求线段的长； (2)如图②，若E为线段上的一点，过点C作交的延长线于点F，过点B作于点G，延长交于点H，连接，试探究线段之间的数量关系，并证明其结论； (3)如图③，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，请直接写出的最小值． 37．（24-25八年级上·吉林·阶段检测）如图，在长方形中，厘米，厘米．动点从点出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点从点出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)直接写出线段的长，用含的代数式表示并写出的取值范围； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【考点5】辅助线构造（倍长中线、截长补短）与综合证明（第38-44题） · 遇中线常倍长中线构造全等 · 遇线段和差关系常用截长补短法 · 综合题要分解为若干小三角形，逐步证明 38．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是________，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为________． 39．（24-25七年级下·全国·周测）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 40．（25-26八年级上·云南昆明·期中）为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作，求证：； (2)在图2中，连接交于M，若，，求的值． (3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由． 41．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）在中，，点是射线上一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上时，与的数量关系是___________． (2)在（1）的条件下，当时，那么___________． (3)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请直接写出此时与之间的数量关系． 42．（26-27八年级上·江苏徐州·阶段检测）解决下列问题： (1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（C为的中点） (2)【类比解答】如图2，在中，平分，于点E，若，，请通过上述构造全等的方法，求的度数； (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； (4)如图4，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为______． 43．（26-27九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，在一个的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中的就是一个格点三角形． (1)的面积为______平方单位； (2)请用无刻度直尺在网格中作图（保留作图痕迹）； ①如图，作边上的高； ②如图，在边上找一点E，连接，使和的面积相等； ③如图，作格点，使和的面积相等；（作出一个即可） (3)图中与全等的格点三角形（不包括）可作出______个（只填结果，不作图）． 44．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； (2)在图②中，画的高线； (3)在图③中，在边上找一点E，连结，使得平分的面积． 💯 课后巩固 复习建议 · 全等判定五法要记牢，直角三角形优先考虑 HL · 角平分线夹角公式是选择填空常考点 · 证明题先看要证什么，再找需要哪对三角形全等 · 辅助线不是随便画的，根据已知条件和结论选择 · 动点问题一定要分情况讨论，不要漏解 【作业1】．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，直线和射线是某厂区的两条路，点，是两个车间，现要建仓库，要求到两个车间的距离相等，并且到两条路的距离相等，则满足条件的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【作业2】．（25-26七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（　　） 如图，在中，平分，过点作，，垂足分别为，， A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【作业3】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在四边形中，，于点E．若，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【作业4】．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，中，为的角平分线，， E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．若有下列结论： ①；②平分；③；④．请在其中选出所有的正确结论：（   ） A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【作业5】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在和中，，，，，连接，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④平分．则一定正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【作业6】．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，D为上一动点，，点E在直线上，，若，则的长为_____． 【作业7】．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为________． 【作业8】．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，的两条外角平分线，相交于点．交的延长线于点．若的周长为，，则__________． 【作业9】．（2024八年级·全国·竞赛）如图所示，已知，分别是与的平分线，点D是的中点，若点D到两边的距离均为6，则点D到边的距离为__________． 【作业10】．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，是的中点，于，交的延长线于，若，则的长为______． 【作业11】．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，是等腰直角三角形，，，交轴负半轴于点． (1)如图1，若点的坐标是，点的坐标是，直接写出点的坐标； (2)如图2，交轴的负半轴于点，连接，交于． ①求证：； ②求证：点是的中点； ③求证：． 【作业12】．（25-26七年级下·山东烟台·期末）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【作业13】．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）综合与实践——折纸中的数学 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．现有等腰，如图①所示，其中 【初步感知】 问题1：如图②所示，直线与线段相交于点D，将沿着直线翻折，使点与点重合，则与的数量关系是________；直线与位置关系是________； 【深入探究】 问题2：如图③，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点的对应点为， （1）当，则________； （2）探究与之间的数量关系． 【拓展延伸】 问题3：如图④所示，点在AB上，过点作交AC于点，直线与射线相交于点，将沿直线翻折得到，点的对应点为，点的对应点为，当的某一边与垂直时，直接写出的度数． 【作业14】．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【作业15】．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）构造全等三角形常见的辅助线：倍长法与作平行线． (1)如图1，在中，，其中，，计算线段的取值范围； 方法一：延长至点，使，连接；方法二：过点作，交的延长线于点，请你从以上两种方法中选一种方法证明，并求出的取值范围； (2)如图2，在中，点，在上，，，若平分，求证：； (3)如图3，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 第14章·全等三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上 1 学科网（北京）股份有限公司 $