4.1 任意角与弧度制及三角函数的概念 专项训练-2027届高三数学一轮复习

4.1 任意角与弧度制及三角函数的概念 基础知识梳理 1.角的概念 定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 分类 按旋转方向分为正角、负角和零角; 按终边位置分为象限角和轴线角 终边相 同的角 所有与角终边相同的角,连同角在内,构成的角的集合是或   2.角的概念易错点 （1）相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们之间相差的整数倍. （2）终边在一条直线上的角之间相差的整数倍;终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差的整数倍. 3.象限角 4.轴线角 5.弧度制 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作 角度与弧 度的换算   弧长公式 弧长 扇形面 积公式   6.任意角的三角函数 （1）定义:设是一个任意角它的终边与单位圆相交于点则 （2）三角函数值在各象限内的符号如图. 记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 7.任意角的对称关系 （1）角的终边相同 （2）角的终边关于轴对称 （3）角的终边关于轴对称 （4）角的终边关于直线对称 （5）角的终边关于原点对称 （6）若,则 8.确定的终边位置的方法 先用终边相同的角的形式表示出角 的范围,再写出 或 的范围,然后根据k的可能取值确定 或 的终边所在的位置. 9.弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 （1）当求扇形面积的最大值时,常转化为求二次函数的最值问题. （2）在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理利用圆心角所在的扇形. 10.利用三角函数的定义求三角函数值的类型及方法 题型一 任意角及其表示 1．角－863°的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】，则和的终边相同，故角的终边在第三象限. 2．将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负角的定义和钟表指针转动规律求解. 【详解】因为钟表的时针1小时（60分钟）顺时针转过的角度是， 所以每分钟时针转过的角度为， 故拨快20分钟时，时针转过的总角度为. 3．下列说法中，正确的个数是（　　） ①终边相同的角一定相等；②锐角一定是第一象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，②正确； 第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 4．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以与终边相同，都位于第三象限； 由题意得， 因此， 即，因此与终边相同，都在第二象限． 5．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别写出阴影部分终边在第二象限和第四象限角的集合，然后并起来即可. 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为： . 阴影部分终边在第四象限角的集合为： . 所以终边在阴影部分的角的集合为. 6．下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与终边相同的角的集合为：. 当时，； 若，则不是整数； 若，则不是整数； 若，则不是整数. 7．下列各角中，与终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 结合选项知与终边相同的是. 8．下列各角的终边与的终边重合的是（    ） A．190° B． C．1490° D． 【答案】C 【分析】根据任意角的定义求解即可. 【详解】终边与的终边重合的角为. 因为，又，故1490°与的终边相同，所以C正确. 对于其它选项，，均不符合. 9．已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 【答案】 【分析】根据题意，可得出在范围内，终边落在阴影内的角为或；结合周期性进行化简，即可得出答案. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为或， 所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为 . 10．在范围内，找出与下列各角终边相同的角： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据终边相同的角的定义结合象限角的定义可得出结论. 【详解】（1）， 所以，在范围内，与终边相同的角为. （2）因为， 所以，在范围内，与终边相同的角为. （3）因为， 所以，在范围内，与终边相同的角为. （4）因为， 所以，在范围内，与终边相同的角为. 11．写出角在下列位置时的集合． (1)角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2)角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），（2）根据任意角的定义以及终边相同的角的表示，结合图形，可直接求出角的集合． 【详解】（1）角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界），角的集合为：或 ； （2）角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 角的集合为． 12．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】与角终边相同的角为，，再根据题目要求对k进行限制即可得到答案. 【详解】（1）由且，可得，故所求的最大负角为. （2）由且，可得，故所求的最小正角为. （3）由且，可得，故所求的角为. 题型二 象限角与轴线角 1．若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合象限角的取值范围运算求解即可. 【详解】因为是第二象限角， 则，，可得，， y是第四象限角，则，，解得，， 所以构成的集合为. 2．下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 【答案】B 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断. 【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：若是钝角，则， 可得，所以是第一象限角，故B正确； 对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误； 故选：B. 3．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【详解】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 4．