4.6相似三角形的应用（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

4.6 相似三角形的应用 第四章 相似三角形 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3  会利用相似三角形性质求解高度、长度、距离等问题，能处理单位换算，能按要求取近似值； 能把现实生活测量问题抽象成相似三角形几何模型，并利用相似三角形的性质解决实际问题；  经历实际情境→抽象几何图形→证明相似→列比例计算→回归实际作答完整数学建模过程，提升建模能力。 情景引入 泰勒斯（约公元前624年—公元前546年），古希腊伟大的数学家、哲学家，被誉为“科学和哲学之祖”，古希腊七贤之首。   泰勒斯第一个把几何学从埃及带到希腊，用逻辑推理证明几何命题的人，开创演绎几何。 首次提出相似原理，为相似三角形理论奠定基础。 泰勒斯，首次测出金字塔高度。 金字塔那么高，人没法爬上去直接量，泰勒斯是怎么办到的？ 温故知新 相似三角形的性质： 1.对应角相等，对应边成比例。 2.两个相似三角形对应角平分线、中线、高线的比等于相似比。 3.三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段。 4.相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。 典例解析 例1 如图,屋架跨度的一半OP=5m,高度OQ=2.25m 。现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度AC=1.20m,AB在水平位置求AB 的长(精确到0.01m)。 解:由题意得AB∥PQ， ∴∠ABC=∠OPQ ∵∠CAB=∠POQ=, ∴△ABC ∽△OPQ, ∴ ∴ 答：AB 的长约为 分析情境找条件 证明相似找比例 代入数据算结果 典例解析 例2 数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，有以下两种方法： 方法一：如图,把镜子放在离树(AB )8m的点E 处，然后沿着直线 BE 后退到点D， 这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m。 解：根据条件可知，∠CED =∠AEB, ∠CDE=∠ABE=， ∴△CDE ∽ △ABE， ∴，即。 ∴m。 A B E C D 典例解析 例2 数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，有以下两种方法： 方法二：如图,把长为2.40m 的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m, 标杆的影长为1.47m。 解：由已知可得 CF//AE， ∴∠CFD =∠AEB， ∴∠CDF =∠ABE=， ∴△CDF ∽△ABE， ∴，即 ∴ AB = m 还有其他方法吗？试一试。 典例解析 例2 方法三：如图，在地面上直立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶端E、树梢顶点A在同一条直线上，量出CG，CH 的距离，再根据身高和标杆的长度就可以求出树的高度。 C E D F B H G A C E D F B H G A 你还有哪些方法可以测出树高？和你的同伴交流一下！ 模型总结 总 结 利用三角形相似测高的三种基本模型 光线反射型 标杆投影型 构造相似型 入射角=反射角 太阳光线平行 人、物与地面垂直 两个直角三角形相似 新知巩固 练一练 1.凸透镜成像的原理如图所示 ，AD // l //BC 。 若焦点F₁ 到人的距离与焦点F₁到凸透镜的中心线DB 的距离之比为5:4,则人所成的像被缩小到人的几分之几? 解：设焦点F1到人的水平距离为5k(k>0),根据题意，焦点F1到凸透镜中心线DB的水平距离为4k。 ∵AD // l , ∴AD // F1O ∴△AHF1 ∽△BOF1 ,其中AH为人的身高。 ∴ ∵l //BC ∴BC // ∵ ∴ 即人所成的像被缩小到人的。 新知巩固 练一练 2. 如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2m。当BC=2.4m 时 ，点B 离地面的距离BE=1.4m, 求此时点A 离地面的距离 (精确到0.1m)。 解：如图，过点B作BO⊥AD, 交AD于点O。 ∵BC=2.4m，BE=1.4m,∠BEC=90°， ∴， ∵∠AFB=∠CFD，∠ABF=∠CDF=90°，∴∠BAO=∠C， .∴△AOB∽△CEB， ∴,即 ， ∴AO=0.975m， ∴AD=AO+OD=0.975+1.4≈2.4m， ∴此时点A 离地面的距离约为2.4 m. O 数学史实 泰勒斯等到他本人身高和影长相等时去测金字塔的高度，此时金字塔影子的顶端到金字塔正方形底边最近一点距离再加金字塔底面正方形边长的一半就是金字塔的高度。通过学习，你能说出其中的道理吗？ 泰勒斯测金字塔高度的方法： 你有那些方法测量金字塔的高度？和你的伙伴分享一下。 课堂小结 1.似三角形应用四步法： 建 模 判 定 列 式 计 算 2.三大模型： 光线反射型 标杆投影型 构造相似型 新知巩固 做一做 如图为步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE 为80cm, 步枪上的准星宽度AB为2mm，目标的正面宽度CD为50cm。 求眼睛到目标的距离OF。 解：由题意得△OAB ∽△OCD, ∴ ∵，， ， ∴ ∴ 计算过程中要注意单位的统一 课堂练习 1. 我国古代数学名著《九章算术》中“勾股”章有这样一道题“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？”翻译后为：如图，正方形城邑DEFG的四面正中各有城门，出北门20步的A处 (HA=20步)有一树木，出南门14步到C处(KC=14步),再向西行1775步到B处(CB=1775步),正好看到A处的树木(点D在直线AB上)。求城邑的边长。 解：设正方形的边长为步，由已知可得 △ADH∽△ABC, ∴， 即 化简，得 解得(舍去)。 ∴城邑的边长为250步。 图 1 课堂练习 2. 小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度（如图1)。 当 1m 长的直立竹竿的影长为1.5m 时，测量旗杆落在地上的影长为21m,落在墙上的影长为2m。求旗杆的高度。 解法一：如图2，CD=2m，BD=21m， ∵， ∴DE=1.5CD=3。 ∵， ∴。 答：旗杆的高度为 A B D C E 图 2 图 1 课堂练习 2. 小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度（如图1)。 当 1m 长的直立竹竿的影长为1.5m 时，测量旗杆落在地上的影长为21m,落在墙上的影长为2m。求旗杆的高度。 A E F C D 图 2 解法二：如图2，过C作CE⊥AB于E， ∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠EBD=∠CDB=∠CEB=90°， ∴四边形CDBE为矩形， ∴BD=CE=21，CD=BE=2， 设AE =x ， ∴， 解得：x=14 ， ∴ 旗杆的高AB=AE+BE=14+2=16m 。 $