4.1 比例线段（第3课时）2026-2027学年数学浙教版九年级上册

第4章　相似三角形 4.1 比例线段（第3课时） 比例中项与黄金分割 数学新教材浙教版　九年级上册 新知探究 把一条线段分成怎样的两段？ 观察 一根长10厘米的纸条，若较长段与全长的比，等于较短段与较长段的比，分点该在哪里？ 联系 两个相邻的比相等，会出现一个重复作为比较对象的长度。 A P B 新知探究 探究 已知，算一算成立吗？是否成比例？再写出三个数满足。 答：成立；成比例。例如。 ，。 。 新知探究 比例中项 定义 一般地，如果三个数满足比例式（或），那么就叫做的比例中项. 等价关系 分母不为0时，. 新知探究 做一做 回答下列问题。 （1） 是不是和的比例中项？如果是，请写出相应的比例式。 （2） 已知线段，求的比例中项线段。 （1） 答：是，。 。 新知探究 做一做 回答下列问题。 （1） 是不是和的比例中项？如果是，请写出相应的比例式。 （2） 已知线段，求的比例中项线段。 （2） 答：。 设长为，。线段长度为正，所以。 新知探究 黄金分割 定义 如图4-5，如果点把线段分成两条线段和，使，且，那么称线段被点黄金分割（golden section），点叫做线段的黄金分割点，所分成的较长一条线段与整条线段的比叫做黄金比（golden ratio）. A P B 新知探究 用方程求黄金比 设未知数 设，则，。 列方程 由，得，即。 取符合条件的根 ，所以。 A P B 例题讲解 例5 如图，已知线段，点是它的黄金分割点，。求的长。 A P B 答：，。 。 。 课内练习 练习1 求下列各组线段的比例中项线段。 （1） （2） （1） 答：。 ，。 课内练习 练习1 求下列各组线段的比例中项线段。 （1） （2） （2） 答：。 ，取正根。 课内练习 练习2 已知点是线段的黄金分割点，，求： （1） （精确到0.1）。 （2） 若，求。 A P B （1） 答：。 。 课内练习 练习2 已知点是线段的黄金分割点，，求： （1） （精确到0.1）。 （2） 若，求。 A P B （2） 答：。 ，。 课堂总结 黄金分割 比例中项 ，线段取正根 黄金分割 黄金比 求分段长 先求较长段，再用全长相减 针对训练 训练1 求线段和的比例中项线段。 答：。 ，。 针对训练 训练2 数是和的比例中项吗？线段长能取吗？ 答：是比例中项；线段长不能取负数。 ，但长度必须为正。 针对训练 训练3 线段长为，黄金分割后较长段和较短段分别是多少？ A P B 答：与。 较长段为，较短段为全长减较长段。 针对训练 训练4 黄金分割的一条线段中，较长段为，求全长。 答：。 全长。 针对训练 训练5 点把分成两段，且。这是黄金分割吗？ 答：不是。 ，，两比不等。 针对训练 训练6 已知正数的比例中项为，且，求。 答：。 ，所以。 针对训练 应用1 设计一块黄金矩形展板，长为厘米，宽与长之比为黄金比，求宽（精确到0.1厘米）。 答：约厘米。 宽。 针对训练 应用2 舞台宽米，装饰点位于舞台水平边线的黄金分割点，距左端较近。它距左端多少米（精确到0.1米）？ 答：约米。 较短段。 方法总结 求比例中项 ① 列，先算乘积再开平方。 ② 若求线段的比例中项，只取正根。 处理黄金分割 ① 先明确较长段、较短段与全长。 ② 牢记，避免把短段与全长之比当作黄金比。 $