如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 【答案】C 【分析】根据条件得到，再结合选项，即可求出结果. 【详解】因为是锐角，即，所以， 故选：C. 5．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 【答案】D 【分析】根据第二象限角的范围，求出，再分类讨论得出象限即可. 【详解】，， ，， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第四象限角. 故选：D. 6．若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】利用象限角的概念和运算法则求构成的集合． 【详解】记，由是第一象限角，则， ， 又 是第三象限角， 的终边必须落在上述区间内第三象限部分， 即，解得， 构成的集合为（）． 故选：C． 7．已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 8．已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】C 【分析】由题意可得，可得，讨论的取值，即可确定答案. 【详解】由题意是第三象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第三象限角； 当时，，是第四象限角； 故不可能是第二象限角. 故选：C 9．已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】D 【分析】由已知有，，再求出的范围，即可得. 【详解】由，，则，， 为奇数时，在第四象限， 为偶数时，在第二象限， 所以在第二或第四象限. 故选：D 10．下列说法正确的是（    ） A．第二象限角大于第一象限角 B．不相等的角终边可以相同 C．若是第二象限角，一定是第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角是零角 【答案】B 【分析】根据角的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A选项，第一象限角，而是第二象限角，∴该选项错误； B选项，与终边相等，但它们不相等，∴该选项正确； C选项，若是第二象限角，则， ∴是第三象限角或第四象限角或终边在轴负半轴上的轴线角，∴该选项错误； D选项，角的终边在轴正半轴上，但不是零角，∴该选项错误. 故选：. 【点睛】本题考查了角的定义和性质，属于简单题. 11．集合中角终边所处位置是（    ） A．轴 B．轴 C．非负半轴 D．非负半轴 【答案】B 【详解】若为偶数，设，则，角终边与终边相同，落在轴正半轴； 若为奇数，设，则，角终边与终边相同，落在轴负半轴. 综上，终边整体落在轴上. 12．下列命题中正确的是（    ） A．终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D．始边相同而终边不同的角一定不相等 【答案】D 【分析】根据轴线角和直角的定义可以判断A；根据象限角的定义举反例可以判断BC；根据任意角的定义可以判断D. 【详解】对于选项A，终边在y轴非负半轴上的角为，不一定是（直角）， 例如的终边也在y轴非负半轴上，但它不是直角，故A错误； 对于选项BC，如是第二象限角，但不是钝角；如第四象限角，但不是负角，故BC错误； 对于选项D，因为任意角由一条射线绕顶点按逆时针或者顺时针旋转形成， 所以始边相同而终边不同的角一定不相等，故D正确. 故选：D. 13．终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用任意角表示终边与轴重合的角，即可得. 【详解】终边与轴重合的角为，即， 终边与轴重合的角为，即，， 所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是． 故选：B 14．若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用终边相同的角的特征求解判断. 【详解】由角的终边相同，则，即， 所以的终边在轴的非负半轴上. 故选：A 15．若角的终边在轴上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接写出终边在轴上的角，比较选项即可. 【详解】角的终边在轴上， 则，AD错在角度，弧度混用，B范围不对， 故选：C 16．已知为第一象限角，试确定，，分别是第几象限角． 【答案】是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角，为第一象限角或第三象限角，为第一象限角或第二象限角或第三象限角． 【详解】∵是第一象限角， ∴，， ∴，． ∴是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角． 对于及，有如下两种方法． 方法一：，． ①当，时，，，∴为第一象限角； ②当，时，，，∴为第三象限角． 综上可知，为第一象限角或第三象限角． 同理，，． ①当，时，，，∴为第一象限角； ②当，时，，，∴为第二象限角； ③当，时，，，∴为第三象限角． 综上可知，为第一象限角或第二象限角或第三象限角． 方法二：分别将各个象限二等分、三等分，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向依次循环标上数字1，2，3，4，如图①②所示． ∵为第一象限角， ∴根据图①中数字1所在的位置，确定出为第一象限角或第三象限角； 根据图②中数字1所在的位置，确定出为第一象限角或第二象限角或第三象限角．    17．已知角是第三象限角．求： (1)角是第几象限的角． (2)角终边的位置． 【答案】(1)第二象限或第四象限的角 (2)第一象限或第二象限或轴的正半轴 【分析】（1）由题意得出，可求出的取值范围，对分奇数和偶数两种情况讨论，可得出终边的位置； （2）求出的取值范围，可得出角终边的位置. 【详解】（1）因为是第三象限角，所以， 所以， 当为偶数时，设，则， 此时为第二象限角， 当为奇数时，设，则， 此时为第四象限角. 综上所述，是第二象限或第四象限的角． （2）因为， 所以， 即角终边在第一象限或第二象限或轴的正半轴． 题型三 弧度制及其应用 1．是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据题意，得到，进而得到答案. 【详解】因为，所以是第四象限角． 2．半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】由弧度制的定义计算求解. 【详解】半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为. 3．把化成弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】化成弧度为. 4．将化为弧度是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 5．把化成弧度，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角度制与弧度制的互化求解即可. 【详解】. 