2027届高考数学一轮复习 1第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念

**基本信息** 聚焦任意角和三角函数概念，通过分层训练构建"概念辨析-性质应用-实际建模"的完整认知链，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|14题|终边相同角表示方法、象限角判定法则、三角函数定义应用、扇形最值模型|从角的概念推广（任意角→弧度制）到三角函数定义生成，建立"数（角的度量）-形（终边位置）-量（函数值）"的关联| |素养提升|2题|球面距离计算模型、滚动圆轨迹参数表示|通过实际情境（地球经纬度、圆滚动问题）实现知识迁移，体现数学建模与几何直观的综合应用|

微练(二十九)　任意角和弧度制、三角函数的概念 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.下列与角-的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A.2kπ+(k∈Z) B.k·360°-(k∈Z) C.k·360°-210°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 2.在平面直角坐标系xOy中,若角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在直线y=x上,则终边与角α相同的角的集合为(　　) A.或 B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 3.如果α是锐角,那么2α是(　　) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.小于180°的正角 D.钝角 4.设α是第二象限角,P(x,1)为其终边上一点,且cos α=x,则tan α=(　　) A.-2 B.- C.- D.- 5.(2026·金华模拟)点A(2,1)绕原点O按逆时针方向旋转90°到达点B,则点B的坐标为(　　) A.(1,2) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-2,-1) 6.(2026·贵州模拟)已知角α的终边经过点(-2,y),将α的终边逆时针旋转45°得到角β,若tan β=-,则y=(　　) A.-2 B.- C. D.3 7.已知某扇形的周长为8,则当此扇形的面积最大时,半径为(　　) A.2 B.4 C.0.5 D.0.25 8.如图,在Rt△PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心,OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积,且∠AOB=α,则=(　　) A. B. C.1 D.2 二、多项选择题 9.满足下列各条件的θ是第二象限角的有(　　) A.θ= B.θ=-920° C.2θ是第四象限角 D.θ≠,k∈Z,且|sin θ|sin θ-|cos θ|cos θ=1 10.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-2m,4sin 210°),且cos α=,则下列说法正确的有(　　) A.α是第四象限角 B.α∈ C.m=-1 D.sin α>sin(-30°) 11.已知角θ的终边与单位圆(圆心为原点O)的交点为P,角α,β,γ,φ的终边与角θ的终边分别关于原点、x轴、y轴、直线y=x对称,则(　　) A.cos α=- B.cos β=- C.sin γ= D.sin φ= 三、填空题 12.一扇形的圆心角为30°,半径为4,则弧长为　　　　,该扇形的面积为　　　　.  13.在平面直角坐标系中,已知sin α=-,cos α=,那么角α 的终边与单位圆的交点坐标为　　　　　　　　　　　.  14.(2026·昆明模拟)已知角θ的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,点A(1,a)(a∈Z)在角θ终边上,且|OA|≤3,则tan θ的值可以是　　　　　　.(写一个即可)  素养提升 15.(2026·兰州模拟)球面上两点间距离的定义为经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度(大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆).设地球的半径为R,若甲地位于北纬45°东经120°,乙地位于北纬45°西经60°,则甲、乙两地的球面距离为(　　) A.R B.R C.R D.R 16.