4.5 相似三角形的性质及其应用（第1课时）课件 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第4章　相似三角形 4.5 相似三角形的性质及其应用（第1课时） 对应线段与三角形的重心 数学新教材浙教版　九年级上册 新知探究 缩小三角形时，内部线段怎样变化？ 背景 把一块三角形图案按同一比例缩小，边长改变，角度保持不变。 追问 从顶点出发的角平分线、中线是否也按同一比例改变？这些问题都能转化为新的三角形相似。 新知探究 从基本性质出发 基本性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 本课路线 在相似三角形内部再构造相似三角形，用对应边的比研究角平分线和中线。 例题讲解 例1 如图，，相似比为。求这两个三角形的角平分线与的比。 答：。 。 两条角平分线使，故。 。 新知探究 角平分线把已知相等角再平分 先找两角 原三角形对应角相等，角平分线两侧的半角也分别相等。 再找边比 内部小三角形相似，因此角平分线之比等于对应边之比。 例题讲解 例2 已知：如图，是的两条中线，是它们的交点。求证。 答：。 连结，由中位线定理，。 ，故。 所以。 新知探究 三条中线为什么交于同一点？ 已知交点 两条中线的交点，把其中每一条中线分成1:2两段。 再画第三条 第三条中线与其中一条中线相交时，同样按1:2分这条中线；该分点唯一，所以还是原来的交点。 A B C D E F P 新知探究 三角形的重心 定义 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心（centroid）. 性质 三角形的重心分每一条中线成的两条线段. 认清方向 ，即顶点到重心较长，重心到对边中点较短。 A B C D E F P 课内练习 练习1 已知，相似比为，分别是两个三角形的一条中线。求与的比。 答：。 中点条件给出；由两边及夹角判定。 对应中线之比等于相似比。 课内练习 练习2 已知：如图，在中，分别是上的点，，交于。求证。 答：。 ，。 。 因，所以。 新知探究 探究活动 任意剪一个三角形纸板，在一个顶点系线悬挂，画出悬线的延长线；换一个顶点悬挂，再画出重力作用线。观察这两条重力作用线的交点，它和三角形的数学意义上的重心有什么关系？ A B C D E P H 答：均匀三角形纸板的两条悬线延长线交于三角形的重心。 先通过两条中线确定数学重心，再与悬挂实验所得交点对照。 实验比较位置关系；中线交点的1:2性质由几何证明保证。 新知探究 重心分的是一整条中线 三种等价写法 ；；。 不要混淆 一旦题目把部分与整体混用，要先画出“顶点—重心—中点”的顺序。 A B C D E F P 课堂总结 对应线段与重心 角平分线 对应角平分线之比等于相似比 中线 对应中线之比等于相似比 重心 三条中线的交点 中线分段 顶点到重心:重心到中点=2:1 针对训练 训练1 两个相似三角形的相似比为，第一个角平分线长8，求第二个对应角平分线的长。 答：。 ，得。 针对训练 训练2 相似三角形的对应中线分别长6、10，较小三角形某边长9，求较大三角形对应边。 答：。 相似比为，故对应边长。 针对训练 训练3 是的重心，为中线，。求。 A B C D E F P 答：。 。 针对训练 训练4 是三角形的重心，，是对边中点。求与。 A B C D E F P 答：。 ，。 针对训练 训练5 是三角形的重心，，求。 A B C D E F P 答：。 ，所以。 针对训练 训练6 是的重心，过作交两边于。求。 A B C D P E F 答：。 小三角形与原三角形相似，。 针对训练 训练7 相似三角形一组对应边之比为，对应中线之和为32，求这两条中线长。 答：与。 对应中线也按3:5分配32，8份中每份为4。 针对训练 应用1 均匀三角形展板的一条中线长90厘米。支撑点设在重心处，它离这条中线上的顶点与对边中点各多远？ 答：厘米与厘米。 重心把中线分成，故分别为全长的和。 针对训练 应用2 制作两个相似的三角形风筝，较小风筝一条中线长24厘米，对应边长30厘米。大风筝对应边长45厘米，求大风筝对应中线长。 答：厘米。 大对小的相似比为，对应中线为厘米。 方法总结 研究内部对应线段 ① 把角平分线或中线所在的小三角形提取出来。 ② 证明小三角形相似，再把线段比换成已知边比。 使用重心性质 ① 画清顶点、重心、对边中点的先后顺序。 ② 先写2:1，再按题意换成部分与整体的2:3或1:3。 $