6．把角化为的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为与的终边相同， 所以把角化为的形式为. 7．已知一圆心角为的扇形的周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设扇形所在圆的半径为，弧长为，利用扇形的弧长公式，列出方程，求得的值，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 因为扇形的圆心角为，即圆心角为，可得， 将代入上式，可得，解得，则 所以扇形的面积为. 8．已知一个扇形半径为4，圆心角为80°，现将该扇形的圆心角扩大为120°，半径不变，则扇形的面积扩大了（    ） A． B．4π C． D． 【答案】D 【分析】求出扩大部分扇形的圆心角，利用扇形面积公式求解. 【详解】因为扇形扩大部分也是扇形，此扇形的圆心角为，又， 所以扇形的面积扩大了． 9．已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用扇形的周长公式和面积公式求解. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，圆心角所对的弧长为， 由题意可得，解得或，所以或. 10．在下图中，优弧与劣弧有相同的圆心．并且点位于与之间，点位于与之间．优弧，劣弧以及线段和的长度均为．问到的距离是多少？（    ） A．1 B． C． D． E．2 【答案】B 【分析】设，圆心角，利用弧长公式建立关于和的方程组，消元后即可求得结果. 【详解】设，圆心角， 因为点位于与之间，点位于与之间，且， 所以，且， 由题意，劣弧的长度为，根据弧长公式可得：①， 因为为劣弧，所以， 又因为优弧的长度为，其对应的圆心角为，可得：②， 由①得：，代入②得：， 整理得：，解得， 因为，且，所以，舍去， 故，即到的距离为. 11．已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为，根据题意，得到，利用扇形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为， 因为扇形的周长为，可得，即， 则扇形的面积为， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以. 12．已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为， 所以，所以扇形的面积为， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以当时，扇形的面积取得最大值. 13．第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得扇形所在圆的圆心角，结合扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形所在圆的半径为， 则弦长的一半为，弦的中点到圆心的距离为， 根据勾股定理得，整理得，解得， 设扇形所对的圆心角为，因为弦长为， 在直角中，可得，所以，即 所以扇形的面积为， 三角形的面积为， 因为，所以弓形的面积为. 14．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】D 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为. 由题意得，，解得，或， 由得，或. 15．已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 【答案】(1) (2)的最大值是，， 【分析】（1）由扇形的弧长计算公式计算弧长即可；（2）由周长为，可得，再由，，求二次函数最大值或直接利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由扇形的弧长计算公式 （2）方法一：，其中为弧度制. ， 其中，结合，解得. 当时，有最大值. 所以的最大值是，此时，. 方法二：， 当且仅当，即时，的最大值是. 此时扇形的圆心角. 16．已知扇形的圆心角为，半径为.若扇形的面积是定值（），求扇形的最小周长及此时的值. 【答案】4，α＝2. 【详解】由题意，可得，则， 得扇形周长 当且仅当，即时取等号， 即时，取得最小值，此时. 题型四 任意角的三角函数的定义 1．已知角的终边经过点，则的值是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由于， . 2．已知角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简的坐标，再根据任意角三角函数的定义分别求出，的值，相加即可． 【详解】由题知， ，， 所以． 3．已知角的终边过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义可求出，利用弦化切可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为角的终边过点，则， 所以 ，解得. 4．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点．若将角的终边逆时针旋转得到角的终边，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，求得，再由，结合诱导公式，即可求解. 【详解】因为角以为始边，终边经过点，可得， 则， 将角的终边逆时针旋转得到角的终边，可得， 则. 5．在平面直角坐标系中，角均以轴正半轴为始边．已知角与角的终边关于直线对称，且角与单位圆的交点坐标为，则________． 【答案】/ 【分析】设点关于的对称点为，求得点，结合三角函数的定义，即可求解． 【详解】设点关于的对称点为， 可得，解得， 即角的终边上一点的坐标为， 根据三角函数的定义，可得． 6．已知为角α终边上的一点，则________． 【答案】 【详解】为角α终边上的一点， 点P到原点的距离为， ， 当时，，， 则； 当时，，， 则． 7．已知角的终边在直线上，求的值． 【答案】或 【分析】先求出点，再分类应用三角函数定义计算求解. 【详解】在直线上任取一点， 则． ①若，则，从而， ，． ②若，则，从而， ，． 8．在平面直角坐标系的单位圆中，已知． (1)画出角； (2)求出角的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角的正弦函数值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据终边相同的角化简画出角即可； （2）根据角度结合边长求出P的坐标为； （3）应用正弦函数定义计算求解. 【详解】（1）因为， 所以角的终边与的终边相同． 以原点为角的顶点，以x轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角如图所示． （2）因为，所以点P在第二象限，由（1）知，过点P作轴于点M． 则在中，，，， 由直角三角形的边角关系，得，， 所以点P的坐标为． （3）根据正弦函数的定义有． 题型五 三角函数符号的判断 1．若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 【答案】A 【分析】结合三角函数性质可得范围，即可得范围，即可得解. 