如图,在平面直角坐标系Oxy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)处,此时圆上一点P的位置在(0,0)处,圆在x轴上沿x轴正方向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2,1)处时,的坐标为　　　　　　　　　　　　　.  微练(二十九)　任意角和弧度制、三角函数的概念 1.C　解析　与角-的终边相同的角表达式为:2kπ-,(k∈Z),或k·360°-210°(k∈Z).故选C. 2.B　解析　由题设α=kπ+且k∈Z,故终边与角α相同的角的集合为(k∈Z).故选B. 3.C　解析　因为α是锐角,即0<α<,所以0<2α<π,故选C. 4.C　解析　依题意,cos α==,且x<0,解得x=-2,则tan α==-,故选C. 5.B　解析　以原点为角的顶点,x轴的非负半轴为角的始边,令角α的终边过点A,则α+90°角的终边过点B(x,y),且|OB|=|OA|==,于是sin α=,cos α=,y=|OB|sin(α+90°)=cos α=2,x=|OB|cos(α+90°)=-sin α=-1,所以点B的坐标为(-1,2).故选B. 6.D　解析　因为角α的终边经过点(-2,y),所以tan α=-,所以tan β=tan===-,解得y=3.故选D. 7.A　解析　设扇形所在圆的半径为r,弧长为l,可得l=8-2r,所以扇形的面积为S=lr=(8-2r)r=-r2+4r=-(r-2)2+4,于是,当r=2时,扇形的面积最大.故选A. 8.B　解析　设扇形的半径为r,则扇形的面积为αr2,在Rt△POB中,PB=rtan α,则△POB的面积为r·rtan α,由题意得r·rtan α=2×αr2,所以tan α=2α,所以=. 9.BD　解析　对于A,π<<2π,θ不是第二象限角,故A错误;对于B,-920°=-3×360°+160°,160°是第二象限角,所以θ是第二象限角,故B正确;对于C,2θ是第四象限角,则+2kπ<2θ<2π+2kπ,k∈Z,故+kπ<θ<π+kπ,k∈Z,即第二或第四象限角,故C错误;对于D,由所给条件可得sin θ>0,cos θ<0,所以θ是第二象限角,故D正确.故选BD. 10.AD　解析　对于A,因为cos α=>0,所以-2m>0,又4sin 210°=4sin(180°+30°)=-4sin 30°=-2<0,所以点P在第四象限,所以α是第四象限角,故A正确;对于B,因为cos α=>,所以α∈(k∈Z),故B不正确;对于C,因为cos α=,所以sin2α=1-cos2α==,解得m=-2(正值舍去).故C不正确;对于D,由C的分析知,sin α=->-=sin(-30°).故D正确.故选AD. 11.BC　解析　对于选项A:结合题意可得:P,所以角α的终边与单位圆的交点坐标为,则cos α=,故选项A错误;对于选项B:结合题意可得:P关于x轴对称的点为,所以角β的终边与单位圆的交点坐标为,则cos β=-,故选项B正确;对于选项C:结合题意可得:P关于y轴对称的点为,所以角γ的终边与单位圆的交点坐标为,则sin γ=,故选项C正确;对于选项D:结合题意可得:P关于直线y=x对称的点为,所以角φ的终边与单位圆的交点坐标为,则sin φ=-,故选项D错误.故选BC. 12.　　解析　因为圆心角为,半径为4,所以弧长为×4=,该扇形的面积为××4=. 13.　解析　设角α 的终边与单位圆的交点坐标为P(x,y),因为sin α=-,cos α=,由三角函数的定义,可得x=cos α=,y=sin α=-,即P. 14.1(答案不唯一,0,±1,±2均可)　解析　|OA|≤3,即1+a2≤9,解得-2≤a≤2,又a∈Z,故a的值可为-2,-1,0,1,2,则tan θ==a,即tan θ的值可以是0或±1或±2. 15.C　解析　如图,东经120°与西经60°两条经线刚好构成一个大圆,甲地(点B)与球心(点O)的连线与赤道面所成的角为45°,即∠BOD=45°,同理可得∠AOC=45°,所以∠AOB=90°= rad,因此甲、乙两地的球面距离即劣弧的长度,为R,故选C. 16.(2-sin 2,1-cos 2)　解析　如图所示,过圆心C作x轴的垂线,垂足为A,过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2,所以劣弧PA=2,即圆心角∠PCA=2,则∠PCB=2-,所以PB=sin=-cos 2,CB=cos=sin 2,所以xP=2-CB=2-sin 2,yP=1+PB=1-cos 2,所以=(2-sin 2,1-cos 2). 学科网（北京）股份有限公司 $