4.1 比例线段（3课时） 一课一练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

浙教版（2024）数学九年级上册一课一练 第4章　相似三角形 4．1　比例线段 第1课时　比例的基本性质 1．下列各组中的a，b，c，d不能成比例的是(　 　) A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝，c＝，d＝ C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝，d＝2 2．已知比例外项为m，n，比例内项为p，q，则下列比例式中，正确的是(　 　) A．m∶n＝p∶q B．m∶p＝n∶q C．m∶q＝n∶p D．m∶p＝q∶n 3．已知2x＝3y(y≠0)，则下列说法中，正确的是(　 　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 4．已知＝，则下列各式中，一定成立的是(　 　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 5．已知＝，则＝____________，＝____________． 6．求下列各式中的x. (1)3∶x＝2∶8. (2)x∶(x＋1)＝(1－x)∶4. 7．已知＝＝≠0，则＝____________． 8．已知＝≠1，求证：＝. 9．已知＝＝＝. (1)求的值． (2)求的值． (3)通过(1)，(2)的计算，请你直接写出的值(l，m，n均不为0)． 10．[原创]若＝＝，且3x－2y＋z＝24，求的值． 11．若＝＝＝k，求k的值． 4．1　比例线段 第2课时　比例线段 1．已知线段a，b，c，d满足ab＝cd，把它改写成比例式，下列各式中，错误的是(　 　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 2．已知A，B两地的实际距离AB＝5 000 m，画在地图上的距离A′B′＝2 cm，则这张地图的比例尺为(　 　) A．25 000∶1 B．1∶25 000 C．250 000∶1 D．1∶250 000 3．正方形的边长与对角线的比为_____________，等边三角形的边长与高线长的比为_____________． 4．已知△ABC的三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形的三条边的长度之比为_____________． 5．如图，已知＝＝，则= ，= ，= ． (第5题) 6．(1)如图①，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，AC＝8，BC＝6，求CD的长． (2)如图②，在△ABC中，AD，CE分别是BC，AB上的高线，求证：AD∶CE＝AB∶BC. (第6题) 7．[原创]如图，已知△ABC和四边形BCDE，BC綊ED，∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD.若S△ABC∶S四边形BCDE＝1∶2，求的值． 　　　　　　　　　　 　　　　　(第7题)　　 　　　　　　　　　　　 4．1　比例线段 第3课时　比例中项 1．已知x是a，b的比例中项，则下列说法中，错误的是(　 　) A．x2＝ab B.＝ C.＝ D．ab＝ 2．已知a∶b＝12∶8，且b是a和c的比例中项，则b∶c等于(　 　) A．4∶3 B．3∶2 C．2∶3 D．3∶4 3．如图，已知C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则下列说法中，正确的是(　 　) (第3题) A．AB2＝AC2＋BC2 B．BC2＝AC·AB C.＝ D.＝ 4．已知线段AB＝2 cm，C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为(　 　) A．(－2)cm B．(3－)cm C．(－1)cm D．(2－)cm 5．已知线段c是线段a，b的比例中项线段，且a＝4 cm，b＝25 cm，则c＝____________cm. 6．(1)已知a＝2，c＝4，b是a，c的比例中项，求b的值． (2)已知AB＝4 cm，CD＝5 cm，线段MN是AB，CD的比例中项线段，求MN的长． (3)比较(1)(2)两题，你有什么发现？ 7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AC于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E.求证：E是线段AB的黄金分割点． (第7题) 8．如图，扇子的圆心角为x，余下扇形的圆心角为y，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观．若黄金比取0.618，则x约为(　 　) (第8题) A．222° B．138° C．139° D．108° 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2(－1)，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D.求证：D是线段AC的黄金分割点． (第9题) 10．[原创]如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，在AB上取一点E，作正方形AEFG，EF与CD相交于点H.若S正方形AEFG＝S矩形ABCD＝4，四边形BCHE是正方形，求证：H是EF的黄金分割点． (第10题) 11．若一个矩形的短边与长边的比值为(黄金分割数)，我们就把这样的矩形叫做“黄金矩形”． (第11题) (1)操作：如图，请在“黄金矩形”ABCD(AB>AD)中，以短边AD为一边作正方形AEFD(使点E在AB上，点F在CD上)． (2)探究：(1)中得到的四边形EBCF是不是“黄金矩形”？请说明理由． (3)归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论(不需要说明原因)． 【参考答案】 4．1　比例线段 第1课时　比例的基本性质 1．下列各组中的a，b，c，d不能成比例的是(　C　) A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝，c＝，d＝ C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝，d＝2 2．已知比例外项为m，n，比例内项为p，q，则下列比例式中，正确的是(　D　) A．m∶n＝p∶q B．m∶p＝n∶q C．m∶q＝n∶p D．m∶p＝q∶n 3．已知2x＝3y(y≠0)，则下列说法中，正确的是(　A　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 4．已知＝，则下列各式中，一定成立的是(　D　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【解析】 ＝⇒＋2＝＋2⇒＝. 5．已知＝，则＝__5__，＝__－__． 【解析】 ∵＝，∴5a＋5b＝6b，∴5a＝b，∴＝5，＝＝－. 6．求下列各式中的x. (1)3∶x＝2∶8. (2)x∶(x＋1)＝(1－x)∶4. 解：(1)由比例的基本性质，得2x＝3×8，∴x＝12. (2)由比例的基本性质，得(x＋1)(1－x)＝4x， ∴x2＋4x－1＝0，解得x1＝－2，x2＝－－2. 7．已知＝＝≠0，则＝____． 【解析】 设＝＝＝k(k≠0)，则x＝2k，y＝3k，z＝4k， ∴＝＝. 8．已知＝≠1，求证：＝. 证明：∵＝，∴1＋＝1＋，∴＝.① ∵＝≠1，∴1－＝1－≠0，∴＝≠0.② ①÷②，得＝. 9．已知＝＝＝. (1)求的值． (2)求的值． (3)通过(1)，(2)的计算，请你直接写出的值(l，m，n均不为0)． 解：(1)由题意，得a＝b，c＝d，则＝＝. (2)由题意，得a＝b，c＝d，e＝f，则＝＝＝. (3)＝. 10．[原创]若＝＝，且3x－2y＋z＝24，求的值． 解：设＝＝＝k，则x＝2k－1，y＝3k，z＝4k－5， ∴3(2k－1)－2·3k＋(4k－5)＝24， ∴k＝8，∴x＝15，y＝24，z＝27，∴＝＝. 11．若＝＝＝k，求k的值． 解：由题意，得a＋b＝ck，① b＋c＝ak，② c＋a＝bk.③ ①＋②＋③，得2(a＋b＋c)＝k(a＋b＋c)． 分两种情况讨论： Ⅰ.当a＋b＋c≠0时，k＝2. Ⅱ.当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，b＋c＝－a，a＋c＝－b，∴k＝－1. 综上所述，k的值为2或－1. 4．1　比例线段 第2课时　比例线段 1．已知线段a，b，c，d满足ab＝cd，把它改写成比例式，下列各式中，错误的是(　B　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 2．已知A，B两地的实际距离AB＝5 000 m，画在地图上的距离A′B′＝2 cm，则这张地图的比例尺为(　D　) A．25 000∶1 B．1∶25 000 C．250 000∶1 D．1∶250 000 3．正方形的边长与对角线的比为__1∶__，等边三角形的边长与高线长的比为__2∶__． 4．已知△ABC的三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形的三条边的长度之比为__1∶∶2__． 5．如图，已知＝＝，则= ，= ，= ． (第5题) 【解析】∵＝， ∴可设AD＝3k，则DB＝2k， ∴AB＝AD＋DB＝5k， ∴＝＝，＝＝. 同理，＝. 6．(1)如图①，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，AC＝8，BC＝6，求CD的长． (2)如图②，在△ABC中，AD，CE分别是BC，AB上的高线，求证：AD∶CE＝AB∶BC. (第6题) (1)解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝10. ∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD， ∴CD＝＝＝4.8. (2)证明：∵S△ABC＝AD·BC＝AB·CE， ∴AD·BC＝AB·CE，即AD∶CE＝AB∶BC. 7．[原创]如图，已知△ABC和四边形BCDE，BC綊ED，∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD.若S△ABC∶S四边形BCDE＝1∶2，求的值． 　　　　　　　　　　 　　　　　(第7题)　　 　　　　　　　　　　　　 (第7题答图) 解：如答图，过点A作AM⊥BC，过点D作DN⊥BC，分别交BC的延长线于点M，N. 易证四边形BEDN是矩形， 又∵BC＝ED，∴CN＝BC. 易证△ACM≌△CDN，∴AM＝CN＝BC， ∴S△ABC＝BC·AM＝BC2. 又∵S四边形BCDE＝(BC＋ED)·BE＝(BC＋2BC)·BE＝BC·BE， S△ABC∶S四边形BCDE＝1∶2， ∴＝，∴＝. 4．1　比例线段 第3课时　比例中项 1．已知x是a，b的比例中项，则下列说法中，错误的是(　D　) A．x2＝ab B.＝ C.＝ D．ab＝ 2．已知a∶b＝12∶8，且b是a和c的比例中项，则b∶c等于(　B　) A．4∶3 B．3∶2 C．2∶3 D．3∶4 【解析】 ∵a∶b＝12∶8，b是a和c的比例中项，即a∶b＝b∶c， ∴b∶c＝12∶8＝3∶2. 3．如图，已知C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则下列说法中，正确的是(　C　) (第3题) A．AB2＝AC2＋BC2 B．BC2＝AC·AB C.＝ D.＝ 4．已知线段AB＝2 cm，C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为(　C　) A．(－2)cm B．(3－)cm C．(－1)cm D．(2－)cm 【解析】 ∵C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，∴AC＝AB. 又∵AB＝2 cm，∴AC＝×2＝(－1)cm. 5．已知线段c是线段a，b的比例中项线段，且a＝4 cm，b＝25 cm，则c＝__10__cm. 6．(1)已知a＝2，c＝4，b是a，c的比例中项，求b的值． (2)已知AB＝4 cm，CD＝5 cm，线段MN是AB，CD的比例中项线段，求MN的长． (3)比较(1)(2)两题，你有什么发现？ 解：(1)∵b是a，c的比例中项， ∴a∶b＝b∶c， ∴b2＝ac，∴b＝±. 又∵a＝2，c＝4，∴b＝±2. (2)∵线段MN是AB，CD的比例中项， ∴AB∶MN＝MN∶CD， ∴MN2＝AB·CD， ∴MN＝. 又∵AB＝4 cm，CD＝5 cm， ∴MN＝2 cm. (3)比较(1)(2)发现：当比例中项为数时，可以取正负两个值；当比例中项为线段时，只能取一个正值． 7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AC于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E.求证：E是线段AB的黄金分割点． (第7题) 证明：设BC＝a，则AB＝2a，AC＝a. 由题意，得CD＝BC＝a，∴AE＝AD＝a－a， ∴＝＝， ∴E是线段AB的黄金分割点． 8．如图，扇子的圆心角为x，余下扇形的圆心角为y，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观．若黄金比取0.618，则x约为(　B　) (第8题) A．222° B．138° C．139° D．108° 【解析】 由题意，得＝0.618，y＝360°－x， ∴x＝0.618(360°－x)，解得x≈138°. 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2(－1)，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D.求证：D是线段AC的黄金分割点． (第9题) 证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠C＝∠ABC＝＝72°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝36°， ∴∠A＝∠ABD，∠CDB＝∠A＋∠ABD＝72°＝∠C， ∴AD＝BD＝BC＝2(－1)， ∴＝＝， ∴D是线段AC的黄金分割点． 10．[原创]如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，在AB上取一点E，作正方形AEFG，EF与CD相交于点H.若S正方形AEFG＝S矩形ABCD＝4，四边形BCHE是正方形，求证：H是EF的黄金分割点． (第10题) 证明：设BC＝x，则BE＝EH＝x. ∵S正方形AEFG＝4，∴AE＝EF＝2. ∵S矩形ABCD＝4，∴(2＋x)x＝4， 解得x＝－1(负值舍去)， ∴EH＝－1，∴＝， ∴H是EF的黄金分割点． 11．若一个矩形的短边与长边的比值为(黄金分割数)，我们就把这样的矩形叫做“黄金矩形”． (第11题) (1)操作：如图，请在“黄金矩形”ABCD(AB>AD)中，以短边AD为一边作正方形AEFD(使点E在AB上，点F在CD上)． (2)探究：(1)中得到的四边形EBCF是不是“黄金矩形”？请说明理由． (3)归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论(不需要说明原因)． 解：(1)如答图，在AB和DC上分别截取AE＝DF＝AD，连结EF，则四边形AEFD就是所求作的正方形． (2)四边形EBCF是“黄金矩形”．理由如下： 设CD＝a，AD＝BC＝b，则＝. ∵四边形AEFD是正方形， ∴DF＝AD＝b，(第11题答图) ∴CF＝CD－DF＝a－b. 易知四边形EBCF是矩形， ∴＝＝－1＝－1＝， ∴矩形EBCF是“黄金矩形”． (3)在“黄金矩形”内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个矩形也是“黄金矩形”． 学科网（北京）股份有限公司 $