【详解】由，，则是第三象限角， 即， 所以， 当 ，即为偶数时， ，此时是第二象限角； 当 ，即为奇数时， ，此时是第四象限角； 综上是第二或第四象限角. 2．若，，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第三或第四象限角 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求出的范围，再求出的范围即可得结果. 【详解】根据三角函数的定义，由可得的终边在第三象限、第四象限或轴的负半轴， 由可得的终边在第一象限或第三象限， 所以若，，则是第三象限角，即 ， 所以 ， 当，即为偶数时，，此时是第二象限角， 当，即为奇数时，，此时是第四象限角， 综上是第二或第四象限角. 3．“”是“为第二象限角”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】若，则为第一象限、第二象限角或终边在轴正半轴上； 若为第二象限角，则， 所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件． 4．若，则是（   ） A．第二象限角 B．第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求出的范围，再求出的范围即可得结果. 【详解】由知． ． 是第二或第四象限角， 故选：C 5．若，且，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】由正余弦值正负确定角的范围，再求出公共部分即可. 【详解】（方法1）由，得，则， 当为偶数时，设，有； 当为奇数时，设，有， 因此角的终边在第一或第三象限， 由，得角的终边在第二或第三象限或轴的负半轴上， 所以角是第三象限角． （方法2）由，得， 由，得，即， 因此，所以角是第三象限角． 故选：C 6．“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据象限角的符号和充分必要条件的定义即可求解. 【详解】若为第三象限角或第四象限角，则，故充分性成立； 若，则为第三象限角或第四象限角或，故必要性不成立； 所以“为第三象限角或第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由即可判断. 【详解】因为，所以弧度角为第二象限的角， 所以， 即点位于第三象限， 故选：C 8．“”是“为第二或四象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用三角函数象限角的符号特征结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，而恒成立， 则且，所以为第二或四象限角，充分性成立； 若为第二或四象限角，则且， 所以，必要性成立， 所以“”是“为第二或四象限角”的充要条件. 故选：. 9．若为第四象限角，且，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】若为第四象限角，得到范围，进而得到范围及象限. 【详解】为第四象限角，，，则，.又，则为第四象限角， 故选：D. 10．已知角，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定，进而根据角的终边过的点求得，结合角的范围和诱导公式，即可求得答案. 【详解】由题意角，终边上有一点，因为，，故，故，由于，故，又，故， 故选：D. 11．若是第二象限角，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，然后逐一判断选项，即可得到结果. 【详解】因为是第二象限角，所以， ，故A错误； 若，则，故B错误； ，故C正确； ，即相当于一个在第四象限的角，所以，故D错误. 12．点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用诱导公式判断的正负，再判断的所在象限即可. 【详解】根据诱导公式，可得， 又是第三象限角，所以，即， 同理，所以，即， 所以点位于第三象限. 故选：C. 13．已知，且，则点在第_________象限． 【答案】三 【详解】法一：由，得，． 当为奇数时，的终边在第四象限， 当为偶数时，的终边在第二象限． 因为，所以， 则的终边在左半坐标平面（包括轴），即的终边在第二象限． 则，，点在第三象限． 法二：由，知，① 又，即，② 由①②可推出． 则在第二象限，在第三象限． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 任意角与弧度制及三角函数的概念 基础知识梳理 1.角的概念 定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 分类 按旋转方向分为正角、负角和零角; 按终边位置分为象限角和轴线角 终边相 同的角 所有与角终边相同的角,连同角在内,构成的角的集合是或   2.角的概念易错点 （1）相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们之间相差的整数倍. （2）终边在一条直线上的角之间相差的整数倍;终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差的整数倍. 3.象限角 4.轴线角 5.弧度制 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作 角度与弧 度的换算  ° 弧长公式 弧长 扇形面 积公式   6.任意角的三角函数 （1）定义:设是一个任意角它的终边与单位圆相交于点则 （2）三角函数值在各象限内的符号如图. 记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 7.任意角的对称关系 （1）角的终边相同 （2）角的终边关于轴对称 （3）角的终边关于轴对称 （4）角的终边关于直线对称 （5）角的终边关于原点对称 （6）若,则 8.确定的终边位置的方法 先用终边相同的角的形式表示出角 的范围,再写出 或 的范围,然后根据k的可能取值确定 或 的终边所在的位置. 9.弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 （1）当求扇形面积的最大值时,常转化为求二次函数的最值问题. （2）在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理利用圆心角所在的扇形. 10.利用三角函数的定义求三角函数值的类型及方法 题型一 任意角及其表示 1．角－863°的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的个数是（　　） ①终边相同的角一定相等；②锐角一定是第一象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 4．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 6．下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 7．下列各角中，与终边相同的是（    ） A． B． C． D． 8．下列各角的终边与的终边重合的是（    ） A．190° B． C．1490° D． 9．已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 10．在范围内，找出与下列各角终边相同的角： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．写出角在下列位置时的集合． (1)角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2)角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 12．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角． 题型二 象限角与轴线角 1．若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 3．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 5．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 6．若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 7．已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 8．已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 9．已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 10．下列说法正确的是（    ） A．第二象限角大于第一象限角 B．不相等的角终边可以相同 C．若是第二象限角，一定是第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角是零角 11．集合中角终边所处位置是（    ） A．轴 B．轴 C．非负半轴 D．非负半轴 12．下列命题中正确的是（    ） A．终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D．始边相同而终边不同的角一定不相等 13．终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 14．若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 15．若角的终边在轴上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 16．已知为第一象限角，试确定，，分别是第几象限角． 17．已知角是第三象限角．求： (1)角是第几象限的角． (2)角终边的位置． 题型三 弧度制及其应用 1．是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 3．把化成弧度为（    ） A． B． C． D． 4．将化为弧度是（     ）. A． B． C． D． 5．把化成弧度，其结果是（   ） A． B． C． D． 6．把角化为的形式为（　　） A． B． C． D． 7．已知一圆心角为的扇形的周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知一个扇形半径为4，圆心角为80°，现将该扇形的圆心角扩大为120°，半径不变，则扇形的面积扩大了（    ） A． B．4π C． D． 9．已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 10．在下图中，优弧与劣弧有相同的圆心．并且点位于与之间，点位于与之间．优弧，劣弧以及线段和的长度均为．问到的距离是多少？（    ） A．1 B． C． D． E．2 11．已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 12．已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 13．第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 14．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 15．已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 16．已知扇形的圆心角为，半径为.若扇形的面积是定值（），求扇形的最小周长及此时的值. 题型四 任意角的三角函数的定义 1．已知角的终边经过点，则的值是（     ） A．或 B．或 C． D． 2．已知角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知角的终边过点，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点．若将角的终边逆时针旋转得到角的终边，则（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，角均以轴正半轴为始边．已知角与角的终边关于直线对称，且角与单位圆的交点坐标为，则________． 6．已知为角α终边上的一点，则________． 7．已知角的终边在直线上，求的值． 8．在平面直角坐标系的单位圆中，已知． (1)画出角； (2)求出角的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角的正弦函数值． 题型五 三角函数符号的判断 1．若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 2．若，，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第三或第四象限角 3．“”是“为第二象限角”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，则是（   ） A．第二象限角 B．第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 5．若，且，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 6．“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．“”是“为第二或四象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若为第四象限角，且，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 10．已知角，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 11．若是第二象限角，则（     ） A． B． C． D． 12．点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．已知，且，则点在第_________象限． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $